LIMITES DE UMA FUNÇÃO - Cálculos - Aula 02

Olá pessoal Marcos Aba com vocês novamente aqui no YouTube pessoal hoje vamos para a segunda aula aula número dois sobre Limites Tá bom então eu tenho aqui umas quatro folhas eu já deixei tudo anotado agora pra gente vendo mais rápido para não perder muito tempo tá bom então vamos lá limites aula do vamos passo a passo aqui pra gente verificar Olha só então aqui o que vimos a aula passada olha só limite de FX quando X tende a a é um valor né que é esse mesmo valor então aqui o a será o valor do

X né E lembrando que o limite Nunca será o valor exatamente de X X tende a a que é o valor do x x se aproxima de a que a gente vai ver isso hoje tá ok então aqui ó substituindo aqui a função FX por um valor determinado ali está o valor que eu escolhi pra gente trabalhar hoje então limite de 3x - 2 quando X tende a 2 2 é o valor do A então a gente vai trabalhar com essa função f Dex aqui ó é o 3x - 2 quando X tende a 2

ou seja quando o valor de X se aproxima de 2 Guarda esse valor que a gente vai usar muito aqui para baixo quando o valor de X se aproxima de 2 aí nós vamos fazer esses cálculos aqui substituindo o x aquele x ali por 2 e hoje a gente vai substituir o x também por outros valores porque a gente vai se aproximar de dois tá bom então vamos ver o que temos Aqui para baixo Olha o que eu fiz aqui ó a reta numérica a reta numérica normal né vamos supor que seja o eixo X

de um plano cartesiano Tá bom então aqui serão os valores de x né e os valores de y claro ficará aqui que eu já vou mostrar então para o nosso exemplo ó o x o valor do X que é a reta dos números reais o X tende a 2 ele se aproxima de dois não será exatamente o valor de dois ele se aproxima de dois limite trabalha com com isso tá bom com aproximação do valor do X que aqui está que é este mesmo aqui ó tá bom E esses valores próximo NS nós vamos colocar

aqui assim ó mais ou menos e aqui assim ó ok então nós teremos valores tanto pela direita aquele lado de lá né quanto pela esquerda vindo da esquerda pra direita ou vindo da direita pra esquerda limite trabalha assim tá ok então vamos fazer o seguinte vamos pegar um valor à direita do do X deste número do vamos pegar um valor à direita e vamos pegar um valor à esquerda e aqui está pessoal Olha só então o que que eu fiz eu coloquei ainda o valor dois aqui né que é o valor de a quando X

tende a a que está ali em cima Então vou colocar aqui a X tende a a ou se x se aproxima de a né que no caso o valor é 2 Então eu peguei aqui o valor 1 você percebe que é na reta numérica pra esquerda os valores diminuem né então 1 é menor que o dois e pra direita Claro é o contrário Então peguei ali o número TR Então vamos trabalhar entre os números 1 e 3 e por quê Porque o nosso limite o nosso X tende a a ou seja tende ao valor 2

que ali está Ó a substituímos por do Tá ok então é isso olha só os valores que a gente pegou aqui ó então limite pessoal eles trabalham com valores cada vez mais próximos de dois tanto pela direita quanto pela esquerda Então pegamos um outro valor aqui ó que está entre um e o dois outro valor outro valor outro valor outro outro você pode pegar quantos valores você quiser Desde que não chegue ao número dois será qualquer valor Então pegamos Vários valores aqui inclusive este valor que está mais próximo de dois aqui você pode pegar inúmeros

valores também tá ok e aqui do outro lado também você pode pegar inúmeros valores desde que se aproxime de dois e jamais seja do porque X tende a a X tende ao número 2 tá bom X tende ao número 2 Ok então vamos fazer o seguinte vamos dar valores para esses esses traços que a gente colocou aqui ó sempre chegando próximo de dois então vamos dar valor por exemplo entre o 1 e o 2 aqui eu já posso já pode ser 1,5 entre o 3 e o 2 pode ser 2,5 e assim vai vai descendo

né a metade entre 2 e 2,5 2,25 a metade entre 1,5 e 1,75 Então vamos colocar valores para esses pontos que a gente vai utilizar no limite Ok então vamos descer aqui vamos ver o que temos aqui agora olha só coloquei valores para todos os pontos que estão entre o número 1 e o número TR certo então aqui está nós temos o número um e temos o número TR lá aqui ó entre o 2 e o 3 temos 2,5 o que você tem que observar em limites é o seguinte que os valores vão se aproximando

do do tanto pela direita quanto pela esquerda tanto neste sentido quanto neste sentido limite trabalha com esses valores que se aproximam do valor do X que o X tende a ele né no caso aqui nós demos o número do Marc esse valor dois aqui quem que escolhe é o professor que escolhe ele já passa um valor para você tá bom E esses outros dois valores aqui Marcos quem que escolhe esse no caso esse valor pode ser escolhido por você mesmo você pode colocar como do 1 você pode começar do 1 você pode começar do men-1

ou z0 você pode começar da onde você quiser você pode começar com 1,75 para lá também do outro lado a mesma coisa você pode começar com qualquer número que você queira com TR você pode começar com 2,25 para cá você pode começar olha só eu pus 2,01 você pode começar com ele também então você não precisa colocar os valores que eu coloquei Marcos mas se eu colocar 2,01 para chegar ao 2 e ainda existem muitos números Claro Existem muitos e muitos números entre o número 2 e o 2,01 e do outro lado a mesma coisa

entre o número 1,99 até chegar ao 2 você terá inúmeros números também você terá um GAP bem grande um espaço bem maior Entre esses dois números também então eu comecei pelo um para mostrar para vocês aqui de uma forma geral como que vai diminuindo e com o três também tá ok então vamos ver quais foram os valores que eu escolhi aqui olha só um Tá bom então tendendo ao valor 2 então ó 1,52 1,52 é maior que o número 1 claro né e menor que o 2 porque estamos nos aproximando do 2 1,75 está mais

próximo do 2 é maior que 1,5 aí o próximo valor ali ó 1,9 está mais próximo ainda do 2 maior que aqueles valores ali e aí pegando o valor mais próximo ainda do dois ó temos 1,99 que é mais próximo ainda do dois e olha só que eu deixei uma bolinha aberta ali ó Isso quer dizer que o limite o x Nunca será o número dois ele tende ao número dois mas nunca será o número dois ele se aproxima ou seja o dois não faz parte dessa resta aqui como se fosse o intervalinho aqui tá

bom tá bom então é sempre se aproximando do número dois porque x se aproxima 2 Então olha só nunca vai chegar o número do e podemos colocar aqui qual seria o número maior que este aqui que está mais próximo de dois ainda eu não vou colocar não mas só como exemplo seria um V 999 3S no agora ó no lugar de dois e se você colocar 49 aqui será mais próximo ainda de dois agora vamos analisar pelo outro lado ali Então olha só começamos com o três fomos diminuindo agora porque estamos indo da direita paraa

esquerda e na reta numérica sempre diminui para a esquerda e aumenta para a direita Então vamos lá três o próximo 2,5 que é menor que o 3 e maior que o 2 o próximo 2,25 que é menor que o 2,5 e é maior que o 2 e por aí vai ó este valor aqui agora mais próximo de 2 2,1 e o valor agora mais próximo ainda de 2is ó 2,01 e se eu quiser só colocar mais um um zerinho aqui ó 2,001 é um valor mais próximo ainda de dois ou seja está entre o dois

e este valorzinho que está aqui ó Tá ok e Assim Segue pessoal Então pessoal limite trabalha com isso aqui com valores que se aproximam do dois que é o valor do X que tende a do né e com valores também que se aproximam tanto pela esquerda quanto pela direita ok não se esqueça disso que é muito importante em limites Então como vimos na aula anterior é o seguinte é só você substituir o valor do X aqui né muitas vezes vai dar certo igual vimos na aula anterior muitas vezes dará certo muitas vezes não para este

caso aqui vamos ver se dá certo então no lugar do X a gente coloca do ali está ó então é TR vez que um número letra estão multiplicando 3 x x Quanto que é o valor de x simbolicamente é 2 Então tá ali ó 3 x 2 - 2 que ali está multiplicação e subtração primeiro a multiplicação sempre né 3 x 2 é 6 lá está Men 2 lá está e 6 Men 2 Quanto que é 4 olha só então o valor do limite então o valor eu vou separar aqui ó o valor deste limite

aqui ó 3x - 2 quando X tende a 2 O valor é Vou colocar aqui o valor é 4 que é o valor que encontramos ali tá bom ou seja tende a quatro né porque isso aqui não é exatamente o valor do X ele se aproxima de 2 então o limite também se aproxima de quatro guarda isso aí se aproxima de 4ro Então vamos ver o que temos aqui para baixo olha só que interessante eu tenho aqui uma tabela essa tabela eu tenho valor do X que o X tende a 2 né Tá ok e

temos aqui o nosso limite que ali está limite de 3x - 2 quando X tende a 2 este tracinho aqui em cima do 2 quer dizer que tende a 2 pela esquerda deixa eu mostrar para vocês a reta novamente e aqui está ele tende a dois pela esquerda por isso que tem aquele tracinho em cima do dois pela esquerda então aqui está limite de 3x - 2 quando X tende a 2 pela esquerda ou seja começa com o número um E aí vai aumentando lembra que eu mostrei para vocês na reta vai aumentando cada vez

mais aumentando cada vez mais aumentando aumentando cada vez próximo do número 2 porque X tende a 2 Tá bom então vamos encontrar valores utilizando a mesma função aqui ó fazendo os cálculos vamos encontrar valores para o y e a gente vai perceber também que o y tende a um número também que eu acho que eu já mostrei para vocês que está aqui ó qual que é o número que ele tende ele tende ao número quatro será a resposta mas eu vou fazer os cálculos aqui aqui para vocês verem Tá bom então vamos lá olha só

Então olha só o x Vamos dar um valor para x que é o número um para começarmos né que vimos naquela reta numérica e vamos até o número do então X tende a 2 então a gente vai até o número dois começando pela esquerda Claro pela esquerda com o número 1 então utilizando Esta função aqui ó 3 x x - 2 e aqui está ó 3 x x entre parênteses quer dizer que já está multiplicando então é três vezes por que o número 1 porque estamos calculando com 1 3 x 1 qualquer coisa multiplicada por

1 ela mesma - 2 então aqui dá 3 - 2 o y Vale 1 Marcos eu não entendi esse número 1 aqui é o resultado desta continha aqui utilizando o número um no valor do X e chegamos ao valor 1 Mas por que um marca o que que é esse Y aqui vamos dar uma olhada no gráfico guarda este valor e este valor com este valor e este valor 1 1,5 1 2,5 então aqui está o gráfico o limite de 3x - 2 quando X tende a 2 ó então aqui ó vou voltando aqui embaixo

nós temos aqui a reta x reta x né o eixo X que é o eixo das abscissas para este caso é chamado de eixo do domínio né onde fica os domínios aqui ó para quem assistiu função sabe o que aqui é o domínio os valores do domínio né para este caso tá então temos aqui o plano cartesiano né formado por duas retas horizontal e vertical eixo X e eixo Y claro né sempre né E aí é o seguinte Olha só então X Ele tende a 2 ele vai chegando mais próximo cada vez mais próximo de

dois que já vimos esses valores né E aí utilizando a fórmula que a gente tá utilizando hoje que é 3x - 2 O que que a gente vai encontrar por exemplo já fizemos com o número 1 quando o x Vale 1 o y também V 1 Tá OK quando X Vale 1,5 aqui é o valor do X Essa é a reta do X Tá bom quando X Vale 1,5 utilizando o plano cartesiano temos que o y Vale 2,5 que eu acabei de mostrar para vocês na outra folha Tá bom então a gente vai trabalhar com

isso daqui a pouco tá ok então ó utilizando esta fórmula novamente sabemos que o 2 ele teve como resposta o número 4 Ok então vamos voltar lá PR ol e aqui estamos nós sabemos que o x quando tende a 2 a resposta foi o 4 que está lá no gráfico que eu mostrei para vocês então aqui a gente já sabe sobre o que que está falando sobre os valores que atribuímos chegando cada vez mais próximo de dois então fazendo as continhas pessoal então quando X Vale 1,52 aqui está na conta fizemos a continha o Y

ou seja o valor da imagem Y também representa a imagem para quem assistiu função Vale 2,5 ou seja o valor lá no eixo Y s o valor no eixo das ordenadas o eixo vertical tá bom 2,52 E aqui quando X Vale 1,75 jogando 1,75 no lugar do X é 3 x 1,75 então aqui está -2 que faz parte da Fórmula então 3 x 1,75 se você fizer aí na calculadora dá 5,25 - 2 que ali está 5,25 - 2 dá 3,25 por quê Porque é o c que ele é a parte inteira deste número decimal

né então é 5 - 2 2 é um número inteiro também a parte decimal é depois da vírgula o dois é um inteiro Por que que é inteiro Marcão porque o dois deixa eu colocar aqui só representando aqui o dois ele é a mesma coisa que 2,00 quanto zero você quiser pra direita então o do ele tá do lado esquerdo também da vírgula então ele é o inteiro Então você vai pegar a parte inteira que é o 5 5 - 2 = 3 o nosso caso aqui por enquanto ó 5 - 2 = 3 5,25

- 2 é 3,25 é o valor do Y que a gente já viu lá no gráfico que a gente vai ver mais então voltando para cá se a gente agora substituir o valor do X daquele x Por 1,9 que está cada vez mais próximo de 2 então aqui está no na fórmula substituindo na fórmula então agora 3 x 1,9 ó 3 x 1,9 - 2 que faz parte da Fórmula quanto que é 3 x 1,9 se você fizer na calculadora Vai dar 5,7 - 2 - 2 5,7 - 2 é 5-2 que é 3 e

o v7 continua 3,7 é o valor do nosso Y tá bom pessoal E não se esqueça que a gente está se aproximando pela esquerda o sinal negativo é pela esquerda então descendo aqui agora 1,99 1,99 colocamos no valor do X agora daquele x ali ó faz de conta que agora é 1,99 e subs indo aqui 3 x 1,99 - 2 Claro dá 5,97 5,97 - 2 que dá 3,97 5 - 2 né 5 - 2 que dá 3 e 97 continua Tá ok a parte decimal Marcos que que é um número decimal é número que

possui vírgula ok Aqui é um número decimal então agora chegando mais próximo de 2 1,999 Vamos colocar no valor do X então é 3 x x 3 x x então é 3 3 x 1,999 quanto que dá essa multiplicação se você fizer aí na calculadora vai dar 5997 na calculadora D este valor isto vezes isto produz isso aqui ó - 2-2 então 5,97 -2 dá 3,997 você vê que estamos Olha só então você percebe que estamos vez nos aproximando do 4 também sempre que o valor de X se aproxima de um certo valor no caso

aqui o 2 quanto mais o x está se aproximando de 2 percebemos aqui ó que quando ó aqui ó tínhamos 1 2,5 3,25 você percebe que a partir daqui ó ele já começa a enrolar no número 3 e vai enrolando no 3 nunca passando do número TR por quê Porque no limite nunca chega ao número quro também ele se aproxima do número 4ro tá ok uma coisa se eu quisesse aumentar este número aqui ó como que seria É só colocar o número nove aqui vamos colocar 1 V 1 2 3 4 1 2 3 agora

aumentamos mais mais próximos do número 2 Então seria 3 x 1,1 2 3 4 número 9 - 2 que é igual se você fizer essa continha aqui ó 3 x 1 9999 Quanto que vai dar vai dar se eu não me engano 5 V ó ao invés de 29 Ali vai dar 39 agora 5,1 2 39 e o número 7 - 2 5 v tudo isso -2 dá 3 V tudo isso vamos voltar para ali 3 V tudo isso aqui ó 39 1 7 é -2 aqui né 1 2 3 9 1 7 ali era

29 aqui é 39 então cada vez vai se aproximando do dois nunca chegando ao dois o valor do limite chega cada vez mais próximo do quatro sempre se aproximando do quatro neste caso pela esquerda não se esqueça disso representado pelo negativo ali em cima do dois Marcos vamos fazer pela direita também pra gente ver se vai se aproximar do quatro também utilizando o mesmo esquema Vamos então só Relembrando aqui vamos nos aproximar do do pela direita ó 3 2,5 2,25 E por aí vai pela direita tá então aqui está o limite de 3x - 2

quando X tende a 2 agora a gente vai pela direita que é representado pelo mais aqui em cima do 2 aqui ó pela direita Tá bom quando X tende a 2 pela direita tabela Lembrando que o nosso limite é 3x - 2 quando X tende a 2 né que estamos utilizando Marcos esse valor quem arrumou foi o professor que arrumou no caso eu que arrumei para vocês Tá bom então o professor de vocês vai passar um valor para vocês ou seja uma função inha para vocês trabalharem com o limite Tá bom então aqui voltamos à

tabela novamente ó então o X Ele vai se aproximar do 2 nunca se aproxima de 2 pela direita simbolizado pelo mais então começando pelo TR Então a gente vai utilizar também esta fórmula os valores dados né 3 x x - 2 é o mesmo esqueminha só que agora com outros valores tendendo a x se aproximando de X pela direita então aqui será 3 x x ó o x agora vai 3 3 x 3 - 2 3 x 3 é 9 - 2 9 - 2 é 7 então o valor de y lá no gráfico que

é barra vertical que eu já vou mostrar para vocês é igual a 7 vamos utilizar estes valores também e esses também então agora o x Vale 2,5 se aproximando cada vez mais de 2 mas nunca chegando a 2 então x agora vale 2,52 então substituímos o x ali por 2,5 então é 3 x 2,52 que aqui está 3 x 2,5 se você fizer na calculadora dá 7,5 - 2 7,5 - 2 é o 7 - 2 que dá 5 5,5 7,5 - 2 5,5 e agora aqui de baixo ó 2,25 se aproximando mais de 2

então é 3 x 2,25 que é o valor do X tá bom que dá 6,75 - 2 que aqui está que faz parte da Fórmula né então quanto que dá 6,75 - 2 6 - 2 dá 4 75 Então o que eu quero que você observa ó 7 5,5 4,5 e aqui já começa a enrolar no 4 nunca chegando ao quatro verdadeiramente tá vendo ó ele tá enrolando aqui no número quatro mas nunca chegando ao número 4 também então vamos continuar agora 2,1 é menor que 2,2 né Essa aqui é 2,2 apesar do 25 mas

é 2,2 2,1 é menor então substituímos o X por 2,1 3 x 2,1 -2 3 x 2,1 dá 6,3 - 2 6,3 - 2 dá 4,3 é só tirar dois do 6 e aqui 2,01 não chegamos a dois estamos nos aproximando repito pela direita naquele eixo lá pela direita né então estamos bem próximo do dois nós estamos bem próximo do dois aqui ó 2,01 quase do mas nunca chegamos ao do então agora aqui 2,01 mais próximo cada vez mais de dois né que podemos colocar o número dois também cada vez mais próximo então 2 1

é só substituir Aqui quanto que é 3 x 21 2,01 é 6,03 - 2 também que dá 4,03 e aqui terminando 2,001 na verdade terminando não Nunca Termina Sempre se aproxima de 2is mas ainda há vários números neste meio aqui por isso que você pode começar daqui para o número dois não precisa começar lá no trê igual comecei tá bom Ok então vamos continuar 3 x 2,001 que aqui está quanto que dá dá 6,003 - 2 né que aqui está que faz parte da fórmula que te dá quanto que é 6 vírgula aquilo ali menos

2 é 4 víg aquilo ali Marcos Se eu quisesse me aproximar cada vez mais do dois como que seria agora no caso seria só você colocar um zero a mais aqui ó seria 2,1 2 3 zer Ali era dois agora são três zeros e o 1 e aí você faz a continha três vezes tudo isso aqui que é 2,1 2 3 0 que ali está 1 Fecha os 2 né que faz parte da fórmula que é igual quanto que daria aqui é fácil ali não deu dois zeros aqui vai dar TR zeros então será 6

vírgula três zeros agora ao invés de 2 3 Ali era 1 2 3 e o 3 menos o 2 ok 6 V tudo aquilo menos 2 é 4 V tudo aquilo que vai dar 4 ali não seria eram dois zeros agora teremos três zero 1 2 3 zeros e o TR tá vendo cada vez mais se aproximando do 4 nunca chegando a número 4 quando X cada vez se aproxima mais do número 2 então a resposta certa seria para esta função aqui ó limite de 3x - 2 quando X tende a 2 limite de 3x

- 2 quando X tende a 2 é igual a 4 ou seja cada vez mais que se aproxima do do se aproxima cada cada vez mais do quatro então agora vamos analisar no gráfico todos esses valores aqui eu joguei esses valores no gráfico e esses valores no gráfico ok Aqui está então a limite de 3x - 2 que o professor passou para você no caso eu quando X tende a 2 nós nos aproximamos de quatro nunca chega a quatro que acabamos de ver né E aqui temos o gráfico com a reta Y né que é

o plano cartesiano e lá embaixo nós temos Claro a reta x plano cartesiano normal então Montei um gráfico aqui olha só como que funciona ó Então vamos lá pela nossa pela nossa tabela que nós fizemos quando o X tem um valor de 1 chegamos ao valor de 1 para Y aqui está quando X Vale 1 temos o valor de 1 para y e quando temos o valor de 1,5 temos de 2,5 de 1,75 temos 3,25 Então são esses valores agora olha só então de um o y dá 1 Esse é o eixo Y não podemos

esquecer né este aqui é o eixo X Vamos só colocar aqui pra gente lembrar então quando o x Vale 1 o y Vale 1 quando o x Vale 1,5 Olha você traçando o gráfico aqui o y Vale 2,5 Ok Acabei de mostrar para vocês ok então agora mais próximo de 2 1,99 próximo de 2 subindo aqui o gráfico né Vamos subindo ele vai chegar próximo de quatro você vê que ele vem aqui ó mas não chega ao quatro dá tr 3,97 então se você observar bem aqui eu tem os traçados azuis que é 3,97 nunca

chegando a 4 sempre se aproximando de quro E aí ele desce e vai até o 1,99 que aqui está então 1,99 3,97 vamos ver se é isso mesmo vamos e aqui está 1,99 3,97 sempre se aproximando do 4 tá bom através dos cálculos que a gente fez a gente tá traçando aquele gráfico lá 3,97 que aqui está Tá bom então pela esquerda já sabemos como que traça o gráfico e aí no 2 quando X vale 2 nós fizemos a continha o y Vale 4 né chega bem próximo do 4 mas nunca será o 4 aqui

é simbolicamente o número 4 Tá bom quando X vale 2 o y Vale 4 ou seja a imagem aqui é o conjunto imagem né tudo que aqui no eixo Y é o conjunto imagem e aqui tudo que aqui é o domínio né são os valores de x chamado também de domínio isso é aprendido nas aulas sobre função Tá bom então agora vamos fazer a análise pela direita agora então aqui ó Estamos vendo não entre o c e o do não entre o 4 e o 2 entre o TR e o do então agora diminuindo cada

vez se aproximando do do temos aqui ó 2,5 que é menor que 3 e maior que 2 pra direita sempre é maior né então quando X Vale 2,5 com aqueles cálculos que a gente fez lá a gente vai subir subir subir E aí vamos encontrar 5,5 então 5,5 para Y então continuando aqui vamos lá agora para 2,25 também com aqueles cálculos que a gente fez a gente encontrou o valor do Y como 4,75 tá vendo estamos traçando o gráfico então cada vez mais próximo 2,1 quanto que dá 2 Então você subindo aqui bem próximo de

2 2,1 né então você subindo aqui você vai encontrar o valor de 4,3 desculpa 4,3 se aproximando pela direita de lá para cá do número 4 4,3 quando X dá 2,1 vamos ver na tabela e aqui está 4,3 quando X dá 2,1 fazendo os cálculos deu 4,3 que aqui está 4,3 quando X dá 2,1 Então é isso pessoal esta é outra forma de representar o limite Tá bom eu espero que vocês tenham entendido e gostado tá bom deixem as dúvidas deixem as sugestões deixem os comentários as críticas também são bem-vindas tá bom se tiver algum

algum valorzinho aqui que esteja fora avise também que é muito importante para eu deixar aqui como comentário também tá bom porque eu fiz isso agora H pouco mas eu acredito que esteja certo tá bom e é isso aí pessoal se você gostou essa foi a aula sobre limites vamos escrever aqui ó li mites tá bom esta foi a segunda aula sobre limites se você gostou por favor clique no joia se inscreva deixa um comentário Marcos Aba aqui no YouTube com vocês novamente