Cálculo I - Aula 25 (1/3) Integral de Riemann: construção do conceito

[Música] bom vamos começar vai gente é vamo vamo começar a nossa terceira parte do curso é bom dia para todos primeiramente e agora nessa terceira parte não dizer aquele voltando à nossa aquela primeira linha que falou que era o cálculo é a última parte que a gente fez o que era falar sobre o cálculo diárias tá que o cálculo diárias a gente vai fazer via integração integral que a gente vai estudar aqui é integral que chama integral de íman existem outras maneiras de se calcular um conceito de integral alguns deles mais gerais do que esse

tá certo que dizer permite que você calcule integrais de certas funções que essa que não deixa calcular mas programa do cálculo 1 ou o que acho que é a mais adequada pra gente começar a bom a gente precisa fazer algumas coisas o objetivo então aqui é fazer o quê tá aí a gente vai querer calcular a área entre o gráfico de duas funções não dá para calcular nesse momento a área delimitada por uma curva qualquer no plano isso precisa de conselhos que vocês vão ver no curso de cálculo três envolvem integral dupla mas é uma

coisa que eu chegar lá na frente a gente vai ver primeiro isso aqui tá bom então a idéia é calcular áreas entre gráficos e presidente precisa definir dois conceitos preliminares está o primeiro deles é o que a gente chama o que é uma partição do intervalo há de certo modo a gente vai o que a gente vai fazer daqui pra frente é esmiuçada detalhes daquela primeira linha a gente já fez uma partição do intervalo nunca naquele caso específico é agora vamos para o conceito mais geral né então partindo intervalo que é isso se você tem

um intervalo a b tá sempre a gente vai pensar em intervalos limitados tá bom em algum momento a gente pode vai querer falar integral no intervalo que vai até mais infinito ou inter ou o cálculo integral de uma função que explode para infinito em algum ponto do intervalo o que a gente chama de integrar as impróprias isso vai ser mais uma pra frente por enquanto a gente vai pegar um intervalinho fechado de números reais tá bom então se você tem esse intervalo o que vamos chamar lidinha o que é uma partição de software é uma

escolha de pontos dentro desse intervalo uma escolha mais ou menos livre né você vai escolher vamos chamar assim o primeiro ponto da sua parte são sempre é o extremo-esquerdo tá bom e você vai escolher uma sequência de números todos eles dentro do intervalo tá bom então você marca pontinhos nesse intervalo marcando pontinhos onde um é sempre estritamente menor do que o outro ou seja se não marca duas vezes no mesmo ponto passar você escolhe isso quer dizer você ao escolher esses pontos aqui esses animais um ponto que você fez você tem o intervalo a b

e pega n mais 1 pontos onde o primeiro eo último são os extremos do intervalo o que você fez se dividiu aquele intervalo em n subir intervalos né a idéia é essa então a gente vai dizer que uma parte da coleção nesses pontos tem com indo de 0 até isso é a partição do intervalo a gente vai chamar de norma da partição o que a norma de uma condição é o maior tamanho de um sub intervalo formado por ela também não vai ser o máximo dos que menos têm menos um bom então cada dois pontos

consecutivos aqui falam sobre intervalo a norma da partição vai ser o tamanho do maior sobre intervalo formado agora a gente vai chamar norma de ótimo segunda coisa que a gente precisa chamar de soma de rima esse é um jeito de fazer a integral existem outros jeitos de construir também integral de montar o que vai será a soma de rima você vai ter uma função f1 definida no intervalo fechado a b chegando em r tá vamos pensar em primeiro lugar que essa função na função limitada não tem nenhum ponto onde ela explode o infinito 99,9 por

cento dos casos que a gente vai tratar aqui essa função é uma função contínua e como estou no intervalo fechado e se automaticamente satisfeito tá então tem uma função f tem uma partição p participam do intervalo a b e vou fazer o seguinte coisa eu vou pegar se é um número real está dentro do intervalo a b mas na verdade ele está dentro do intervalo a bené eu vou querer que ele esteja entre tem menos um ou seja se é um número o c1 é um cara que está dentro do primeiro submeter valo você 2

é um ponto qualquer do 2º submeter valor e assim por diante também é legal e aí o que vai ser então a o que a gente vai chamar de soma de rima não é então vamos ver que vai a assis uma de rima df relativa a partição p e a escolha do cei é esse número aqui tá a gente possa indicar tudo é só uma demanda função efe relativa essa partição e levando em conta os números que a gente escolheu tá então aqui vai de 1 até aí tudo bem o que é isso aqui vai

ser a soma ainda de um atm de quem efe clóvis em vezes delta tem quem é o delta tem pra gente tem menos ou seja delta tse o cumprimento de cada sub intervalo que a gente está fazendo na prática vamos tentar fazer um desenho se você tem uma função vou desenhar uma função contínua tudo mais mas vamos tentar ver o que significa esse número né então vamos ver se tem aqui intervalo a b a função todas em uma função um super bem comportado né não precisaria ser mais perfeito de intuição o que a gente precisa

o que seria o primeiro de tudo para fazer a soma de rima que a gente precisa da função desenho gráfico dela ele seja uma partição do intervalo então o que quer fazer uma partição intervalo a b é subdividida ele de alguma maneira precisa ser uma subdivisão homogênea todos os sub intervalos opção tem o mesmo tamanho não é escrito isso tá então com certeza eu sei que o ael t0 o b é o tn e eu divido uma quantidade arbitrária de pontos aqui tá certo então a gente tem aqui por exemplo tem um t2 t3 e

t4 nesse caso o t5 tá bom então como eu tenho lá minha parte não tens de te 0 85 6 pontos eu vou ter cinco sub intervalos então essa é uma possível parte são p no intervalo a b quantas partições possíveis tem só com 11 a partição com seis elementos e infinitas não é porque eu posso posicionar esses caras como quiser e ainda nunca tá escrito em um lugar que a partição tem que ter um tamanho fixo é claro então tem muitas possibilidades de participar ao intervalo depois que eu passei no intervalo que eu preciso

fazer é preciso escolher um ponto dentro de cada sub intervalo aqui eu coloquei menor mas poderia ser melhor igual tá você pode escolher um dos extremos do intervalo sempre tudo bem então uma vez que eu fiquei a partição que eu tenho que fazer em cada sub intervalo escolher um ponto de se submeter vale então sei lá que no primeiro eu poderia escolher exatamente o ponto médio esse é o c1 e c2 podia ser esse cara no outro o c3 podia ser um extremo esquerdo intervalo de t2 e t3 aqui podia 6 que o extremo esquerdo

que podia ser o ponto médio de novo certos e 5 então escolhi lá meus cinco pontos intermediários o que tem que fazer o que eu preciso fazer para ter a soma de rima uma vez que participamos intervalo escolhemos os pontos no domínio eu vou ter que calcular esse objeto aqui é uma soma o que essa soma é o valor da função é fino pontos em quatro vezes o tamanho do de cada um dos intervalos o que representa isso né no primeiro retângulo se você tem bom o fdc e é esse valor aqui tá certo fdc

1 então o que eu vou fazer multiplicar este essa medida pelo tamanho do intervalo que contenha com o seu que dá isso multiplicar esse número por isso vai da área do retângulo que tem isso aqui como base isso aqui cultura que o certo então tentar desenhar esse cara faz uso de outra cor a gente vai ter um retângulo então a primeira parcela dessa soma de rima é a área desse retângulo cor-de-rosa aqui que a segunda parcela vou pegar igual dois lados talvez e fdc 2 vezes delta 32 é o t2 é t2 - tem um

certo então vou calcular o valor da função no pontos e 2 chega a essa altura multiplicar pelo tamanho do retângulo que pela base da área do retângulo formado por esses pontos e assim sucessivamente né então o que isso tem a ver com o que a gente chama de integral enquanto nada é o que é mais ou menos isso que a gente está fazendo eu estou tentando obter uma estimativa para a área embaixo do gráfico da função f1 por figuras geométricas que a gente sabe calcular é que são retângulos você podia querer calcular se aproximar essa

área por várias coisas né quais seriam opções interessantes uma opção seria por exemplo uma vez que você participou nó intervalo você poderia querer em vez de escolher um ponto aqui no meio fazer um trapézio né que seria já base uma das bases seria o extremo esquerdo de cada sub intervalo a outro extremo direito de cada sub intervalo ea altura seria o tamanho intervalo podia calcular e desse trapézio formado pelos pontos tem tem menos 1 tir0 cada um desses temas e obter um trapézio gente sabe que o corte do trapézio e obter uma tentativa uma estimativa

praia naquele trecho por tentar somar todo qual seria uma outra opção pega-se a sua função por exemplo foi uma função limitada o que a gente sabe mas a opção foi contínua que eu tome intervalo fechado o teorema de vastas garante o quê em março o mínimo então poderia calcular pelo valor máximo que a função atingir em cada sub intervalo usar isso como altura do retângulo em todos os retângulos valor máximo outra opção poderia ser pegar o valor mínimo em cada sub retângulo não tem várias maneiras de definir se o objeto tá a gente está falando

ah deixa eu deixo você escolher qualquer um aqui no meio então você tem esse retângulo rosa um outro caso de t2 e t3 com um retângulo bem pequenininho eu estou usando de novo usando o extremo esquerdo do intervalo então vai ser esse retângulo aqui o outro usando o extremo direito não se percebe o que acontece dependendo do comportamento da função às vezes o retângulo é maior do que a área às vezes menores e não sabe lá então esse último aqui só pra gente completar o desenho então a soma de rima da função efe relativa a

essa divisão em subir intervalos e essa escolha dos pontos se em amarelo vai me dar um número que a soma das áreas desses retângulos que você poderia fazer pra tentar obter uma coisa que se aproxima mais do que seria a área do baixo do gráfico por exemplo quando eu calcula-se retângulo esse pedaço aqui é um excesso esse pedaço é uma falta não tem o controle para saber quanto que passou a mais enquanto que faltou aqui não sabe o que é uma área que não tem um lado definida por coisas que permita gente que eu possa

justamente isso que a gente quer fazer então qual seria uma estratégia boa para tentar melhorar essa aproximação ou seja tentar diminuir a área que cede passa acima do gráfico e também área que fica abaixo do gráfico por exemplo nesse segundo nesse último intervalo neste segundo aqui uma opção seria o que é se eu pegar inserir mais um novo ponto nessa parte são que vai acontecer vou tentar fazer em amarelo isso a gente dá um destaque por exemplo se eu subir indivíduo esse intervalo de três até quatro mais um dessas em branco para manter consistência se

eu tenho um novo ponto aqui eu precisaria renumerar né seu t4 t5 só coloco esse ponto que eu vou ter eu vou ter que escolher mais um ponto dentro desse novo sub intervalo e outro ponto dentro desse outro subir intervalo tá então escolher um sujeito aqui outro sujeito aqui quando eu for fazer essas novas áreas eu vou desenhar amarelo para dar mais destaque que vai acontecer em vez de você aquela parcela da soma de rima em vez de corresponderia de todos e retângulo rosa vai corresponder o que é isso aqui tá certo a soma desses

dois novos retângulos amarelos dá pra todo mundo ver o que está acontecendo antes eu estava errando por um pedação agora eu tô com 21 pedacinho conhece um pedacinho com falta por causa desse desenho não saberia dizer se é só falta mas com certeza a intuição que dá pra gente o que é de que o erro na minha aproximação pela área diminuiu né tá claro aqui eu estava um pedação a mais e agora eu tô com um pedacinho mais um pedacinho - mas certamente essas áreas que estão aqui erradas né ou excesso falta é um erro

menor do que o anterior dá pra provar isso se você aumenta o número de pontos da partição melhor aproximação tá então qual seria a situação ideal pra gente tentar botar o número máximo possível de pontos na partição tem número máximo de pontos possível na posição você tem intervalos em infinitos pontos ali né esse intervalo é a mesma quantidade de todos os números reais se você quiser a gente já viu isso então de quantas quantos pontos eu consigo colocar numa partição tanto quanto eu quiser e quanto mais pontos eu colocar o que vai acontecer essa norma

que vai diminuir né certo então se você tem uma partição se calculou o máximo dos de todos os tamanhos dos intervalos de um certo número na hora que eu incluo mais pontos o que aconteceu a norma da partição continua a mesma porque vai ter esse cara que era o grandão dia antes ou se eu peguei subdivide esse que era grandão o máximo ou é um desses novos intervalos um dos antigos que não era maior porque o original era maior de todos então que acontece quando você aumenta o número de pontos da partição a norma dela

tende a diminuir e vice versa se a norma diminuiu quer dizer o que é que o tamanho esse número o maior intervalo a menor do que o maior intervalo da partida anterior como é que isso pode acontecer só se aumentar o número de pontos certo então ok qualquer idéia a gente tenta obter uma aproximação então é fazer com que essa norma que tem dá para zero isso implica automaticamente inclui mais pontos na partida a em que sentido que eu pergunto é se a norma pode não existir em que sentido você acha que ela poderia não

existir se tiver dois intervalos do mesmo tamanho são dois números iguais quem é o máximo os dois na empatou tá bom não precisa ser atingida o máximo atingido por um único intervalo por exemplo se você dividir todo mundo no mesmo tamanho a norma da partição é o tamanho de qualquer um daqueles intervalos ou não existe poderia por exemplo vir de outra pergunta quer dizer por que esse conjunto tem um máximo né o que está acontecendo quantos eu estou fazendo várias contas de menos aqui se você quiser pensar quantas contas de - estou fazendo e vai

de zero até n né então quanto os números desse tipo que tem n são eles subtrações eu faço e me conta de menos e pego todos os resultados um conjunto infinito de números reais portanto sempre vai ter o máximo tá sempre tem o maior valor máximo sempre existir pode ser atingido por um único intervalo ou não nesse caso quem no caso que a gente desenha originalmente que seria norma da competição acho que é esse aqui é de 2 - tem um é o maior intervalo que então essa medida é o que a gente vai se

chamar de norma da partição se eu peço que o maior diminui todos os outros têm que diminuir junto então com isso a gente pode dizer o que é uma função ser integrava um sentido de rima na então integral de rio então que vamos definir isso então pega efe uma função definida no intervalo fechado tá não precisa ser contínuo é uma função qualquer assim ou seja efe dizemos que f é integrável não vou precisar hoje o adjetivo riman aqui porque porque essa é a única integral que a gente vai estudando esse curso é bom dizer vos

que é integrável se existe l pertencente à r tal cwele é igual ao limite quando a norma da partição tende para zero de todas as somas de rimo possíveis vamos explicar o que é isso aqui é um em mitte que é diferente dos outros na não limite que a gente estudou na primeira parte do curso há um limite sobre o conjunto dos possíveis participações dentro de um intervalo então o que eu quero dizer quando eu escrevo limite quando a norma da partição tende para zero das somas de rima é isso para toda escolha dos seis

relativa a uma da partição pelo bom então como é que a brincadeira como é que é o a idéia de calcular esse limite você vai pegar todas as partições possíveis e para cada uma dessas partidas possíveis você vai fazer todas as possíveis escolhas dos sair também e aí eu vou pegar envolver que acontece será que quando eu diminuo arbitrariamente a norma da partição essas somas todas se aproxima de um mesmo número se isso acontecer eu vou dizer que a função integrada se isso não acontecer vou dizer que a função não integrava tá então o que

quer dizer esse limite vamos escrever mais ou menos precisamente isso quer dizer a ideia é a desculpa de novo tá dado qualquer passo positivo mas só pra gente entendeu que esse conceito de limite a gente não vai manipular isso muito tá bem que existe um delta por dispositivo tal que toda vez que você tiver que a norma da partição é menor do que delta ou seja se eu te dou um número epson existe um delta de modo que se um maior intervalo que a partição p tiver for menor do que delta a gente vai ter

que a soma de rima dessa participação relativa a escolha dos seis - éle fica menor do que a f tá então toda parte são de norma suficientemente pequena tem uma soma de rehman que se aproxima arbitrariamente do número l independentemente de qual a escolha dos seis está eu não vou escrever isso qualquer que seja a escolha dos seis para cada um do sport então se eu te dou um número epson vamos pensar bem pequenininho tem que existir uma partição de norma bem pequena de modo que a soma de r mandela se aproxima do número l

taquara intuição então é isso que é dizer que uma função é integrável no sentido de rima tinha outro jeito quer dizer se você combina que a f1 função limitada por exemplo dentro de cada intervalo fechados e podia pegar o valor máximo e o valor mínimo dela tá certo e fazer eu vou calcular a soma de rima com sim com os valores máximos em cada sub intervalo população de rima com os valores mínimos em cada sub intervalo isso vai me garantiu que aqui o cálculo com os valores mínimos nos retângulos não está sempre abaixo do gráfico

então vai ser uma estimativa praia por falta se eu pego com os valores máximos os retângulos e está sempre por cima da função então essa estimativa para a área por cima então qualquer ideia eu tenho uma estimativa por baixo na estimativa por cima as estimativas acho seu subdivido intervalo o valor desse nativo aumenta as estimativas por cima seu subdivido intervalo a estimativa por cima vai se aproximar mais da área portanto vai diminuir então eu tenho uma sequência não é bem uma sequência mas eu tenho uma coleção de números que se aproxima da área por baixo

e outra que se aproxima da área por cima quando que a função vai ser integrável quando os valores por baixo foram iguais aos valores por cima tá ou seja se eu tomar o sup é pra falar naquela linguagem só tomar um suco das estimativas por baixo ele tem que ser igual ao ínfimo das estimativas por cima esse é um outro jeito de definir esse prova essencialmente os mesmos resultados tá bom então como é que a gente vai escrever isso tá então nesse caso inscrevemos aquele número l lá é o limite ou escrever consigo integral de

até bdf xx bom então esse é o símbolo para representar esse número é lhe que é o que a gente vai chamar de área embaixo do gráfico da função bom é uma área com sinal tem que tomar um cuidado daqui a pouco a gente discutir quais são as propriedades que integral tem anunciar isso como um teorema um vou fazer demonstração mas não é muito diferente de nada que a gente já fez