Por que as CALCULADORAS dão ERRO com raízes cúbicas?

tem um erro intrigante nas calculadoras Qual que é a raiz cúbica de -8 -2 agora Quanto dá -8 elevado a 1/3 deveria ser -2 porque isso é a própria raiz cúbica mas se você fizer isso na calculadora vai dar erro e entender isso é a missão do vídeo de hoje Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e apesar das calculadoras serem a melhor maneira de efetuar com contas de forma rápida elas estão longe de serem infalíveis se você tem familiaridade com as propriedades dos expoentes deve saber que a raiz cúbica de

um número é igual a você pegar esse número e elevar a 1/3 certo agora o que poucas pessoas sabem é um motivo de ser assim pensa no número a qualquer Agora pensa no número natural n o que que é a elevado a n é simplesmente formar o produto de a por ele mesmo fazendo com que o a apareça n vezes nessa multiplicação por exemplo a c é a x a x a tranquilo tem uma propriedade chave dos expoente que é a seguinte a elevado n x a elevado m = a elevado n + m e

a razão disso também é simples an x am é a mesma coisa que o produto de an vezes multiplicado pelo produto de a m vezes ou seja o a aparece n + m vezes no total isso é a mesma coisa que a elevado a n + m parece simples e é bem simples mas e se ao invés de trabalhar com números inteiros no expoente a gente quisesse usar também números racionais por exemplo 1/3 a maneira mais razoável de fazer essa extensão é impor como condição que continue sendo verdade que a elevado a n x a

elevado M seja igual a a elevado a n + m onde agora m e n são dois números racionais quaisquer então no no caso do 1/3 a gente teria que a elevado 1/3 x a ele 1/3 x a elevado 1/3 deveria ser igual a a elev 1/3 + 1/3 + 1/3 ou seja isso teria que dar a elevado a 1 ou simplesmente A então a a 1/3 é um número tal que o seu cubo dá exatamente a esse número então tem que ser a raiz cúbica de a e se você pegar a sua calculadora e

fizer 8 elevado a 1/3 O resultado vai ser 2 exatamente a raiz cúbica mas repara que -2 elevado C dá -8 só que se você fizer -8 elevado a 1/3 o resultado na calculadora é uma mensagem de erro Tá mas por que que deu erro você deve estar pensando assim bom deve ser porque a calculadora não consegue extrair raiz cúbica de números negativos só que se você colocar -8 e apertar a tecla da raiz cúbica O resultado é menos dois então ela sabe sim extrair a raiz cúbica de números negativos o que ela não sabe

é fazer isso a partir da regra dos expoentes e associar o resultado de -8 elevado a 1/3 à raiz cúbica -8 e a pergunta é por quê algum tempo atrás eu fiz uma série de vídeos sobre logaritmos inclusive mostrando a régua de cálculo que era a maneira de fazer contas de forma ágil antes da popularização das calculadoras eletrônicas modernas que hoje em dia viraram só um aplicativo no seu celular a questão é que a régua de cálculo funcionava Graças aos logaritmos só que a sua calculadora também funciona Graças aos logaritmos isso porque na hora de

calcular uma potência o que normalmente as calculadoras fazem é converter o número para tirar a vantagem dos logaritmos como eu sempre faço vou escrever log para denotar o logaritmo natural uma das maneiras de enxergar o logaritmo natural é vê-lo como uma função inversa da exponencial ou seja o log de x é o número Y tal que e elevado a y dá exatamente x aqui é é o número de eiler que também já teve vídeo exclusivo sobre esse número aqui no canal se a gente trocar Y pelo seu valor log x o que a gente vê

é que e elevado a log x dá exatamente x uma outra propriedade importante do logaritmo é que ele troca produtos por somas isso isso porque o log de a x b é igual ao log de a mais o log de b então quando você tá diante de alguma potência digamos a elevado a r uma consequência dessa propriedade do logaritmo é que o log de a elevado a r é a mesma coisa que R ve o log de a isso vai valer para qualquer número real R Então o que a calculadora faz para lidar com potências

digamos a elevado 1/3 ela usa a identidade de que a elevado 1/3 é igual a e elevado ao log de a elevado 1/3 isso é a mesma coisa que e elevado a 1/3 do log de A então a calculadora consulta o log de a multiplica por 1/3 e daí ela faz é elevado ao resultado disso para recuperar para você o número procurado e esse resultado da potência ela consegue fazer consultando também uma tábula interna de logaritmos só que agora de trás para frente Lembrando que a gente viu isso bem devagarinho na série de vídeo sobre

o logaritmo então é assim que a sua calculadora encontra o valor de 8 elevado a 1/3 isso é e elevado a 1/3 do log 8 ou 1/3 3 log 2 e o resultado final é e elevado a log 2 ou seja 2 agora na hora de fazer -8 elevado a 1/3 surge um problema a calculadora gostaria de computar 1/3 de log de -8 só que o logaritmo normalmente só tá definido para números positivos e esse -8 é um problema provavelmente é esse o motivo pelo qual sua calculadora exibe uma mensagem de erro é porque ela

precisaria calcular o logaritmo de um número negativo durante esse processo de calcular -8 elevado a 1/3 só que ela não sabe calcular logaritmos de números negativos mas tem calculadora que sabe tem várias delas disponíveis na internet Aliás a gente pode fazer isso juntos pega aí o teu celular e vamos fazer essa conta online juntos presta atenção o primeiro passo principalmente se você tá assistindo esse vídeo fora de casa usando alguma rede wi-fi gratuita porque ninguém é de ferro a primeira coisa é ativar a sua VPN a que eu uso é Nord VPN então podia ser

mais simples é só entrar no aplicativo clica em conexão rápida e já tá ativada Se eu quiser eu posso até mudar a minha localização Ah por que isso porque sem VPN você corre um risco danado Toda vez que você entra nessas redes wi-fi grátis por aí fora outras situações que também podem dar ruim para você a principal função da VPN é te dar segurança ela existe para isso ela criptografa tudo que você faz online e ainda mais caro o seu IP que é a sua identidade na internet você não vai mais andar por aí com

teu IP exposto de bobeira é uma coisa que se alguém pega pode te hackear você sabia que Trabalhador em Home Office usa VPN para conectar com a empresa você sabia que os bancos usam VPN para aumentar a segurança das transações bancárias são Dados muito sensíveis não dá para ficar correndo risco à toa a mesma lógica se aplica a você hoje em dia a nossa vida toda tá na internet e a melhor maneira de você aumentar sua segurança proteger suas informações é usando a Nord VPN funciona muito bem não tem leg e dá para colocar até

10 dispositivos na mesma conta e a melhor parte é que o valor mensal da Nord VPN é bem pequenininho vale muito a pena principalmente se você fizer um plano mais mais longo e fica ainda menor Se você assinar usando o nosso link exclusivo nordvpn.com barat cência que tá também na descrição e no comentário fixado porque aí você vai ganhar também qu meses gratuitos na assinatura de do anos então não perde tempo Confere o link abaixo para você conhecer melhor a Nord VPN eu tenho certeza que você vai gostar e já já vai est por aí

com uma navegação muito mais segura Então beleza vamos em frente como eu falei tem calculadora que consegue calcular logaritmo de número negativo a gente vai usar aqui o Wolfram Alfa se você colocar log de -8 no VF Alfa O resultado vai ser log 8 + i x Pi ou seja o resultado é um número complexo Essa é a razão pela qual as calculadoras comuns travam na hora de calcular logaritmos negativos é porque elas só trabalham com números reais Quando surge a necessidade de lidar com os complexos aparece um erro então se Se eu colocar -8

elevado a 1/3 no vol FR Alfa é só correr com abraço porque isso vai dar -2 exatamente o que a gente queria certo errado ele diz que o resultado é 1 + √ 3i que é outro número complexo só para checar vamos ver 8 elevado 1/3 deu 2 como a gente esperava então o que que tá acontecendo aqui para entender isso a gente precisa ampliar os horizontes e colocar de vez os números com complexos na jogada os números complexos são o resultado de incorporar os números reais uma solução paraa equação x Quad ig a-1 a

gente chama a solução dessa equação de i a unidade imaginária Na verdade essa equação tem duas soluções uma você chama de i a outra vai ser menos i e essa escolha é completamente arbitrária Na verdade irrelevante o que importa é que uma vez que você tem incorporado o i a gente começa a trabalhar com os números com complexos que são do tipo a + Bi onde A e B são números reais e essa simples incorporação do I faz com que toda equação polinomial envolvendo números não apenas reais mas complexos tenha sempre solução Esse É O

Teorema Fundamental da álgebra e Foi simplesmente a tese de doutorado do gaus um dos matemáticos mais famosos da história e a consequência disso é que se um polinômio tiver grau três por exemplo então ele tem três soluções pelo menos se a gente contar as soluções segundo uma coisa chamada de multiplicidade porque por exemplo x c = 0 só tem uma única solução x = 0 mas essa solução tem multiplicidade três não importa pra gente aqui entrar mais a fundo nessa coisa da multiplicidade até porque o nosso interesse em achar raízes cúbicas e a raiz cúbica

de a é justamente uma solução da equação x elev c = a e sempre que o a for diferente de zero essa equação vai ter três soluções diferentes então a multiplicidade aqui não vai entrar na nossa jogada o que entra na jogada é que por definição a raiz cúbica de a é solução dessa equação e a pergunta que fica é qual das três soluções deve receber o nome de raiz cúbica se a gente voltar lá no wolfer na hora de calcular -8 elevado 1/3 ele deu um resultado complexo mas sinalizando que ele tava usando a

chamada raiz principal porque vamos lá existem três raízes diferentes para x c = -8 a gente tem que ter um critério para eleger uma delas como a raiz cúbica o critério do Wolfram é usar a chamada raiz principal só que o resultado disso é um número complexo então a missão agora é entender porque esse nome de raiz principal e porque diante do oito a raiz principal era um número real mais diante do -8 ela é um número complexo os números reais são representados graficamente através de uma linha a chamada reta real com ela a gente

consegue enxergar claramente a relação de ordem dos números reais e a reta também deixa Clara a origem dos números reais que surgiram para atender a necessidades teóricas de medir as coisas dentro da matemática por exemplo a diagonal de um quadrado de lado 1 médio √2 que é um número real mas não é um número racional pois bem os números complexos T uma representação diferente eles não se encontram numa reta e sim num plano A maneira de ver isso é separar um número complexo em uma parte real e outra imaginária a + Bi tem parte real

igual a a e parte imaginária igual a B como esse a e esse B são números reais eles podem ser localizados em retas a reta real para o a e a reta imaginária para o b então o número a + Bi pode ser localizado no plano A partir dessa essas coordenadas que a gente chama de coordenadas retangulares já que essa localização se baseia na construção de retângulos só que existe uma outra forma muito útil de localizar os números complexos que é através das coordenadas polares se a gente formar um círculo com centro no zero e

fizer seu raio se expandir Em algum momento o ponto vai estar sobre o círculo vamos chamar o raio desse círculo de R unindo o ponto à origem esse raio R forma um certo ângulo com a horizontal então sabendo o ângulo teta e o raio R conseguimos localizar qualquer ponto no plano complexo é claro que dá para traduzir da forma polar paraa forma retangular e vice-versa para fazer isso a gente só precisa de trigonometria básica o cateto oposto é a hipotenusa R vezes o seno do ângulo teta e o cateto adjacente é o cosseno vezes R

ou seja z = a r x cosseno teta + i x o seno de teta uma das coisas mais belas da representação trigonométrica dos números complexos é que para fazer z x w você multiplica os raios e o ângulo do produto vai ser a soma dos ângulos isso é consequência de trigonometria básica e a gente faz todos os detalhes do porqu disso na parte de pré-cálculo do dominando cálculo curso de cálculo do tem ciência lá você aprende cálculo de verdade investigando os porquês e vendo de onde tudo isso aí vem o mais legal é que

esse curso começa ainda no pré-cálculo pegando os conteúdos mais importantes da matemática básica para que você construa uma base firme para chegar longe quando for estudar a parte de cálculo do curso números complexos estão entre os tópicos do pré-cálculo assim como trigonometria e se você acha legal a ideia de estudar cálculo comigo clica no link da descrição e conheça o dominando o cálculo beleza como consequência direta dessa relação do produto surge a chamada fórmula de demo avre que diz pra gente que Z elevado a n é igual a r elevado n x cosseno de n

teta + I seno de n teta ou seja troca o raio pela potência e o ângulo por n vezes o ângulo original agora sobre esse lance do ângulo tem uma observação importante que a gente ainda não fez por exemplo para Z = -8 o raio é 8 e o ângulo é pi isso porque a gente trabalha com ângulo em radianos beleza só que se a gente desse mais uma volta completa o ângulo seria 3S x Pi E continuaria no mesmo lugar poderíamos dar mais voltas pra frente ou para trás e a conclusão é que o

ângulo não é único e a gente podia trocar pi por Pi + 2 k pi onde k é um número inteiro qualquer que a gente continuaria representando o número -8 e a sua raiz cúbica essa raiz cúbica Z tem que ser um número complexo que na forma polar tem um certo raio r e um certo ângulo teta Então vamos Tais partes que que a gente tem que z c é -8 ou na forma polar usando a fórmula de demo árvore R C x cossen 3 t + i sen 3 T é = 8 x cosseno

Pi + 2 k pi + I seno de pi + 2 k pi e Essa é aquela hora que você pensa assim ah mas por que esse 2 k pi se ele não muda nada parece que ele não muda nada mas na verdade ele muda tudo porque a conclusão vai ser primeiro que r c é 8 como R é um número real então R = 2 Mas se a gente igualar os ângulos vai ver que teta é igual a pi so 3 + 2 Cap so 3 e plotando no plano complexo esses pontos fazendo k

variar entre os inteiros a gente vê claramente as três raízes cúbicas de -8 uma para k igual a 0 outra para k igual a 1 e a terceira para k igual a 2 qualquer outro valor de k repete um desses três casos a raiz principal corresponde justamente ao k mais natural que é fazer o k ser zero justamente aquilo que você estava pensando antes de eu inventar essa história do k e assim o z daria 2 C pi so 3 + i sen pi so 3 ou seja 1 + I ra3 Justamente a raiz cúbica

apontada pelo wolfen se a gente quisesse a raiz real teria que ter pego k = 1 isso teria feito a gente cair exatamente sobre o -2 mas para mim o mais legal de tudo é que as três raízes cúbicas são os vértices de um triângulo equilátero Ou seja a gente tem álgebra e geometria juntas a gente tem números complexos surgindo para explicar coisas sobre números reais e veja só quanta coisa legal e bonita surge a partir de uma simples pergunta de Por que a calculadora comum dá erro diante de -8 elevado a 13 Veja quanta

matemática tá por trás de uma investigação desse problema e como que a a beleza dos números complexos se revela em algo que parecia tão banal tão mundano e tão distante de um número complexo e o mais interessante é que praticamente tudo que a gente viu aqui pertence ainda ao que a gente chama de matemática elementar Muito obrigado aos membros do canal Conheça o dominando cálculo clicando no link da descrição E não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo