Minicurso de Cálculo - Aula 1 - LIMITES

Hoje o vídeo é diferente hoje a gente não tem um vídeo tradicional do tem ciência a gente tem uma aula de verdade isso porque os vídeos normais de tem ciência não são vídeos de aulas eles servem só para te dar um gostinho de como a coisa funciona mas eles não são completos como uma aula só que hoje a gente vai inaugurar uma série de cinco vídeos que vão ser aulas mesmo e o tema desses cinco vídeos vai ser sempre o Cálculo e o tema do vídeo de hoje vai ser limites e antes de começar eu

quero quer contar para vocês uma grande novidade uma coisa que muita gente tava esperando que é o dominando o cálculo vai entrar em black friday então se você tava agando aquele desconto especial a hora chegou a partir do dia 11 de novembro a gente vai entrar em black friday mas para você participar Você Precisa conferir o link abaixo dá uma olhada na descrição ou no comentário Fixado porque lá vai ter tudo que você precisa saber para poder aproveitar essa oferta que eu prometo para vocês vai ser o melhor preço da história todo mundo que entrar

depois disso vai pagar mais do que você vai pagar durante a black friday Então quem tava esperando por um desconto a hora é essa Mas vamos lá pras nossas aulas pra nossa primeira aula dessa série de vídeo sobre o cálculo começando sobre o conceito de limite que historicamente foi a última coisa que Veio do cálculo né A primeira coisa que veio foram as ideias rudimentares de integral Depois vieram as ideias de derivada e depois apenas é que veio a ideia de limite só que normalmente a gente aprende tudo na ordem contrária né isso porque para

ficar mais didático a coisa funciona desse jeito embora o conceito de limite seja o conceito mais difícil presente no cálculo mas a gente vai ver isso daí com bastante calma na aula de hoje Bom vamos lá essa aula Ela Vai tocar em quatro tópicos principais tá o primeiro tópico eu vou falar para vocês sobre uma famosa aproximação que você talvez já tenha visto na sua vida se você já tá na faculdade com certeza você já viu na Física na engenharia que é aproximar o seno de um ângulo pequeno pelo próprio valor do ângulo isso é

uma coisa presente em movimento harmônico simples por exemplo e que faz toda a diferença na hora de encontrar as equações tá E nesse nessa aula de hoje a Gente vai conversar um pouco sobre Por que essa aproximação pode ser feita a a segunda coisa que a gente vai ver que tá relacionado com isso é o conceito de limite de funções a gente vai ver isso de duas formas primeira forma mais intuitiva para que você pegue a ideia do que tá acontecendo e a segunda maneira aquela maneira mais formal mais Casca Grossa que a gente vai

ver no final da aula e antes disso eu vou responder para você a pergunta de Por que você pode Aproximar o seno de um ângulo pequeno pelo próprio ângulo e quando a gente fala pelo próprio ângulo é sempre em radianos você vai perceber que durante essa aula se você é um aluno que tá ali no final do ensino médio ou no início da faculdade você vai perceber Eu sempre faço questão de enfatizar isso e que em vários momentos vários momentos a gente vai precisar de conteúdos do próprio ensino médio ou até mesmo do Ensino Fundamental

e isso é uma coisa muito Importante por quê Porque grande parte das dificuldades do aluno no cálculo vem Exatamente porque eles não têm uma base muito sólida nesses conteúdos que vieram antes então quando o cara vai lá e reprova em cálculo Às vezes a razão dessa reprovação não é porque ele não aprendeu limites ou derivadas ou integrais é porque ele tinha tantas lacunas na matemática básica aqui ele não tinha chance alguma de entender esses conceitos mais avançados você vai Ver como várias coisas aqui se apoiam em ideias mais elementares tá a grande forma da Matemática

resolver o problemas acaba sendo assim você quebra o complexo e um monte de coisinhas pequenas mais elementares então é por isso que o conhecimento matemático vai se construindo em camadas e é tão importante você saber dos conteúdos que vem antes né especialmente esses conteúdos que a gente chama de pré cálculo né Que nada mais são do que Aqueles conteúdos chave ali da Matemática tanto do ensino médio quanto do Ensino Fundamental e que são essenciais para você compreender o cálculo sem eles você não vai a lugar nenhum e é por isso que o dominando cálculo tem

um módulo um módulo não ele tem vários módulos praticamente 1/3 do curso é apenas sob pré-cálculo então a gente refaz a sua base não só refaz a sua base como aprofunda a sua base naqueles pontos necessários para Que Você alcance um entendimento muito melhor do que vem depois nesse vídeo aqui embora a gente não vá falar de pré-cálculo sempre que a gente utilizar alguma ideia que os alunos normalmente TM um pouco de dificuldade apesar de serem ideias da matemática básica eu vou sempre enfatizar para você para que você tenha essa consciência da importância de estudar

o pré-cálculo e aliás se você já é aluno do dominando no cálculo e caiu na besteira de não fazer a parte pré Cálculo porque você achava que já sabia tudo vai o puxão de orelha para você também aqui a gente vai perceber quando que é necessário saber bem o pré-cálculo vamos lá então vamos começar com uma famosa aproximação como eu Adiantei para você no movimento harmônico simples para que a gente tenha uma equação bonitinha para descrever esse movimento é utilizada uma aproximação bastante recorrente no mundo da física e no mundo da engenharia que é A

seguinte aproximação é você trocar o seno de um ângulo pelo próprio ângulo é claro em radianos tá não sei o que que são radianos é uma das coisas que você precisa dominar para poder avançar no cálculo e é uma das coisas que estão lá direitinhas no dominando cálculo aqui como eu falei eu vou partir do pressuposto que você já sabe e se você já é aluno do dominando É só você ir lá na parte de pré-cálculo e procurar por ângulos né a gente tem ali o início do Da nossa do nosso módulo de trigonometria do

pré-cálculo exatamente começando a falar com você sobre ângulos sobre semelhança de triângulos sobre triângulos sobre triângulos retângulos teorema de Pitágoras e a coisa vai se desenrolando a partir disso mas beleza o que que essa ação famosa faz né ela permite que a gente consiga modelar o movimento do pêndulo simples pêndulo simples é aquele que tá ali pendurado por uma aste né Essa ase a gente imagina Que é uma aste rígida vamos supor que ela tem um certo comprimento vou chamar de l e a única coisa que acontece aqui é que a gente começa a partir

de um certo ângulo solta e o movimento pendular acontece apenas pela ação da gravidade é só is o que tá em jogo aqui a gente tem uma massa aqui uma bolinha com uma certa massa e aqui a única coisa que tá influenciando é a ação da gravidade para descrever esse Movimento a gente precisa conhecer o que acontece com esse ângulo teta conforme o tempo passa então a descrição desse movimento ela fica completa quando você tem uma função que eu vou chamar aqui de teta que varia no tempo esse teta é justamente esse ângulo aqui e

conhecendo a função horária do ângulo né como o ângulo varia ao longo do tempo eu vou ter uma descrição completa do movimento porque eu sei que essa bolinha ela tá obrigada a percorrer O quê um arco de círculo né ela vai sempre percorrer de maneira oscilatória ela vai para um lado vai pro outro mas a todo instante esse essa linha tracejada aqui na n mais é do que um pedaço de um círculo é um arco de círculo então se eu conheço como que esse ângulo muda eu tenho a descrição completa do movimento da bolinha tá

E aí para você saber como referência né a equação desse movimento que a gente não Vai deduzir aqui porque para deduzir realmente a gente precisaria já conhecer também a respeito de derivadas mas essa equação ela é teta z0 do Cosseno da raiz quadrada de G sobre L vezes o tempo né G aqui é o valor o módulo da força peso e l é o comprimento do Fio em questão tá E esse teta 0 é o ângulo Inicial né o ponto da onde eu soltei o meu pêndulo para ele iniciar o seu movimento Beleza então essa

equação aqui ela tem esse formato e eu coloquei isso Como uma aproximação Exatamente porque PR ser deduzida com uma certa facilidade né para quem já sabe ali a parte de derivadas do cálculo ela se apoia numa hipótese e que hipótese É essa a hipótese de que eu posso aproximar o seno de um ângulo pequeno pelo próprio valor do ângulo em radianos Beleza então ó todas as vezes que esse teta z0 aqui esse ângulo Inicial é pequeno Vamos vamos pensar o seguinte também né pela Por uma questão de propriedade de conservação da física se eu parto

desse ângulo aqui estou apenas soltando tudo que vai acontecer é apenas ação da gravidade então a minha a ela nunca vai ficar acima do ponto da onde eu soltei eu posso deixar isso aqui indo eternamente em momento algum como eu soltei eu não fiz força aqui eu só soltei em momento algum o ângulo vai ficar maior do que o ângulo Inicial Beleza então todas as vezes que o ângulo Inicial for pequeno os ângulos subsequentes também vão ser sempre pequenos e aí a gente tá num terreno onde essa aproximação do seno aproximadamente sendo igual ao próprio

ângulo ela é válida beleza e o grande mote né a grande motivação pra gente estudar limite é entender Por que dá para fazer essa aproximação Por que que esse negócio daí é verdade então um dos os grandes objetivos do vídeo de hoje Vai ser responder essa pergunta por que que é válido essa aproximação aqui do seno de x bom a gente vai começar para responder essa pergunta entrando no conceito de Limites Tá a resposta a essa pergunta vem da ideia de limite então para entender bem Por que essa aproximação é válida a gente vai precisar

estudar direitinho aí os limites bom no dominando cálculo a gente tem várias aulas de limites e a gente começa numa coisa chamada limite de Sequências tá essa aula aqui como ela é uma aula para ser mais rápida do que um curso completo né então a gente já vai começar do ponto mais adiante a gente vai começar falando de limites de funções né vamos falar de coisas que são mais úteis pra gente resolver os problemas que a gente tá propondo aqui tá e não ser Essa aula não tem a pretensão de ser uma aula super completa

sobre o limite que vai falar de tudo de tudo de tudo ela vai te dar um Panorama De como que são as coisas e vai obedecer um fio que vai girar em torno apenas do conceito de limite de funções a gente não vai falar aqui de limite de sequências mas isso tá lá presente no curso e aliás muito bem presente tem várias aulas sobre isso e várias coisas interessantes dependem do conceito de limite de sequências então é uma coisa para você ver lá no dominando cálculo mas aqui fora do dominando a gente pode estudar a

gente Vai estudar o limite de funções tá e eu vou começar para falar sobre isso com um exemplo que tá aqui já desenhado graficamente que é para você considerar essa função aqui ó fx = X + X C sobre x tá como eu tô dividindo por x aqui essa expressão só faz sentido quando o X é diferente de zero você pode perceber que no gráfico aqui ó em torno do ponto x = 0 tem uma bolinha aqui e essa bolinha significa que o gráfico tá definido naquele ponto tá a gente tá pulando o Ponto de

coordenada x = 0 apesar da gente estar fazendo isso porque não faz sentido dividir por zero repara numa coisa tá repara que se eu for pegando valores vou pegar um valor aqui por exemplo um valor aqui de X né ele vai bater tá meio torto isso aqui né ele vai bater aqui no gráfico e vai corresponder a um valor de y tá então quando eu pegar um valor mais próximo de zero do que o Anterior ele vai bater aqui no gráfico e vai vi para cá se eu pegar mais próximo de zero ainda o valor

do X né ele bate aqui no gráfico e aí tá quase ó a gente vai ter que dar um zoom para evitar fazer em cima da bolinha mas ele vai ficar mais ou menos aqui assim beleza então então repara no movimento que tá acontecendo aqui repara que a medida em que eu pego o valores de x cada vez mais próximos de zero o valor correspondente do F Dex vai se aproximando cada vez mais de quem cada vez mais daquele ponto que a gente pulou do gráfico cada vez mais do um Então existe esse movimento dinâmico

né que você pode enxergar a partir do gráfico que é conforme a gente vai percorrendo o gráfico na direção do zero apesar da função não tá definida no zero ela tá tendendo a ser a assumir um valor claramente bem definido que no caso aqui seria o um tá a função não tá definida No zero mas a expectativa que essa função forma conforme a gente se aproxima do zero é que ela deveria valer zer ela perdão ela deveria valer 1 no ponto x = 0 certoo se encaminha para isso tá Então essa é uma observação que

a gente pode fazer que conforme o x se aproxima de zero e aí a gente coloca essa setinha aqui ó que na matemática a gente lê como X tende a zer o FX ao mesmo tempo ele tende a 1 Beleza então o x tá tendendo a 0 o f Dex tá tendendo a 1 certo e para simbolizar esse evento a gente escreve dizendo que o limite quando X tende a z0 da função FX no caso aqui a função ela é esta daqui esse limite ele é igual a 1 que que significa isso significa que conforme

o x se aproxima de zero a função f se aproxima cada vez mais do um então a gente fala que o um é o limite da função quando X Tende a zero claro que tudo que a gente fez aqui a gente poderia ter feito de uma forma mais Geral ao invés de considerar x = 0 eu poderia considerar x = um certo a e poderia ser que numa outra situação esse limite ao invés de ser1 vamos uma outra função ou para um outro ponto né que no caso aqui eu tô chamando de a esse limite

ele poderia ser por exemplo um outro valor que a gente pode simbolizar com a letra L para falar de um modo mais Geral tá então intuitivamente intuitivamente a ideia de limite é a seguinte a gente diz que o limite quando X tende vou colocar zero de novo tá quando quando X tende a 0 o limite de F Dex ele vai ser igual a 1 no caso como foi pra gente se a FX fica muito próxima de 1 conforme o x fica muito próximo do zero mas com a preocupação de que o x seja diferente de

Zero tá é exatamente o que acontece aqui ó Conforme o x se aproxima de a a função se aproxima de 1 por valores de x quando a gente faz essa aproximação por valores de x diferentes no caso aqui do zero tá então trocando o zero por a para que a gente fique mais geral e o 1 por l a gente pode dizer de uma forma mais geral que o limite de uma função quando X tende a A é igual a um certo L se a f Dex fica muito próxima desse Valor l conforme o x

fica muito próxima daquele valor a porém sempre diferente do a beleza eu sei que quando a gente introduz letras na matemática as pessoas começam a entrar em Pânico mas aqui a letra ela serve só para dizer que ao in vez de ser x = 0 e f de e limite de FX = 1 poderia ser em vez de 0 um certo a qualquer qualquer outro número e esse limite não precisa dar sempre um obviamente ele pode dar qualquer outra Coisa tá varia conforme o caso aqui é só para você ter a ideia que intuitivamente o

limite ser L quando X tende a a é simplesmente dizer que conforme o x se aproxima de a o valor da função tem que ficar cada vez mais perto de l Beleza então essa é ideia intuitiva de limite e eu vou confessar aqui para você que para resolver na prática a maioria dos exercícios de limites especialmente aqueles que não cobram coisas mais Demonstrativas essa noção é suficiente entender que limite significa simplesmente que a função está se aproximando de um certo valor Beleza agora tem uma coisa aqui que a gente sempre faz que é ressalvar que

o X tem que ser diferente de a e a primeira pergunta que vem é por que ele tem que ser diferente do a durante esse processo de se aproximar por o objetivo do limite não é dizer o valor da função no ponto a mas S dizer como que a função Cria expectativas de Qual deveria ser o valor no ponto a isso são coisas diferentes vamos usar um exemplo aqui para que você entenda isso de uma forma gráfica vamos pegar ali a mesma função de antes tá fx = X C + x so x que só

tá definida para x diferente de zero né porque eu tô dividindo por x então não faz sentido dividir pelo zero mas Vamos defir essa função no zero de uma forma exótica vamos dizer que no zer a gente vai definir a função como sendo iG Z Certo então o que que tá acontecendo aqui quando a gente olha limite que que a gente observa ver o limite quando X tende a zer assim como aconteceu antes fazer aqui umas linhas de guia a gente tem que a função ela vai assumindo valores que vão se aproximando cada vez mais

do um Beleza então esse movimento aqui que a gente observa também pelo gráfico ele vai acontecendo conforme o x se aproxima Do zer a função se aproxima do 1 então a gente pode dizer que o limite dessa função quando X tende a zer D FX assim como era antes esse limite é igual a um E por que que ele é um porque o limite Ele não enxerga o valor da função no ponto a no caso aqui o A é igual a zer o limite não se importa em como que a função Vale como que ela

se comporta exatamente no ponto a o limite ele tá interessado em ver como que a função se Comporta ao redor do ponto a e não no ponto a especificamente e aqui claramente a função ela vai se aproximando de zero perdão ela vai se aproximando de 1 conforme o X tende a zer certo porém porém no ponto x = 0 a função vale quanto a função vale zero que a gente definiu dessa maneira então repara aqui que eu tenho uma situação na qual o Limite é um mas o valor da função é outro o limite deu

um e o valor da função é zero beleza e a como observação para você como a gente acabou de falar fica o seguinte tá vou repetir aqui o valor do limite não para descobrir o valor do limite não importa qual o valor da função no ponto de interesse importa apena saber o que tá acontecendo ao redor desse ponto a função inclusive nem precisa estar definida no ponto que a Gente quer calcular o limite né no caso genérico no Ponto X = a a porque para avaliar limites a gente não precisa olhar para o ponto em

si mas apenas para uma vizinhança desse ponto apenas por valores próximos a esse ponto Então você tem aqui um segmento da reta real ao redor do ponto A é como se a gente só precisasse avaliar aqui ó um intervalinho ao redor do ponto a a mas que não precisa incluir o ponto A então eu posso botar aqui até um abertinho de Intervalo e se você não conhece essa linguagem de intervalo intervalo aberto intervalo fechado é mais uma coisa lá do ensino médio que você precisa saber para mandar bem no cálculo e é mais uma das

coisas uma das várias coisas que estão ali direitinhas com detalhe no dominando cálculo na parte de pré-cálculo tá então quem já tem o curso é só dar uma conferida lá quem ainda não tem quando entrar pro dominando tá vendo a importância de dominar de fato também o Pré-cálculo isso faz toda a diferença isso deixa com que você não fique empacando toda hora conforme você vai vendo o conteúdo de cálculo bom então esse intervalinho aqui a gente pode até Chamar esse cara aqui como ele é menor do que a ele é a menos um certo Delta

que é uma letra muito frequente no cálculo uma letra grega e aqui pode ser o a mais Delta né então a gente tem aqui a função definida pelo menos ao redor do a Mas não precisa est definida no próprio A tá ela só precisaria tá definida nesse nesse conjunto aqui né que é o intervalo que vai de a - Delta até a união com a até a + Delta isso nada mais nada menos quer dizer que a função só precisa tá definida ao redor do ponto a mas não precisa est definida no próprio ponto a

pra gente avaliar limites bom então Então vamos fazer aqui um exemplo que é avaliar essa função aí que é uma função definida também por partes Tá mas agora Acontece uma situação um pouco diferente vamos avaliar então o limite quando X tende a 1 você vê 1 aqui da função FX que é definida como sendo X + 2 quando X é maior do que 1 portanto é esse trecho aqui e ela maior ou igual né E ela é definida como x - 1 quando X é menor do que 1 que corresponde a esse outro trecho aqui

o que que acontece então quando X tende a 1 por valores maiores do que um por Valores à direita do um que a gente escreve na matemática como 1 mais para dizer que são valores maiores do que 1 então o x está se aproximando por aqui então claramente quando X se aproxima por aqui a f Dex vai descendo em direção ao dois né você consegue ver isso claramente pelo gráfico tá então quando o X tende a 1 a f Dex ela vai tendendo a do e agora quando X tende a 1 por valores menores do

que 1 Ou seja pela Esquerda do um por isso esse 1 menos aqui para simbolizar que agora a aproximação é pela esquerda que que tá acontecendo o valor da função tá crescendo em direção ao zero ele tá vindo para cá e vai bater aqui no ponto Y = 0 Beleza então aqui ó a gente vê que o limite quando X tende a 1 pela esquerda é o que é igual a zero a função tende a zero conforme o X tende a 1 por Valores menores que 1 e o valor da função tende a 2 quando

o x tá tendo a um pela direita tá logo o que que acontece a gente pode assegurar que não existe o limite da função quando X tende a 1 beleza E por que que não lim não existe porque para existir o limite ele não pode depender da maneira como você tá se aproximando do ponto em questão tá do ponto a que nesse exemplo aqui é o ponto x = 1 então pro limite existir a forma Como você se aproxima tem que ser irrelevante todas as as diferentes maneiras como você poderia tentar se aproximar deveriam dar

sempre o mesmo resultado e aqui claramente isso não tá acontecendo porque se eu me aproximo pela direita a função tá indo tá tendendo a dois mas quando eu me aproximo pela esquerda a função tá tendendo a zero então aqui é um caso em que o limite não existe e isso daí tá até ressalvado aqui ó Importante isso daí é uma coisa que abre até uma definição que ela é bastante útil e que a gente vê bastante também dentro de aulas sobre limite que é a ideia do limite lateral que foi exatamente isso que eu usei

aqui tá isso daqui nada mais é essa esse tipo de avaliação olhando apenas para um lado e depois olhando apenas pro outro nada mais é do que checar o que a gente chama de limites laterais tá e o primeiro limite lateral é o chamado limite à Direita e o que que ele significa né a gente diz que o limite à direita é igual a l quando X tende a a pela direita a mais à direita de a se a função se aproxima de L conforme o x se aproxima de a por valores maiores do que

a que é exatamente essa situação aqui ó por valores maiores do que a no caso aqui o a = 1 Beleza então nesse caso aqui o limite à direita é dois o limite à esquerda obviamente é a outra situação é A situação na qual a gente diz que o limite à esquerda por isso esse a menos para simbolizar que o x tá se aproximando de de de a por valores menores do que a à esquerda de a esse limite ele vai ser igual a l se o valor da função se aproximar de L à medida

que o x se aproxima de a por valores menores que a beleza que graficamente é exatamente o que a gente vê aqui do lado esquerdo tá E nesse caso aqui é um exemplo inclusive em qual no Qual os limites laterais são diferentes certo Inclusive é o que a gente tem aqui por exemplo né vamos pegar aqui uma outra situação uma situação em que a gente também vai ter diferentes limites laterais mas só para você ver isso aqui graficamente num outro tipo de exemplo tá quem que é aqui vamos começar pelo limite à esquerda agora quem

que é o limite à esquerda da função vamos imaginar que essa função é a função FX como acontece com a maioria dos exemplos A gente sempre chama a função de F vamos imaginar então que a gente queira saber o limite à esquerda do a Então tem que olhar ó para aproximações pela Esquerda do a isso é a mesma coisa que percorreu o gráfico da função por valores à esquerda do A então ó repara que a função ela está se aproximando cada vez mais desse valor aqui certo então eu posso dizer aqui que esse valor vamos

chamar ele de Le ele é exatamente o limite da nossa F Dex quando X tende a a pela esquerda e de forma parecida quando a gente se aproximar pela direita do a a função ó repara que a função tá fazendo esse movimento aqui e tá se aproximando de um outro valor tá se aproximando agora desse valor aqui ó esse valor aqui que a gente chama de por exemplo de LD tá E esse cara aqui é o qu ele é é o limite quando X tende a a Pela direita da F Dex certo então graficamente vai

ser sempre assim você vai olhar para saber o limite à direita Olha o que tá acontecendo com a função à direita o limite à esquerda Olha o que tá acontecendo com a função à esquerda tá parece que não serve para nada isso daqui mas a gente já viu que serve porque quando os limites laterais Eles são diferentes isso significa o quê que a maneira como você se aproxima do ponto A faz a diferença e se a maneira como você se aproxima do ponto a faz a diferença é porque a função não tem um limite bem

definido no ponto a porque para ter um limite bem definido não pode fazer diferença a maneira como você se aproxima de a seja pela direita seja pela esquerda ou seja até mesmo intercalando você pega alguns pontos à direita depois outros à esquerda e fica ali pulando de um lado pro outro mas se aproximando do A tá então essa é a Primeira coisa bastante importante a respeito de limites laterais que é essa observação de que o limite da função é igual a l Se e somente si essa setinha dupla aqui significa se somente si ou seja

uma coisa implica na outra e vice-versa Se e somente se os limites laterais forem iguais ou seja o limite quando X tende a a pela esquerda dessa função for igual ao limite quando X tende a a pela direita da mesma função e isso daí Obviamente tem que ser igual a l para dar certo tá então como é que Quais são as conclusões que eu tiro a respeito dessa proposição aqui ó sempre que os limites laterais forem iguais vai ter limite e o limite vai ser exatamente esse valor para o qual os limites laterais vão quando

o limite não existe é porque os limites laterais eles também não podem ir pelo mesmo valor certo então você vê aí uma relação de dupla dependência e aqui ó a gente tem um Exemplo em que as coisas dão certo a gente viu exemplos em que os limites laterais eram diferentes mas nesse aqui os limites laterais são são mesmos eles assumem o mesmo valor aqui claramente você vê que conforme o X tende a a pela direita a função vai tendendo ao valor l e a mesma coisa acontece quando X tende a a pela esquerda o mesmo

valor L é o limite lateral Tanto à esquerda quanto à direita e portanto o limite de um modo geral vai existir vai ser também igual Ao próprio l Beleza vamos ver aqui um exemplo é sempre muito bom ver exemplos né sempre muito bom E todas as vezes que eu fizer um exemplo eu queria que você acompanhasse e de preferência acompanhasse escrevendo esse exemplo na verdade até paus asse antes de eu falar e tentasse pensar a respeito por si só um pouquinho tá se você tiver com muita dificuldade aí você bota o Play e tal mas

sempre que você sentir que tá Começando a pegar o exemplo dá uma pausa e vê se você consegue desenvolver ele por si só tá esse exercício de tornar o aprendizado ativo e não passivo na verdade é a única forma de aprender de fato tá ainda mais matemática matemática você precisa colocar a mão na massa ninguém aprende matemática sem sujar as mãos você nunca vai aprender matemática simplesmente me ouvindo falar simplesmente vendo algum professor nem mesmo apenas lendo um livro você precisa Praticar e a prática na matemática é fazer exercícios é desenvolver os exemplos por conta

própria enfim Depende de Uma postura mais ativa de você do que passiva tá conforme quanto mais você deixar ativo o seu estudo melhor vai ser o estudo e mais você vai aprender beleza vamos lá primeiro exemplo V mostrar que esse limite aqui não existe tá o limite de x sobre o módulo de x e se você não sabe o que que é o módulo é mais uma das coisas que estão lá na parte de Pré-cálculo do dominando cálculo beleza B módulo é o valor absoluto de um número né você pode imaginar que o módulo de

5 é 5 O módulo de5 também é 5 é só você tiar qualquer tipo de sinal que tem ali na frente do número Essa é a maneira mais simples de escrever essa função mas ela significa mais do que isso também mas vamos lá Vamos mostrar que esse limite não existe como é que a gente pode fazer isso tá é um limite entorno do Zero Então como é que a gente poderia mostrar que o limite não existe poderíamos mostrar que os limites laterais são diferente então vamos começar imaginando que o X é maior do que zer

vamos olhar então pro que acontece com a função conforme o X tende a z0 pela direita nesse caso aqui ó a gente tem que sobre o módulo de x é igual a 1 sempre tá porque o X tem módulo igual a ele próprio quando o X é positivo o módulo é a versão positiva do Número então quando o número já é positivo x pelo seu módulo vai dar sempre um isso significa então ó como é sempre um conforme eu vou me aproximando do zero é uma função que vale sempre um então o limite lateral à

direita dessa função também vai ser um função é constante então a gente pode dizer que o limite quando X tende a 1 pela direita de x sobre módulo de x é exatamente igual a 1 e quando X é menor Do que 0 o que que acontece o módulo de um número negativo é a versão positiva desse número certo então isso é a mesma coisa que x sobre a versão positiva do número só que aão de um número negativo é o que o - x tá então esse cara aqui ó esse quociente ele vai dar sempre

men1 e aqui eu queria também chamar uma atenção para uma coisa né que por exemplo saber que o módulo de um número negativo é menos ele e saber o que fazer Diante de uma expressão como essa e concluir que isso daí é os1 para muitos de vocês vai ser grande bobagem mas tem muita gente que tem dificuldade com isso então é mais uma das coisas que estão lá na parte pré-cálculo do dominando o cálculo porque você tem que est super seguro com esse tipo de coisa de álgebra básica é por isso que a gente explora

bastante também esse tipo de coisa então quando eu falo que o curso começa do básico ele começa do básico mesmo tá ele Realmente vai refazer a sua base e aprofundar para que você mande bem na parte que vem depois na parte de cálculo do curso bom então aqui assim como na a gente viu antes né com limite à à direita agora aqui a gente tem o limite à esquerda e esse limite à esquerda Ele é igual a -1 E aí como você tem um limite à esquerda -1 o limite à direita igual a 1 não

tem como ter limite então isso daqui é suficiente pra gente concluir que o limite não existe pois os Limites laterais são diferentes bom vamos agora para um outro exemplo que é calcular o limite quando X tende a 1 desce ão aqui ó x - 1 so x qu - 1 e aqui como o o a gente tá avaliando o limite quando X tende a 1 Eu só preciso olhar paraos valores de x que são diferentes de 1 porque repara que quando x é igual a 1 esse cara aqui é zero e eu não posso dividir

por zero Tá mas como eu estou Olhando o limite eu não preciso passar pelo ponto x = 1 portanto eu posso escrever essa expressão sem grandes ocupações tá E aí ó que que essa expressão ela significa tá x - 1 so x qu -1 eu posso usar o quê eu posso fatorar o denominador da seguinte maneira x - 1 é a mesma coisa que x - 1 x x + 1 e aqui é aquela hora que vários alunos falam Mas da onde que você tirou isso tiramos isso da Matemática elementar tiramos isso da Parte de

pré-cálculo do dominando cálculo por quê Porque quando você tem uma expressão como essa a pessoa que já está crack no na álgebra básica ela sabe que isso daí é a mesma coisa que x - 1 x x + 1 isso daí é produto notável né um conteúdo nem do ensino médio Na verdade é um conteúdo do ensino fundamental ainda tá então usando ali a ideia de produto notável você vê aqui uma diferença de quadrados né porque um ao quadrado é Igual a um também então isso aqui é uma diferença de quadrados você sabe que você

pode escrever como sendo a diferença dos números vezes a soma dos números certo e mais uma vez tá aí a importância de estar afiado na parte pré-cálculo tá bom E mais uma vez tá aí o diferencial do dominando cálculo né que é ter Exatamente Essa parte de pré-cálculo muito forte assim é é impressionante o feedback positivo que a Gente recebe de pessoas que já são até formadas mas que fizeram a parte de pré-cálculo e disseram o quanto que ela foi importante PR realmente preencher lacunas que elas tinham e às vezes nem sabiam que tinham Mas

vamos nessa então ó Isso daí como X é diferente de 1 como X é diferente de 1 esse cara aqui é diferente de zero então Ó eu posso fazer uma simplificação aqui simplificar esse cara com esse cara que que vai Sobrar Então vai sobrar um sobre x + 1 beleza e aqui agora não tem nenhum tipo de problema quando X se aproxima de 1 porque esse cara aqui não tá se aproximando de zero tá se aproximando de dois então claramente isso daqui vai se aproximando de 1/2 conforme o X tende a 1 tá então eu

posso dizer no final das contas né que esse limite aqui de cima ele é o quê Ele é igual a 1 meio então a gente só Conseguiu resolver esse limite Porque a gente fez uma manipulação algébrica aqui ó a gente viu que essa expressão era a mesma coisa que isso daqui e fez uma simplificação você vê aí álgebra básica não tem nada nesse exercício aqui que não seja álgebra Básica tipo da coisa que tá ali na parte de pré-cálculo do dominando Então veja o quanto que é importante você saber a a a matemática básica e

o quanto que você não consegue avançar se você não tiver ela vamos para mais um exemplo que Também vai usar truques de matemática básica agora vamos lá esse limite aqui parece ser mais difícil ó calcule o limite quando X tende a zero já pintou aí uma raiz quadrada né da raiz quadrada de x + 9 - 3 so x qu bom aqui não é mais uma situação na qual eu posso abrir esse cara aqui de baixo e cortar alguma coisa e nem mesmo esse cara aqui de cima tá a gente não tá mais na mesma

situação de antes em que a Gente resolv de uma forma muito direta esse negócio aqui e qual que é o problema que a gente tem aqui ó tô fazendo X tende a zero né então aqui embaixo a coisa vai para zero já é um problema e aqui em cima quando X tende a zero Isso aqui vai para onde isso aqui vai se aproximar da 9 que é 3 então vai ficar 3 Men - 3 em cima também vai ficar zero então parece que esse negócio aqui ó tá se aproximando de uma coisa do tipo zer

sobre zero que é uma indeterminação Mas só parece Tá Na verdade ele não tá então aqui é uma situação na qual a gente vai tá em algo que parece que é indeterminado mas a gente vai ver que não é indeterminado e o que vai permitir a gente revelar a verdadeira natureza desse negócio é o qu álgebra básica mais uma vez a álgebra básica vai salvar a gente aqui bom vamos reescrever Então essa expressão x + 9 - 3 Sobre x quado que que eu vou fazer aqui vou fazer uma coisa que muitos alunos acham que

é proibido fazer que é o quê multiplicar e dividir por um mesmo fator porque isso não altera a fração se eu pego qualquer fração e multiplico o numerador e o denominador dela pela mesma coisa desde que não seja zero pela mesma coisa não se altera a fração porque eu poderia tranquilamente simplificar então aqui na verdade a Gente vai fazer o oposto da ideia de simplificação a gente vai fazer a ideia da complicação que é introduzir novos membros em cima e embaixo da fração com o intuito não de complicar mas sim de melhorar a nossa situação

tá e a ideia aqui vai ser o quê pô qual que é o grande problema dessa expressão a coisa mais chata daqui essa ra quadrada aqui né Essa raiz quadrada tá incomodando demais certo que que a gente tem que fazer vamos nos livrar da raiz Quadrada aqui eu tenho uma diferença repara que no exercício anterior a gente pegou vamos voltar aqui ó x qu - 1 que é uma diferença de quadrados e abriu como sendo X - 1 x x+ 1 no exercício de baixo o que que eu vou fazer o caminho oposto eu vou

fazer a para eu tô diante de uma coisa que seria tipo esse x - 1 Então vou meter aqui o x + 1 para recuperar uma diferença de quadrados e me livrar daquela raiz quadrada certo então é o que a gente vai fazer aqui Ó vamos então fazer o quê multiplicar por rax + 9 ficou Curta essa raiz né + 3 e para não alterar nada eu divido pela mesma coisa vamos bater aqui ó usar a tecnologia para simplesmente duplicar esse negócio certo e aí vai ficar o quê vai ficar uma diferença de de quadrados

o quadrado desse menos o quadrado desse na parte de cima então fica quadrado da raiz é o quê só tirar a raiz fica x qu + 9 - 3 qu que é o próprio 9 e aqui Embaixo a gente vai ter x qu XX + 9 3 e aqui ó esse 9 morre com esse 9 o x qu depois que eu simplifiquei o 9 como é que vai ficar isso aqui vai ficar x qu sobre x qu XX + 9 - 3 e eu posso simplificar o x qu com x qu porque o x tá

tendendo a zer então o x não é zer em momento algum certo posso fazer essa simplificação aí e vai sobrar então 1 Sobre a rax + 9 + 3 e agora não tem mais nenhum impecílio para eu simplesmente fazer x = 0 nessa equação certo eu posso pegar essa expressão aqui simplesmente substituir o X pelo zero porque não tem mais nenhum tipo de problema então isso aqui vai ficar o quê vai ficar 1 sobre √9 que é 3 né então 1 so 3 + 3 vai ficar 1/6 Beleza então esse aí é o valor do

Limite dessa expressão uma coisa que parecia ser indeterminada depois que a gente rearrumar tem ainda outra coisa que eu queria falar com vocês a respeito de limites né limites de funções que é o seguinte que é o teorema do Sanduíche tá esse teorema do Sanduíche ele é muito legal porque ele permite que a gente calcule limites onde aparentemente não dá para calcular e ele se baseia numa ideia muito simples né Que ilustra bem porque que o nome dele é teorema do Sanduíche tá então se você tiver naquele horário que você tá com fome eu peço

perdão para você mas a ideia do Sanduíche ela realmente ilustra bem o que que tá acontecendo aqui Tá teorema do sanduíche ou o teorema do confronto mas eu gosto mais de Teorema do Sanduíche ele diz o seguinte que se você tem uma função que tá espremida entre duas outras funções e Essas funções a de cima e a de baixo Elas vão tendendo pro mesmo Ponto conforme o x se aproxima do A então a função que tá no meio também tem que ir pro mesmo lugar intuitivamente é isso que significa tá agora em matemáti queis é

o seguinte ó se eu tenho três funções FG e H que tem essa relação de ordem né a f é menor ou igual a g que é menor ou igual H dentro de um intervalo ao redor do ponto a só que excluindo Possivelmente né o ponto a Porque eu não preciso saber do ponto a para avaliar limite e adicionalmente se eu tiver que o limite quando X tende a a da f a função que tá aqui embaixo for igual ao limite da H que é a função que tá em cima e esse limite for l

a conclusão é que a função que tá no meio a g também vai ter um limite e esse limite vai ser exatamente a mesma coisa tá Então são duas afirmações aqui estão acontecendo primeira afirmação é que a função vai Ter um limite a função que tá no meio vai ter um limite ou seja em momento algum eu preciso garantir nada a respeito da função do Meio Eu só preciso garantir que as funções dos extremos a que tá por cima e a que tá por baixo tem um limite ele e esse limite seja igual então a

conclusão vai ser que a função do meio vai ter limite e o valor do limite dela vai ser exatamente o mesmo valor das duas outras funções tá graficamente porque o gráfico ajuda Muito a gente entender end as coisas graficamente a situação tá aqui ilustrada dessa maneira tá Ó aqui tá o nosso intervalo ao redor do ponto a não necessariamente incluindo o ponto a repara que isso daí induz uma certa faixa nessa faixa vertical aqui que é aonde tá a situação do enunciado tá aqui ó a função G que é a função do meio né a

função verdinha Ela tá no meio aqui repara que fora ó ela não tá no meio mas Não interessa que acontece fora o que interessa é o que acontece ali perto do ponto a também não interessa o que acontece no ponto a mas perto do ponto a me interesse Muito e perto do ponto a a função H ela tá dominando a função f tá aqui por baixo se espremendo e a função G tá ali no meio beleza e aí o teorema do Sanduíche ele garante e essa é uma situação na qual claramente aqui ó a a

função h tá tendendo para esse l a função G também tá tendendo para esse l A conclusão é que a a função G não a função e f né também tá tendendo para esse l e a conclusão é que agora sim a função G também vai tender pro L Assim como as outras duas funções então toda vez que eu conseguir expremer uma função Eu Consigo provar o limite da função do meio tá parece muito óio Óbvio isso daqui e é óbvio porém o uso disso daqui é extremamente poderoso porque a primeira vista você vai ver

você vai lidar com funções que você vai ficar Pensando assim caraca como é que eu faço para calcular esse negócio Como é que eu faço para calcular esse limite e aí você lembra do teorema do sanduíche e fabrica duas outras funções uma por cima outra por baixo e expreme a tua função entre essas duas E aí você já faz isso de tal maneira que você sabe que a de cima e a de baixo vão pro mesmo lugar tá falando assim parece muito complicado tá E é o tipo da coisa que os alunos iniciantes eles vão

ter a mesmo mais dificuldade Porque depende de você ter a bagagem Toda vez que você precisa criar algo em matemática você precisa ter não apenas criatividade mas também bagagem quanto mais bagagem você tiver mais criativo você vai ficar porque você vai ter mais truques para tirar da cartola eu sempre falo assim que o aluno que tem uma cartola maior a chance dele tirar um da cartola e pro aluno com a Cartola menor parecer que aquilo saiu de fora da caixa é grande não é que tenha saído de fora Da caixa é que a sua caixa

é grande em comparação a quem tem uma caixa pequena aí pro cara que tem a caixa pequena fica parecendo que saiu de fora da caixa mas não é de fora da caixa é de dentro da caixa é você que tem uma caixa mais Ampla tá então ó vamos fazer um exemplo aqui para ilustrar bem essa ideia tá a proposta Desse exemplo é provar que esse limite aqui é igual a zero limite de X qu x o seno de 1 sobre X = 0 e aqui a gente tem um problema que é esse seno de 1

sobre x você pode fazer aí a manipulação algébrica que você quiser que eu aposto que você não vai sair do lugar por esse jeito tá você pode ficar aí tentando multiplicar subtrair dividir tentar produto notável pode inventar o que for que você não vai sair do lugar ao tentar fazer esse limite mas se você usar a ideia do do teorema do sanduí você pode o fator complicador aqui é esse camarada aqui né Esse seno de 1 sobre x Pô o x tá tendendo a zero né então esse aqui é um exemplo de uma função que

nem nem tá definida no zero e o sen é uma função oscilatória e eu já adianto para você que esse camarada aqui conforme o X tende a zero ele oscila loucamente ele não tende nem para nenhum valor definido não ele fica lá oscilando cada vez mais rápido conforme o x se aproxima do zero Mas quem estudou trigonometria sabe de algo que é crucial sabe que o seno de qualquer coisa qualquer coisa real pelo menos né ele tá sempre entre men1 e 1 tá então é verdade que 1 é menor ou igual que o seno de

1 so x que é menor ou igual a 1 então o que que tá acontecendo aqui ó se a gente multiplicar essa expressão por x qu que que a gente vai obter que menos x qu é menor ou igual que x qu ve o seno de 1 so x que é menor ou igual que o x Qu pô teorema do sanduíche agora tenho duas funções ó aqui tá a minha função H aqui tá a minha função f e aqui tá a minha função G quando X tende a 0 x qu vai para onde vai para

zero né quando X tende a 0 - x qu também vai para zero conclusão pelo teorema do Sanduíche esse cara aqui do meio que era bem complicadinho ele também T de a zero Beleza então foi necessário o qu apenas a bagagem de saber disso daqui e a ideia De usar isso aqui para concluir o limite usando o teorema do Sanduíche tá que é um teorema bem simples mas bem poderoso que salva bastante Vamos ver outro exemplo do teorema do Sanduíche salvando a gente tá vamos calcular aqui agora esse limite aqui ó o limite do X

tendendo a zero pela direita né ah mas por que zero pela direita porque se não fosse assim a gente estaria aqui com um número complexo tá porque raiz quadrada para ser real precisa que o o número que Tá dentro da raiz seja também um número positivo então por isso que a gente tá olhando só pro limite à direita do zero Então qual que é o valor desse limite aqui ó rax x e elevado ao seno de pi so x tá esse aqui é um número de oiler né então que é mais uma das coisas que

a gente vê ali no dominando o cálculo bom inclusive né a gente não tá falando aqui da parte de limites de sequências mas lá no dominando a gente define o número e como o limite de uma sequência é uma Isso por si só já é mais do que justificativa para você estudar a parte de limite de sequências também que a gente não tá falando aqui por uma questão de tempo mas tá lá completinho no curso e é muito interessante assim na verdade eu acho até mais interessante do que o limite de funções Tá mas como

o limite de funções vai ter assim vamos dizer mais público eu preferi fazer essa aula em torno do limite de funções vamos lá E o que que a gente pode fazer aqui ó vamos usar a mesma ideia de antes tá mesma coisa ó eu sei que -1 tá entre o seno de pi so x que está entre um certo então como essa função aqui ó elevada a qualquer coisa é uma função crescente vai ser verdade que e elevado a-1 Vai ser menor ou igual que e elevado ao seno de pi sobre x e vai ser

menor ou igual que é elevado a 1 certo que é igual a e e se eu Multiplicar tudo por rax que é um número positivo não vai também mudar essa cadeia de desigualdades então eu também posso dizer que isso aqui é verdade beleza e agora é só fazer o limite né das funções extremas ó o usar o teorema do Sanduíche porque eu sei que isso aqui tende a zero é uma constante vezes √ x quando X tende a zero a rax também T de a zero mesma coisa aqui em cima portanto pelo teorema do Sanduíche

o cara que tá no meio também Tende a zero né então a gente matou aí também esse exemplo daqui graças ao teorema do sanduíche e um pouquinho de Cultura matemática mas essa cultura vem lá do ensino médio e do ensino fundamental bom isso daí era grande parte do que eu tinha para dizer para vocês a respeito de limite nessa aula aqui né é que nem de longe representa aquilo que a gente vê no dominando cálculo tá é um pedacinho de um pedacinho de um pedacinho de limite do Denominando no cálculo que eu tô trazendo aqui

para você mas com isso daqui que a gente viu até aqui já é mais do que o suficiente pra gente entender por exemplo porque daquela aproximação lá lá que a gente viu no começo da aula que facilita demais por exemplo o problema do pêndulo simples né e movimentos harmônicos simples em geral tá que é você fazer a simplificação de trocar o seno de x pelo próprio x Lembrando que esse X é sempre Em radianos tá aliás entrou pro pro nível superior não vou dizer esquece mas quase esquece que existe grau porque na maior parte do

tempo você vai usar radianos eu sei que a gente acaba tendo mais contato no dia a dia com graus e isso gera um problema as pessoas falam assim V eu não vou aprender radiando porque a gente não vê isso no dia a dia a gente só vê grau mas na matemática superior a gente vê radiando o tempo inteiro tá e Tem várias razões para isso né inclusive essas razões estão no dominando o cálculo né Na parte de pré-cálculo a gente explica direitinho o que que é um radiano e qual que é a vantagem de você

usar radiano e fica muito claro conforme a gente vai avançando no cálculo né o cálculo ele deixa assim escancarado na nossa cara a utilidade de você usar radianos tá então se você tem preconceito com radiano você não vê isso no dia a dia do mundo real dentro da Matemática você vê isso muito mais do que graus Bom vamos lá Afinal Por que que a gente pode fazer essa aproximação aí tá por um motivo muito simples e esse motivo está ligado à ideia de limite vamos entender vamos simplesmente calcular o limite dessa expressão aqui o limite

do seno de x dividido por x e essa aqui esse aqui é é um tipo de limite que é um dos limites mais importantes do cálculo tá é assim tem Ali um um punhado de limites que são icônicos chave e que vão ser utilizados várias e várias vezes ao longo da sua vida dentro do cálculo e sendo de x sobre X é um deles tá e a maneira como a gente descobre esse limite não é uma maneira usual pelo menos não é uma maneira que tem a ver com as técnicas que a gente usou até

aqui até aqui como é que a gente fez a gente calculou limite usando álgebra básica fatos simples às vezes de trigonometria e Também a ideia de limite lateral tal e também usamos o teorema do do sanduí né o teorema do confronto agora a gente vai usar o teorema do confronto mas a gente vai introduzir uma ideia geométrica para salvar a gente aqui beleza mas geometria muito muito básica né inclusive no dominando o cálculo a gente não tem muita coisa de geometria porque a gente não precisa disso no cálculo mas a gente tem um pouquinhozinho ali

de nada e Inclusive a Gente vai utilizar esse um pouquinhozinho ali De nada tá bom com como que a gente faz para calcular o limite do seno de x sobre X por que que eu quero calcular isso né porque se eu provar que esse limite é igual a 1 que que eu tô dizendo que pegar seno de x e dividir por x conforme o X é tende a zero Ou seja quando o X é pequenininho isso dá aproximadamente um ou seja É como se eu pudesse com Concluir que o seno de x ele é aproximadamente

igual a x se o X é pequeno se o X tende a zero tá então é desse limite aqui ó que vem essa ideia de aproximar o seno de x pelo próprio X para x pequeno é porque o limite de seno de x sobre x é de fato igual a 1 Então se a gente conseguir provar isso um abraço a a gente justificou Aquela simplificação tão presente dentro das e da equação né do do pêndulo simples estão presente em Ideias da Física em ideias da engenharia enfim mas tudo isso nasce aqui no numa aula sobre

limites Então vamos lá vamos calcular esse negócio aí como é que a gente vai começar aqui eu já deixei desenhado para você porque esse é um desenho um pouco mais chato de fazer em tempo real que eu tenho a ideia do de um círculo né e um certo triângulo e um certo triângulo tá E essa ideia de usar um círculo para Representar e localizar ângulos e disso daí nas um triângulo é exatamente a ideia do Círculo trigonométrico que é outra coisa que tá lá na parte pré cálculo dominando mas é algo que deveria vir com

você do ensino médio tá bom e o que que acontece aqui ó dando um zoom né nesse camaradinha aqui que é o que tá sendo feito exatamente aqui do lado que que a gente tem a gente tá no círculo unitário então Ó esse comprimento aqui apaguei sem qu esse Comprimento aqui ele é o quê Ele É exatamente esse aqui então ele é o raio do Círculo a gente tá supondo que esse raio é igual a um tá X é o nosso ângulo certo e esse cara aqui de baixo é outro raio do Círculo que é

essa parte aqui né portanto esse cara aqui também vale um e aqui a gente tem então o nosso ângulo x como esse ângulo é dado em radianos e como também o raio desse círculo vale Um isso significa então que este arco aqui ó esse arco de círculo aqui o comprimento dele é exato exatamente igual a x tá porque a gente tá usando radianos e o raio do ciclo é igual a 1 Então essa é uma propriedade importante dos radianos né esse cara aqui então esse arco aqui ele vale exatamente x tá outra coisa que a

gente vê Graças aí a ideia de círculo trigonométrico e o estudo de triângulos retângulos que é Algo que está presente também no precálculo do dominando é que esse cateto isso aqui é um triângulo retângulo né isso aqui é um triângulo retângulo ó certo esse cateto aqui esse cateto oposto sabendo que a hipotenusa é 1 e esse ângulo é x então o cateto oposto ele tem que valer seno de x isso aqui vale o seno de x tudo isso Coisa de pré-cálculo Tá vendo quando a gente fala coisa de precálculo é porque É coisa da matemática

básica e eu garanto que vai ter várias pessoas isso aqui eu não sei se Com certeza poucas vão chegar até aqui mas várias irão se surpreender com a quantidade de coisas que elas não sabiam que eram verdade mas que elas deveriam saber e tá aí a importância de você tampar as lacunas da base tá então aqui ó a gente tem o nosso seno de x e outra coisa também da trigonometria básica né É que esse pedacinho aqui esse Cateto aqui de fora que tá aqui né nesse caso aqui ele é geometricamente o que a tangente

do ângulo tá como a gente tá no círculo de raio um esse cara aqui de fora é a tangente do X e agora vamos reparar que a gente tem aqui três objetos interessantes tá o primeiro objeto interessante que a gente tem aqui é o qu vamos pintar aqui de lar é o é esse setor circular aqui ó que eu Vou tentar pintar dentro da linha essa fatiazinha de pizza aqui tá que que ela que que ela representa ela representa um arco né um setor circular compreendido por esse ângulo x aqui dentro de um círculo de

raio um tá então eu tenho aqui a área do eu vou considerar o que a área desse setor circular que foi o que eu acabei de pintar tá então aqui ó eu tenho a área desse setor que é o que eu acabei de pintar outra coisa que eu quero Chamar atenção Para você é o quê é um triângulo retângulo que é esse aqui de fora ó este dei uma tremida ali este triângulo retângulo aqui o que que ele o que que ele faz né Qual que é a área desse triângulo retângulo claramente a gente vê

que a área dele como a tangente passa por fora do Círculo né a gente vê que aa dele é maior do que aa do setor tá quem é maior em é maior ou igual tá mas vamos botar aqui ó essaa Aqui essaa desse triângul vermho tem que ser maior que a área do setor circular laranja tá então Ó a área do triângulo vermelho supera a área do setor circular laranja e agora para finalizar repara também que este triângulo azul aqui que também é um triângulo retângulo ele tá dentro totalmente dentro do setor circular portanto a

área dele é menor do que a Área do setor cular então a área do triângulo azul a área do triângulo azul também é menor do que a área do setor laranja beleza que que a gente faz agora troca o que tá escrito em palavras por números vamos calcular o valor das áreas né então área azul o qu área azul na verdade aqui eu tracei até errado aqui esse triângulo azul peço desculpas vamos apagar aqui esse triângulo Azul porque na verdade ó a área que eu realmente é verdade que aquele triângulo azul tem uma área menor

mas a gente estaria fazendo aí uma aproximação grosseira demais a gente precisa de algo menos grosseiro então ao invés de pegar aquele triângulo eu vou pegar este outro triângulo aqui ó eu vou pegar esse outro triângulo aqui que aí já não é mais um triângulo retângulo tá então esse triângulo ele bate até o final aqui vem daqui também e Bate aqui em cima tá continua sendo Azul Então o que tá escrito aqui continua sendo verdadeiro bom que que tá acontecendo a área azul qual que é a área a área é a base que vale 1

vezes a altura que é o seno de x então 1/2 né como a gente tá num triângulo 1/2 da base vezes a altura então 1/2 vezes o seno de x é exatamente a área do triângulo azul que é menor do que a área do setor Circular Qual que é a área do setor circular ela vale a metade do arco o arco Vale X então Ó aqui é 1/2 de X Ah mas eu não sei disso tá lá na parte do pré-cálculo do dominando do cálculo tá mais um daqueles conteúdos que você deve saber para poder

mandar bem no cálculo é impressionante a quantidade de dificuldades que tem origem exatamente nessas carências de base Tá Mas vamos lá e agora a área do triângulo vermelho ela é o quê Ela é a base também que também Vale 1 portanto é 1/2 x 1 vezes a altura que no caso aqui é a tangente né então é tangente de X tá só que a Tang ela na verdade é a mesma coisa que o seno sobre o cosseno certo é a mesma coisa isso aqui é trigonometria básica conclusão primeira coisa que eu posso fazer aqui é

simplificar né posso cortar aqui esse 1 com esse 1 me com esse 1 não faz Diferença que eu posso fazer aqui então Ó V olhar para esse pedaço aqui que que eu tenho aqui eu tenho que x so seno de x sobre o cosseno de x né se x é menor do que seno de x sobre cosseno de x conclusão que que eu posso tirar aqui como Conclusão o cosseno de x é menor do que o seno de x sobre o x tá a gente multiplicou cruzado aqui ó esse cara vem para cá e esse

cara vem para cá certo mas por que que pode fazer isso E tal tá lá explicado na parte pré-cálculo do dominando do cálculo isso daí é álgebra base bom e agora vamos olhar para essa essa outra igualdade aqui e concluir também que desigualdade né e concluir também que o seno de x so X é o qu menor do que 1 mesma forma a gente só multiplicou a gente trouxe ali o X para baixo né é equivalente a você dividir os dois lados da equação da inequação por x beleza vamos lá conclusão vamos juntar Tudo né

Vamos juntar aí as partes conclusão é que o cosseno do X perde para seno de x so x que perde para 1 certo agora então Ó que que a gente vai fazer a gente vai usar um fato que a gente acaba não a gente não provou aqui que o cosseno Tem um limite quando o X tende a zero esse limite é igual a 1 mas intuitivamente olhando né conhecendo a expressão do Cosseno né conhecendo a função cosseno a gente espera que seja de fato isso tá no Dominando a gente faz no detalhe por que o

cosseno limite do cosseno é igual a 1 mas aqui vamos já usar esse fato pra gente não se alongar demais e a gente sabe que o cosseno quando X tende a z0 o cosseno tende a 1 tanto que o cosseno de zer é igual a 1 e o 1 ele continua tendendo a 1 conforme o X tende a zero ele é uma função constante ele não muda nunca portanto se o x aproxima de zero um continua sendo um não importa o que aconteça então Ó aqui usando o Teorema do confronto o teorema do sanduí a

gente conclui o qu que o limite quando X tende a zer do Cosseno do x é igual ao limite quando X tende a z0 do seno de x sobre x que é igual ao limite quando X tende a z0 da função constante 1 ou seja isso aqui tudo é igual a 1 tá então a gente provou aqui por a + b que esse limite de fato é igual a um E é isso que sustenta aquela aproximação que a gente falou no começo dessa aula tá é isso que explica a razão de Por que o seno

de x Pode ser aproximado pelo próprio valor do ângulo em radianos quando o ângulo for pequeno bom o que que a gente pode fazer agora de exemplo vamos usar essa ideia para calcular um outro limite que também é muito importante que é o limite quando X tende a 0 de 1 Men cosseno de x sobre o x tá e como é que a gente calcula esse limite daí tá esse aqui ó a gente vai voltar a usar a gente vai voltar a usar truques de álgebra Básica mas vai usar o resultado anterior tá porque 1

sobre 1 Men cosseno de x sobre x se a gente usar o qu vamos multiplicar e dividir pelo mesmo fator E no caso aqui é interessante pra gente fazer aparecer uma diferença de quadrados né isso por causa da identidade trigonométrica fundamental que diz o quê essencialmente que seno quadado mais cosseno quadrado é iG 1 então se eu transformar esse cara aqui em 1 menos o Cosseno quadrado que que eu vou ter o próprio seno quadrado certo então é isso que a gente vai fazer aqui vamos fazer de que maneira né multiplicando em cima e embaixo

por 1 mais cosseno de x não alterei a expressão E aí vou ter o qu vou ter uma diferença de quadrados em cima né 1 Men cosseno qu x embaixo fica x x 1 + cosseno x e aqui em cima eu posso trocar tranquilamente por seno quadrado seno qu x Sobre x x 1 + o cosseno de x beleza e aqui ó Vamos separar já que eu tenho um Quad né eu vou separar em seno de x sobre x vezes seno de x sobre 1 mais o cosseno de x certo ah mas eu não sabia

que podia separar desse jeito e tal você faz você parece que pega a equação e chacalha e transforma a expressão naquilo que você quer é mas tudo que a gente faz aqui são coisas vá E ter prática com esse tipo de coisa é extremamente importante tá e é por isso que eu sempre vou reforçar para você quando você comprou o dominando cálculo aproveitando a nossa promoção de black friday que é melhor ainda né Você precisa fazer direitinho a parte pré-cálculo para ter total segurança com esse tipo de coisa para que isso daqui seja para você

tão natural quanto respirar Tá não demora muito para chegar nesse nível porque realmente praticando Você com consegue tornar isso aqui muito natural para você tá Então veja o quanto que é importante que que a gente tem aqui ó a gente tem o limite de Antes quando X tende a zero a gente sabe que esse cara aqui tende a um e esse camarada aqui esse camarada aqui eu vou dar uma roubada aqui porque a gente ainda não falou nas propriedades fundamentais do limite Tá mas eu vou adiantar para você que todas as vezes em que você

tem uma Expressão em que e embaixo o limite existe no caso aqui o limite é qual quando X tende a zero o limite aqui é 2 né porque fica 1 + 1 que dá 2 e aqui em cima o limite no caso é zero quando X tende a zer seno tende a zero Então quando você tá diante de algo assim em que existe limite bem definido pro numerador e pro denominador e o limite do denominador não é zero então a gente pode dizer que o limite desse quociente aqui é igual a quociente dos limites ou

Seja isso aí vai tender para quem Isso aqui vai tender a 0 sobre 2 que é igual a z0 tá então isso aqui ó no final das contas vai tender o quê a 1 que é esse limite aqui vezes z0 que é igual a zero portanto esse limite aí é o quê esse limite é zero Beleza então esse daí é outro limite importante né mas como ele sai de dentro do limite seno de x sobre x quando X tende a 0 que é igual a 1 como a gente viu antes então ele não precisa ser

tão Recordado assim tá mas ele também é muito importante vai ajudar bastante a gente já a partir da parte de derivação beleza bom agora a gente já tá aí com um tempo considerável de aula a gente já viu vamos recapitular o que a gente viu aqui a gente viu coisa para caramba tá essa aula aqui ela é uma aula assim que tem muito conteúdo tá isso dominando cálculo efeito de forma muito mais lenta com várias aulas diferentes e as aulas de dominando não são também tão longas Quanto essa tá isso aqui como é um vídeo

pro YouTube eu resolvi colocar para você de uma forma única mas lá no dominando cálculo mesmo esses pontos aqui eles são abordados de outra forma de uma forma mais segmentada você tem aulas às vezes de 3 minutos de 5 minutos 15 20 a coisa fica mais ida e menos cansativa tá E também é mais fácil de você achar depois uma aula num conteúdo específico que você queira rever tá Isso facilita também o teu processo de revisão outra Coisa que facilita tua revisão também é olhar lá o material didático que a gente tem preparado para você

tá mas enfim a questão que a gente falou até aqui foi a gente começou falando sobre um problema de motivação a Por que que seno de x pode ser aproximado por x para ângulos pequenos definimos informalmente O que são limites ou de forma intuitiva e calculamos diversos limites fizemos diversos exemplos vimos alguns resultados importantes e no final Provamos porque que afinal de contas o seno pode ser substituído pelo valor do ângulo quando o ângulo é pequeno e agora é aquele ponto de separar assim os adultos das Crianças tá Por quê Porque agora a gente vai

falar sobre a defini formal de limite que é assim o terror de muita gente tá tanto é assim que no dominando do cálculo essa parte ela é precedida pela parte de limite formal para sequências que na minha opinião Facilita mais o entendimento da parte depois de funções né porque sequência é uma coisa mais simples do que função apesar de a gente não ter tanto contato assim com sequências mas é mais fácil acompanhar sequências do que acompanhar funções então primeiro a gente faz para sequências depois a gente faz para funções aqui como a gente tem um

tempo menor a gente vai fazer apenas para funções Mas vamos lá que que a gente quer fazer aqui a gente quer formalizar O que significa essa ideia intuitiva de se aproximar tá E aqui eu já adianto para você que esse é o conceito mais difícil presente dentro de um curso de cálculo tanto é que cada vez mais os cursos de cálculo Especialmente quando não são para as áreas duras né matemática e física especialmente eh os os professores eles até evitam falar nesse conceito formal de limites porque realmente é algo que é mais difícil e existe

essa Filosofia de se Evitar a dificuldade cada vez mais tá mas eu acho que isso daí prejudica especialmente aqueles alunos que querem ir além e principalmente se eles forem matemáticos esses daí tem que saber não tem jeito tá então eu acho sempre válido a gente falar sobre a definição formal de limite mas lá no dominando no cálculo Inclusive eu sinalizo para você que esse tipo de conteúdo já é um conteúdo opcional não é um conteúdo eh imprescindível para você fazer e ter um Bom uma boa compreensão do cálculo Exatamente porque ele é mais técnico e

exatamente também porque aí no mundo real né Ele tem sido menos exigido especialmente fora ali da matemática tá principalmente fora da matemática mas eu acho que na Física ele ainda tem ali a sua presença eventualmente na engenharia ele pode ter ou não presença e dependendo da onde você faz também a sua faculdade né tem faculdade que sempre vão cobrar isso e tem outras que estão Deixando mais a coisa de lado Tá mas não se engane porque para quem é matemático esse conceito é de suma importância dominar esse conceito Talvez seja a coisa mais importante que

você ten a fazer no curso de cálculo um embora você não precise dominá-lo durante o curso de cálculo um mas sim durante o curso de análise mas se você já sair da que sabendo esse conceito bem você já chega muito na frente quando você for estudar depois um curso de análise que se baseia Apenas quase que exclusivamente em cima de saber argumentar Com épil e deltas né que são duas letrinhas gregas presentes na definição formal de limite Mas vamos lá vamos ver aí como que a gente consegue formalizar essa ideia de dizer que o limite

de uma função quando X tende a a é igual a l né como é que a gente tira isso da intuição e coloca isso de uma forma matematicamente rigorosa isso daí meus amigos levou 200 anos dentro da história da matemática Para acontecer desde lá do Newton e do lebn com o início ali do cálculo início entre aspas né mas Vamos considerar que o cálculo começou ali embora não tenha começado mas Vamos considerar que começou ali com Newton e leibes do Newton lees até ali kochi vai stass são praticamente 200 anos tá então foram 200 anos

até a matemática chegar numa uma definição correta né e enxuta pro conceito de limit bom vamos lá aí como é que os caras Faziam antes intuitivamente como a gente vem fazendo até então tá mas a matemática ela requer um certo Rigor né E esse Rigor no caso dos limites ele só veio realmente muito tempo depois tá a própria ideia de limite veio muito tempo depois antes os caras falaram se aproximava e tava muito bom parecia algo que estava correto mas conforme A matemática foi avançando foi se vendo que a gente precisava olhar as coisas com

mais carinho com mais cuidado Porque Especialmente na matemática superior Existem várias coisas que parecem ser mas no fundo não são tá então tem que ter muito cuidado com isso e o conceito formal dos limites serve como uma precaução contra surpresas desagradáveis bom vamos lembrar aqui do da nossa ideia intuitiva de limite né que que a gente queria dizer o que que a gente quer dizer di dizendo que o limite da função quando X tende a iG L significa que Conforme o x se aproxima de a o valor da função tem que se aproximar de L

né acompanhando pelo gráfico a gente vê esse movimento acontecendo nas duas direções então intuitivamente era isso foi assim que a gente procedeu a até aqui tá mas como é que eu formalizo esse negócio tá muito vago falar se aproximar se aproximar de que forma o que que significa realmente se aproximar é isso que a gente vai começar a responder aqui repara também Que essa ideia ela é uma ideia dinâmica só que a gente precisa formalizar isso de uma forma não dinâmica de uma forma estática vamos ver como que isso é feito na prática vamos lá

bom como é que a gente vai fazer esse negócio tá a gente vai fazer pensando em margem de erro concorda comigo o seguinte ó se eu disser que conforme eu estou me aproximando do número a a minha o valor da função né o f Dex ele est próximo de um certo valor L significa que ele está uma certa margem de erro desse valor l isso faz sentido né quando algo tá se aproximando ele fica dentro de uma certa margem de erro em relação a esse algo tá então aqui eu tenho a reta horizontal que representa

exatamente o valor constante y = l que é o meu candidato a limite do valor da função no ponto A então se eu fizer colocar aí uma margem de erro a desse ponto e vamos Pegar aqui ó duas faixas horizontais e vamos construir vamos botar aqui assim por exemplo pode ser assim E vamos colocar aqui ó essa margem de erro ela tá ao redor do ponto l o meu ponto L é essa linha tracejada aqui tá vamos imaginar que essa margem de erro ela tem uma altura então Aqui é aqui é certo então eu construi

uma faixa vamos pintar essa faixa aí eu Construi uma faixa ao redor do ponto l no eixo Y né então fiz duas faixas aqui que vão ser horizontais uma uma dessas faixas a faixa de cima é a faixa L + ela tá acima do l e a de baixo é o que é l- ela tá abaixo do l tá então as duas estão uma distância de do nosso L do nosso candidato a limite e aí o que que Acontece vamos imaginar que eu escolhi essa faixa pensando assim na minha opinião estar perto de L significa

estar Dent dessa faixa aqui que eu desenhei então todos os valores que caírem dentro dessa faixa na minha opinião eu vou considerar como sendo próximos de l ou seja eu escolhi uma certa margem de erro e agora eu vou dizer para você que para mim eu fico satisfeito em dizer que tá perto de L se a coisa cair dentro dessa margem de erro tá e como é que a gente Pode assegurar que isso vai acontecer bom se eu pegar esse valor aqui ó por exemplo esse valor aqui de X Ele bateu aqui né só que

aqui ó o valor do FX aqui tá fora da minha margem de erro certo eu caí fora da margem de erro porém porém se eu tivesse considerado valores de x mais próximos de a isso não teria acontecido aqui ó por exemplo vamos fazer Opa vamos fazer aqui uma Faixa vertical que vai ser aqui a nossa margem de tolerância né vou botar uma aqui assim por exemplo e a outra aqui assim tá que que eu fiz aqui eu criei uma certa noção de proximidade em relação ao ponto a essa faixa aqui da direita tá a uma

distância Delta do ponto a e essa da esquerda tá uma distância Delta também do ponto a Como Ela É menor né Ela é o a - delta e o outro é o a + Delta tá então eu fiz ali duas faixas e repara numa coisa legal que tá acontecendo ó dentro dessas faixas vamos pintar aqui para facilitar a vida dentro dessas faixas O que que tá aparecendo se eu pegar um ponto x aqui dentro da faixa o y dele bate aqui que bate dentro da marem de Erro se eu pegar esse outro ponto aqui e

olhar aqui o valor da função caiu aonde dentro da margem de erro então ó o que que a gente conseguiu fazer aqui a gente conseguiu determinar a partir desse valor é aqui que eu escolhi previamente depois de escolher o é depois de escolher a margem de erro depois de de de escolher o que significa estar perto do L que que eu fiz eu encontrei eu fui capaz de encontrar uma Faixa ao redor do ponto a a uma distância Delta né portanto determinada aqui por a + delta e a Men Delta Ou seja eu encontrei uma

faixa ao redor do a Ou seja eu determinei uma noção de pontos próximos o suficiente de a Tais que para qualquer ponto dentro da faixa que que tá acontecendo o valor da função tá caindo dentro da faixa laranja então para qualquer x dentro da faixa azul o y dele o f de x dele cai dentro da faixa laranja beleza então Ó eu tenho aqui uma Ação na qual eu estou garantindo que todo mundo dentro dessa faixa tá caindo dentro dessa faixa daqui Bacana Então se intuitivamente se eu considero que cair aqui dentro é estar perto

de a eu estou dizendo que quando tá perto de a também tá aqui dentro ou seja tá perto do l o f Dex tá perto do L certo então o que que aconteceu aqui eu vim com um critério de proximidade que era cair dentro da faixa que vai de L + De l- Y né até l + e eu mostrei que dava para encontrar uma faixa ao redor do a tal que todo ponto dentro dessa faixa cai dentro daquele meu conceito de proximidade o f dele cai aqui dentro beleza isso daí é uma coisa que

parece ser promissora né porque parece tá de acordo com a nossa ideia de que conforme eu fui me aproximando do a eu consegui me aproximar do L pela função certo Conforme o x se aproximou do a o f do X se aproximou de fato da função só que aqui é uma é uma relação estática A ideia é é de movimento mas a formalização ela é estática é daqui que vai surgir o conceito formal de Limites Tá mas por enquanto eu quero que você preste atenção nisso daqui agora eu poderia ser mais exigente n eu poderia

chegar e falar assim pô esse que você desenhou aqui é muito grande vamos Pegar o menor Então vamos lá vamos pegar um é menor e ver o que acontece Vamos pegar uma faixa mais estreita tá vamos pegar essa faixa aqui ó ela é mais estreita Ela é bem mais estreita que a faixa anterior o que que isso significa isso significa que agora eu peguei um valor de menor do que antes tá V pintar aqui a nossa faixa aqui ó eu tenho as mesmas coisas aqui ó esse aqui é o l + Esse é o L-

e a faixa de cima e a de baixo tão uma distância de da faixa Central tá E aí a pergunta é será que agora eu vou conseguir encontrar de novo uma faixa vertical em torno do a ou seja um um um Delta né tal que todos os números que caírem o x c caírem dentro dessa faixa vertical o y deles o f Dex deles vai cair na faixa horizontal laranja vamos ver bom claramente se eu pegar o mesmo Delta de antes né vou até duplicar aqui E trazer aqui para você claramente se eu pegar o

mesmo Delta deante não vai mais servir né porque servia para aquele é deante que era um é mais Generoso só que agora o é é mais rigoroso eu falei Não aquele é é muito grande eu quero menor eu a minha definição de proximidade é menor do que aquilo eu quero algo mais estreito e aí eu quero que você me prove que dá para colocar assim uma faixa horizontal azul e aí claramente essa nova faixa vai ter que ser diferente ela Também vai vai ter que ser mais estreito mas dá para fazer ó quer ver essa

aqui não dá né porque obviamente esse camarada daqui bate aqui e cai fora mas se a gente chegar e estreitar isso aqui vamos pegar aqui ó por exemplo por exemplo você vê que já deu né você vê que já deu encontrei já aqui ó um certo Delta né tal que a faixa de valores de x que vão ali do a- Delta até o a mais Delta Toda a galera daqui de dentro toda a galera daqui de dentro quando a gente sobe aqui a função bate dentro da faixa laranja bate dentro da nossa do Nosso Erro

né da nossa no tolerância da nossa faixa de tolerância então eu consegui novamente para um outro valor de determinar um outro valor de Delta tal que a situação Se repetisse Agora pensa comigo o seguinte ó já Pensou se para cada faixinha de de erro é por mais estreita que ela fosse eu sempre fosse capaz de encontrar uma faixinha Delta por mais estreita que ela seja Mas eu sempre consigo encontrar tal que essa situação aconteça ou seja tal que todo mundo ali da faixa azul caia dentro pela função da faixa laranja mesmo que eu tenha estreitado

muito a faixa laranja concorda que Se isso for sempre possível então é bem razoável dizer que conforme eu me aproximo do a Eu realmente vou me aproximar do L Essa é a ideia do conceito form mal de limite É exatamente esse processo tá é exatamente pensar nessas faixas e a coisa sempre dando certo é porque de fato acontece do limite ser L como é que a gente escreve isso então do ponto de vista formal tá formalmente agora sem o auxílio dos desenhos né mas sempre pensando nos desenhos para entender melhor como esse primeiro o Ponto

de contato com essa definição rigorosa de limite a gente diz que o limite de FX quando X tende a A é igual a l se para qualquer né esse a invertido aí significa para qualquer é maior do que 0 ou seja para qualquer margem de erro Y maior do que z0 positiva houver uma margem Delta maior do que zero tal que se o x estiver a uma distância do ponto a menor do que esse Delta e ainda assim for diferente né do ponto a por Isso esse zero aqui então a distância do FX P número

l tem que ser menor do que Y tá isso daqui é o conceito mais difícil de cálculo um mas o que tá escrito aqui é exatamente o que a gente fez ainda a pouco com o desenho das faixas tá Por quê Porque módulo significa distância tá então módulo de X - a geometricamente é a distância do X pro ponto A então eu tô dizendo o seguinte ó que quando eu pego uma margem de erro que é esse é Daqui ou uma margem mais estreita Esse é aqui por isso tá ali na definição para qualquer ou

seja pega uma margem grande pega uma margem pequena para qualquer é sempre dá para encontrar um Delta sempre existe um Delta se é invertido significa existe sempre existe um Delta tá aqui o nosso Delta tá aqui o nosso Delta sempre existe um Delta tal que se acontecer isso aqui ou seja se o módulo de x- a for menor do que Delta e maior do que z0 Ou seja se o x estiver a uma distância do a menor do que Delta que significa o qu se o x esver dentro da faixa azul se o x esver

dentro da faixa azul então o módulo de FX - L Vai ser menor do que ou seja a distância do FX pro L Vai ser menor do que ou seja o f dox vai tá dentro da faixa laranja essa faixa laranja é exatamente a faixa daqueles números cuja distância pro L é Menor do que é então vai acontecer aqui vai acontecer aqui vai dar certo beleza essa é a definição formal de limite o conceito mais difícil para um iniciante no cálculo um não é o tipo da coisa que você vai me ouvir falar aqui e

vai dizer assim entendi plenamente vou seguir a minha vida não é esse conceito ele é um choque ele é um tranco na pessoa e você precisa de um tempo para digerir Isso você precisa ver De novo você precisa se familiarizar em exemplos você precisa ver em diferentes situações de diferentes maneiras a gente vai ter oportunidade de fazer isso aqui ainda e você precisa também praticar fazendo exercícios vendo mais exemplos vendo no dia seguinte de novo não é uma coisa que você vai digerir de primeira provavelmente tá isso daqui requer tempo então vai pegando essas armas

que eu tô te dando de intuição tentando tornar isso aqui mais Eh palatável mais digerível e aos pouquinhos a coisa vai evoluindo aos pouquinhos você vai a cada dia que passa você vai entendendo um pouquinho mais desse conceito até o dia em que você vai de fato domin é isso daqui vai falar que é a coisa mais natural do mundo tá para quem entende Realmente esse conceito ele se torna extremamente natural mas para quem vê pela primeira vez ele Parece coisa de outro mundo beleza Bom vamos lá essa é a definição formal de limite tá

e eu já te dei aqui uma ideia geométrica do que que ele significa certo Toda vez você vê aqui um módulo você pensa em distância tá então você pensa na distância pro ponto a e na distância pro ponto l e como é que funciona a dinâmica dessa definição apesar de tá escrito dessa forma isso aqui está escrito no final na verdade a gente começa por isso a gente começa Pelo é a escolha é arbitrária em cima do é para qualquer é escolhido então eu tenho que ser capaz de encontrar um Delta tal que toda vez

que o x cair na faixa azul ou seja que a distância do X pro ponto a de interesse for menor do que Delta mas ao mesmo tempo o meu x não seja igual ao a ou seja essa distância tem que ser positiva porque ela só vai ser zero quando X for igual ao a que é o que tá escrito aqui né 0 menor que módulo de X - a menor do Que Delta então a distância do F Dex pro ponto l tem que ser menor que Y ou seja o f Dex tem que cair na

faixa laranja ou seja o módulo de F Dex - l tem que ser menor do que Delta cada coisinha dessa cada sentença dessa cada pedacinho disso daqui tem um significado e você precisa entendendo aos pouquinhos o que cada um deles significa e entender o que o todo que o conjunto deles também significa bom Aqui tem uma visão um Pouco diferente né do que que significa essa ideia formal de limite que é baseado em você usar a ideia de função que sai de um domínio onde ela tá definida e tem uma imagem num cont contradomínio né

ah não sei o que que é domínio não sei o que que é contradomínio isso daí também tá na parte pré-cálculo do dominando cálculo tá também é um conteúdo útil do ensino básico que ajuda você no ensino superior bom que que significa aqui tá dizer né Que o limite é L significa que para cada margem de de erro é positiva e quando eu falo em margem de erro então eu posso literalmente desenhar um intervalo ao redor do ponto L Que temha raio é né Ou seja a gente vai ali de L - Y até l

+ y tá Então imagina ali aqui que que eu fiz aqui ó Isso daqui é o eixo Y isso daqui é o eixo X a gente apenas separou eles né porque o eixo Y o eixo X é o domínio da função e o eixo Y Y inclui o contradomínio da função onde a função Toma valores tá apenas isso que a gente fez aqui então Ó o limite vai ser L pela definição formal se para qualquer margem de erro aqui é a gente conseguir encontrar a gente conseguir encontrar um intervalinho que vai de a - Delta

a a + delta com a exclusão do ponto a porque lembra que para falar sobre limites a gente não precisa saber o que acontece especificamente no a mas apenas ao redor Do A então ó vamos abrir aqui então esse camarada aqui essa união aqui né que vai de a - Delta até a união com a até a + delta e que eu chamei de I Delta É exatamente esse camarada aqui tá é uma união de dois intervalinho então o que que acontece o limite vai ser l se para toda margem de erro eu consegui determinar

uma união de dois intervinhos e delta que vão de a- Delta até o próprio a e depois do a até o a mais Delta são intervalos abertos tal que quando eu pego qualquer elemento daqui a função o valor da função cai aqui dentro tá então vamos supor que caia aqui assim tá então isso daqui ó que eu fiz agora em azul É exatamente esse conjunto aqui Ou seja é a imagem desse conjunto do I Delta pela função f tá então se eu conseguir fazer para qualquer margem de erro encontrar Um intervalinho aqui dentro T que

a imagem dele sempre caia dentro da minha margem de erro e eu puder fazer isso para qualquer margem de erro então a função tem limite igual a l no ponto a de fato Beleza então essa daqui é é uma outra visão da definição formal de limite tá isso daqui é para auxiliar o seu entendimento é para te municiar com visões alternativas de uma mesma coisa tudo isso daqui quer dizer a mesma coisa você pode enxergar melhor por um jeito Ou melhor pelo outro mas tudo isso quer dizer sempre a mesma coisa tá então essa foi

a segunda segunda visão que eu te dei desse conceito formal de limite vou te dar agora uma terceira visão intuitiva para você absorver melhor a ideia de limite a ideia formal de limite que é a seguinte tá essa é uma ideia que eu gosto bastante que é você pensar que na verdade você tem dois personagens nessa história uma pessoa que tá querendo defender a ideia de que o l é o Limite e outra pessoa que tá desconfiando dessa ideia e vai fazer o papel do Advogado do Diabo tá então aqui ó a gente vai ter

dois personagens o personagem a que é o nosso incrédulo para ele o limite não é é ele duvida perdão o limite não é L ele duvida que o limite seja l e você tem um outro carinha aqui que é o nosso B que acha que o limite é l então ele vai fazer o papel de defender tá voltando àquela primeira imagem Ó que a gente viu aqui das faixas né é como se o personagem a O Advogado do Diabo fosse responsável por fornecer faixas laranjas faixas de tamanho é enquanto que o defensor do limite ele

é o responsável por fornecer as faixas azuis as faixas verticais as faixas de tamanho Delta ao redor do ponto a certo então esses vão ser os papéis em jogo aqui então tenho dois personagens tá então toda vez que o a dá uma margem de erro y o b tem que ser capaz de fornecer Uma margem de erro Delta ao redor do a tal que aconteça aquela situação né a f do de x de todos os pontos dentro da faixa ao redor do a caiam dentro da faixa de erro ao redor de é do ponto l

Beleza como a gente viu na no primeiro exemplo mais intuitivo para ilustrar a definição formal de limite que eu forneci para você tá então vamos supor aqui ó que o camarada a comece ali sei lá com y = a 1/10 E aí o camarada Delta fala o camarada B fala o seguinte ó com Delta igual 1/2 tudo dá certo eu consigo montar aquelas faixas lá beleza só que o a não vai se satisfazer com isso porque o que o b fez foi o quê foi para mostrar que nesse caso específico dava para resolver dava para

encontrar uma faixa Estreita mas na definição formal de limite não é para um caso específico é para qualquer caso possível Portanto o nosso incansável Advogado do Diabo vai perguntar de novo Só que agora ele vai pegar um valor menor ele vai falar assim tá para igual a 1/1 você conseguiu Mas e se fosse 10 a- 10 que é uma coisa muito pequena e se fosse 10 a men 10 você consegue me fornecer um Delta E aí o cara pode conseguir vamos supor que ele consiga ele fala assim com Delta igual 10 a- 7 eu consigo

Beleza então apesar do do personagem a ter pego um é bem pequenininho ter feito uma faixa muito Estreitinha o personagem B fez uma faa estreitinha também mas conseguiu fazer com que todos os valores da faixa estreitinha caíssem na faixa da margem de erro do personagem aeza que é exatamente o que tá lustrado aqui no pensamento do personagem b então se o limite for de fato aqui tá sequência n mas na verdade é se o limite for de fato iG a a l então o que que vai acontecer se o Limite for de fato igual a

l o b sempre vai vencer esse jogo mesmo que ele jogue infinitas vezes o b sempre vai conseguir vencer não importa o quão pequeno o a pega o é o Del o o b sempre vai conseguir encontrar um Delta Ele sempre vai conseguir vencer o a nessa jogada e a pergunta é quando que o a vence esse jogo o b para vencer precisa vencer sempre o a para vencer precisa vencer uma única vez o a vencer significa o quê significa Que o a tem razão e o limite não é l ou seja se o a

encontrar um único valor de que faça ele vencer ou seja um valor tal que não importa o quão pequeno o o b pegue o valor do do Delta a faixa sempre cai fora ou pelo menos algum ponto da faixa sempre cai fora então é porque o limite não tem como ser L tá vamos supor aqui por exemplo né que o a foi obstinado e falou assim com iG 10 100 10 a men 100 é um número muito pequeno tá E aqui ó a gente tá nessa situação aqui o candidato a limite é esse L aqui

só que o A tá aqui né olha só onde tá batendo o A tá batendo lá em cima certo tá fora da faixa tá sempre fora da faixa e não importa o quão pequeno o b pega a faixa o quão pequeno ele pegue o valor do é do Delta né e pegar deltas pequenos e está estreitando a faixa tá fazendo a coisa ser cada vez Mais perto realmente do ar se ele fizer isso ele vai continuar fora dessa faixa aqui fora da faixa de raio é ao redor do l isso significa o quê que o

l não é o limite certo e o l não é o limite Exatamente porque esse processo essa dinâmica ela vai furar Em algum momento todas as vezes e que o l não for o limite se o l for o limite ela não vai furar nunca mas se o l não for vai ter pelo menos uma vez em que essa dinâmica vai furar vai Ter pelo menos um valor de y tal que é impossível encontrar um valor de Delta para o qual todos os pontos dentro do intervalo que vai de a - Delta até a +

Delta caiam dentro do intervalo que vai de L - Y até l + y beleza é isso que significa o limite furar o l não ser o limite beleza vamos agora então ó usando a definição formal de limite Vamos provar que aquele nosso primeiro limite da aula que a gente calculou lá atrás que a gente viu né limite de x c + X so x = 1 quando X tende a 0 Vamos provar que é isso mesmo só que agora pela definição formal de limite tá antes a gente fez umas contas ali E chegamos à

conclusão de que intuitivamente quando a gente se aproxima o valor se aproxima de fato do um Mas agora eu tenho uma definição rigorosa de de limite e eu quero enquadrar esse fato aqui nessa definição rigorosa tá até para testar se essa definição é boa ou Não a maioria dos alunos acham que não é boa porque ela é muito diferente de tudo que eles viram até então mas ela é uma boa definição Sim e como eu falei ela baliza toda a matemática do cálculo tá assim o cálculo se fundamenta nessa definição de limite você como aluno

n mais num curso de cálculo que é um curso que não existe demonstrações Você pode achar assim isso aqui não está servindo para nada mas tudo que o cálculo é capaz de fazer está Fundamentado nessa ideia de limites todos os praticamente os teoremas do cálculo são provados em algum momento com a ideia de limite por trás não só do cálculo Mas também da análise né que é ali a grande área que engloba o cálculo o cálculo é um pedaço da análise e a análise se baseia fortemente nessa ideia de limite nesse nesses argumentos envolvendo é

e deltas que são exatamente a própria definição de limite tá isso aqui é pro resto da vida de quem vai Fazer matemática é só o começo vamos lá vamos fazer então pela definição mostrar que o limite de fato é esse né O que que a definição exige da gente exige que dado um é maior do que Zero qualquer a gente tem que mostrar o que a gente tem que encontrar aquele Delta né ou seja um Delta vamos voltar aqui na definição um Delta tal que toda vez que eu tiver isso daqui a gente vai ter

também isso daqui Então a nossa missão agora é essa tá Então o que Eu Quero assegurar É o quê É a última frase né é que o módulo de F Dex - L seja menor do que f então tenho que criar condições para isso daí acontecer portanto eu tenho que começar por aí tá esses exercícios sob limites Eles começam do final a gente faz uma engenharia reversa a gente precisa encontrar um Delta e esse Delta tem que fazer a coisa dar certo tem que fazer com que FX - L seja em módulo menor do que

Y então eu começo eu escrevo F Dex - - L menor que y e faço uma engenharia reversa para encontrar um Delta conveniente que me assegure isso sempre tá o que a gente vai fazer aqui ó Então vamos lá primeira observação é que como o X é diferente de zero né a gente não vai trabalhar com o zero então a expressão x c + x so x ela pode ser simplificada Eu posso cortar o x e isso vai ficar x qu + 1 certo então ó Isso aquii é o que é a minha F Dex

Quando X é diferente de zer certo então o módulo quem é o candidato a limite é o 1 então o FX - l ou seja FX - 1 em módulo é a mesma coisa que o qu é a mesma coisa que x qu + 1 - 1 ou seja é o próprio x qu né que o módulo de X qu é o próprio x qu x qu é sempre uma coisa não negativa tá e eu quero garantir o qu que isso daí seja menor do que Y certo é o que eu quero garantir módulo de

FX - L menor do que Y tá ou no caso específico desse problema X qu menor do que Y Isso vai acontecer obviamente sempre que o módulo do X for menor do que a ra qu Y Eu apenas extraí eu apenas peguei essa expressão e extraí a raiz quadrada dos dois lados tá então ó todas as vezes em que o módulo de x for menor do que a raiz quadrada de y então eu vou ter o qu eu vou ter isso daqui certo bom então que que eu tenho aqui ó se a gente fizer Delta

igual a raiz é que que eu tenho se o zero for menor do que o modo de X vou botar o zero aqui de onda né porque o zero é o nosso ponto de interesse tá se zer for menor do que o módulo de x- 0 menor do que o nosso Delta que que eu tô assegurando eu tô assegurando que o f de x menos o meu L que no caso aqui é 1 Vai ser menor do que de fato eu fiz uma engenharia reversa aqui e toda vez que isso aqui se cumprir com esse

Delta isso aqui também Vai se cumprir satisfiz a definição formal de limite provei que de fato aquela conta que a gente fez antes atende a definição formal de limite beleza vamos fazer um outro exemplo esse exemplo aqui é um exemplo que já está um pouquinho adiantado porque ele é um exemplo de uma situação que a gente vai ver muito quando estudar derivadas tá que é esse tipo de limite aqui ó dividindo por alguma coisa que está tendendo a zero bom o exemplo pede o Seguinte ó determine o limite quando H tende a 0 de x

+ h qu - x sobre h e mostra que ele satisfaz a definição formal de limite então primeiro vamos fazer a conta né a gente tem aqui ó x + h qu - x qu sobre h a gente abrindo essa expressão usando produtos notáveis ou o binômio de Newton que você preferir que são conteúdos também do pré-cálculo que estão na parte pré cálculo do dominando você vai ver o quê você vai ver aqui ó Vamos expandir esse parêntese vai ficar x qu + 2x h + h qu - x qu sobre x posso mandar esse

x qu para casa vai ficar o q aqui na verdade é sobre H né e posso depois vai sobrar só isso aqui posso o quê simplificar aqui aqui vai ficar um esse h vai embora e aqui fica só um H ou seja vai sobrar 2x + H então intuitivamente né quando o h tende a zero quando o h tende a zero Isso daqui intuitivamente vai ter que tender a 2x Isso aqui vai morrer certo então ó pela definição vamos fazer agora pela definição que que a gente quer obter vamos começar de trás para frente vamos

escrever a expressão x + h qu - x so H vamos descontar né Vamos subtrair do nosso candidato a limite que é o 2x passa o módulo a gente quer garantir que isso daí seja menor do Que o o Epson né uma margem de erro qualquer positiva e quando é que isso vai acontecer ó vamos escrever aqui vamos abrir isso aqui primeiro né isso aqui ó a gente já viu que é igual o quê que é igual a simplesmente 2x + H tô retirando daqui menos o próprio 2x tá menos o próprio 2x ó esse

quociente aqui é o que tá aqui que é igual a isso aqui certo então Ó que que vai acontecer Se 2x vai morrer com esse 2x Isso aqui vai dar exatamente igual a módulo de H E a gente quer que isso seja menor do que o y tá então que que eu faço isso aqui é molezinha né É só botar ó o delta igual ao próprio é E aí toda vez que eu tiver o qu ó dado um é positivo se eu fizer com Delta igual a o que que vai acontecer se o módulo de

H for menor do que Delta então que que vai Acontecer vamos copiar aqui ó para ficar mais fácil esse cara daqui ele vai ser realmente menor do que o é provamos então o qu que esse limite é igual 2x certo eu adianto para você que isso daqui nada mais é do que o Como se calcula a derivada de x qu você sem saber calculou o valor da derivada de x qu encontrou que era 2x e provou que era 2x Usando a definição formal de limite que é uma coisa que não é das mais simples desse

mundo como eu falei é prática que vai te trazer aí que vai te levar a perfeição beleza bom a última coisa aqui que eu quero que eu quero falar com vocês nessa aula sobre limite que é uma aula que se Estendeu bastante são as propriedades básicas de Limites Tá a gente vai passar bem rapidinho aqui nessas propriedades e por que que eu Deixei para falar dessas propriedades Depois de falar do conceito formal de limite porque essas propriedades elas são provadas usando o conceito formal de limit toda vez que você fizer uma demonstração de uma coisa

relativa a limite você vai ter que usar Obrigatoriamente a noção formal de limite bom então ó quais são essas propriedades né Vamos imaginar aqui que eu peguei uma constante ser constante real eu tenho Duas funções né F e g e tô supondo que exista o limite quando X tende a a tanto da F quanto da G tá então existe o limite quando X tende a a da G de x e existe o limite quando X tende a a da FX Essas são as hipóteses tá então tudo aquilo que a gente a gente gostaria que fosse

verdade é verdade por exemplo propriedade um ó o limite da soma das duas funções né o limite de FX + GX é igual a separar e somar os limites separadamente de forma individual então Ó o limite de f + g de x é o quê é pegar o limite da F e somar com o limite da G isso poderia não ser igual mas é igual tá inclusive é exercício legal você tentar entender Qual que é a diferença do lado esquerdo pro lado direito dessas igualdades apesar de ser uma igualdade eles não querem dizer a princípio

a mesma coisa tá é uma propriedade do limite o fato de que essa de que essa exposição é igualdade Mas não precisava ser assim necessariamente mas por sorte É bom então a primeira propriedade tá dizendo apenas que o limite da soma é a soma dos limites a segunda propriedade diz que o limite do produto é o produto dos limites então você pode passar o limite para fora ou se você quiser aqui o limite para dentro né Acho que seria isso limite para dentro então ó limite de F xes G é o limite da F vezes

o limite da G que que eu preciso para fazer isso garantir que o limite da F O limite da G existam se eu não garantir Que os limites existem eu não posso fazer essa separação Tá certo beleza só posso separar se eu provar que os limites existem isso é importante bom se eu multiplicar por uma constante a constante pula fora e fica o limite de C x F ig a c vezes o limite da F subtração é a mesma lógica da soma né o limite da subtração é a subtração dos limites Tá e por fim

o limite do cociente é um pouquinho porque tem um detalhe a mais não é simplesmente o quociente dos Limites Por que você precisa fazer a ressalva de que o limite da G é diferente de zero afinal de contas não faz sentido dividir pelo zero se o limite da G fosse zero aqui você estaria dividindo por zero então é por isso que tem que ser essa ressalva essa ressalva é importante tá então você só pode na hora de fazer o quociente substituir direto pelos limites pelo quociente dos limites se o limite do denominador for diferente de

Zero bom é um exercício legal você pegar essas cinco propriedades aqui e tentar provar vendo o conceito formal de limite tá não é uma coisa tão fácil de fazer especialmente pela primeira vez com o tempo vai ficando mais fácil mas quem vai tentar pela primeira vez dificilmente eh consegue fazer de maneira tranquila isso daí tá então ó eu vou ilustrar para você aqui a prova de uma das propriedades vou pegar a Propriedade mais simples que é a propriedade da soma e vou mostrar para você que de fato o limite da soma é é a soma

dos limites e eu prometo para você que essa é a última coisa que a gente vai fazer aqui hoje tá bom eh vamos lá vamos da Matemática assim é muito legal a gente dar nome à coisas né primeiro que economiza papel economiza espaço segundo que ajuda a tornar as coisas mais claras Tá primeira coisa então vamos dar nome para esses limites eu vou chamar de l o limite da F Dex quando X tende a a esse limite existe por hipótese e eu vou chamar de m o limite da G de x quando X tende a

A tá então estão aí os meus dois limites que eu sei que existem por hipótese e agora a missão é provar o quê provar que o limite da soma é a soma dos limites como é que eu vou garantir isso Como é que eu vou garantir isso usando a definição formal de limite tá então lembra que a gente tem que começar do final Qual que é o meu objetivo final quero provar que isso aqui é igual qu L mais m tá então vamos lá como é que a gente faz isso apagar aqui ó vamos escrever

então ó F x+ GX que é o meu objetivo final menos O meu candidato a limite que é o l + m em módulo isso daí eu posso reescrever como FX eu posso passar esse cara para cá fica FX - l e posso passar o g para cá tá então tenho essa manipulação zinha aqui parece que eu não fiz nada Só troquei as coisas de lugar mas eu preparei o terreno para separar esse negócio aqui e aqui que tem a ver com os limites individuais que a gente tinha Considerado antes certo então ó usando uma

coisa chamada desigualdade triangular que é algo também que pertence ali ao mundo da matemática básica que você deve saber e que tá no dominando cálculo Então vai te ajudar também a saber é o seguinte ó isso daqui é menor ou igual quando eu tenho módulo de uma soma isso é menor ou igual que a soma Dos módulos Essa é a desigualdade triangular então isso aqui é menor ou igual que pegar FX - l em módulo e somar com o módulo de G Dex - M legal beleza vamos deixar quieto isso aqui isso aqui já está

bem preparado pra gente poder usar mais tarde tá que que eu vou fazer agora eu vou escrever a definição formal do limite tanto da F quanto da G porque eu vou precisar usar essa informação depois Ó Então como os limites existem né então ó se é se o for uma constante positiva como o limite existe então tem que existir esse S invertido significa existir né uma abreviação pra gente não precisar escrever por extenso existe existe um certo Delta eu vou chamar aqui de Delta zer porque eu vou precisar de outros deltas nessa nessa história aqui

mas existe um um primeiro Delta tal que Se 0 for menor do que o módulo de x- a menor do que este Delta 0 então que que acontece FX - L é menor do que mas eu não vou botar vou botar sobre 2 e vai ficar claro o motivo daqui a pouquinho que que eu escrevi aqui a definição formal de limite porque a gente tá assumindo a gente assumiu isso aqui né que o limite da F é o l que que eu fiz escrevi a definição formal de limite para l de limite da F sendo

igual a l tá Então ó como o limite de fato é L é porque dado esse é que a gente pode pensar que é um é so 2 eu consegui encontrar um certo Delta que eu chamei de Delta 0 tal que quando a distância do a Pro X for menor do que esse Delta z0 então a distância da F Dex pro L Vai ser menor do que so 2 o sobre do é um detalhe pra gente fechar a conta de uma forma mais bonitinha tá bom esse é o primeiro passo tá vou fazer A mesma

coisa agora vou escrever a mesma coisa agora só que em relação a g tá como eu sei que o limite da G é igual a m por hipótese né então vamos pegar ali esse cara ó vamos dar uma copiada aqui vamos ver assim ó do mesmo modo existe um certo Delta 1 é importante que esse cara seja Positivo vou corrigir aqui que ele tem que ser positivo esse Delta 1 também tem que ser positivo e além disso eu vou fazer uma Outra suposição que é o seguinte ó vou nem chamar de Delta 1 não vou

já chamar de Delta mas vou fazer a seguinte suposição que eu posso fazer porque se vale para um Delta vai valer para um Delta menor ainda né se eu se eu conseguir provar lembra da faixa azul para uma certa faixa azul desse tamanho uma faixa azul mais estreita vai ser verdade também porque ela tá dentro da outra se já valia pra outra vai valer Para que tá dentro também então posso supor que esse esse meu Delta é maior que zero ele também satisfaz o quê ele é menor do que o delta anterior o delta z0

Então eu peguei já eu já tô garantindo que ele é menor do que o outro tá vamos botar assim menor ou igual ele não é maior do que o outro ele é menor ou igual ao anterior tá então com isso daqui satisfazendo também essa condição tal que aí escrevo a definição Formal de limite né vou até copiar esse camarada aqui ó para agilizar a minha vida Vou botar aqui embaixo Qual que é a diferença aqui é Delta e aqui na verdade é G E aqui na verdade é m ó então ó como o limite quando

o X tende a a da G Dex é m tem que satisfazer isso daqui eu tenho o meu é arbitrário no caso aqui é o mesmo é tá que eu usei para F tô reaproveitando o mas agora eu consigo um outro Delta que pelo menos vai ter ser Menor do que o anterior eu impus isso tal que toda vez que a distância do do X Pro a foi menor do que o delta então a distância do G de X Pro M não vai superar SO2 Beleza então meus camaradinhas que que aconteceu aqui ó daí vamos

repetir isso aqui daí se o x estiver tiver módulo de módulo de x- a for menor do que o delta então o que que tá acontecendo Então olha só vamos voltar aqui a nossa expressão a gente provou isso aqui né ó vamos colar aqui essas coisas eletrônicas são ótimas né que a gente não precisa ficar reescrevendo tudo do zero ó Então a gente tem que essa diferença né que a gente já viu que era menor ou igual que isso daqui mas como eu tô na situação em que o x - a em módulo é menor

que Delta significa que vale Isto daqui e como esse Delta é menor do que o Delta z0 eu também vou tá nisso daqui né portanto Isto daqui também vai ser verdade ou seja vai ser verdade que o modo de x- L é menor do que o so 2 e também que o módulo do G de x- m é menor do que o so 2 só passar isso aqui para cá ó isso aqui então vai ser menor do que so 2 e o outro também vai ser então 2 mais 2 ou seja simplesmente provei que está

satisfeita a definição formal de limite também pro caso do F + G em relação a soma do l + m certo a gente Partiu de um é aqui ó partimos de um é arbitrário e encontramos um Delta aqui embaixo tal que quando isso daqui acontece então a diferença é a soma F + G Men a soma dos limites l + m perde para Y isso é equivalente a dizer isso daqui que o limite da soma é o l mais m ou seja é a soma dos limites a gente já tá um tempão aqui acho que

foram mais ou menos aí umas duas horas De conteúdo mas a gente viu coisa para caramba aqui hoje a gente viu muito conteúdo legal a gente viu a definição de limite a gente viu isso de forma intuitiva E chegamos finalmente na definição formal do limite essa é a primeira aula dessa série de vídeos que eu vou fazer ilustrando para você como que funciona um pouquinho dominando o cálculo e te dando algum conteúdo de valor de maneira completamente gratuita e se você quiser complementar isso daí Se aprofundando muito mais tendo acesso ao suporte né a gente

tem um suporte incrível Você pode perguntar nas aulas você pode perguntar no grupo de telegram você pode interagir também com outros alunos você pode fazer os exercícios e ver as respostas dos exercícios completas passo a passo não são só os pares não são só os ímpares são todos eles você tem também material didático para fazer revisão enfim você tem muita coisa ali para te ajudar pode fazer tudo Isso entrando logo pro dominando cálculo aproveitando a nossa oferta de black friday que vai ao ar a partir do dia 11 de novembro tá então se você tiver

interessado ó clica aí no botão que você vai ver no link que você vai ver na descrição e no comentário fixado e a Amanhã a gente vai ter mais um encontro desses aqui que eu vou falar para vocês agora sobre a parte de continuidade então a segunda aula Desse nosso aí minicurso de cálculo vai Ser a respeito de continuidade e vai ser uma aula bem legal porque eu vou introduzir para você um problema que eu realmente assim eu eu não me lembro de ter visto em outro lugar tá não é tão conhecido assim mas é

um problema muito interessante que você resolve com ajuda da ideia de continuidade que vai ser a ideia que a gente vai introduzir na próxima aula e que depende fortemente do que a gente viu hoje aqui sobre limite né as coisas do cálculo elas vão se Conectando ali umas nas outras tá muito obrigado por estar aqui com a gente muito obrigado aos membros do canal também e não se esqueça de deixar o like se essa aula agregou paraa sua vida se essa aula te ajudou de alguma maneira e a gente se vê no próximo vídeo