O que é uma INTEGRAL?

Depois de falar de derivadas em um dos vídeos anteriores hoje é dia de falar no outro grande personagem do cálculo a integral Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e vamos continuar a nossa série de vídeos introdutórios sobre alguns tópicos de cálculo o assunto de hoje vai ser integral e para entender melhor esse vídeo eu recomendo que você assiste a primeira o vídeo sobre limites o link está na descrição não precisa assistir o vídeo sobre derivada se você não quiser a compreensão da integral não depende da compreensão da derivada a única

razão pela qual boa parte dos livros ensina primeiro a derivação e só depois a integração é porque calcular derivadas na prática é mais fácil só que historicamente esse conceito surgiram na ordem contrária a ideia derivadas surgiu nos trabalhos de firmar e outros matemáticos do século XVII estava interessados em encontrar retas tangentes e resolver problemas de minimização já a ideia de integral tem as suas origens numa época muito mais remota no século três antes de Cristo nos tempos da Grécia antiga e de Arquimedes e a motivação para essa ideia é o cálculo de áreas de figuras

planas calcular a área de figuras poligonais é um problema simples partindo da noção de como quadrado tem área igual ao quadrado do seu lado é possível deduzir que um retângulo tem área igual ao produto da base pela altura e com um pouquinho de engenhosidade também é possível mostrar que a área de um triângulo é a base vezes altura sobre 2 isso resolve o problema de calcular a área de qualquer figura poligonal porque uma figura assim pode ser dividida numa quantidade finita de ter ângulos e a sua área será igual a soma das áreas desses triângulos

tudo isso já era sabido desde antes de Arquimedes o problema era calcular a área de figuras que não fossem poligonais de figuras curvas por exemplo mais simples de uma figura assim seria do Círculo o método elementar para decompor a figura em um número finito de pedaços menores cuja área sabe menos calcular simplesmente não funciona para calcular a área de um círculo é impossível encontrar ela dessa forma mas o Arquimedes usou uma ideia conhecida como método da exaustão para estimar a área de um círculo é bem simples sabemos calcular áreas de regiões poligonais também sabemos que

se um polígonos que vem escrito dentro de um círculo então a sua área será menor que a área do círculo por outro lado se um polígono estiver circunscrito ao círculo então a sua área será maior que a área do círculo Grande Lance é que conforme aumentamos o número de lados do polígono de dentro sua área vai aumentando porque ele vai se moldando cada vez mais próximo do Círculo pelo mesmo motivo a área do polígono de fora vai diminuindo conforme o número de lados aumenta isso faz com que a diferença entre as áreas dos polígonos de

dentro e de fora vai diminuindo ou seja cada uma delas vai se aproximando cada vez mais da própria área do círculo se o círculo tiver raio 1 então a sua área será exatamente pi usando essa ideia e considerando um polígono circunscrito como 96 lados Depois de muita conta e paciência é possível provar que 22 sobre 7 é maior do que ter foi mais ou menos isso que o Arquimedes fez isso é importante porque sobre o sete é a melhor aproximação de pico um número menor que 100 no numerador e era conhecida desde a antiguidade mas

até Arquimedes ninguém sabia dizer se Piera menor ou maior do que esse valor pois bem o método da exaustão foi usado por Arquimedes em outras situações relacionadas ao cálculo de áreas e essa ideia de aproximação por polígonos é o coração da ideia de integral isso porque intuitivamente uma integrada mais é do que a área que o gráfico de uma função forma com relação ao eixo X quando a função é uma reta como no caso da função y = x a área entre os pontos 1 e 3 é um trapézio e sabemos calcular isso usando apenas

o conhecimento de geometria alimentar mas esse é a função formasse uma linha curva Nesse caso a gente teria a mesma dificuldade do cálculo da área do círculo então inspiradas pelo método da exaustão a gente poderia pensar em alguma forma de colocar polígonos por dentro e por fora da área que queremos calcular uma maneira de obter uma aproximação para ela poderíamos fazer isso de diversas maneiras usando polígonos variados mas o objetivo é desenvolver um método que seja sempre o mais simples possível e se aplica a qualquer função contínua não importa o seu formato uma boa maneira

de percorrer esse caminho é escolher uma figura composta por retângulos porque calcular a área de retângulos é muito mais simples Isso facilita a nossa vida Especialmente porque estamos trabalhando com um plano cartesiano então a área de um retângulo como esse vai ser o produto da base que só depende das coordenadas em x com a altura que só depende das coordenadas em Y não tem nada mais simples do que isso então a gente divide um intervalo AB Em vários pontos intermediários erguemos retângulos a partir desses pontos para ter uma aproximação por dentro usamos o menor valor

assumido pela função dentro de cada sub intervalo isso garante que é totalidade dos retângulos tem área menor que a área da curva para a aproximação por fora A única diferença é que estamos Considerando o maior valor Ass pela função dentro de cada sub intervalo A ideia é que assim como no método da exaustão se formos aumentando a quantidade de retângulos as áreas de dentro de Fora vão se aproximando para a área da curva essa ideia intuitiva do conceito de integral que nada mais é do que o valor dessa área para quem já viu o vídeo

sobre limites é precisamente um processo de limite que está se desenhando aqui a ideia é fazer a quantidade de retângulo estender a infinito mas com cuidado de que a base de cada um desse retângulo Estenda a zero nesse processo isso também faz com que a área de cada um deles também tem da Zero quando a função f é contínua o limite existe e é o mesmo tanto para aproximação por dentro quanto para aproximação por fora esse limite então definido como a integral de f de x de A até B repara que como tanto aproximação por

dentro quanto aproximação por fora tem o mesmo limite então é claro que qualquer outras cores intermediária para a altura dos retângulos resultaria também mesmo limite e com essa última observação a gente já pode começar a definir formalmente O que é uma integral A ideia é considerada divisões no intervalo a bem em pontos intermediários nós chamamos isso de uma partição de aberto essa partição é caracterizada pelos pontos x 0 = ax1x2 etc até xn = b a gente vai precisar introduzir algumas notações que podem ser um pouco estranhas para quem tá vendo pela primeira vez como

uso de índices ou do símbolo de somatória o índice é apenas uma maneira de chamar um elemento genérico qualquer da nossa partição a gente escreve XJ para designar um desses elementos típicos e a ideia é que esse J pode ser zero um dois etc tem como vamos fazer afirmações Gerais que vão valer para qualquer J não é preciso nos restringir valores específicos dentro de cada sub intervalo do tipo XJ menos um XJ escolhemos um ponto Qualquer que vamos chamar de XJ barra o valor de F de xj/ será a altura do retângulo da nossa divisão

a base vai ser a diferença XJ menos XJ menos um que a gente vai chamar de Delta XJ então a área de um retângulo típico vai ser exatamente f de xj/ vezes Delta XJ repare que a notação pode assustar mas a ideia é muito simples o que tá faltando É somar todos os retângulos começando em J igual a 1 e indo até J = N Só que essa maneira de escrever ocupa muito espaço então foi criado uma notação mais concisa para representar esse tipo de soma que é usar a letra grega Sigma maiúscula para designar

que existe um somatório o símbolo de somatório significa que estamos somando um termo geral a área de cada um dos n retângulos típicos é indicar que o que varia é o índice J em cada parcela da soma colocamos um J embaixo do somatório e para dizer como começa em J igual a 1 e termine em n colocamos um embaixo e n em cima Então essa anotação está apenas dizendo que estamos fazendo somatório de todos os retângulos indexados em J começando em J igual a 1 até n com o tempo você se acostuma e até agradece

por ter uma forma bem mais consumida de representar essas somas o que imagina né se você tivesse que ficar escrevendo somas abertas o tempo inteiro não dá né esse tipo de som aliás recebe o nome de soma de Rima em homenagem ao matemático alemão Bernard rima que foi aluno de ninguém menos que Gauss e foi também uma das poucas pessoas que pisou nesse planeta e ganhou um elogio do Gauss que disse que eu rima tinha uma imaginação gloriosamente fértil bem a partir da soma de rima a definição formal da integral é apenas uma passagem ao

limite a integral de f de x já até B é o limite quando n tem dinheiro infinito da soma de F de xj/ vezes Delta XJ ele tem linha infinito aqui significa duas coisas primeiro que o número de pontos na nossa partição está atendendo ao infinito segundo que mesmo maior dos Delta x está tendendo a zero nesse processo e o limite existir significa que o seu valor vai ser sempre o mesmo não importa a maneira como as partições sejam feitas desde que elas obedeçam aquelas duas condições a notação de integral que usamos hoje em dia

foi inaugurada por livres na época dele somatórios eram escritos com S maiúsculo no lugar de Sigma então para identificar o processo de passagem ao limite que na época de Live eles era imaginado de forma pouco rigorosa uma soma de infinitos termos infinitamente pequenos Delta x era modificado para DX para representar o infinitésimo e essa viravam essa estilizado Vai representar uma soma de infinitos termos outra coisa inventada por lá eles foi a própria palavra integral para chamar esse processo ela foi usada para indicar que a área total ou integral era composta pelas infinitas infinitas e mais

de xdx a ideia intuitiva de integral como uma área é mais simples do que a ideia derivada pelo menos na minha opinião mas a sua definição formal é um pouco mais complicada e é como eu falei se você tá vendo isso pela primeira vez vai achar um pouco estranho mas com o tempo e a prática as coisas ficam mais fáceis e mais naturais como tudo na vida mas o grande problema mesmo é como calcular integrais na prática Vamos fazer um exemplo simples para encontrar a integral da parábola x ao quadrado entre os pontos zero e

b a gente pode lançar mão de uma partição uniforme com n + 1 pontos cada sub intervalo terá complemento Delta x = b sobre n então o ponto XJ é típico é J x b sobre n para o ponto XJ barra Vamos considerar o extremo direito do sub intervalo ou seja o próprio XJ então a soma de rima fica igual somatório de J igual a 1 até n de J vezes B sobre n ao quadrado vezes B sobre n isso é a mesma coisa que b³ x a soma dos casos inteiros de 1 até n

papel a seguir a gente precisa saber o valor dessa soma dos quadrados eu vou sumir que você já sabe que a soma dos inteiros de um ATM é n vezes n + 1/2 a partir daí e da expansão de Newton a gente consegue deduzir a soma dos quadrados inteiros usando um truque bastante útil a expansão de Newton diz que 1 + 1 ao cubo é um Ao Cubo mais três vezes um ao quadrado + 3 x 1 + 1 da mesma forma dois mais um Ao Cubo dá dois ao cubo mais três vezes dois ao

quadrado + 3 x 2 + 1 podemos repetir isso até n + 1 ao cubo que será n³ + 3 x 0 ao quadrado + 3 x n + 1 O Pulo do Gato É somar todas essas igualdades e perceber que os valores da esquerda se repetem na direita então podem ser cortados isso não acontece com um Ao Cubo e com n mas vão ao cubo outra coisa é que vamos ter três vezes a soma dos quadrados de um ATM mas três vezes a soma dos inteiros de um ATM e por fim n vezes o

número 1 então O resultado é que n + 1 ao cubo dá três vezes a soma que procuramos que eu vou chamar de s mas três vezes n vezes n + 1 sobre 2 que é a soma dos inteiros de uma ATM + n + 1 fazendo algumas manipulações algébricas você descobre no final das contas que s é igual a n vezes n + 1 x 2 n + 1 / 6 e essa foi a parte mais difícil da história voltando para nossa soma de rima temos que ela vale B ao cubo sobre n Ao

Cubo vezes n vezes n + 1 x 2 n + 1/6 podemos distribuir um n para cada um desses fatores e o resultado é b Ao Cubo sobre seis vezes um mais um sobre n x 2 + 1 sobre n para finalizar e achar o valor da integral é só fazer ntd infinito e o que sobra três Esse é valor da área que a parábola forma com o eixo X Ou seja a sua integral no intervalo de 0 até B no vídeo sobre derivadas eu fiz a derivada da função x² e o processo era significativamente

mais simples isso não foi acidente de um modo geral calcular integrais é uma tarefa bem mais complicada do que calcular derivados as propriedades da derivação tornam sempre possível calcular explicitamente derivadas de expressões que envolvam apenas funções elementares que são aquelas do tipo polinômios seno cosseno exponencial e etc só que com integrais o buraco é muito mais embaixo existem expressões formadas a partir de funções elementares que são contínuas e portanto possuem um integral Só que essa integral não pode ser expressa por meio de funções elementares então de fato o problema da Integração é um problema muito

mais difícil mas para ajudar com isso Milton tiveram uma grande sacada grande mesmo e que é o motivo pelo qual eles são considerados os pais do cálculo é um resultado conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo que mostra que essencialmente integração e derivação são operações Opostas é como se uma fosse contrário da outra então você faz calcular derivadas isso pode ajudar na busca pelas integrais só que esse é um assunto para um outro vídeo Muito obrigado e não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo