Minicurso de Cálculo - Aula 2 - CONTINUIDADE

Então vamos lá estamos de volta aí para mais um vídeo dessa Série Especial da semana do tem ciência em que a gente tá fazendo vídeos de aulas de cálculo tá uma coisa diferente né porque o canal ele não é um canal de aulas tem gente que acha que o canal é de aulas mas o canal não é de aulas é um canal de divulgação então nessa semana em comemoração aos 4 anos de existência do ten cência a gente comemora 4 anos agora Em novembro eu tô fazendo para vocês uma Série Especial de vídeos que são

aulas de cálculo eu escolhi alguns tópicos principais e coloquei ali disponíveis para você em formato de aulas ontem a gente teve aula sobre limites e hoje a gente vai ter aula sobre continuidade é um conceito que tem tudo a ver ali com Limites Tá e por que isso também porque além de ser o aniversário de 4 anos deciência a gente vai entrar com uma oferta super especial para você entrar Pro dominando cálculo se você já havia se interessado antes e tava guardando uma oferta especial a hora é essa porque você vai ter oportunidade de entrar

pelo melhor preço da história esse preço nunca mais vai se repetir e você vai poder fazer parte dessa oferta a partir do dia 11 de novembro você vai poder ter acesso a essa oferta especial então clica já no link da descrição ou do comentário fixado para você saber mais a respeito dessa oferta E como que você Vai fazer para conseguir aproveitar E participar e não ficar de fora dessa oportunidade quem perdeu o lançamento Porque durante o lançamento do do dominando cálculo a gente também fez uma oferta especial vai ter agora uma excelente oportunidade de entrar

pro dominando cálculo e depois disso a gente volta pro valor tradicional do dominando cálculo Beleza então a aula de hoje é uma aula sobre continuidade né e é sempre legal a gente começar essa aula Falando sobre os assuntos que vão ser abordados para saber se vai interessar a você então a gente vai abrir essa aula falando sobre um problema impossível de física ou aparentemente impossível de física um problema que a primeira vista parece ser extremamente complicado extremamente delicado mas é um problema muito legal tá e a gente vai ver depois né que esse problema ele

na verdade não é impossível na verdade não é tão complicado assim a gente só precisa ter A as ferramentas certas e a maneira certa de pensar para conseguir resolver esse problema de física que é bem interessante Então isso daí vai se conectar com a ideia de continuidade tá então é por isso que a gente vai sair eh logo de largada falando a respeito de continuidade de funções que é alo que continua o assunto da aula passada que foi limites Aliás se você ainda não viu a aula sobre limites você precisa assistir essa aula porque senão

você não Vai ter como acompanhar a aula de continuidade tá o conteúdo essas cinco aulas que a gente vai fazer ele é um conteúdo cumulativo Então as aulas vão depender do que foi dito nas aulas anteriores além de depender lógico de conteúdos de matemática básica né que a gente chama ali de pré-cálculo aquela parte aquele corte da matemática básica dos assuntos necessários para você mandar bem no cálculo né isso aqui a gente não tá fazendo Mas é claro que tá Lá direitinho para você no dominando cálculo aliás é um grande né um dos grandes diferenciais

do curso é exatamente ele s um curso dois um porque ele tem dentro dele um curso completo também de pré-cálculo que é para você suprir todas aquelas lacunas que tanto atrapalham o seu Progresso na matemática tá eu vou te contar que a maioria dos alunos que TM dificuldade em cálculo na verdade tem dificuldade que vem desde da base tá e quando você corrige essas Dificuldades da base você vai ver que o seu caminho fica muito mais simples pro que vem depois beleza em seguida eu vou fazer uma uma abordagem do conceito de continuidade da maneira

mais rigorosa que tem que é usando épil e deltas quem assistiu a última aula aula sobre limites até o final viu naquela parte né lá no final que a gente entrou no conceito formal de limites e agora a gente vai trazer aquele maquinário dos limites inclusive O maquinário formal dos limites para dentro também do assunto de continuidade Então vou colocar logo para você ali esse esse assunto eu marquei até aqui com asterístico porque é um pedaço mais avançado né então se você não tem tanto compromisso em chegar num altíssimo nível no cálculo especialmente Se você

não for matemático não pretende fazer matemática então eu diria que você pode aproveitar esse momento aí para dar uma relaxada e assistir sem tanto Compromisso assim beleza mas o resto se você quer tirar um proveito real de disso assiste com papel e caneta do lado assiste anotando assiste escrevendo assiste tentando antv aquilo que eu vou dizer se você percebe o fio percebe aonde o negócio vai chegar dá uma pausa no vídeo e de fato escreve no papel aquilo que você acha que vai acontecer às vezes nas contas né como é que você acha que elas

vão se desenrolar e depois você dá o Play e compara porque aí você vai estar transformando isso aqui numa experiência muito mais ativa e quanto mais ativa fosse sua postura diante dos estudos melhor vai ser o seu aprendizado tá a gente não aprende nada de forma passiva muito menos matemática matemática você tem que sujar sujar as suas mãos se você não suja as mãos eu te garanto que você não aprende Você pode ter a ilusão de que tá acompanhando o meu raciocínio aqui mas na hora que você for parar Sentar e tentar fazer por conta

própria você vai começar a ver as dificuldades né enxergar as dificuldade é a primeira etapa do conhecimento tá tá você entender que existe uma dificuldade que existe um problema ali é fundamental para você abrir os seus olhos né torná-los mais abertos e para deixar muito mais luz entrar e você conseguir realmente apreciar melhor aquilo que tá sendo dito pelo professor Tá então vamos lá depois dessa parte da continuidade Formal a gente vai falar num dos resultados mais famosos relacionados à ideia de continuidade que é o teorema do valor no intermediário depois a gente vai ver

que esse teorema é a chave pra gente resolver aquele problema de física que parecia impossível mas que na verdade é possível e até muito simples vamos começar Então vamos começar pelo nosso problema aparentemente impossível de física é o problema muito simples tá imagina que você tem aqui Eu desenhei Para você um carro né um um um vagão de trem né um carro de trem andando num trilho eu não coloquei aqui a locomo Mas você pode imaginar o resto da história tá e o que que acontece esse trilho ele vai ele é totalmente em linha reta

ele não tem nenhum tipo de curva ele não tem subida não tem descida não tem nada ele é plano e vai do ponto a até o ponto b tá você pode considerar aí que eles são extremamente afastados mas são em linha reta tá parece que na Argentina a gente Tem aí uma estrada super longa de não sei quantos mil kilômetros e que eh não se não sei se chega a 1000 km Acho que são 800 km mas é é uma estrada gigantesca em linha reta que cruza boa parte da Argentina tá vamos supor então que

a gente tem essa esse trilho totalmente reto e um carrinho eh sendo movido de alguma forma né então esse carrinho ele vai sair do ponto a e vai chegar até o ponto b Tá mas a maneira como ele vai fazer isso é totalmente por Conta dele tá ele pode não precisa fazer isso de maneira uniforme não precisa ser um movimento uniforme ele só precisa começar no ponto a e ir até o ponto b mas ele pode andar acelerar depois frear ele pode dar ré ele pode voltar acelerar pode ficar parado um tempão enfim não importa

o que importa é que esse movimento aconteça saindo do a e chegando no B agora a maneira como ISO vai ser feito não interessa eh pra gente né E qual que é a particularidade desse problema repara que tem uma espécie de aste aqui né um uma espécie de não é uma alavanca tá é como se fosse ali uma uma madeirinha né Pensa numa madeira num cabo de vassoura alguma coisa assim e que tá presa a esse trem só que ela tá presa de tal maneira que ela consegue ó olha aqui para mim nesse lápis aqui

ela consegue fazer um movimento de giro tá ela tá presa só na ponta mas ela consegue se movimentar na verdade ela se Movimenta sem nenhum tipo de atrito a única coisa que vai influenciar o movimento dessa ache é o próprio movimento do trem aliado à força da gravidade nada mais somente essas duas variáveis vão entrar em questão Beleza então com essa a ela tá solta dependendo do movimento do trem Pode ser que ela se movimente para cá depois o trem freia ela tende aí pra frente depois o trem acelera ela vem para cá e ela

pode ficar se equilibrando a única hipótese que a Gente vai fazer é que se ela bater no chão ela não vai quicar tá ela vai bater no chão e ficar para sempre Então a partir do momento em que essa a tomba ela não vai que cai e retomar o movimento ela vai ficar no chão para sempre seja se ela cair para cá ou seja se ela sair se ela cair pro lado oposto pro outro lado Beleza então essa é a dinâmica da coisa tá você tem aí então um carrinho que está percorrendo um trilho de

Trein no movimento que pode Ser o mais louco possível mas é um movimento pré conhecido ou seja por mais louco que seja esse movimento vamos supor que a posição do carrinho seja descrito por uma função S essa posição S ela vai ser dada por uma certa função que vai depender do tempo o tempo t = 0 é onde ele vai sair e o tempo final é onde ele vai chegar tá então a gente tem aí uma função que descreve esse movimento do carrinho pode ser qualquer função desde que é claro ela vai ser uma Função

que vai variar de maneira suave ali com o movimento do carrinho tá não tem como o carrinho ser teletransportado de um ponto pro outro tá se ele tá aqui daqui a pouco ele tá aqui daqui a pouco ele tá ou ele poderia tá mais atrás enfim a hipótese que a gente vai usar para esse problema é que essa função que di descreve o movimento do do carrinho Ela é previamente conhecida né em termos práticos isso significa o quê que a gente sabe exatamente como que o Carrinho vai se movimentar por mais que ele possa ir

voltar dar ré parar acelerar frear enfim a gente já sabe exatamente qual que vai ser o comportamento dele durante essa durante esse trajeto Essa é a única hipótese que a gente vai fazer tá e a pergunta é será que exe uma maneira da gente posicionar a nossa aste inicialmente que depois que que que o movimento inicia a gente vai soltar de tal maneira que ao final da trajetória a Aste não caia o trem tá indo de até B ele pode fazer um movimento louquíssima vai fazer a a tá solta ali ela tá só se equilibrando

graças ao movimento próprio do trem e e a ação da gravidade e a pergunta é será que tem uma posição que eu possa colocar essa essa ache de tal maneira que eu tenho certeza que quando a a o trem chegar na cidade b a as não vai ter caído ela vai continuar ali no seu movimento de tentar se equilibrar esse problema é um problema Bem interessante especialmente se você já fez aquela brincadeira de tentar equilibrar um um lápis na mão né você movimenta a mão tenta equilibrar você vê que é bem difícil né e parece

altamente improvável que dê para resolver um problema como esse sem conhecer especificamente qual que é essa função FT né pelo menos essa é a minha primeira impressão né como é que eu vou resolver um problema para qualquer função genérica ainda mais um problema desse Que parece ser tão complicado e parece altamente provável que vá ter casos em que não vai ser possível resolver não vai ser possível encontrar uma posição de Equilíbrio pra nossa pra nossa as bom esse é o problema se você quiser você pode nesse momento pausar o vídeo e começar a tentar pensar

em alguma forma de atacar esse negóci mas eh se você tiver uma boa ideia Já posta aí nos comentários né mas a gente vai aqui então continuar passar Pro primeiro ponto que vai ajudar a gente até entender melhor esse problema e começar a criar as condições necessárias para conseguir resolver esse problema e vocês vão ver que vai ser com muita facilidade que a gente vai conseguir resolver isso não coisa problema aparentemente impossível vai se tornar possível e a chave pra gente começar a entender esse problema é a ideia de continuidade movimento contínuo uma coisa que

é é Intuitiva né e é um tipo de intuição que vem desde os antigos já se falava nessa coisa do movimento contínuo mas a formal disso só veio mesmo depois da criação do conceito de limite tá então é uma coisa assim relativamente recente dentro da história da matemática a matemática ela é multimil enar e o conceito de limite é uma coisa lá do século XIX então não faz tanto tempo assim considerando que a matemática é multim milenar não faz tantoo não faz tanto tempo assim que a Gente tem aí uma ideia mais rigorosa de do

que significa continuidade Mas vamos começar de uma forma assim como a gente fez com limite Vamos começar com apelando mais para coisas mais palpáveis bom eu tenho uma função né uma função f e aqui eu coloquei a função já quebrando os eixos né Eu peguei o eixo horizontal e desloquei para cá o eixo vertical tá aqui então essa função ela pega valores no eixo horizontal e leva em valores do eixo Vertical como qualquer função como qualquer função de uma variável imagine então que essa função no ponto a vha f de a e o que que

para você remete a ideia quando eu digo que essa função é contínua no ponto a que que isso parece né para mim parece o seguinte parece bastante razoável imaginar que continuidade quer dizer que se eu vou me aproximando do ponto a o valor da função tem que se aproximar do Valor da função do ponto a ou seja do F de a isso é o que intuitivamente significa ser contínua tá então se eu reservo aqui um pedacinho um intervalinho ao redor do ponto a do ponto a e eu marco aqui o outro intervalinho ao redor do

ponto f de A então eu posso escolher esses intervalinho de tal maneira né que se eu pegar aqui por exemplo um X aqui ó perto do a então o f Dex vai também cair no intervalinho ao redor do F de a Ou seja vai cair perto do F de a também tá isso tem que valer ó para qualquer outro ponto aqui que eu pegue no intervalinho eles sempre vão corresponder a pontos no intervalo da imagem tá então intuitivamente essa esse é o começo da ideia de continuidade né se eu tô perto do a a f

Dex tem que tá perto da F de a beleza se a gente for pensar assim um pouco mais fisicamente se você imaginar que a a FX Descreve por exemplo o equilíbrio de alguma de Algum objeto tal o que essa ideia significa né é que pequenas perturbações nesse objeto nesse equilíbrio vão gerar pequenas pertur ações no na posição do objeto tá em outras palavras né se eu tô no ponto a e saio um pouquinho do ponto a Vou para um ponto x mais perto de A então o meu F vai sair só um pouquinho também do

F de a ou seja vai continuar perto né o f de x vai continuar perto do FDI nesse sentido que a gente fala em perturbação tá pequenas perturbações na variável independente vão gerar pequenas perturbações no f Dex ou seja na variável dependente Beleza então essa também é uma maneira de você começar a enxergar o que significa continuidade tá e não é mera coincidência que essas coisas lembrem muito aquilo que a gente conversou a respeito de limite já já você vai ver Porquê Tá uma terceira visão que é Talvez assim eu acho que a mais geométrica

mais intuitiva de todas talvez é a versão gráfica da continuidade né graficamente O que que significa uma função ser contínua né de maneira intuitiva significa que o seu gráfico não tem buracos tá é como se o gráfico dessa função pudesse ser desenhado sem que você precise jamais tirar a caneta do Papel Beleza então aqui a gente tem na na esquerda o exemplo de uma função Contínua né você repara que o movimento ele nunca sai do papel e na direita a gente tem um exemplo de uma função descontínua claramente aqui ó eu precisei tirar a caneta

para continuar o desenho você vê que tem um GAP aqui que tem um buraco separando o gráfico em duas partes tá então isso aqui intuitivamente tem que representar uma função que é descontínua e aqui a gente chega finalmente naquele conceito que eu falei Que vai trazer o mundo do limite para que a gente entenda o mundo da continuidade Então a gente vai definir o que é continuidade com base na ideia de limite tá e a gente vai dizer simplesmente que uma função f ela é contínua no Ponto X = a se o limite quando o

o x tender a a da F Dex foi exatamente igual ao f de A tá então essa é a nossa a nossa condição e na verdade essa é a nossa grande definição de continuidade Isso já é uma definição rigorosa Porque a gente já definiu na outra aula de forma totalmente rigorosa o que significa um limite então quando eu uso a definição de limite para dar uma definição de continuidade eu já tô sendo rigoroso porque o limite já estava definido de forma rigorosa então ó mesmo que você não tenha visto a parte de definição rigorosa de

limite da última aula você pode já considerar que já está com uma boa definição de de continuidade Ao considerar que uma função é contínua quando o limite da F Dex quando X tende a é igual a própria f de a E lembra que o que eu falei a respeito de limites né na última aula eu falei que o limite ele representa a expectativa que a gente vai formando a respeito da função em torno de um ponto A tá então o limite quando a função quando o X tende a aum F Dex é aquilo que a

função deveria ou pareia ser né pareceria que ela estaria caminhando para esse limite Tá e agora Eu vou dizer que a função é contínua quando essa expectativa se concretizar Ou seja quando aquele limite foi exatamente o valor da F no ponto A tá então existe uma tendência e essa tendência não tá frustrando a gente ela está confirmando a expectativa de que o valor da função no ponto a corresponde a sua expectativa tá ou seja vamos olhar aqui ó novamente a gente tem aqui os mesmos gráficos das duas funções tá no caso aqui a função da

esquerda é uma Função que é contínua repare então que a expectativa conforme eu vou me aproximando do a vamos reparar aqui no gráfico Ó você vê que o gráfico da função C seja pela direita seja pela esquerda eles vão se aproximando do mesmo valor e esse valor do qual ele vai se aproximando é exatamente o próprio valor do F de a aqui no outro caso nesse caso aqui a gente tem o exemplo de uma função descontínua por quê Porque as Expectativas falham se eu venho pela direita repara que o gráfico tá indo para um valor

que é exatamente o valor do f de a beleza só que pela esquerda não a expectativa Que A Gente Tá formando é que a função ela atingisse esse valor aqui de baixo e não aquele valor lá de cima você se lembrar da última aula que a gente falou sobre limite o que tá acontecendo nesse caso aqui é que o limite à esquerda o limite à esquerda do a Ou Seja quando X tende a a menos a pela esquerda ele tá diferente do limite quando X tende a a pela direita certo Apesar desse limite aqui à

direita ser igual ao próprio valor da F tá Então nesse caso aqui é um caso em que não existe o limite o limite sequer existe porque o limite à esquerda é diferente do limite da direita como o limite sequer existe também não vai existir continuidade a função ela vai ser descontínua então como eu já Adiantei Para você jogar com os limites dentro do mundo da continuidade já é jogar de maneira precisa já é jogar de maneira rigorosa a gente pode realmente definir de forma precisa que continuidade num ponto x = a significa dizer que o

limite quando X tende a a da F Dex é exatamente igual a f de a Ou seja a expectativa que é formada Corresponde à realidade ela se concretiza e a função atinge o limite e o limite é exatamente O valor da função naquele ponto beleza repara que a gente falou aqui a respeito de continuidade num ponto tá a continuidade em relação ao ponto x = a a a função é contínua naquele ponto mas a gente pode falar mais amplamente de continuidade da função em relação a um conjunto tá aqui eu tô falando em relação a

um ponto mas a gente também pode definir a continuidade em relação a um conjunto eu posso dizer que a f é contínua no conjunto aão se o quê ela For contínua em todos os pontos do conjunto azão ou seja se ela for contínua em x = a para todo a pertencente ao aão Lembrando aqui que esse essa espécie de a de cabeça para baixo significa para todo né então x igualem ela for el a f for contínua em x = a para todo a pertencente a a para todo a que seja um elemento do azão

beleza e quando a função é contínua em todo o seu domínio né quando esse azão em que a função é contínua é o próprio Domínio da função a gente diz simplesmente que a função ela é contínua beleza Vamos então pro exemplo esse exemplo aqui é um exemplo que eu vou fazer de uma maneira mais rigorosa tá então se você não viu aquela parte lá da aula passada a respeito da definição rigorosa de limite não precisa criar neuro aqui eu vou expor para você como é que essas coisas se adequam à aquela linguagem da aula passada

bom o objetivo aqui é mostrar Que essa função a função ra X é uma função contínua ou seja ela é contínua e todos os pontos do seu domínio e o domínio dessa função é o conjunto dos pontos x maiores ou iguais a zero aqui eu vou considerar só o x maior do que zero bom como é que a gente vai fazer isso tá a gente precisa mostrar a gente quer mostrar né queremos mostrar que para ver que a função é contínua a gente precisa mostrar que o limite Quando X tende a a da raiz de

X é o qu o valor da função no ponto a Ou seja é raiz a sempre que o a for um número maior do que zero é isso que a gente precisa fazer aqui tá bom e a gente vai fazer isso usando a definição rigorosa de limite tá lembrando que a definição rigorosa de limite era o qu né vamos escrever ela aqui rapidinho a gente dizia o qu que o limite vou aproveitar isso aqui ó que o limite É igual a raiz a se o qu se a gente tiver que para todo é positivo existir

um certo Delta maior do que z0 tal que se zer for menor do que o módulo do x- a menor do que Delta então então então o valor da função no x né rax menos o candidato a limite que é o raiz a tem que ser o qu a distância entre Esses caras né o módulo da diferença entre eles tem que ser menor do que esse é não entendi nada olha isso daqui é exatamente o conteúdo final da última aula da aula passada a aula sobre limite tá então é imprescindível que você passe lá para

você entender essa sentença aqui em laranja Essa é a definição de limite específica para esse limite aqui mas a gente falou de uma maneira bem longa a aula passada foi uma aula bem longa né foi uma aula ali de mais ou menos 2 Horas em que a gente conversou apenas sobre Limites Tá então recomendo que você volte lá caso você nunca tenha visto isso daqui ou ainda não se sinta muito seguro com relação a isso aqui e preste atenção também no que eu falei a respeito de como que a gente vai ganhando a intimidade com

isso aqui não é da noite pro dia você precisa ir vendo e tendo visões diferentes e se inteirando e fazendo exercícios e aos pouquinhos que você vai ganhando a Intimidade com esse negócio aqui até que um belo dia você vai ver que você praticamente casou com esse negócio esse negócio faz parte da sua vida e você não esquece nunca mais desde que você tenha aprendido de verdade tá bom então o que que a gente tem que fazer a gente tem que fazer a coisa se encaixar nessa definição aqui e E como eu falei na aula

passada a gente sempre começa resolvendo de trás paraa frente fazendo engenharia reversa então se eu quero garantir que Existe um Delta como esse eu começo pelo final e vou fazendo engenharia reversa para tentar encontrar um Delta conveniente que me Garanta que eu posso fazer o caminho contrário Beleza então ó nosso ponto de partida vai se analisar exatamente essa expressão aqui rax - √ a em módulo tá E aqui entra mais uma vez aquela velha técnica que a gente vê muito lá no pré-cálculo do dominando o cálculo que você deveria ter visto durante seus estudos na

época da escola Que é o quê que é você primeiro multiplicar e dividir pelo mesmo valor o que não afeta a fração e segundo usar uma ideia de produtos notáveis pra gente se livrar dessas raízes quadradas né porque você fazer diferença de raiz quadrada não é uma coisa muito amigável eu pelo menos não gosto de ver Raizes quadradas assim eu quero me livrar de raízes quadradas numa situação como essa de diferença tá e a maneira como a gente faz isso é usando o fato de que a Diferença de quadrados é o qu é a diferença

dos números vezes a soma deles só que a gente vai fazer isso inversamente tá então ó por que isso né porque se eu tivesse um quadrado aqui eu me livraria dessas raízes certo então eu vou fazer aparecer um quadrado eu vou usar essa ideia do produto notável de maneira inversa de maneira contrária então eu vou multiplicar em cima e embaixo pelo Quê pela raiz de X + a ra a beleza vou fazer isso daqui e para compensar né já que eu multipliquei em cima eu preciso multiplicar embaixo não vou botar aqui tá saindo esquisito né

vamos ver se eu dou um jeito aqui não vou botar aqui entre barras de módulo porque isso daqui é sempre positivo né rax Por definição é sempre uma coisa não negativa tá então rax mais A certamente é algo positivo bom isso aqui é o que né isso aqui ó usando produto notável é diferença vezes a soma é o qu é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo só que o quadrado da raiz é o qu o próprio x e o quadrado da outra raiz é o próprio A então fica aqui o módulo de

x- a dividido por rax mais a raiz de a beleza E agora como a raiz é sempre uma coisa positiva esse cara Aqui ele é o qu ele é pel menos igual a ra a só como tá dividindo como tá dividindo eu posso Com certeza dizer que isso daqui é o quê é menor do que ra a porque o denominador é pelo menos ra a quando X é 0 o denominador vai dar exatamente ra a e daqui ele só cresce como eu tô somando uma raiz de X esse negócio só cresce Portanto ele nunca vai

ultrapassar esse valor aqui quanto maior o denominador menor vai ser a Então o valor máximo para essa diferença aqui nunca vai ultrapassar isso daqui tá então a gente tem essa primeira desigualdade aí bom então agora imagina seja é maior do que zero esse seja é uma coisa que você só vê dentro da matemática eu não conheço nenhum outro lugar talvez aparece ter uma linguagem à vee bíblica né não sei mas tirando Talvez isso No resto do mundo ninguém fala seja mas na na matemática a gente Fala seja é maior que zero para dizer assim dado

um é maior do que zero ou consid um é maior do que zero mas na matemática é comum falar seja Então seja Y maior do que zero tá então eu tô fazendo o quê eu tô pegando um número positivo qualquer um é Tá bom então o que que a gente vai fazer aqui agora né Vamos então ó repara o seguinte Né repara o seguinte Em algum momento eu vou fazer o quê eu vou fazer Esse x- a ser menor do que um certo Delta só preciso descobrir agora quem que é o delta mas repara que

aqui eu tenho exatamente o módulo de x- A tá então se esse módulo de X - a for menor do que esse Delta que eu quero descobrir então com certeza isso aqui vai ser também menor do que Delta so ra a beleza e para garantir que isso daí seja esse cara aqui né especificamente seja menor do que basta então eu eu posso até botar igual aqui eu posso até Fazer isso aqui ser igual a se isso acontecer então com certeza a diferença das raízes Vai ser menor do que Y certo então aqui ó se eu

fizer Então vamos apagar isso aqui se eu fizer então Delta igual a ra a x com certeza com certeza eu vou ter o quê eu vou ter o qu vou ter que o módulo dax - a- a que tá aqui em cima é menor do que isso aqui portanto é menor do que o qu do que x - a so a só que isso aqui vai Perder para Delta só que o delta é exatamente ó √ a e aqui tenho so ra a cortei ra a com ra a subu apenas Ou seja eu provei que

dado um é qualquer se eu tomar o delta como sendo ra a x então a diferença da RA X Men A é menor do que provei então o qu provei que logo o limite pela definição X tende a a da rax é exatamente igual o qu exatamente igual a própria raiz de a provê então que a função rax é contínua No ponto contínua em todos os pontos x maiores que zero beleza dentro da matemática né quando a gente quer entender um conceito como esse da continuidade tem um conceito que fala assim é um conceito afirmativo

né Ele fala a função é contínua mas também tem a hipótese da função não ser contínua e às vezes a gente a gente realmente ganha uma compreensão melhor daquilo que é investigando também aquilo que não é Ou Seja a gente vai alcançar uma compreensão melhor do que que significa a função ser contínua olhando para quando a função é descontínua Ou seja quando ela deixa de ser contínua analisar descontinuidade também também faz parte do próprio estudo do próprio refinamento do entendimento a respeito da continuidade tá e a gente tem essencialmente dois tipos diferentes né de de

continuidade dentro desse universo tá o primeiro tipo que é o tipo mais Simples mais querido e toda vez que a gente encontra a gente fica feliz é o que é a descontinuidade que a gente chama de removível Exatamente porque literalmente a gente pode retirar a descontinuidade tá e o que que é Então essa descontinuidade removível é exatamente quando a gente tem uma situação como essa daqui da figura tá repara que nessa figura ao redor ali do ponto A A gente tem aqui ó um buraco no gráfico e a função tá definida aqui em Cima é

uma redefinição que repara que ela parece artificial e ela é artificial ela é uma definição exótica a gente não esperaria isso e por que que a gente não esperaria isso porque quando a gente vai se aproximando do ponto a tanto pela esquerda quanto pela direita a gente está tendendo ao mesmo valor certo que seria aqui embaixo ó e não aqui em cima seria esse cara e não esse cara daqui certo então a expectativa que vai sendo Formada é essa ou seja o limite quando quando X tende a a existe é bem definido só que o

que tá acontecendo aqui é que o valor da função é diferente desse limite esse aqui é o problema tá o problema aqui então é que o limite quando X tende a a da FX ele existe porém ele é diferente da F A E essa é a melhor situação do mundo porque que que eu faço então para rir entre aspas isso ao invés de trabalhar com a função FX eu trabalho Com uma outra função vamos chamar aqui de F barra x que é o quê que ela é definida como sendo a própria F Dex se o

x for diferente de a e no ponto x igual a eu defino como o limite eu vou trocar o valor da função nesse ponto quando o x foi igual a A tá então Ó o limite nesse caso aqui é o quê é esse camarada daqui esse aqui é o limite da F Dex quando X tende a A então a minha F barra ao invés de ter esse ponto aqui em cima Esse pontinho aqui vai fechar e a coisa vai Virar uma linha contínua beleza é uma descontinuidade removível beleza eu posso modificar a função no ponto

para fazer a função ser contínua nesse ponto bom ex exemplo dessa situação é esse exemplo aqui da função fx = X qu x seno de pi so x quando X é diferente de 0 e quando x é igual a 0 a função Vale exatamente 1 repare então que a gente tem essa definição exótica aqui tá essa função é uma função cujo limite de fato Vai para vai para zero conforme o x se aproxima do zero isso é uma coisa que a gente pode fazer faz e avaliar por exemplo usando o teorema do Sanduíche né que

foi uma coisa que a gente viu na aula sobre Limites Tá que que era a ideia do teorema do Sanduíche a gente expreme a nossa função entre duas outras funções e essas duas outras funções elas tem o mesmo limite então a função do meio a função que a gente espremeu vai também ter o mesmo limite tá no caso Aqui por exemplo ó repara que essa FX ela fica ali espremida entre - x qu é menor ou igual a FX que é menor ou igual a x qu por quê Porque o seno tá sempre entre -1

e 1 não importa o valor do argumento o seno real né ele fica sempre entre -1 e 1 então Ó a função f vai ser sempre maior ou igual a - x qu e menor ou igual ao x qu então a gente a gente a gente até até poderia arriscar aqui fazer esse desenho dessa parábola aqui Ó essa é a parábola x qu e essa aqui lindamente desenhada é a parábola men X qu elas vão expremer paraa aqui no zero repara aqui no zero a função de cima e a função de baixo ambas tendem a

zer tá então a função do Meio pelo teorema do sanduí também vai tender a zero Então como o limite da F Dex quando X tende a 0 é igual a z0 que no caso aqui é diferente Né do valor para qual função tá definida a gente poderia só trocar esse ponto trazer esse ponto daqui de cima aqui para baixo né botar ele aqui no zero e aí você vai ter bonitinho uma nova função que é perfeitamente contínua bom e qual que é o outro tipo de descontinuidade é aquela da qual a gente não consegue se

livrar é a chamada descontinuidade essencial Exatamente porque ela não pode ser removida é faz parte da essência da função ser daquele Jeito não foi fruto de uma definição exótica fora daquele do ponto que a gente tá considerando tá é uma é uma definição de uma função que por essência é descontínua bom dentro dessa classe né das funções descontínuas de forma essencial a gente tem ali alguns subtipos tá primeiro subtipo é o subtipo de salto são as descontinuidades de salto é porque literalmente a função dá um pulo ela se divide ali em dois ramos né diferentes

Ao redor de um ponto primeiro exemplo é um exemplo de uma função que é bem famosa que é chamada da função sinal ela vale um para valores positivos menos um para valores negativos e no ponto zero a gente define como sendo igual a 0 repara que a gente tem um GAP aqui da função justamente no ponto zero tá para valores positivos o limite lateral é um quando X tende a zero e para valores negativos o limite lateral é -1 quando X tende a zero isso não corresponde a Definição da função no ponto e além disso

significa também como os limites laterais são diferentes né o limite à esquerda é diferente do limite à esquerda além da função não corresponder à definição esperada né a gente sequer pode falar em definição esperada porque o limite não existe já que os limites laterais Eles são diferentes tá então como o limite de X tendendo a 1 pela esquerda é diferente Do limite tô botando F Dex mas é a função sinal que tá em jogo aqui tá o limite dessa função quando X tende a 1 pela direita é Diferente de quando X tende a 1 pela

esquerda então o limite não existe então a gente está diante de um típico caso de descontinuidade Essencial nesse caso aqui a descontinuidade de salto por quê Porque os limites laterais existem ambos existem só que eles são diferentes e aí isso dá um realmente um Um GAP né um salto ali na função Beleza o segundo tipo de descontinuidade essencial é quando a gente tá diante de uma descontinuidade do tipo infinita tá que que significa isso significa que o valor da função explode perto do ponto de interesse é exatamente o que acontece com a função 1 so

x qu diante do zer para aqui ó que essa função ela explode né ela vai tendendo a infinito tanto quando a gente se aproxima pela esquerda quanto quando A gente se aproxima pela direita tá então como você não tem um valor real um número real definido para o qual essa função vai tendendo a gente diz que o limite ele naquele sentido clássico ele não existe Tá mas no sentido de limite infinito que é algo que a gente não falou na última aula não falou na aula sobre limite mas está obviamente dentro do dominando cálculo se

você já conhece essa linguagem você pode dizer que o limite aqui ele é infinito tá o limite Aqui nesse caso aqui ele é infinito quando o limite é infinito não é a mesma definição de limite que a gente deu na última aula tá é um caso um pouco diferente e isso aqui na verdade é é quase que uma forçação de barra de notação dizer que o limite ele é infinito limite classicamente não existe nesse caso porém a gente consegue dar um sentido eh para ele quando a coisa vai crescendo indefinidamente e a gente chama isso

de limite ser infinito Mas é um pouquinho diferente a definição como eu falei tá lá no dominando cálculo aliás vamos lembrar aqui que em breve a gente vai abrir a oferta especial de Black Friday Black November ali a partir de 11 de novembro a melhor oportunidade da história para você adquirir o dominando cálculo mas vamos em frente olha só um outro exemplo numa situação que é essencialmente igual mas ela tem uma pequena diferença que é o caso dessa função aqui 1 sobre x a diferença é que a função Ela vai para mais infinito à direita

e vai para menos infinito à esquerda tá os dois estão indo para infinito só que um vai para um lado o outro vai pro outro mas a função ela não deixa de ter uma descontinuidade do tipo infinita por isso Beleza uma situação bem parecida com a outra o terceiro tipo terceiro tipo de continuidade de descontinuidade do tipo essencial é o tipo de descontinuidade Mais selvagem que tem que é a descontinuidade oscilatória significa o quê repara que na descontinuidade de Salto a gente tinha meramente uma diferença entre limites laterais mas os ambos os limites laterais existiam

na descontinuidade do tipo infinita pelo menos um dos limites laterais tem que ser infinito que aí já é uma coisa diferente tá o GAP da função já é infinito e eh o terceiro tipo é o tipo Mais selvagem que é o tipo oscilatório né a gente não tem um limite definido nem de maneira infinita tá a função não é que ela esteja explodindo ela pode estar ali perfeitamente limitada Só que ela oscila tão rápido que ela não vai para lugar nenhum a gente não consegue ver para onde ela tá indo Porque ela tá indo praticamente

para todos os lugares ao mesmo tempo é isso que significa a descontinuidade do tipo oscilatório é exatamente o que acontece com essa Função aqui ó seno de 1 sobre x quando X é diferente de z0 e quando x igual a 0 a gente define aqui de qualquer forma eu botei no caso aqui eh o valor da função como seno zero mas poderia ser qualquer outro número não mudaria em nada o fato de que essa função ela é descontínua no zero é impossível encontrar um número aqui que eu pudesse botar no lugar do zero que tornaria

essa função com contínua exatamente por quê Porque 1 sobre x que que tá acontecendo quando o X tá se aproximando de zero 1 sobre x vai se tornando cada vez maior tá quando o x se aproxima do zero pela direita esse 1 sobre x tá indo para infinito quando X sobre 1 sobre x quando X se aproxima de zero pela esquerda 1 sobre x vai para - infinito e o seno é uma função oscilatória ele fica oscilando entre -1 e 1 o tempo inteiro indefinidamente e aí ó por um lado a função ela tá e

o o 1 sobre x como ele tá crescendo isso Vai forçar o seno a Ficar oscilando e oscilando cada vez mais rápido conforme o x se aproxima de zero tá então essa função ela tem um um comportamento completamente louco e oscila cada vez mais mais mais rápido à medida em que o x se aproxima do zero tá então a gente não consegue nem enxergar um valor para o qual essa função poderia convergir porque ela de fato não converge para nada ela assume todos os valores ali entre os1 e 1 de forma cada vez mais rápida

o tempo todo à medida Que o x vai tendendo a zero bom vamos falar agora de uma ideia que tá ligada à ideia de limite lateral que é definir o que que significa a função ser contínua num ponto de extremo de um intervalo né Vamos imaginar que a função ela tá sendo definida no intervalo fechado tá que vai do a até o b inclui os extremos o que a gente falou até aqui de continuidade só vai se aplicar no caso em que a gente tá lidando com pontos que são interiores ou seja pontos que estão

dentro do Intervalo porque a gente precisa definir o limite e o limite ele precisa tá definido na direita e na esquerda também tá então para falar em continuidade nos extremos a gente precisa de um conceito um pouquinho diferente mas não muito diferente que é justo justamente usar a ideia de limites laterais Então como é que a gente vai fazer isso a gente vai dizer que a função esse aqui é o desenho típico de uma função que é contínua nos extremos também E por que que ela é Contínua nos extremos né Por que que ela é

contínua aqui no a Porque conforme o X tende a a pela direita já que não faz sentido tender pela esquerda porque a função não tá definida aqui a função só tá definida entre o a e o b tá então Ó a medida em que o X tende a a pela direita repara que a f Dex ela vai tendendo ao f de A então a gente diz que a função ela é contínua por quê Por que que ela é contínua no ponto a porque ela é contínua à direita do a e no ponto b de Maneira

análoga ela vai ser contínua se a se a gente ao se aproximar do B pela esquerda né portanto dentro do intervalo a o valor da função a f Dex de fato se aproximar da F Deb então é só isso que significa a continuidade nesse caso aqui dos extremos tá então a gente diz que a f ela é contínua no extremo a no extremo menor se ela for contínua à direita ou seja se o limite lateral quando X tende a a mais foi igual ao f de a e analogamente a função ela vai ser Contínua no

seu extremo à direita no no ponto b se ela for contínua à esquerda do B ou seja se tomando valores de x menores do que B ou seja o limite quando X tende a b menos pela Esquerda do B foi igual ao próprio f de B beleza essas coisas né se você Ah tô na dúvida como é que é mas é na direita só que eu ten considerar continuidade à esquerda e tal tenta sempre desenhar né tenta sempre pegar aqui fazer um gráfico Zinho fazer uma pequena simulação Zinha Para você não ficar se confundindo de

bobeira eh com essa com esse tipo de terminologia tá lembra só que a esquerda é literalmente a esquerda né portanto pela orientação padrão da reta né que coloca os números menores à esquerda e os maiores à direita é porque você tá se aproximando por baixo vamos dizer assim por valores menores e à direita você tá se aproximando por cima por valores maiores só isso bem tranquilo de lembrar tá que assim a pior coisa que tem é você Tentar memorizar essas coisas e fazer isso só lendo né sem ter a visualização geométrica do que que isso

significa é aí que você se confunde né construir uma intuição geométrica normalmente é o melhor caminho para você lidar com os conceitos tá então procura sempre fazer isso toda vez que você for aprender alguma coisa procura visualizar esse negócio geometricamente porque ajuda muito bom agora é aquela hora que a gente separa os adultos das crianças por Quê Porque a gente vai introduzir a linguagem de epsilons e deltas aquela linguagem formal dos limites agora no mundo da continuidade tá eh vai ser muito mais fácil Se você viu a aula passada se você não viu vai ser

impossível para você mas eh se você tem interesse nessa parte aqui você precisa voltar lá na aula passada e eu recomendo que você reveja aquela parte em que a gente fala sobre o conceito formal de limite tá que não é uma coisa simples de Entender não é algo que você vá pegar assim de primeira normalmente mas é válido eh até você acompanhar isso aqui com carinho porque é uma nova oportunidade de você ter contato com aquela mesma coisa com aquela mesma ideia tá aí você vai aos pouquinhos evoluindo o seu entendimento a respeito disso construindo

uma visão mais sedimentada a respeito desse conceito que é importantíssimo dentro da Matemática Especialmente para quem vai Seguir matemática né quem quem vai fazer uma faculdade de matemática precisa realmente dominar raciocínios envolvendo és e deltas tá então estão aí mais uma oportunidade para você brincar um pouquinho com essas coisas tá então ó nosso objetivo agora é o quê é definir continuidade de maneira formal usando éons e deltas mas repara que a gente já tem uma definição do que que é a função ser contínua é o quê é o limite vamos supor aqui né no Ponto

X = a que que é a Função ser contínua no a é o limite quando X tende a a ser igual o qu ser igual a própria f de a lembra então quando a gente introduziu o conceito formal de limite né que quando a gente tinha um candidato a limite que no caso aqui é o f de a que que a gente fazia a gente imaginava uma um feixe né uma margem de erro ao redor desse ponto uma margem de erro ao redor desse ponto candidato a Limite e essa margem de erro ela tem o

quê Ela tinha ali um imagina aqui que eu continuei ela tem aqui um raio é né ela tá aí a uma distância é do ponto de interesse tá ou seja essa linha laranja aqui de cima ela é a linha constante y = f de a mais e aqui embaixo eu tenho o f de a os é isso determina então uma certa margem de erro aqui tá Então essa conversa começa sempre da Mesma forma né você vai lá e escolhe um é maior do que zero uma certa margem de erro isso determina essas faixas na parte

essas faixas horizontais tá E aí para provar que o limite de fato é o f de a eu preciso encontrar faixas verticais ao redor do a de maneira tal que o f Dex de todos os elementos dentro da minha faixa vertical caia dentro dessa faixa horizontal laranja ou seja n em outras palavras eu tenho que ser capaz de Formar aqui uma faixinha vertical vamos pegar aqui por exemplo tem que ser mais apertada né então ó vamos estreitar mais aqui né tal que o qu que que está acontecendo aqui vamos fazer essa faixinha aqui Azul então

eu encontrei uma faixinha azul que começa aqui num num certo a menos Delta esse Delta é um número positivo e termina num a mais Delta tal que olha só a interseção entre essas entre a faixa azul e a faixa Laranja ela contém o gráfico da função entre os pontos a - delta e a + delta em outras palavras qualquer valor que eu pegue aqui de X dentro desse intervalo o FX dele vai cair também dentro daquela faixa de erro ao redor do F de A tá então essa era uma das visões intuitivas que a gente

deu a respeito do que que significa limite né no conceito formal peguei dado um erro eu encontrei uma um intervalinho de tamanho Delta ao redor Do ponto a tal que todos os pontos dentro do intervalinho o f Dex Dele deles caem dentro desse intervalinho de tamanho ao redor de raio é né ao redor do nosso fda escrevendo isso em linguagem de é e deltas como a gente viu na aula passada a f no ponto a se o limite da F Dex quando X tende a a foi igual a f de a ou seja se para

qualquer maior do que zer existir um Delta maior do que zer tal que se o Módulo de X - a for menor do que Delta então F Dex - f a for menor do que y e aqui nesse ponto se você for uma daquelas pessoas extremamente atenciosas você vai chamar minha atenção vai falar assim Daniel está faltando como a gente tá falando de limite tá faltando botar aqui ó maior do que zero por quê Porque o limite não se importa com o que acontece no ponto verdade o limite não se importa com o que acontece

no ponto mas repara que a gente tá justamente Dizendo que continuidade significa que o limite é quando o limite corresponde né é quando esse limite corresponde ao valor no ponto é quando o limite da F Dex quando X tende a é igual a própria f a certo aqui tá o meu candidato a limite pô mas então se eu incluísse o a na jogada e eu permitisse né vamos apagar esse cara aqui e eu permitisse que o x fosse igual a a isso aqui também daria o quê isso aqui daria zero f a men f de

a dá 0 então vai satisfazer Automaticamente ele ser menor do que é por isso que eu não preciso colocar aqui que esse negócio é maior do que zero Porque como o limite tem que ser o f de a Aqui ó pode dar zero pode ser x = a porque aqui vai dar zero também f de a - f a d 0 então a gente não precisa colocar esse maior do que zero ali para garantir que a função é contínuo no ponto a beleza Bom exatamente o teor dessa observação que eu deixei aqui pré Anotado para

você né quando a gente tá lidando com o limite a gente tem essa ressalva de que tem que ser maior do que zero só que como agora o l tem que ser o próprio f de a a gente pode incluir o zero então não tem nenhum tipo de problema em fazer como a gente fez aqui na definição né e não considerar que tem que ser maior do que zero tá não faz nem sentido considerar que tem que ser maior do que Zero nesse caso aqui bom então vamos lá vamos fazer um exemplinho mostrando pela definição

que o seno de x é uma função contínua Então vamos mostrar aí que a nossa intuição tá correta e o seno de x de fato é uma função contínua tá aqui a gente vai ver um pouquinho de coisas necessárias do pré-cálculo Especialmente em trigonometria para você conseguir mostrar esse negócio aqui tá bom Que que a gente precisa fazer a gente precisa mostrar que a função ela é contínua em todos os pontos do domínio tá a gente tá falando que a função ela é contínua de um modo geral e o domínio dessa função é toda reta

Então vou partir de um ponto a qualquer na reta real então o que que a gente quer fazer a gente quer provar que o limite quando X tende a a do seno de x é Igual ao seno de a para qualquer a pertencente a r Mas isso é equivalente a fazer o seguinte ó Isso é equivalente a mostrar que o limite do seno de a + h onde o h tende a zer é igual ao seno de a é a mesma coisa eu só tô escrevendo de uma maneira diferente e por que que eu fiz

isso porque agora é mais conveniente para mim porque eu vou poder usar as fórmulas da trigonometria tá aquele aquele tipo de Coisa que você talvez tenha visto alguma vez na sua vida no ensino médio e não deu muito valor a menos que você tenha feito aí concursos e militares né em que isso é bastante exigido mas se você não fez Provavelmente você não deve ter usado não deve ter tido muita oportunidade de usar trigonometria Tá mas ela é extremamente importante dentro do cálculo tá quando a gente vê limites a gente já precisa de trigonometria quando

a gente vê derivadas a gente Precisa de um pouquinho a mais e quando a gente vê integral a gente precisa a rodo de trigonometria porque realmente existem várias técnicas de integração que dependem de você ter um grande conhecimento a respeito da da da trigonometria então é muito importante você cuidar dessa parte né Isso tá exaustivamente feito lá na parte pré-cálculo do dominando cálculo né que não sei se você já sabe mas vai ter aí a nossa black friday né tô falando aqui Repetidamente porque tem gente que assiste esses vídeos pulando Tá mas vai ter black

friday do dominando cálculo e vai começar no dia 11 de novembro tá aliás 11 de novembro é exatamente o dia em que a gente fez a primeira publicação do primeiro vídeo da história do ten cens foi 4 anos atrás 11 de novembro de 2020 tá então 11 de novembro de 2024 vamos abrir a nossa black friday Bom vamos lá eu falei que a gente vai precisar das fórmulas de trigonometria Tá a primeira delas né É o quê é o seno é escrever esse cara aqui em termos apenas do seno de a do seno de h

e do Cosseno também então Ó o seno de a mais H lá da trigonometria Ele é igual ao quê Ele é igual ao seno de a vezes o cosseno de H mais o cosseno de a vezes o seno de H certo então ó se eu chegar aqui e subtrair o seno de A dos dois lados dessa equação vai ficar o qu eu posso botar aqui em evidência fica um seno de a vezes sen de H - 1 mais cosseno de a vezes o seno de H certo [Música] Agora eu quero que você faça uma observação

aqui vamos eu peguei já deixei aqui desenhado um círculo trigonométrico aqui bonitinho para Facilitar a vida repara no seguinte Né repara a primeira coisa aqui dar até um zoom aqui para ficar melhor para enxergar repara o seguinte ó vamos imaginar que a gente tá aqui em radianos né então esse arco aqui de fora ele vale h tá esse arco aqui ó vamos imaginar que esse arco Vale H vou botar de vermelho se esse é o caso significa Então se esse cara aqui né Tem tamanho um a gente tá no círculo unitário aliás da onde que

você tirou isso Daniel isso também tá na parte pré cálculo do dominando cálculo também faz parte do estudo básico de trigonometria que você deveria trazer com você lá do ensino básico mas se você não trouxe você precisa suprir essa lacuna tá você precisa preencher essa lacuna porque senão atrapalha demais veja o quanto que os conceitos lá de trás fazem-se Presentes agora e fazem a diferença entre o aluno que vai mandar bem e aquele aluno que vai ficar tropeçando o tempo inteiro em um monte de coisa que ele não aprendeu muito bem Beleza então por isso

que refazer a sua base e aprofundar também é tão importante e é por isso que a gente faz isso no início do dominando cálculo né as primeiras 20 e poucas horas do curso são só isso são apenas PR cálculo para você suprir essas lacunas Bom nesse caso aqui esse cateto aqui ó ele é exatamente o seno quem tem intimidade com círculo trigonométrico sabe disso tranquilamente Então vou botar aqui ó esse cara aqui é o seno do H E esse cara aqui de baixo ele é o quê ele é 1 menos o cosseno do H Beleza

então primeira coisa que eu quero que você perceba é o seguinte tá Repara que no caso aqui eu peguei um h positivo tá repara que zer tem que ser menor ou igual que o valor do seno nesse caso aqui e o seno ó se eu fechar aqui imagina aqui que eu tô fechando aqui esse triângulo esse triângulo ele também é retângulo tá e o h esse H aqui ó ele é um arco que vem por fora da hipotenusa então ele é maior até do que a hipotenusa e Num triângulo retângulo a hipotenusa é maior do

que Qualquer cateto conclusão ó conclusão é que esse cateto azul aqui ele tem que ser menor do que a hipotenusa laranja que por sua vez é menor do que o arco h de vermelho tá então ó Isso aqui vai perder para h é um raciocínio geométrico E aí entra o quê Entra teorema do sanduíche quando o h tende a zero Isso aqui vai para Zero Isso aqui é constante vai para zero e aí pelo teorema do sanduí isso aqui também vai para zero a Gente poderia ter feito a o mesmo raciocínio pegando valores de H

também menores que zero tá diferença eh não seria essencialmente uma diferença tá bom além disso Além disso que que a gente tem aqui a gente tem que 1 menos o cosseno de H que tá aqui nesse triangulinho aqui ó agora é hora da gente pintar esse triângulo a gente tem aqui um triângulo Retângulo e toda vez que a gente tem um triângulo retângulo vamos chamar vamos dar um nome para essa hipotenusa que ela tá sem nome vamos chamar essa hipotenusa aqui de B toda vez que a gente tem um triângulo retângulo dá uma coira dá

uma vontade danada de usar o teorema de Pitágoras que é o que a gente vai fazer agora de certa maneira tá então esse cateto aqui ó 1 menos cosseno ao quadrado Ele é igual ao quê Ele é igual A hipotenusa menos o outro cateto que ao quadrado né que é então seno quadrado de H beleza porém né como a gente já hava raciocinado antes esse essa hipotenusa vai perder pro arco de círculo vai perder pro H então ó Isso aqui é menor ou igual que H qu menos o seno menos o seno quadrado de H

beleza e a gente já viu que quando o h tende a zero né o próprio H tende a zero e o Seno também tende a zero então isso aqui tende a zero na situação na qual o h tende a zero tá e o que que isso significa isso significa o quê que 1 menos o cosseno de H tende a zero quando o h tende a zero ou seja o cosseno de H ele tende a um quando o h tem tende a zero certo então o que que a gente tem vamos juntar as partes aí vamos

lembrar daqui de cima tá Ó essa diferença aqui que é o seno de a + h os o seno de a que que acontece com ela quando o h tende a zero primeira coisa aqui né a gente acabou de ver que esse esse cara aqui né 1 menos o cosseno de H tem de a zero Então esse camarada aqui tem a zero quando H tende a zero e a gente viu antes também ó que o seno tende a zero quando H tende a zero Então esse cara Aqui também tende a zero portanto tudo vai tender

a zero tá porque se seno de a e esse cosseno de a estão fixos então el gente não vão alterar em nada então pelas propriedades elementares ali do do limite né a conclusão é que esse camarada aqui tende a zero quando o h tende a zero ou seja a gente provou Exatamente isso daqui ó que o limite do seno de a + h quando o h tende a zero é igual ao próprio seno de a em Outras palavras a gente provou que a função seno ela é uma função contínua beleza bom vou mostrar agora então

que o cosseno é uma função contínua tá a gente não vai ter o mesmo trabalho que a gente já teve aqui com o seno e porque a gente já fez pro seno que você precisa começar de alguma forma né então a gente escolheu começar pelo seno e a a gente teve um pouco mais de dificuldade teve quear puar um raciocínio geométrico e tal mas agora com o cosseno é mais Tranquilo uma vez que a gente já conhece o seno o cosseno vai sair como uma consequência Tá bom a gente vai usar mais ou menos a

mesma ideia né Vamos pegar aqui um a pertencente a r e vamos olhar então pra diferença do Cosseno de a + h menos o cosseno de A tá só que quem que é cosseno de a + h aí entra a fórmula da trigonometri isso é o cosseno de a vezes o cosseno de H menos o seno de a vezes o seno de H E Ainda tem ali um cosseno de a sobrando sozinho na jogada tá então isso tá aqui ó vamos botar o cosseno em evidência isso aí é cosseno de a vezes cosseno de H

- 1 menos seno de a vezes o seno de H E aí ó a gente já tinha visto no no exercício anterior né que ó o seno de H tende a z0 e cosseno de H - 1 também tende a zero então pela mesma razão Isso aqui vai tender a zero quando o h tende a zero Beleza então Ó que que a gente Provou a gente provou que o limite quando H tende a zer do Cosseno de a + h é igual ao próprio cosseno de a beleza a gente provou então que a função cosseno

é uma função contínua em toda a reta real aliás esse exercício aqui ele ilustra bem uma coisa que é recorrente na matemática né a gente teve um certo trabalho ali com o seno Mas uma vez que a gente já teve o trabalho na hora de fazer o cosseno foi bem mais tranquilo Tá a matemática ela tem essa coisa ela te dá o direito de você reaproveitar o trabalho anterior Especialmente quando você acabou de fazer esse trabalho anterior bom vamos agora para mais um exemplo de continuidade pela definição formal de limite esse daqui é um exemplo

um pouco mais trabalhoso tá vamos mostrar diretamente pela definição usando és e deltas que essa função aqui raiz de raiz Quadrada de 1 + x qu é uma função contínua bom como é que a gente vai fazer né a gente vai usar a gente tá sempre em mente a definição formal de de continuidade com és e deltas e a gente sempre resolve essas coisas raciocinando de trás para frente usando engenharia reversa Então a primeira coisa que eu quero fazer é olhar para essa diferença aqui ó √1 + x qu os a Ra1 como Quero mostrar

que é contínuo no ponto a √ 1 + a ao quadrado tá e eu vou usar uma técnica que a gente já usou algumas vezes né que é manjada vou multiplicar em cima e embaixo pela soma das raízes para poder nos livrarmos dessa diferença de raízes tá então ó isso é a mesma coisa que √1 + x qu Men √1 + A qu x a ra1 + x qu + a Ra 1 + a qu e agora eu preciso dividir para compensar a introdução desse desse Negócio não preciso nem do do módulo aqui porque esse

negócio é sempre positivo né e aqui fica 1 mais a quadrado beleza não fiz nada aqui apenas multipliquei em cima e embaixo pelo mesmo fator E aí expandindo usando produto notável outra coisa de pré cálculo outra coisa do ensino básico que você precisa est afiado bom e que tá lá nas aulas de pré-cálculo do dominando cálculo a gente tem o qu a gente tem Que isso daí vai ser igual a 1 + x a quadrado - 1 + a a Quad dividido pela soma das raízes né √1 + x qu + a raiz de 1

+ a qu bom e isso aqui ó claro que esse um aqui vai morrer com esse um vai sobrar o quê vai sobrar Isso aqui vai ser igual a a rax qu - a qu eu poderia botar embaixo a mesma coisa de antes né mas ao invés disso vamos ser mais espertos e poupar aqui um Pouco de espaço e vamos pensar no seguinte Tá qual que é o menor valor possível para esse denominador é dois né porque ele acontece exatamente quando o x e o a São igual iguais a zero aí vai ficar √1 +

√1 que é igual a 1 + 1 que dá dois então se o menor valor do denominador é do significa o quê significa que esse camarada aqui ó vai ser pelo menos igual a dividir por dois e quanto mai maior e quanto for e quanto maior forem x e a Menor vai ser essa fração a fração ela é inversamente proporcional ao tamanho do denominador então o que que acontece esse negócio aqui com certeza nunca vai ser maior ou igual que dividir simplesmente por do que é o menor denominador possível para essa expressão beleza e isso

aqui isso aqui usando o nosso nosso raciocínio de produtos notáveis né é a mesma coisa que fazer o módulo de X - a vezes o módulo de X + a É dividido por 2 e usando a desigualdade triangular isso daí é a mesma coisa é perde né para módulo de x mais o módulo de a e aqui eu posso botar sobre do em tudo beleza então aqui no final a gente só usou desigualdade triangular tá E aí agora começa a entrar a ideia da engenharia reversa né o meu objetivo é o quê é é encontrar

um Delta tal que o módulo de X - a seja menor do que Delta se isso Acontecer né quando isso acontecer que que vai ser que que a gente vai ter como consequência disso a desigualdade triangular vai garantir pra gente que o módulo de X Ele vai ser menor do que o módulo de a mais o delta certo então ó aproveitando isso nesta expressão aqui a minha conclusão vai ser o quê vamos sempre nos lembrar da onde que a gente veio né isso vale pra vida e Vale especialmente pra matemática então ó a gente vai

ter aqui que a Raiz a diferença das raízes né raiz x qu + 1 Men 1 + a qu em módulo essa diferença por conta dessa expressão aqui né ela vai ter que ser o quê Ela vai ter que ser menor do que o delta por causa disso aqui vezes o qu vezes duas vezes o módulo de a mais Delta por causa dessa parte aqui e faltou apenas dividir por do Beleza agora então agora é só encontrar o valor do Delta que vai fazer Isso aqui tudo ser o qu menor do que tá faltando só

ISO isso bom se o o o a tiver módulo igual a zero que que vai acontecer a aquela expressão vai ficar o quê Ela vai ficar o quê Delta ao quadrado sobre o do E eu quero que isso seja menor do que Y eu quero que isso seja menor do que Y então que que eu preciso fazer basta tomar o qu pode ser menor ou igual tá Porque eu já tenho um sinal de menor exclusivo aqui então eu posso tomar Menor igual em particular posso tomar igual então se eu fizer Delta igual ra2 eu resolvi

o meu problema Beleza então tome vamos botar aqui ó quando eu estiver nessa condição quando estiver na condição do módulo do AC igual z0 que que eu vou fazer fazer o delta ser igual a √2 y se o a for diferente de zero né em módulo que que eu faço a gente pode de largada supor que o delta por exemplo ele é Menor do que o módulo de a porque o módulo de a é uma coisa positiva o delta eu escolho a a a meu segundo a minha vontade né desde que ele cumpra a condição

de No final a diferença da menor que é Mas eu posso impor por não que esse que esse Delta perdão seja menor do que o módulo do a Sem problema nenhum então posso partir disso E aí se eu fizer isso que que vai acontecer Vamos repetir repetir essa expressão Aqui bom então transportamos a expressão e a O que que a gente faz a gente faz o qu a gente substitui né Vamos botar essa desigualdade aqui para dentro né então aqui ó eu vou trocar aqui ao invés tem um dois aqui né ao invés de Delta

eu vou trocar pelo módulo de A tá então aqui na verdade vai ficar o qu vai ficar 3 Delta módulo de a sobre 2 E aí eu posso o qu eu posso simplesmente igualar isso aqui a né para Descobrir o valor do Delta que eu quero tá portanto ó que que a gente faz a gente toma o qu V resolver isso aqui pro Delta isso vai dar ó Delta igual a 2 é sobre 3 módulo de a beleza só que a gente tem que tomar um cuidado né a gente tem que tomar o cuidado de

garantir isso aqui tá então o correto mesmo é fazer o seguinte fazer o y ser igual ao mínimo né o menor valor dentre Esse aqui e o próprio módulo de a porque eu não tenho como garantir que esse valor aqui de cara vai ser menor do que o módulo de a beleza então é isso aí com esse valor de é eu consigo então com esse valor de Delta eu consigo Então resolver também o caso em que o módulo de a é diferente de zero tá então provamos então pela definição de limite que esse camarada aqui

de fato representa uma função contínua n bom vamos falar Agora sobre propriedades básicas das funções contínuas tá essas propriedades elas são derivadas das propriedades que a gente já tinha sobre Limites Tá e não é surpresa né porque a gente definiu continuidade como sendo uma situação na qual o limite é igual ao próprio valor da função no ponto tá então todas essas propriedades de funções contínuas elas são consequência das propriedades de Limites Tá então ó se eu tenho duas funções aqui f e g e eu tô assumindo que Essas funções elas são contínuas no ponto a

e eu pego uma constante c então ó também serão funções contínuas o quê a soma por quê Porque o limite da soma é a soma dos limites se os limites existem vai existir também o limite da soma o produto de funções contínuas também é contínuo por quê Porque o limite do produto é o produto dos limites multiplicar por uma constante em particular também vai gerar uma função contínua fazer a diferença também vai Fazer uma função contínua e fazer o quociente também vai fazer uma função contínua desde que o g de a seja diferente de zero

que era a mesma situação do limite o limite do quociente é o quociente do os limites desde que o limite do do denominador não seja zero então a função vai ser continua no ponto a desde que o valor da função G no ponto a seja diferente de zero para não anular o denominador e dá um Problemão Beleza então como a gente já observou é a prova demonstração disso é consequência direta das mesmas propriedades que a gente viu na aula passada sobre os limites e com isso aqui com esse resultado e veja só como é que

as coisas começam a se encaixar né veja como que a gente já tá usando resultados da aula passada para provar coisas dessa aula aqui sobre continuidade a gente até definiu continuidade com base naquilo Que a gente viu na aula passada tá então e repara que todas as vezes que a gente tá raciocinando aqui a gente também tá usando conteúdos da matemática básica né da parte de pré-cálculo então Então como é que as coisas vão se apoiando umas nas outras né Você tem o pré-cálculo Você tem os limites você tem a continuidade e depois você vai

ter derivada você vai ter integral como a gente vai ver nas aulas seguintes mas a coisa é cumulativa e mais do que cumulativo né ela vai se Empilhando em torno daquilo que veio antes bom por que que eu disse tudo isso por causa desse exemplo aqui tá esse exemplo diz o quê simplesmente que a função tangente é uma função contínua no seu domínio e como é que a gente prova isso simplesmente porque a tangente ela é o seno do x sobre o cosseno de x e a gente já provou que tanto o seno Quanto o

cosseno são funções contínuos então o quociente vai ser uma função contínua aonde no domínio e o domínio é exatamente aqueles pontos onde o cosseno não se anula portanto não tem problema nenhum Beleza então ó Saiu facinho né conforme a gente Vai acumulando conhecimento os resultados que inicialmente vinham com mais dificuldade vão vindo com cada vez mais facilidade porque a gente vai usando fatos anteriores que a gente já provou Para conseguir provar fatos novos Outro exemplo é que as funções Racionais são contínuas n o que que é uma função racional quociente de polinômios tá você pega

um polinômio divide pelo outro isso dá uma função contínua Por que que funções Racionais são contínuas primeiro a função FX = é contínua Por que que ela é contínua dá para fazer pela definição formal de limite porque ó módulo x- a Menor do que Delta implica o qu módulo de X - a menor do que Y para isso Bastando o quê Bastando fazer simplesmente Delta iG nada demais sai diretamente sai de graça praticamente essa prova de que a função e X é uma função contínua tá e uma vez que você tenha isso que que você

ganha que um polinômio qualquer que que é um polinômio né n é um é uma soma desse tipo aqui ó é uma constante An x x elevado a n + uma outra constante an - 1 x x elevado a n - 1 p p p até você chegar em a1x em a z0 que é uma constante tá E aí ó por causa dessa primeira parte e por causa das propriedades de funções contínuas né Isso aqui é o quê ó é uma potência da mesma função é x x x x x n vezes se o X

é contínuo X elevado a n também vai ser contínuo multiplicar por constante mantém a continuidade então cada termo desse é contínuo mas se cada termo desse É contínuo a soma de todos eles também é contínuo então conclusão todo polinômio é uma função contínua tá e portanto ó a função racional que é o quê quociente entre dois polinômios é contínuo dentro do seu dom certo veja como que as coisas saem com facilidade Agora imagina você provasse a continuidade das funções Racionais usando diretamente a definição seria o inferno na verdade em algumas situações seria até impossível você

resolver a Equação e encontrar um certo Delta tá Seria às vezes até impossível fazer isso no braço Mas você não precisa fazer isso braço porque você pode usar os resultados que a gente já vem construindo desde então e provando eh as coisas futuras com base nas coisas passadas né E facilitando aí o nosso caminho tem um último Fato né uma última coisa a respeito de funções contínuas que eu não vou provar aqui Para você mas lá no dominando cálculo a gente prova né Aliás não tem nada no dominando cálculo que não seja rigorosamente provado tá

tudo que tá lá no curso a gente prova a gente mostra Da onde vem a gente exibe ali os porquês para que você entenda aquilo de uma maneira mais profunda tá é por isso que eu digo né que quem faz 100% das aulas de dominando cálculo fez um curso de pré-cálculo fez um curso de cálculo um senhor curso de cálculo e fez também um Curso de introdução à análise análise É uma disciplina normalmente só feita por matemáticos e que é uma formalização do cálculo né ela ela revê o cálculo de uma variável só que num

nível de profundidade maior se preocupando muito com os seus fundamentos com a sua parte formal né com o seu Rigor matemático só que no dominando no cálculo Quem faz as aulas avançadas que são aquelas aulas marcadas ali com asterisco já tá fazendo um belo de um curso de introdução Análise Quando você pegar a análise de fato você vai ver ali que várias das coisas que vão aparecer no curso de análise você você já tinha visto antes no dominando no cálculo né então o dominando no cálculo além de de te ajudar a alcançar um entendimento maior

sobre o cálculo ele também facilita enormemente o seu caminho durante a matéria de análise que é talvez a matéria mais importante dentro de um curso de matemática Especialmente para Quem vai seguir a carreira eh no bacharelado tá então dominando o cálculo vai ajudar bastante você a ter um caminho muito mais suave dentro da análise bom como eu falei né esse resultado aqui é um resultado que a gente não vai provar nessa aula mas tá lá provado no curso e ele diz o seguinte que a composição de funções contínuas gera uma função contínua então se eu

tenho uma função f que vai ali de A até B e uma Função G que vai de B em R E eu tenho que tanto a f quanto a g são contínuas né De que forma a f é contínua no a e a g contínua no ponto f de A então a composição entre elas que a gente chama de G bola F é uma função contínua no ponto a não sei o que que é composição Não entendi essa anotação de G bola f e tal são mais um daqueles elementos que vem do ensino básico que

vem ali do que a gente chama hoje em dia de pré-cálculo né Mais um motivo que faz Com que a gente tenha gasto esse tempo fazendo a parte pré-cálculo do domino no cálculo porque eu sabia que esse era um ponto de trava para muita gente Às vezes a pessoa realmente não consegue avançar por conta de lacunas lá de trás e normalmente e não se não há uma preocupação das Universidades né até tem havido um pouco mas não é em qualquer lugar que você vai ter a preocupação em sanar essas lacunas né só que sanar essas

lacunas é Imprescindível para você avançar nos seus estudos do ensino superior tá então é bem importante você conhecer esses conceitos né então se você não sabe se você tá vendo que que isso é uma coisa que que que você com qual com a qual você tem dificuldade o dominando cálculo vai te ajudar com isso também tá E nunca é demais lembrar porque eu sei que tem pessoas que pulam as partes dos vídeos a gente vai entrar em oferta de black friday a par partir do dia 11 de Novembro tá então daqui a pouquinho você pode

adquirir o dominando cálculo pagando o menor preço da história isso daí não é papo é verdade vai ser o menor preço de todos os tempos ano que vem se houver uma black friday com certeza não vai ser no mesmo preço da que a gente vai fazer esse ano tá então quem comprar agora na black friday vai poder dizer por aí que pagou o menor preço de todos os tempos no dominando cálculo Bom exemplo então né dessa situação a gente Pode usar esse resultado é para mostrar que seno de x qu agora o x qu tá

dentro do argumento do seno é uma função contínua e por que isso simplesmente porque a função que pega x e leva em X quado é contínuo e a função que pega vamos botar aqui y e leva em seno de Y também é uma função contínua e o seno de x qu é exatamente a composição entre essas duas funções Então tá aí por que a gente tem que seno de x qu é uma função contínua agora se você se lembra do Problema que eu coloquei no começo dessa aula o problema do carrinho de trem com a

as que a gente tinha que garantir alguma condição para que a as não tombasse na chegada do trem na cidade B Você se lembra desse problema e você ficou pensando a respeito dele agora a gente vai ver o resultado chave que vai resolver esse problema que é um resultado é um dos grandes resultados um dos grandes teoremas dentro do cálculo especialmente dentro Da parte de continuidade que é o teorema do valor intermediário e esse teorema ele é um teorema intuitivamente Óbvio mas a demonstração desse resultado não é nada óbvia tá é uma demonstração uma das

mais engenhosas né E talvez uma das mais difíceis que a gente vê dentro do dominando cálculo mas também uma das mais legais a gente não vai ver aqui porque ela é um pouco extensa e eu não quero que essas aulas fiquem longas demais tá então para aqueles alunos que Já TM o dominando no cálculo e querem relembrar a prova vai lá na parte na aula de Teorema do valor intermediário porque é uma demonstração bem legal né que é é diferente de fato e que tem uma ideia bem interessante de como que você prova esse esse

tipo de resultado Tá mas bom o que que é o teorema do valor intermediário né como eu falei é um resultado extremamente intuitivo e ele diz o seguinte em bom português ele diz apenas Que o gráfico de uma função contínua não tem buracos é isso que ele quer dizer tá o gráfico de uma função contínua não tem buraco uma função contínua é aquela que você vai traçar sem tirar a caneta do papel em momento algum bom mas em matemati queis o que que ele significa tá esse significa o seguinte ó se eu tenho aqui uma

função f que é contínua né fundamental a função ser contínua e ela tá definida dentro de um Intervalo ela tá definida aqui dentro desse intervalo AB ela pode estar definida fora também mas eu só preciso me concentrar nesse intervalo AB que inclui os extremos que que ele me diz eu tenho aqui o meu f de a e o meu f de B quando o f de a é diferente do F de b o teorema do valor intermediário diz apenas o seguinte ó pega qualquer valor intermediário aqui vou pegar esse aqui ó Vou chamar de k

o teorema do valor intermediário diz meu amigo vai ter um valor vai ter um um valor que eu posso chamar de C que vai estar entre a e b e tal que o f dec vai ser exatamente igual a k é isso que esse teorema diz ele diz que para qualquer valor intermediário entre o f de a e o f Deb vai ter um valor x intermediário entre a e b vamos chamar de c tal que o f dec é igual a esse k Esse é o conteúdo do teorema do valor intermediário desde que a

função ela seja contínua e ela esteja definida inteiramente para valores no intervalo fechado que vai de A até B tá então é preciso que a função esteja definida em todos os pontos que vão de A até B e a função também precisa ser contínuo juntou essas duas condições pode usar o teorema do valor intermediário à vontade beleza bom em matemati Mais rebuscado isso significa o qu que se eu tenho uma função f definida no intervalo AB que é contínua e ela tem que ser uma função em R né E ela for contínua e eu pego

um valor k entre f de a e f de b então existe um valor C dentro do intervalo AB tal que F dec iG k certo bom primeira observação que a gente vai fazer a respeito desse teorema tá a função f ela precisa ser contínua nos extremos ela precisa ser contínua no A ou seja o limite à direita tem que ser igual ao f de a e ela tem que ser conta no B ou seja o limite à esquerda no quando X tende a b tem que ser igual a f Deb também se isso não

acontecer o teorema Pode falhar que é exatamente o que tá nessa nessa figura aqui ó Nessa figura aqui a gente tem uma função com uma descontinuidade de salto e eu tenho aqui a função definida no intervalo AB tá esse ramo aqui é totalmente contínuo Esse aqui também só que no ponto a a função tá definida aqui embaixo Qual que é o problema aqui ó se eu pegar um k aqui que que vai acontecer a reta y = k não intercepta o gráfico da função portanto não existe nenhum ponto aqui entre a e b tal que

f de C seja igual a k furou o teorema do valor intermediário furou por quê furou porque ele deixou de ser contínuo nos extremos ele tem uma descontinuidade aqui no caso no ponto A tá então ser Contínuo nos extremos é fundamental sem isso o teorema Pode falhar e esse teorema ele é um teorema extremamente poderoso como eu já Adiantei para você ele é a chave para resolver o problema de física que eu coloquei para você no início dessa aula mas ele também é capaz por exemplo de antir pra gente que todo polinômio real de grau

ímpar tem raiz real isso é muito bacana né primeiro assim o que que é um o grau de um Polinômio né é o é a potência maior de x que aparece na expressão desse polinômio tá por exemplo né vamos escrever aqui ó vamos supor que o nosso polinômio seja P Dex = x e como ele tem grau ímpar né ele vai ser alguma coisa do tipo X elevado a 2n + 1 tá onde esse n é um número natural bom pode ser 1 2 3 na verdade pode ser até zero né 0 1 2 3

e etc tá então qualquer inteiro não negativo pode ser assumido pelo n e essa expressão 2n Mais Um gera todos os números ímpares positivos tá 1 2 3 4 1 3 5 7 9 etc são todos gerados dessa maneira né 2 x n + 1 onde n é um número inteiro não negativo bom então esse é o termo de maior grau os outros termos né vão ser aqui ó a 2n x elevado 2n p p pam até chegar ali em A1 x e no termo constante a zer tá isso daqui então é um polinômio típico

beleza que que a gente pode fazer aqui a gente pode por exemplo né colocar o termo de Maior grau em evidência E aí o que que vai acontecer vai ficar vezes 1 mais a2n so x mais P até chegar em A1 so x elev 2n mais o a0 so X elevado a 2n + 1 coloquei X elevado a 2n + 1 em evidência vai dar exatamente essa expressão aí tá que que vai acontecer quando o X tende a infinito por exemplo que que vai acontecer quando o X Tende a infinito vou mudar aqui mais infinito

né ou seja infinito positivo o que que acontece com o p Dex esse cara aqui vai para zero esse vai para zero todos esses termos aqui vão para zero então ó como isso aqui vai também para infinito O resultado é que esse cara aqui como um todo vai para infinito quando quando eu tenho o x tendendo a menos infinito continua sendo verdade que Esses caras aqui tendem a zero eu tô porque eu tô dividindo por uma coisa muito grande em módulo Tá mesmo ela sendo negativa ela é muito grande então denominador muito grande vai fazer

a fração ir para zero só que como o grau do polinômio é ímpar menos alguma coisa elevado a algo ímpar continua dando negativo portanto esse cara aqui quando X tende a menos infinito ele vai tendendo a menos Infinito também certo então ó a gente vai ter uma situação como essa aqui do gráfico tá a gente tem uma situação na qual quando X tende a mais infinito a coisa vai crescendo indefinidamente e quando X tende a menos infinito a coisa vai indo para menos infinito também indefinidamente e toda vez que isso acontece como a função é

Contínua como esses limites estão aqui né na verdade como eu tenho esse limite como ele vai para mais infinito quando X cresce quando ele vai para menos infinito quando X decresce é necessário que exista um certo B qualquer número real tal que o P de B seja positivo e um certo número real a tal que o p de a seja negativo certo então Ó existem A e B posso supor inclusive que o a é menor do que o b Tais que o p de a é menor do que zero que é menor do que o

p de B por quê Porque por exemplo se fosse impossível encontrar um p de a negativo seria impossível ter essa situação aqui o polinômio tender a menos infinito conforme o X tende a menos infinito da mesma forma né se não houvesse um valor de B que fosse tal que P de B fosse positivo seria impossível o limite do polinômio ser mais infinito conforme o x cresce indefinidamente Beleza então é por isso que a gente pode garantir a existência desse a e desse B só que aí ó eu tenho uma função que é contínua né o

polinômio a gente já viu que é contínuo ela tá definida em toda a reta em particular tá definida no intervalo fechado a b e ela é tal que P de a é menor do que zer que é menor do Que o p de B portanto que que vai acontecer vamos usar o teorema do valor intermediário pelo teorema do valor intermediário existe o qu existe um C pertencente ao intervalo a b tal que o p de c é uma raiz P ser iG z0 Exatamente esse carinha aqui no caso Beleza então o teorema do valor intermediário

garante para você que qualquer polinômio real de Grau ímpar tem sempre uma raiz real Beleza tem sempre um valor tal que P de c é igual a z0 vamos para um outro exemplo exemplo da tangente tá FX iG tangente de X Esse é um exemplo que vai ilustrar que a gente não pode sempre usar o teorema do valor intermediário quando as condições não estão satisfeitas na verdade a gente não pode nunca usar quando as condições não não estão satisfeitas tá repar então Ó que com a tangente né quando F Dex é Igual a tangente que

que a gente tem f de Pi so 4 é o quê a tangente de Pi so 4 a famosa tangente 45º é igual a 1 e por outro lado a f de 3 pi so 4 é igual a -1 certo então que que vocês se você aplicar cegamente o teorema do valor intermediário aqui ó lá você tem aqui ó em pi so 4 Vale 1 em 3 pi so 4 Vale -1 se eu fosse aplicar o teorema do valor intermediário aqui sem analisar as hipóteses eu diria o quê Ah eu diria que vai ter um

ponto entre pi so 4 e 3 pi so 4 onde a tangente se anula pelo teorema do valor intermediário só que se você dizer isso você vai quebrar a cara por quê Porque Olha só o gráfico da função tangente o pi so 4 tá aqui a função tá fazendo isso e o 3 pi So 4 tá aqui a função tá fazendo isso em nenhum momento a função se anula dentro desse intervalo em nenhum momento E por quê Porque a função não está definida no intervalo fechado esse é o problema tem um ponto aqui que é

exatamente o ponto pi sobre 2 no qual a tangente não tá definida Então como tem um buraco no domínio eu não posso falar que eu tenho um intervalo no qual a função tá definida ela não está definida No intervalo que vai de Pi so 4 até 3/4 tem um buraco ali e esse buraco faz toda a diferença e invalida o teorema do valor intermediário o teorema só Valeria se não houvesse o buraco como tem o buraco eu não posso usar o teorema eu não posso assegurar que existe uma raiz da tangente dentro do entre os

pontos pi so 4 3 pi so 4 tanto não posso assegurar que não existe de fato raiz ali Beleza então tem que tomar cuidado com buracos no domínio tá o teorema do valor Intermediário só vale em intervalos fechados tem que ser todo o intervalo não pode estar faltando nenhum ponto senão Pode dar ruim para você e agora é aquela hora que a gente vai resolver o problema que a gente propôs ali no no início dessa aula né a gente vai resolver o problema de física que parecia impossível Ou pelo menos muito difícil de garantir né

como é que eu vou garantir que ten uma posição na qual eu Possa largar o uma hte no início do movimento do trem para que depois de sei lá quantas horas esse trem vai levar para chegar no final a as não vai ter caído ela vai continuar ali tentando se equilibrar ela não vai ter tombado no chão em nenhum momento bom vamos lembrar né que a hipótese é que o movimento do trem é previamente conhecido tá então a gente sabe como o trem vai se movimentar mas não importa como esse movimento vai ser Na prática

né a gente apenas conhece esse movimento por mais estranho que ele seja ele pode ir pra frente voltar parar Enfim pode fazer o que quer que seja desde que saia do ponto a e chegue no ponto b bom A pergunta foi justamente existe uma maneira da gente garantir que há um ponto inicial né um ângulo inicial do qual a gente possa soltar essa a para que ela jamais tombe em todo o trajeto e a resposta é que sim existe Sim é possível garantir que há uma posição inicial que pode fazer com que a as nunca

cai que pode não que vai fazer com que a as nunca caia bom e como é que a gente vai provar isso tá para provar isso a gente vai usar uma única hipótese a respeito da natureza desse problema que é o seginte seguinte é que a posição final da as depende continuamente da posição inicial da as certo sim o movimento do trem é um Movimento contínuo isso também é uma hipótese né a gente tá imaginando que o movimento do trem ele é contínuo n ele não tá se teletransportando de um lugar pro outro tá a

trajetória que o trem percorre é uma trajetória contínua por mais que ele possa parar voltar e tornar a andar para frente acelerar frear enfim ainda assim vai ser um movimento contínuo uma hipótese perfeitamente razoável extremamente presente dentro da física clássica Bom e a nossa hipótese adicional é que o a posição inicial da Ash ela determina a posição final de maneira contínua Beleza então Só isso daí que são duas hipóteses extremamente razoáveis que que a gente vai fazer vamos chamar aqui o ângulo Inicial esse ângulo aqui que a forma vamos chamar de x e o ângulo

final vamos chamar de y tá então essa nossa hipótese aqui ó de que a posição final da a depende Continuamente da posição inicial significa o que significa que a posição final y é igual a uma função da da da posição inicial X é uma g de X onde G é uma função contínua só isso apenas isso e concatena as nossas duas hipóteses bom agora cabe aqui uma observação né Em algumas situações por exemplo quando a aste começa quando X é iG 0 ela vai permanecer deitada a viagem Inteira a gente colocou como hipótese né que

uma vez que a a esteja no chão ela não vai levantar de novo então ó se o X É zero né Se o se o ângulo Inicial é zero o ângulo final vai permanecer inalterado vai ser também Y iG 0 ou seja que que isso significa que g de 0 é 0 tá segunda coisa é quando a a tá caída pro outro lado ela tá caída pro outro lado quando O x é igual a pi né quando o ângulo inicial em radianos é igual a pi vai acontecer a mesma coisa a não vai sair do

lugar e o ângulo final também vai ser pi Beleza então Ó a segunda observação é que g de Pi é igual a pi certo se eu comecei no pi eu vou terminar no pi bacana agora repara o seguinte repara o seguinte tá a gente assumiu que a g é uma função contínua Ou seja que o ângulo Final varia continuamente com o ângulo Inicial e a gente provou que no valor x = 0 a a g de 0 é 0 e no valor x = Pi a g de Pi é igual a pi certo então Ó

que que a gente tem né como a g que é uma função que vai da onde A onde ela vai de 0 pi intervalo fechado e toma valores também no intervalo fechado que vai de zer até PI só que ela é uma função o qu ela é uma função contínua certo e a gente viu também que G de 0 É iG 0 e g de Pi é igual a pi certo então o que que a gente tem ó a gente tem uma função contínua definida no intervalo fechado e tal que o g de 0 é

0 e o g de Pi é pi o que que eu vou fazer agora usar o teorema do valor intermediário pelo teorema do valor intermediário para qualquer valor para Qualquer valor Y entre 0 e pi qualquer valor na imagem existe um certo x também pertencente a 0 pi no domínio tal que o g Dex seja exatamente igual a y Esse é o teorema do valor intermediário certo aqui vamos supor aqui peguei aqui aqui uma um um gráfico já tinha Feito um possível gráfico para essa G tá a única coisa que não vai mudar nunca é

que o g de Pi vale pi e o g de zer Vale zer o resto pode ser Aisa maluca que você quiser Desde que seja uma função contínua tá significa Então o que ela não tem buracos E aí pelo teorema do valor intermediário se eu pegar qualquer Y aqui entre 0 e pi o que que é um Y entre 0 e pi é um ângulo final que não é horizontal em que a as não tá deitada nem no ângulo zero nem no Ângulo pi a as está flutuando ainda se equilibrando ainda não tá flutuando ela

tá se equilibrando ainda ela não caiu belza então posso pegar qualquer ângulo que eu queira vai ter um valor de x no caso é esse aqui né ou seja vai ter uma posição inicial da as em que se eu soltar a a naquela posição x certinha no final do movimento do trem que vai para lá vai para cá acelera freia e tal a a vai terminar exatamente na posição Y certo então se eu escolher qualquer ângulo diferente de zero de Pi eu vou ter uma condição Inicial x que vai fazer com que a as termine

o trajeto exatamente na posição g de X = Y em particular poderia fazer por exemplo ó Y igual a pi so 2 né significa o quê significa que a a eu quero que a a termine exatamente na posição vertical perpendicular ao vagão perpendicular ao solo tá o que a gente viu aqui é o qu que existe Um certo ângulo Inicial tal que se eu largar a minha as nesse ângulo Inicial x a viagem vai terminar com a minha as vertical com a minha a em pé essa é a aplicação do teorema do valor intermediário que

resolve esse problema de física né que é um problema que se você fosse atacar escrevendo equação para movimento tentando encontrar ali e as forças que estão atuando e tal Botando os vetores não sei o Seria algo extremamente Trabalhoso você iria analisar um casinho particular e provavelmente não chegaria na resposta enquanto que aqui a gente investigando a coisa num nível maior de abstração eliminando aquilo que não é essencial se concentrando apenas no básico no essencial né para compreensão do problema navegando num num numa num nível muito mais abstrato a gente conseguiu resolver esse problema com muita

facilidade para isso a gente só usou um poderoso teorema do cálculo que Apesar de ser um teorema do cálculo é extremamente intuitivo né que quer dizer simplesmente que uma função contínua não tem buracos no seu gráfico Então essa é a aula que eu queria fazer com vocês né Essa é a segunda aula do nosso vamos dizer assim do nosso minicurso de cálculo então aula dois de continuidade a gente vai continuar amanhã na próxima aula e nunca é demais lembrar que o dominando cálculo o curso completo de cálculo do ten ciência porque isso aqui É só

uma palhinha bem pequenininha de tudo aquilo que você vê no curso vai entrar em oferta de black friday tá eu acredito que essas aulas aqui elas vão ficar disponíveis só por um tempo limitado tá então pode ser que se você estiver assistindo essa aula um pouquinho depois Pode ser que a oferta de black friday já esteja acontecendo mas se você tiver vendo no lançamento ela ainda não começou porque ela vai começar a partir do dia 11 de novembro Que você vai poder aproveitar o melhor preço da história do dominando cálculo e para saber mais a

respeito é só clicar no link da descrição ou do comentário fixado Ali você vai conhecer melhor o dominando cálculo e você vai ver mais informações a respeito dessa oferta imperdível que vai ser o melhor preço da história muito Obrigado aos membros do canal E não se esqueça de deixar o like se inscrever e até a próxima aula que vai ser amanhã e a gente vai falar sobre Derivadas