O que é uma DERIVADA?

O que é realmente uma derivada hoje nós vamos falar sobre um dos personagens principais do cálculo a derivação Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e atendendo ao pedido de vocês após o vídeo sobre limites eu estou fazendo um sobre derivadas se você ainda não assistiu o vídeo sobre limite dá uma olhada no link da descrição e acesse esse vídeo primeiro isso porque limites são essenciais para se entender realmente derivadas você não vai conseguir entender derivadas de verdade sem antes entender limites e a matemática tem mesmo essa característica de construindo conhecimento

em camadas que vão se sobrepondo então daqui para frente eu vou assumir que você viu o vídeo anterior sobre o limites você não viu corre porque ainda dá tempo a maioria dos livros de cálculo mas não todos fala primeiro na derivada antes de falar na integral isso tem a ver com fatos que derivadas são mais fáceis de calcular do que integrais só que historicamente as coisas aconteceram na ordem oposta a noção de integral já tinha um belo esboço desde a Grécia antiga mas a ideia derivada só foi realmente ganhar corpo no século 17 pelas mãos

de PR de firmar situação de enfermagem era geométrica e vai chegar um ponto no vídeo em que a gente vai enxergar as coisas dessa forma mas antes vamos trabalhar com uma motivação física imagina o seguinte situação você tá querendo estudar o comportamento de uma partícula que se move ao longo de uma reta só que ela não se move de maneira uniforme uma boa maneira de estudar melhor esse movimento é olhar para o gráfico da posição da partícula em função do tempo essa curva mostra a evolução da posição da partícula conforme o tempo passa o movimento

não é uniforme esse gráfico não é uma reta mas o que significa o movimento não ser uniforme significa que a velocidade da partícula está se modificando ao longo da jornada velocidade é uma medida da variação da distância num certo intervalo de tempo e esse gráfico é útil para calcular isso a velocidade média entre dois instantes é a razão entre a distância percorrida nesse intervalo e o tempo decorrido então no gráfico entre os instantes tem que ter um a distância percorrida é espécie de ter um menos S de t a gente abrevia isso como Delta S

usando a letra grega delta em maiúsculo para designar diferença o intervalo de tempo é delta t = T1 - t a velocidade média então é delta s/delta t manutenção que você certamente já viu no ensino médio nas aulas de física ou deveria ter visto agora repara numa coisa interessante para calcular velocidade a gente precisa de dois momentos diferentes de tempo faz todo sentido pois a velocidade é uma medida da variação da posição então para falar em variação você precisa considerar dois tempos diferentes e estudar o que mudou entre eles mas então o que quer dizer

velocidade instantânea como dar um sentido a isso sendo que a própria ideia de velocidade é variação que pressupõe que você esteja comparando dois momentos diferentes parece que não existe realmente uma maneira de dar sentido a essa noção de velocidade instantânea mas antes de chegar nessa conclusão que é apressada vamos olhar de novo para velocidade média no gráfico e aproveitar o fato de estarmos usando um gráfico repare que se a gente traçar uma reta passando pelos dois pontos que escolhemos temos uma reta secante interceptando o gráfico nesses dois pontos as diferenças Delta S delta t são

os catetos de um triângulo retângulo que tem a hipotenusa nessa reta secante o quociente do cateto oposto cateto adjacente é igual tangente do ângulo que é uma medida da inclinação da reta Então a velocidade média corresponde a inclinação da reta secante medida pelo ângulo que ela forma com o eixo horizontal do tempo isso Começa a dar um significado geométrico para o conceito de velocidade média através de uma reta secante E se a gente explorar isso um pouco melhor vamos conseguir dar um sentido para a ideia do que é uma velocidade instantânea e também chegar no

conceito de derivada apesar da gente ainda não saber o que é uma velocidade instantânea intuitivo achar que conforme a gente vai aproximando T1 de t a velocidade média teria que se aproximar cada vez mais do que seria essa tal velocidade instantânea já que estamos considerando intervalos de tempo cada vez menor geometricamente a medida que fazemos essa aproximação do ponto T1 ou ponto t a reta secante entre eles vai se aproximando da reta tangente a curva no ponto ter a reta tangente é um conceito geométrico bem definido e foi a busca por reta tangente que levou

firmar na direção de definir o que é uma derivada então a gente pode usar a ideia da reta tangente no ponto t e dizer que a inclinação dessa reta é a definição do que seria velocidade instantânea no ponto dele faz todo sentido porque aqui a inclinação das secantes era a velocidade média entre 31 a medida que tem um se aproxima de t a secante se aproxima da tangente então é natural definir a velocidade instantânea como a inclinação da reta tangente em t isso dá não apenas o conceito de velocidade instantânea mas a própria noção de

derivada da função em um ponto isso porque esse gráfico poderia representar qualquer outro função assim como também poderíamos usar x no lugar de T que é o mais comum numa situação geral essa ideia de reta secantes aproximando a reta tangente é precisamente o que está por trás da ideia de derivada que seria uma noção da velocidade instantânea para uma curva qualquer independentemente de ser uma função de posição ou de qualquer outra coisa ou seja derivada é o limite da inclinação das retas secantes esse limite quando existe deve corresponder a inclinação da reta tangente no Ponto

X então a gente pode escrever em matemática esse que é derivada de F no Ponto X é o limite quando X1 tende a x de Delta a pessoa ideal para x ou seja de F de X1 - f de x sobre X1 - x como vimos no vídeo sobre limites o limite não depende da maneira como nos aproximamos de X Ele tem que ser o mesmo para qualquer aproximação seja por valores acima de X seja por valores abaixo ou seja de forma alternada lembrando que em nenhum momento dessa aproximação podemos fazer X1 igual a x

isso nos levaria a uma indeterminação de 0 sobre 0 Existem duas formas bem comuns de designada derivada uma delas é devida ladrões que é F linha de X eles ou isso para enfatizar que a própria derivada era também uma função de X conforme variamos o x derivada também pode mudar a outra anotação ainda bastante usada é do libness um dos descobridores do cálculo ao lado do Nilton como plotamos o gráfico no plano x y e o gráfico de uma função corresponde a fazer Y igual a f de x as diferenças o cálculo da secante poderiam

ser escritas como Delta Y sobre Delta X para identificar a passagem ao limite quando X1 tende a x tocamos o símbolo Delta por D era assim que lá eles denotava derivada de y sobre DX embora motivação dele para fazer isso era considerada de y e DX como infinitésimos um conceito vago de quantidades infinitamente pequenas menores que qualquer número positivo mas que não chegavam a ser zero essa noção vaga foi substituída pela ideia de limites que finalmente trouxe uma fornalização rigorosa do cálculo recentemente nos anos 60 do século passado a ideia dos infinitésimos foi finalmente Tornada

rigorosa não a teoria conhecida como análise não padrão isso permitiu fundamental cálculo rigorosamente com o infinitésimos numa alternativa formulação rigorosa com limites mas essa nova forma de lidar com filipesmos não é tão simplória quanto a forma primitiva dos tempo isso foi possível graças a uma série de cuidados mesmo hoje em dia na maioria das vezes quais e sempre que alguém fala em termos de infinitésimos não faz isso com Rigor da análise não padrão e sim como raciocínio de cuidado similar de antigamente que era falho apesar disso pensar em termos de infinitésimos traz uma intuição muito

boa na hora de fazer algumas contas é muito comum vermos problemas físicos serem modelados usando essas noções que torna as contas bem mais simples no final do dia normalmente podem ser tornadas rigorosas usando a ideia de limites ou a própria análise não padrão a ideia intuitiva de derivada e mesmo a sua definição formal não são conceitos muito complicados o lado mais difícil dessa história é como calcular uma derivada na prática de maneira analítica é impossível encontrar derivada fazendo x igual a X1 no quociente das Diferenças isso Faria numerador e denominador serem ambos iguais a zero

e nos levaria a uma expressão sem sentido então a passagem ao limite depende em cada caso de certos Passos preliminares certas observações inteligentes que vão simplificar a expressão que está em jogo por exemplo se f de x for igual a x ao quadrado temos Delta F sobre Delta x igual a x 1 ao quadrado menos x ao quadrado dividido por X1 - x aqui entra alguns truques do ensino médio como por exemplo produtos notáveis X1 ao quadrado menos x ao quadrado é igual a X1 - x vezes X1 + x quando X1 é diferente de

X essa pressão pode ser simplificada e vira apenas X1 + x essa nova função é Idêntica Delta F sobre δx quando X1 é diferente de X uma vantagem de que ela está bem definida quando X1 é igual a x além dela ser contínua então No Limite DF sobre DX é exatamente igual a duas vezes x outro exemplo agora com f de x igual a raiz quadrada de x para x maior do que zero temos x igual a raiz de X1 - √x/x - x 1 o truque agora é multiplicar em cima embaixo por algum valor

útil que não altera a expressão usando inversamente a mesma ideia de antes do produto notável podemos multiplicar em cima em baixo o raiz de X1 mais raiz de X como X1 e x são positivos em cima fica X1 - x que simplifica com a parte de baixo sobe então apenas um sobre raiz de X1 mais raiz de x mais uma vez essa expressão é igual a δf sobre δx para todo X1 diferente de x e ela também é contínua em valores positivos daí o limite quando X1 tem de X será exatamente um sobre dois raiz

de x que corresponde a derivada uma outra maneira de escrever derivada é dizer que é filinha de x é igual ao limite quando H tem de zero de f de x mas H menos f de x sobre H isso não é nenhuma novidade em relação ao que a gente já viu antes Basta fazer H é igual a X1 menos x fica aí nos na definição anterior é sempre bom será que esse H pode estender a zero pela direita ou pela Esquerda do zero essa última forma escrever a derivada traz uma intuição muito valiosa Principalmente quando

dimensões maiores estiverem em jogo a ideia de derivada associada a uma reta tangente é uma definição que fica restrita ao caso de dimensão 1 uma forma mais interessante de enxergar o que é uma derivada é a ideia de aproximação linear dimensão 1 seria equivalente a perguntar qual é a melhor maneira de aproximar a função do Ponto X e através de uma reta já que nesse caso funções lineares são justamente as retas isso faz sentido pois intuitivamente a variações pequenas a função não muda tanto então o erro cometeriamos aproximá-la por uma reta deveria ser pequena Esse

é exatamente o caso quando a função é derivável a derivada fornece a inclinação da reta tangente a curva e essa é a reta que melhor aproxima a função naquele ponto Então essa outra visão de derivada você pode imaginar um zoom acontecendo ao redor do Ponto X quanto maior esses um mais um comportamento da função se aproximam de uma reta que é justamente a reta tangente e fornece melhor a transformação linear para a função Isso parece com a curvatura do nosso planeta somos tão pequenos comparado a ele que é como se estivéssemos vendo enormes um do

seu formato nesses um o planeta é aproximadamente plano voltando a aproximação linear de funções como derivada é a inclinação da reta tangente a equação dessa reta é Y igual a f de x + X1 - x vezes F linha de X a variável independente aqui é o X1 então no ponto X1 = x + h o ponto na reta tangente é f de x mas HF linha de X por outro lado o valor da função nesse ponto é f de x mais h a diferença mede o erro na aproximação linear para a função que é

f de x + h menos f x menos HF linha de X podemos chamar esse erro de Epson que depende de H daí o erro dividido pelo próprio incremento H é igual a f de x mais H menos f de x/h - f linha de x quando o h atende a zero o lado esquerdo também tende a 0 devido a definição de derivada então o erro cometido pela aproximação linear da função é tão pequena que ele continua atender a 0 mesmo quando dividido pelo próprio H que também tem de a0 isso dá uma ideia do

quão rápido o erro da aproximação linear tende a zero o que mostra que a aproximação é realmente muito boa na vizinhança do X enxergar derivada como uma aproximação linear faz sentido em especial um pouco mais à frente quando você entrar em contato com a expansão de terra mas a grande vantagem de pensar derivada assim surge quando você for lidar com funções de várias variáveis a derivada vai deixar de ser um número para ser uma matriz já que matrizes correspondem exatamente a representações de transformações lineares em dimensões maiores a própria maneira de calcular uma derivada nesse

caso será através da busca por uma aproximação linear da função espero que esse vídeo tenha ajudado você a refinar a sua noção do que é uma derivada entender um pouco mais o que ela realmente significa se vocês curtirem esse tipo de vídeo possa prosseguir fazer um também sobre o que é uma integral tem mais uma coisa que eu gostaria de chamar atenção de vocês teve um momento nesse vídeo que eu falei em produtos notáveis mais para o final eu usei também equação de uma reta no plano cartesiano e esse é um conceitos de conteúdos ainda

do ensino médio eu sei que muita gente chega na faculdade sem saber isso direito esse acaba sendo o principal motivo pelo qual as pessoas reprovam em cálculo O problema não é a matéria do cálculo em si mas a base fraca que faz parte como essa serem coisas de outro mundo quando na verdade elas estão apenas o conhecimento que deveria vir com o aluno já quando ele entra na faculdade pois são conteúdos ainda do ensino médio por isso ao estudar cálculo de bastante atenção aos conhecimentos do pré-cálculo fortalecendo a sua base em áreas como álgebra trigonometria

e geometria analítica e com isso aumentando o seu leque de truques Isso vai tornar sua jornada pelo cálculo muito mais fácil muito obrigado aos membros do canal E não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo