Cálculo I - Aula 7 (2/3) Regras de derivação e exemplos

[Música] então vamos não se a cada uma das regras como um teorema né por emma a sejam f e g duas funções de níveis em p então quero mostrar que a soma é o produto são derivados tá então efe mais g&f vezes g são derivava veis p e vale as seguintes regras quanto é derivada da soma é a soma das derivadas netão derivada df magé é derivada df mais o derivado de g certo é derivada do produto derivado do produto satisfaz a regra do produto né não é o produto dos derivados é isso aqui é

o que a gente chama de regra de laibin nisso nomenclatura que se usa pra isso derivada de um produto de funções como é que se faz à deriva primeira mantenha segunda mais mantenha primeira deriva segunda vamos ver porque porque isso tem que ser desse jeito não é uma coisa não intuitiva quer dizer que dá vontade de dizer que o derivado do produto ou produtos derivados e pronto mas se a gente usar as nossas definições e vai ver que não é isso que sai fica até mais intuitivo do que não há demonstração usando o limite mesmo

primeiro de tudo vamos deixar bem anotado quais são nossas hipóteses quais são as hipóteses do teorema que f e g cada uma delas à deriva em um ponto que então o que quer dizer que a f1 é derivava o mp quer dizer que existe uma função ro rr contínua ip seguinte forma fx é igual a fdp - sabemos que aquele limite existir e isso aí é a mesma coisa tá é um outro ingrediente que a gente tem aqui a gdi vale um ponto o que quer dizer que g é derivava eu em p existe uma

outra função roh2 também contínuo tal que a gtx é igual à gbp mais vamos escrever na linha de peak na rondon de x em x x - tivesse escrito é filhinho é que eu estava dizendo que a função é igual à sua reta tangente nem todo ponto isso não faz o menor sentido uma função é igual à sua reta tangente ela é uma reta ea gente está estudando funções que não são regras né o gráfico numa reta então aqui precisa ser uma função um x a função contínua e aqui ou 2 a função contínuo tá

o que a gente quer mostrar partindo dessas duas coisas que tanto a soma quanto o produto eu consigo escrever de maneira semelhante então vamos lá vamos fazer pra soma primeiro o que mostrar que heath mais g é derivava eu mostrar que eu consigo escrever efe mais de xis como sendo efe mais gelo ponto pê mais alguma função contínua vezes x - p qual a função contínua vai ser ela vai aparecer certamente 11 e 12 na expressão da então vamos lá quem efe mais genuíno ponto x isso fx manchete x sem segredos quem fdx por hipótese

fdp e mais 11 x - p quem é gtx gp mas o 2o xx - perfeito e aí já começa a ver o futuro né eu precisava escrever fdx efe mais de no ponto xis como essa imagem no ponto p tem aqui tá então isso vai ficar efe mais g no ponto p mas eu gostaria de ter alguma coisa vezes x - p o que sobra na frente x - pedro romano de x mais com dois de x pergunta conseguia escrever efe mais de xis como f magia dp vezes alguma coisa multiplicando x - p

sim essa coisa de louco que eu escrevi aqui na frente x - p é uma função contínua sim porque porque a soma de duas funções contínuos um ou dois são contínuos então consegui escrever exatamente o que eu precisava pra ver que a fimma g é derivava justo tá então só automaticamente implica pra mim que efe mais de é derivado eu limpei e mais né quanto vale é derivada como é que a gente calculava a derivada de uma função de acordo com esse conceito era o valor da função que estava dentro do parente saque no ar

ou seja com um ip mais ro 2 dp troca x por pequim agora quem é o 1 dp lembra que quando a função era derivava eu podia escrever isso desse jeito e é filhinha dp era onde p e neste caso aqui a gente tinha que gelinho de p2p tudo bem então exatamente o que a gente tem aqui né mostramos a forma se fg são derivados a soma é derivava véu é derivada da soma é a soma dos derivados ponto pra nós vamos fazer o produto agora é o legal disso é que você teve um trabalhinho

pra fazer aquele teorema demonstrar que são equivalentes mas já demos demonstrações aí realmente de graça é puro 11 manipulação algébrica de expressões né fazer distributivos e coisas desse tipo para tentar mostrar que o produto de duas funções contínuos é continuar aqui que eu tenho que fazer é escrever fvg de xis como efe vg/db mais alguma coisa vezes x - p então vamos fazer isso bom fsg calculado em x fxx certo quem fdx por hipótese isso é fdp e xx - p gt x é o gdp mais roh2 de x x - p tudo bem faz

o que vem na cabeça que é o que fazer distributiva de tudo aí fazendo distributiva de tudo você vai ter fdp vez gdp mas aí eu vou te fdp vezes roh2 de xv e xx - p vou escrever a aaf kfp o 2 x 1 x 1 - p mais aqui a gente vai ter gdp roni x x - p a última parcela que é ron ron 2x - pelo quadrado lembra que a gente queria deixar fdp vs gdp e mais alguma coisa vezes x - p dá pra fazer isso aí né as três últimas

parcelas todas elas têm um x - pequena porém evidências então se a gente consegue escrever como sendo fsg no ponto feito mais vai ficar fp2 dx mais gp roni x mais com um x 2 x x - p tudo isso vezes x - pergunta tá certo peguei as três últimas parcelas e coloquei x - p em evidência tudo bem será que deu o que a gente queria deu né eu tenho q f vezes de xf psg no ponto pê mais alguma coisa enorme vezes x - p essa coisa enorme que está dentro do país é

uma função contínuo vamos olhar isso aqui é um número vezes roh2 dx que é contínuo o número vezes o som que é contínuo ronde x vezes roh2 dx dos contínuos x - p também uma função continua então continua continua contínua essa parcela contínuo aqui também é que também estão dentro do parente seu tenho uma soma de três funções contínuas que isso me mostra que a função efe vg é derivava direto então vamos lá é isso implica pra gente que f existe é derivava véu em p enquanto que vale é derivada quando olha como é que

se calcula derivada pega o que está dentro do parêntese substitui x iguape justo na então substituintes iguapé que eu vou ficar com fdp vezes roh2 no ponto p quem rodou no ponto p 2 no ponto psg linha então vou ter fdp fez geninho dp na primeira parcela na segunda vou te gdp vezes ron ron é fininha no ponto pena então mais gp vezes é filhinho e essa última parcela vai ficar em linha vg linha zero escreve que a gente tem que é derivada do produto é deriva o primeiro corpo segundo mais que o primeiro perigo

segundo vale a regra de noiva então a gente já sabe deriva' quaisquer que sejam as somas e produtos de funções derivava eis que aparece na nossa frente vamos pegar o exemplo [Música] um exemplo simples pra começar né vamos pensar assim ó cena de x + x vezes consciente é uma função também não tem muito segredo dá pra deriva' pelo teorema que a gente acabou de demonstrar isso aqui é uma soma onde um dos uma das parcelas é um produto né esse produto da derivava véu da porque isso aqui a gente sabe que ele vai esse

aqui também é um produto de derivados é derivava eu eu até sei fazer conta esse aqui é derivado entanto somando duas coisas deriva' weiss enquanto que vale é derivada dessa função f1 ponto p qual que é bom você vai devagarzinho é ter uma soma quem é derivada de uma soma soma das derivadas então poder levar a primeira quando é derivada do céu fez pela definição ao passado e vemos que era conselho da bp mas aí eu vou ter que levar isso aqui né x concílio x linha um ponto p como é que eu devo um

produto deriva primeira copia segunda mais com o primeiro desde o segundo tá eu vou manter aquela primeira impressão de que vai ficar no concelho dp mais quanto que vai ser derivado então deriva primeira e copia segunda derivada de x é um a função constante igual a um ponto que vale um vai ficar uma vez conselho dp mais copia primeiro e deriva segunda então vou copiar a função xx no ponto pv vale.p vezes a derivada da segunda quando é derivada de cosseno - e no no ponto bem menos mdp já então se quiser arrumar um pouquinho

isso nesse caso a coisa dá dois concelhos dp - a cada ponto p qualquer número real sabe calcular derivada da função também a gente sabe de vassouras e produtos de outras coisas que a gente gosta de fazer com funções calcular compostas e conscientes então a gente vai deduzir regras para isso também tá então um outro teorema que é o que a gente chama de regra da cadeia isso eu vou tirar a a regra do consciente como uma consequência da regra da cadeia não precisa não é assim não precisa lembrar ou saber decor quase nada né

verdade o que você precisa saber são as definições e aí você poderia eventualmente rede e mostrar tudo o tempo todo mas não é viável né então com a prática ser mais incorporando os resultados eles vão virando ferramentas que você sabe que são verdadeiras e se algum dia precisar ou você sabe demonstrará o sabe indicar onde tem uma demonstração é importante então vamos lá o teorema que a gente vai ter agora é o que lida com a composta de funções como é que eu teria uma composta tá então sejam f e g duas funções tais que

g é de levava meu ip e f é derivava eu me fdp tá bom então são duas funções que faz sentido fazer composta efe bola g de algum modo a imagem da jetta contida no domínio da f1 para fazer sentido essas compostas todas desculpa efe derivava o eng dtp é o que a gente pode dizer então a composta efe bola g é derivava em p temos uma fórmula derivado da composta é deriva a função de fora e calcula no ponto único ponto faz sentido entre todos os que aparecem aí que o ponto g dp que

multiplica pela derivada de g tá bom tá derivada da composta é um produto de derivados gente se você tiver efe composto com g uma está perguntando uma composta com várias funções se repete essa regra né então por exemplo se você tem efe composto com jeito composto com a gaeta quer que ele vá isso o tupi por exemplo como é que a regra manda fazer é a derivada de fora calculada de dentro vai ser é fininha calculado eng dh dp vezes à deriva na medida em que o cálculo de valor de dentro pode escrever isso aqui

é assim se quiser né como é que essa derivada vai ser derivado da g no ponto hdp derivada dh vai descascando como se fosse uma analogia boa pensar numa cebolas e vai tirando as várias camadas dela quer um sobrar mais nada para derivados tá bom então essa é a forma quer dizer parece pode não ser parecer muito intuitivo que é derivado da composta seja o produto das derivadas mas se você tiver alguma interpretação do significado do derivado isso aqui vai fazer algum sentido né um desenho desse tipo né vamos supor que você tem domínio da

função gt1 ponto p você está com a função g chegando num valor gdp certo é você tem a função f1 então valor fd gp você sabe calcular derivada da g e sabe calcular derivada da efe o que você quer calcular é derivada nessa composta a então qualquer em uma possível interpretação para derivados como o coeficiente angular da reta tangente o que ela quer dizer se você variar um pouquinho aqui no domínio perto do ponto p no domínio da g o que acontece com os valores que a diferença entre gdp mais h gp é um múltiplo

da diferencia que no domínio e qual é o fator de multiplicação a derivada então se eu amo um pouquinho aqui ea derivada é 2 nesse intervalo de lata por um tamanho que é o dobro do original esse derivado de 2 daqui pra casa derivado é 3 o que acontece intervalinho vai derrotar o inter valinho que triplica então dobrou triplicou o que aconteceu de uma vez multiplicou por seis né há então uma coisa que duplica em cima você aplica uma que triplica de uma vez só você sextuplicou tamanho na então a composta de uma função que

tem derivada 2 com uma que tem levado a 3 vai ser levada 6 intuitivamente tá bom mas isso é só um filho nem a conta uma intuição a demonstração do teorema é cabal né e de novo ela fica simples como isso aqui é só um exercício de fazer distributiva e arrumar as coisas diga [Música] a função rodrich não é a função da elevada dívida do espaço [Música] não não é bem ela não é bem a função da elevada a função rock aparece multiplicando x - p nesse novo conceito de derivados o que ela é é

uma função contínua que no ponto p o valor dela é igual derivada de f&a ro lembra no caso da função x quadrado é importante não quero que a confusão se tinha função x quadrado eo ponto p3 nessa situação quem era função roth x x + 3 quem é derivada da função f1 em qualquer ponto uma não tem nada a ver com a outra o valor dessas duas funções no ponto pegou a 3 é o mesmo tá então ro não é a função da elevada df a gente ainda nem falou disso a rua é só uma

função contínua que no ponto p tem como valor é derivada da função efe nada mais muito bem vamos provar o teorema a quais são nossos ingredientes o que a gente sabe não sabe que a gvt levava um ponto p o que significa gb vável mp garante pra gente que existe uma função vou chamar de ron um contínuo em p é importante tal que a rondon definido no ponto b é igual a geninha de preto e avalia que a fórmula gti x igual a gdp mais onde xx mesmo né isso é o conceito de gestor derivavam

no ponto p qualquer outra informação que a gente tem a função efe derivava no ponto gdp o que quer dizer isso efe derivava eu hein gp quer dizer que existe uma certa função roh2 drr contínua nem qual ponto é contínua em qual ponto a função roh2 é contínuo a função é derivavam no ponto gp ela tem que ser contínua no ponto gdp continue edp tal que vale é a seguinte coisa é ficar ao lado em qualquer conto y é igual à efe pgp mais roh2 de y y - gp tudo bem qual informação esta que

a gente tem só dois de gp é igual a derivada da f 1 ponto g tudo bem ro 2 dg dpf linha de gp a gente quer mostrar o que é composta df com g é uma função dele vá ver como é que ele vai fazer isso tentar escrever é composta com essa mesma carinha então quem é f bola g de x de jantes tudo bem o que eu posso escrever a respeito da função f1 de gt x ef de qualquer ponto y não posso escrever dessa maneira então troca y con gtx ali isso vai

me dar efe pgp mais co2 digite x certo vezes gtx no gp que ysl x na definição da diferença habilidade da f 1 muito bem então já tenho aqui parte do que eu precisava efe bola já no ponto p aqui eu tenho roh2 calculado e gtx quem a gtx - gdp retirar as paredes quem a gtx - gp roni xv e xx - p tá bom né justo efe composto com jenny um ponto x eu consegui escrever como a f composto com gênio ponto p mas alguma coisa vezes x - p essa alguma coisa é

uma função contínua sim né roh2 é uma função contínuo g é uma função contínua porque qg contínuo porque g derivava toda a função de vavá continua então tenho o 2 composto com g ambas contínuos x 1 que é contínuo então eu tenho um produto e composta de funções contínuos cabo então é esse cara aqui é o meu grau a minha testemunha de que a função efe bola gdm vável é derivado ao empenho e quanto é que vale é derivada simplesmente calcular isso aqui no ponto pena posso trocar esse xis por pequim dentro sem medo pode

né e como essas duas funções são contínuos por limite um ponto o valor é só substituir isso aqui vai dar roh2 calcular o igp-10 vezes com um palco laden pro2 dgdp efe linha calculado em gdp quem era um no ponto pg linha de fim da prova é uma demonstração super curta da regra da cadeia usando só faturação de expressões algébricas nada muito sofisticado né depois se você quiser dar uma olhada na literatura usual assim ver como é que a demonstração desse teor e certo então a gente sabe deriva' somos produtos e compostas de funções