LIMITE: a Ideia Fundamental do Cálculo [LIMITES]

o cálculo é uma das maiores criações da história da matemática mas para funcionar ele Depende de uma ideia crucial hoje nós vamos falar sobre o que é um limite Olá meu nome é Daniel Nunes você está tem ciência e o cálculo costuma ser o primeiro contato com a matemática superior mas nem sempre foi assim Houve um tempo em que emoções de cálculo eram ensinadas ainda no ensino médio mas com a filosofia crescente mediu o que rezar cada vez mais o currículo esse tempo já passou que é uma pena porque diminuiu o contato das pessoas com

algumas das ideias mais importantes da história desde a antiguidade as noções intuitivas de mudança contínua aquecimento contínuo e movimento continuo desafiam as mentes mais brilhantes que já caminharam por esse planeta mesmo sendo uma noção intuitiva e explorada a milênios o caminho para realmente entender a variação contínua aberta no século 17 com nascimento da ciência moderna que se desenvolveu em conjunto E graças ao cálculo o cálculo é uma criação Independente de Newton apesar do cálculo dependente de forma fundamental da ideia de limite esse conceito só foi completamente estabelecido 200 anos depois pelas mãos de Coxim e

vai traz o começo dessa ideia tá no próprio Newton que tratava o conceito de limite de uma forma intuitiva sem grandes preocupações e formalizar isso rigorosamente uma visão mais intuitiva é um bom ponto de partida para começar a entender limites os limites estão mais perto da gente do que a gente imagina pensa por exemplo no número raiz de 2 O que é realmente esse número a gente sabe que ele corresponde a diagonal de um quadrado de lado 1 Mas e se fosse para localizar raiz 2 como um ponto na reta real onde ele ficaria de

cara a gente sabe que ele fica entre um e dois porque um ao quadrado dá um e dois ao quadrado dá quatro a gente pode melhorando aos poucos essas estimativas encontrando com cada vez mais precisão a posição de raiz de dois na reta através de a aproximações sucessivas você pode usar uma calculadora e ela vai te dar uma expressão de raiz de dois com várias casas decimais só que isso nunca será raiz de dois realmente é apenas uma aproximação para ela essa aproximação pode ser feita tão boa quanto a gente queira incorporando mais e mais

casos decimais mas sempre será apenas uma aproximação então por aí você percebe que existe uma conexão profunda entre a ideia de aproximações que você De certa forma os limites e a própria noção de número real e de fato essas noções se conversam uma coisa se apoia na outra eu não pretendo explorar mais aqui as origens dessa relação mas é importante ter em mente a conexão profunda entre a própria estrutura dos números reais e o conceito de limite limites dependem também do conceito de função parece que lábios foi o primeiro a usar esse termo que é

Central não só para matemática como também para a própria ciência moderna relações funcionais são muito naturais para nós nos dias de hoje por exemplo a gente não tem dificuldade de entender o que quer dizer a posição de uma partícula em movimento ser função do tempo a medida que o tempo passa a posição da partícula se modifica para cada instante de tempo existe uma posição correspondente isso é suficiente para descrever esse movimento uma função é apenas uma regra para associar dois conjuntos no caso do movimento o conjunto da escala de tempo é associado ao conjunto das

coordenadas de posição podemos trocar a partícula por um carro e as coordenadas do carro estão distribuídas por um mapa a função de movimento leva então cada tempo em uma única coordenada no mapa isso descreve o caminho percorrido pelo carro algumas vezes podemos traçar o gráfico de uma função como uma maneira de entender melhor o seu comportamento Pode ser que por algum motivo a gente quer saber o que acontece com a função conforme nos aproximamos de um determinado valor para variável independente X por exemplo na função representada por esse gráfico a gente poderia estar interessado em

ver o que acontece quando X se aproxima de ar esse caso o valor da função vai se aproximando cada vez mais de l a medida que x se aproxima cada vez mais já intuitivamente a gente diz que o limite de f de x quando X tende a = l isso significa que conseguimos nos aproximar desse valor L tanto quanto a gente queira conseguimos isso tomando um valor de X suficientemente próximo de a mas não igual a a e que vai gerar um valor de f de x bem perto de l o processo de limite para

esse funk Estamos nos aproximando de ar mas sem chegarmos em ar de fato isso porque chegar em a é simplesmente olhar o valor da função em a e não é isso que a gente quer até porque às vezes a função nem está definida ali ou possui uma definição exótica nesse ponto O que importa não é saber o valor real em ar mas sim como a função se comporta a medida que nos aproximamos já basicamente seria imaginar qual o valor a função teria em a caso as expectativas que formamos a medida que nos aproximamos de ar

realmente concretismo pode acontecer de F de Aço exatamente l e nesse caso dizemos que a f é uma função contínua no ponto a mas também pode acontecer do limite hélice diferente do valor da função em a na prática Nem sempre é possível ou viável elaborar o gráfico de F para ver como limites se comportam que normalmente acontece é olhar diretamente para uma expressão algébrica da função e ver como limite se comporta E aí começa a surgir um problema por exemplo qual o limite de seno de pi sobre x quando X tende a 0 sem olhar

para o gráfico dessa função como resolver esse problema uma primeira maneira poderia ser testar alguns valores próximos de zero números da forma um cvn é um número natural serve para gerar uma aproximação do zero nesse caso sendo difícil sobre x ficaria sendo de NP que vale sempre zero para todo ele natural então isso quer dizer que o limite de cenas de pi sobre x quando X tende a zero é zero não porque poderíamos nos aproximar do zero de outra forma por exemplo com números do tipo 2 CBN com n novamente natural aí teremos sendo de

NP sobre o 2 que fica alternando Tecnicamente entre os valores um zero menos um e zero olhando para o gráfico dessa função vemos que a coisa é pior ainda ela oscila loucamente entre menos um e uma medida que x se aproxima de zero Então na verdade Não Existe limite para essa função quando X tende a zero se a gente tivesse confiado na nossa primeira aproximação a gente poderia ter caído na tentação de dizer que o limite Era Zero então fica claro que essa noção intuitiva de X se aproximar de ar precisa ser tomada mais rigorosa

e esse Rigor só veio 200 anos depois os trabalhos de Newton elas vão nos matemáticos e foi ele quem usou pela primeira vez as duas letras gregas famosas na definição de limite eles são até hoje amplamente utilizadas e temidas na época o alemão Call vai atrás mas essencialmente a ideia do coxim já é muito similar agora vai estrear você também para nós a definição formal de limite é a seguinte dizemos que o limite de f de x quando X tende a e l c dado Epson maior que zero arbitrário existe Delta maior que zero tal

que se x é um número que satisfaz 0 menor que o módulo de X - a menor do que Delta então o módulo de f de x menos L é menor do que Epson essa definição é realmente assustadora para quem vê ela pela primeira vez tem essas letras gregas esses símbolos intimidadores mas na verdade o significado de tudo isso é até bem simples Apesar desse formato mais rebuscado essa definição possui a mesma intuição de antes ela é o limites ou possível fazer apps difícil aproximar dele apenas fazendo com que o x se aproxime de a

sendo entanto ser o próprio a isso tem que valer para toda forma de aproximação possível a questão é que esse Epson e delta torna uma ideia do que significa esse aproximar muito menos vaga do que antes mesmo do exemplo do seno de pi sobre x se não tomarmos cuidado com o que significa essa aproximação poderíamos cair no erro de achar que o limite a zero quando na verdade ele sequer existe Coxi usou a letra grega Epson para representar a ideia de erro enquanto Delta significa diferença intuitivamente é mesmo Isso se ela é mesmo limite e

isso significa que para uma certa margem de erro Epson ao redor de L basta a gente considerar valores de x a uma diferença de a que não ultrapasse Delta que isso é suficiente para garantir que f de x cai dentro da margem de erro Epson ao redor de l a minha forma favorita de entender esses epsons e deltas é justamente pensar dessa forma visual isso é possível porque o módulo da diferença de dois números nada mais é do que a distância entre esses números o conceito geométrico então podemos dizer que o limite é L se

para qualquer grau de tolerância épsilon de erro que pode ser tão pequeno quanto quisermos existe sempre uma distância Delta que Garanta que todo ponto x que esteja uma distância de a menor que Delta com x diferente a vai acertar o que f de x cai dentro do intervalo de raio Epson ao redor de L essa forma de ver funciona inclusive dimensões maiores com funções de várias variáveis por exemplo em duas dimensões o limite é hélice para todo o disco de raio arbitrário Epson ao redor de L forma possível encontrar um disco furado pequeno de raio

Delta tal que é que leva esse disco furado para dentro do disco de raio Edson ao redor de L é a mesma coisa de antes Existem certas noções que a gente usa sem grandes reflexões mas que dependem essencialmente da ideia de limite Um Bom exemplo é a função exponencial a gente entende perfeitamente O que significa a elevado a n onde a é maior do que zero e n é um número natural basta multiplicar a n vezes também entendemos O que é uma raiz caesma de ar é justamente o número que multiplicado k vezes por ele

mesmo dá o próprio a partir daí conseguimos entender sem dificuldade o que seria a elevado a n sobrecar um número racional positivo qualquer é a raiz ksima de a elevado a n mas o que significa elevar a raiz quadrada de 2 ou qualquer outro número irracional não existe uma interpretação simples para isso apesar disso podemos definir precisamente O que há elevado a um irracional Alfa qualquer quer dizer que a gente faz isso usando o conceito de limite então a função exponencial a elevado a x é uma função que nos Racionais funcione exatamente como dissemos AIDS

profissionais digamos Alfa ela é definida como o limite de a elevado a r quando R tende a Alfa onde R5 um número racional ou seja olhamos para o limite racional de a elevado a x repare que aqui a situação é um pouco diferente do que falamos antes sobre o limites porque agora as únicas aproximações que queremos usar são aproximações através de números racionais Já que é somente neles que é exponencial está bem definida só que isso não é problema o que os Racionais são densos nos reais ou seja para definir o que significa 3 elevado

a raiz de 2 a gente começa com aproximações Racionais raiz de 2 vamos elevando três a essas aproximações Racionais conforme esses Racionais se aproximam mais e mais mais de dois três elevado a eles vai se aproximando de um determinado limite o valor de três elevado a √2 é por definição o valor desse limite então para gastar Nossa matemática aqui podemos escrever rigorosamente a definição da exponencial de a Da alphal Ferraz e da seguinte forma dizemos que a elevada a aopl se para todo Epson modo que zero existe Delta modo que zero tal que se R

racional e zero é menor do que o módulo de R menos Alfa menor do que Delta então o módulo de a elevado a r - l é menor do que Epson o que isso tudo quer dizer que apenas estamos usando aproximações Racionais para definir a exponencial com expoente zirracionais demora um pouco para a gente se acostumar com essa coisa de Epson 11 deltas mas ter sempre em mente a interpretação geométrica ajuda demais na verdade é assim que eu penso até hoje lembra que a gente usa o Rigor apenas na hora de escrever as coisas mas

o nosso raciocínio trabalha de uma forma mais intuitiva por isso essas imagens mais intuitivas ajudam demais a nortear os nossos pensamentos a importância de limites para o cálculo aparece já na própria definição do que é uma derivada e também do que é uma integral Mas isso fica para outros vídeos a gente fazer as coisas com calma seja também o interesse de vocês É lógico Conta aí nos comentários no vídeo de hoje eu trouxe uma ideia intuitiva de limite mas também a sua definição mais rigorosa em termos de Epson e deltas que é importante saber mas

também é importante entender eu espero que o vídeo tenha ajudado a desmistificar um pouco esse assunto que essencialmente não passa de uma noção geométrica e é assim que eu penso nela até hoje muito obrigado aos membros do canal E não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo