A (VERDADEIRA) ORIGEM dos NÚMEROS COMPLEXOS

de onde vem o número Imaginário a verdade pode surpreender você e eu fiquei surpreso Quando eu soube hoje nós vamos falar sobre a verdadeira origem dos números complexos Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e a coisa mais natural do mundo é achar que os números complexos vieram da fórmula de Bhaskara aquela mesmo que resolve equações de segundo grau do tipo a X2 mas BX + C = 0 a fórmula diz que as solução é x = -b mais ou menos raiz de B2 - 4ac / 2A o problema é quando

esse termo na raiz dá um número negativo como no caso da equação X2 - 2x + 2 = 0 a fórmula diz que uma solução é x = 1 + √-1 então é natural a gente imaginar que um dia alguém resolveu considerar a raiz de menos uma coisa válida e inventar assim os números complexos por causa da forma de Bhaskara só que as coisas não aconteceram dessa forma os números complexos não surgiram desse jeito primeiro lugar esse jeito de escrever forma só surgiu na Europa depois do renascimento com anotação moderna de álgebra Mas as soluções

da equação do segundo grau já era conhecidas há mais de mil anos antes só que até o século 16 essas equações representadas por palavras e geometria e as soluções também eram geométricas Quando surgiram coisas como raízes negativas os matemáticos consideravam que não existia solução se a gente usar a nossa visão moderna e plotar a equação no gráfico básica da raiz negativa sempre que a parábola da equação não toca o eixo O que significa de fato que não existe solução pelo menos não uma solução real mais uma via álgebra como que os antigos chegavam numa solução

de equações do segundo grau a ideia deles era puramente geométrica por exemplo imagina que eles quisessem resolver X2 + 26x = 27 A ideia é transformar isso num problema de áreas você começa com o quadrado de lado x e portanto a área x² somos retângulo de lados x e 26 portanto a área 26 x essas duas áreas juntas tem que dar 27 por causa da equação a missão é descobrir o x que consegue garantir a igualdade das áreas A ideia é fazer uma coisa chamada de completar quadrados a gente pega o retângulo e corta ele

no meio ficam dois retângulos de lados x e 3 Armando eles dessa maneira a gente pode Completar com um quadrado de lado 13 para formar um Quadradão maior de lado x + 3 essa parte em L tinha a área 27 então como a gente adicionou um quadrado de área 169 que é 3 ao quadrado A gente soma 169 do outro lado da equação para manter o equilíbrio e o problema passa a ser encontrar x tal que a área desse Quadradão maior que é X + 3 ao quadrado de 196 que é 14 ao quadrado a

resposta então é x = 1 bacana né esse raciocínio é o que os antigos usavam para resolver equações do segundo grau mas não foi uma equação desse tipo que levou a descoberta dos números imaginários Por incrível que pareça só que a gente também não perdeu tempo até aqui não aprendemos coisas valiosas que vão ajudar a gente a lidar com ações do terceiro grau que nos aproximar mais da verdadeira origem dos números complexos a gente não costuma aprender a resolver terceiro grau na escola mas existe sim uma fórmula para resolver equações cúbicas só que ela só

foi descoberta muito depois das soluções do segundo grau Os Pioneiros foram os matemáticos italianos del ferro e Tartaglia e descobriram uma fórmula de maneira independente Só que quem primeiro publicou isso foi o Cardano que acabou levando a fama naquela época os matemáticos não tinham muito interesse em publicar as coisas porque existiam desafios matemáticos era como se fossem Duelos intelectuais você podia desafiar um matemático que tivesse um bom rosto e se você ou derrotasse o lugar dele era seu no século 16 conhecia a solução de uma equação de terceiro grau significava ser praticamente Imbatível nesses Duelos

porque ninguém mais sabia mas como que deu o ferro e Tartaruga fizeram eles encontraram a solução para chamar adequação pública reduzida uma equação do tipo X3 + PX igual a quê Cardano depois mostrou que isso não era uma limitação pois qualquer equação do terceiro grau poderia ser transformada numa pública reduzida através de uma simples mudança de variáveis Mas qual que foi a ideia dos caras como que eles chegaram na fórmula se as equações quadráticas eram resolvidas completando quadrados as equações cúbicas seriam resolvidas completando cubos Vamos considerar a equação X3 + 9x = 26 para sermos

concretos a matemática naqueles tempos ainda era bem concreta mas logo isso iria mudar bom você parte de um cubo de lado x e portanto o volume X3 o objetivo é aumentar os lados desse cubo por uma parcela Y isso vai dar um cubo maior de lado x + y e Volume X + Y Ao Cubo nesse processo de aumentar o cubo a gente forma três tipos de objetos primeiro formamos três paralelepípedos de base quadrada de lado x e altura Y cada um tem volume X2 Y entre eles cabem em outros três paralelepípedos dessa vez com

base quadrada de lado Y é altura x cada um dos três tem Volume X Y 2 o espaço que falta é o de de lado y e volume y3 Agora se a gente pegar os 6 paralelepípedos e organizar eles direitinho eles formam um outro paralelepípedo grande de lados X + Y 3 y e x x + y é o lado do nosso cubo grande vamos chamar por enquanto isso de Z então o volume dos paralelepípedos que separamos é três y e x e aí vem o pulo do gato se a gente olhar de novo para

equação se esse paralelepípedo composto se tiver volume 9x somando com o volume X3 do cubo original a gente conclui que esses dois objetos juntos tem que ter um volume Total igual a 26 e o Google aumentado ele tem volume Z3 pela nossa construção é a mesma coisa que pegar 26 e somar com o volume do último público completo com maior que é y3 isso dá para gente um sistema com duas equações e duas incógnitas ao tentar resolver ele para y a gente chega numa equação de grau 6 Y 6 + 26 Y 3 igual a

27 que parece que o problema ficou pior porque a gente aumentou o grau da equação só que não é bem assim essa é uma equação do segundo grau disfarçada chamando Y 3 de w era vira exatamente a equação de segundo grau que a gente resolveu lá na primeira parte do vídeo a resposta então é que w é igual a 1 e assim Y também é um então voltando no nosso sistema você descobre que Z é 3 e daí X é a diferença que dá 2 e esse era o raciocínio geométrico que tartaruga ele é o

ferro usavam para resolver equações públicas essas coisas aconteceram no século XVI e nunca é demais lembrar que a álgebra moderna ainda não havia se difundido pela Europa então a forma como os matemáticos tratavam esse problemas era com esses raciocínios geométricos e com palavras Tartaglia registrou o algoritmo que a gente acabou de descrever na forma de um poema Ok mas e os números complexos Cardano que foi que em primeiro publicou a solução da Pública foi quem deu o passo decisivo os matemáticos dessa época motivados geometricamente era aceitável que um problema não tivesse solução parábolas que não

tocavam o eixo é um exemplo disso como nós vimos no começo do vídeo mas o conhecimento das formas de solução da equação do terceiro grau traziam uma situação meio embaraçosa Cardano encontrou algumas equações que não podiam ser resolvidas com o algoritmo de Tartaglia uma dessas equações por exemplo é X3 = 15 x + 4 Se você pegar os coeficientes e substituir na fórmula da solução vai chegar num ponto em que aparece a raiz quadrada de um número negativo quando isso acontecia com equações quadráticas era porque não havia uma solução pelo menos não uma solução real

conhecemos hoje geometricamente quando isso acontece a parábola não toca o eixo então era bem natural considerar que não havia mesmo solução para equação só que com a equação cúbica de Cardano era diferente essa equação é equivalente a encontrar a interseção da Pública X3 uma reta 15 x + 4 e se você traçar o gráfico vai ver que essas curvas se interceptam então existe solução só que a fórmula não podia ser usada porque ela tinha uma raiz de um número negativo graficamente a gente vê que a solução existe ela tá ali e se você fizesse contas

vai ver que x = 4 é uma solução e o que que o Cardano fez estudou o problema similares e reféns dos Passos do algoritmo para tentar descobrir onde é que tava o problema O que que a fórmula falhava a parte de completar cubos funcionava perfeitamente a dificuldade era quando ele chegava na equação quadrática final ela representava uma impossibilidade geométrica não tem problema similar Cardano chegou numa situação em que ele tinha um l com área 30 mas que tinha que formar um quadrado de lado 5 Então na hora de completar esse quadrado ele precisava de

um quadrado com área negativa de menos cinco isso fez o Cardano simplesmente abandonar o problema ele considerou simplesmente que havia certas equações para as quais o algoritmo não funcionava E a humanidade teve que esperar mais 10 anos a terra Rafael bombelli dá o passo definitivo rompendo com a geometria e introduzindo os números complexos bombeiros sabia que a cúbica de Cardano tinha a solução que se você considerar que a raiz de menos um é um objeto matemático válido então uma fórmula da Pública podia ser escrita como a soma de um número comum com outro número comum

multiplicado por essa raiz de -1 resolveu nos sistemas simples ele viu que essas parcelas eram dois mais raiz de menos um e dois menos raiz de menos um que somadas dão a solução 4 espaço é importante e rompe com uma tradição concreta da Matemática bombelli deixou a geometria para trás e deu o primeiro passo rumo a abstração maior da álgebra aquela época a notação algébrica moderna estava prestes a dominar a Europa e a matemática se tornaria cada vez mais abstrata a partir daí os números complexos foram introduzidos para que a fórmula da Pública funcionasse já

que toda a equação do terceiro tem sempre pelo menos uma solução real isso mostrava que se a gente queria ter fórmulas capazes de resolver certos tipos de equações então não tinha jeito os números complexos precisavam aparecer eles eram inevitáveis hoje em dia é um passo natural e simples para nós mas naquela época fazer isso era revolucionário e demandava uma boa dose de ousadia e até mesmo de coragem nos séculos seguintes os números complexos foram se tornando cada vez mais relevantes no século 18 olha Ele batizou a raiz de menos um de ir um número Imaginário

e o Gauss em sua tese de doutorado eu vou chamar do Teorema Fundamental da álgebra e disse que toda equação polinomial com coeficientes complexos tem solução Gauss gostou tanto desse teorema que ele deu três demonstrações diferentes para ele agora isso não quer dizer que existe uma fórmula explícita para resolver qualquer equação polinomial não muito pelo contrário Mas isso é uma outra história não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo