Cálculo I - Aula 8 (1/3) Derivadas de funções inversas

[Música] para a prova de hoje a gente precisa estudar esse conceito aqui que seriam as derivado como que você deriva a inversa de uma função ao inverso quer dizer efe - um anão sobre efe então este teorema que a gente vai fazer hoje te dá condições para saber quando que é inversa de uma função de nível elevado tá então se você já sabe que a função é derivado da pra deduzir uma fórmula de um outro jeito a gente vai fazer isso daqui a pouco mas este teorema ele te diz quando uma função derivava eu tenho

inversa derivava então tom verde anunciado num sábado de seguinte pega efe uma função inversis viveu o que quer dizer uma função reversível quer dizer se quer dizer em primeiro lugar está a funcionar objetou era e portanto têm uma correspondência um para um para cada x tem um valor fx e sushis é diferente de y fx é diferente de fy tá então você tem a regra inversa que para cada ponto na imagem df associa um único elemento no domínio bom então essa função f1 em particular recebe injetora eu estou chamando de geração inversa a gente vai

supor que é inversa da função efe a função já que no caso já é uma função contínua tá você tem uma função um conversível cuja inversa contínua o que dá pra dizer que se ela for derivava eu no ponto gdp e é derivada de simon foram mula então a função inversa é derivava tá e com isso a gente consegue até dizer quem é derivada da função g em termos da elevada da função é porque isso aqui vai não pode ser zero porque vai acabar parecendo um denominador da derivada da g e se você pensar geometricamente

isso um tem um bom motivo pra você queria que essa derivado da f 1 ponto não seja zero não é não pensar assim se você tenha que o gráfico da sua função efe tá aqui uma função bem gestora portanto invencível você tem aqui um ponto que tem fd que o que quer dizer que a função de levavam nesse ponto que existe a reta tangente o valor do derivado exatamente coeficiente angular dessa reta tangência o acerto muito bem a como é que você faz para desenhar o gráfico da função inverso simplesmente reflete o gráfico em relação

a bissectriz está certo então o que você vai pensar que se espera que aconteça quando você tem uma reta pouco inclinada ao certo quando você reflete em relação à reta y guaches o que acontece com a inclinação dela se ela é pouco inclinada na hora que eu rebato ela fica bastante inclinada tá certo o que vai acontecer na prática é que o produto desses 2900 angulares é sempre um bom quando você reflete uma reta em relação a bissectriz o coeficiente angular é o inverso pensa no caso que o f60 que quer dizer que o f60

que o coeficiente angular zero e portanto a reta tangente horizontal você reflete uma reta horizontal em relação a bissectriz o que ela fica uma reta vertical qual é o coeficiente angular dessa reta não tá definido então retas horizontais que são tangentes a gráficos na hora que você tentar inverter pode não dar certo vai dar uma reta vertical que não têm coeficiente angular portanto a inversa não teria derivada nesse ponto reitores onta williams e sua pergunta é se uma reta quando você está com um ponto do gráfico que a reta tangente horizontal esse ponto é sempre

um ponto de máximo ou mínimo da função isso não é verdade se você pegar por exemplo a função fx guaches ao cubo nesse ponto quanto vale é derivada fx negócios ao cuba derivado de 3 x quadrado no ponto vale zero está à deriva de zero nesse ponto esse ponto nem um ponto de máximo porque têm valores maiores do que o valor da função nesse ponto perto dele e nem de mínimo porque têm valores menores então levada 0 não é garantia de que aquele ponto é um ponto máximo e mínimo da função de valor máximo -

tá então a nossa intuição é que se a função for bem comportadinho injetora com a derivada diferente de 0 1 ponto na hora que eu refleti o gráfico obter uma outra função que também vai ter uma reta tangente naquele ponto tá vamos ver como é que a gente faz isso então eu estou querendo calcular derivada da função inversa da função g preço do derivado da gq que a gente precisa olhar qual é objeto de discussão sempre estudar ou graficamente ou na hora de fazer a conta onde estudar essa quantidade aqui um certo olhar pra isso

quando x tende para a p tudo bem como a nossa função efe é uma função um invencível portanto a injetora eu consigo escrever x em termos de f e g fg são funções inversas que dá pra gente escreveu posso escrever isso assim gtx - gp o xis você concorda que ele fdg dx porque fg são funções inversas e aqui você concorda que o pew posso escrever como fdg edp acerto bem e ainda ver se a gente consegue escrever isso eu posso escrever se como sendo um sobre f e g de x - fdg bp sobre

redd x - dp posso fazer essa conta eu posso colocar o dia d x - gdp no denominador a condição para fazer isso é garantir que esse cara nunca 0 tudo certo e porque gtx nunca é igual a gdp a função já poderia ter dois pontos diferentes que assumiu mesmo valor né não é o caso aqui porque porque com uma f invencível quer dizer que a fgt também agehab injetora então se x foi diferente dp que é o que interessa para a gente o limite x tende a peixes nunca é igual a peta não se

x é diferente dp com certeza gtx é diferente do gdp porque é uma função injetor em particular então posso fazer essa conta ótimo isso aqui se você gp hipótese uma função contínua então eu posso chamar o dgx certo fazer aquela mudança de variável no limite eu chamo o dg de x o que acontece quando xistem jaffé o tende para quanto vai tender progp porque já é uma função contínua e gps ou chamando de que ele na notação denunciado teorema tá bom então em vista disso dá pra gente escreveu o seguinte coisa limite quando x tende

a p&g dx - gp sobre x - p o limite dessa expressão é igual ao limite dessa quando se estende para p e trocando as variáveis trocando-o por gtx isso vai ser igual ao limite quando o 11 sobre heath de um que a gtx gp é que sobre gtx - a edp que dá 1 - que o quanto vale esse limite o limite de 1 sobre isso aqui limite quando o tende para que dessa coisa o que é é derivada da função é fino ponto que então o denominador limite existe numerador é constante igual a

1 então isso aqui existe e é igual a 1 sobre heath linha de que o que nós provamos que esse limite existe portanto a função g é derivavam no ponto pê ea derivada de javali 1 sobre a fini logo g é derivava em p&d vale qg linha dp é igual a 1 sobre a filhinha quem é o ponto que gp bom pra você lembrar disso mais fácil quem é derivada da inversa o inverso do derivado derivada de efe - um é um sobre efe só toma cuidado para aplicar no ponto certo né a derivada de

gentle ponto p 1 sobre a filhinha no ponto gp tá bom a observação como é que você faria se a priori você já sabe que a função inversa é derivava eu este teorema touch dando uma condição para que a função seja derivado porque a função ver seja derivado do qual é a condição adversa tem que ser contínuo ea função efe original tem que ser derivava eu com derivada não lula no ponto se isso acontecer é certeza que a função diversa derivava se você já sabe que a f derivava eu né se sabemos que a f

1 quer femininos 1 eddie vável seduz a mesma forma de um jeito mais rápido né quanto vale efe composto com g lembrando que gf - 1 quanto vale isso x certo nível dos dois lados se eu já sei que a função g a inversa da efe é derivado eu eu toco composta de duas funções de variáveis aqui composta de duas funções de vavá fez pelo que vimos na copa passada é uma função dele vável é derivada você calcula com a regra da cadeia estão levando dos dois lados como é que fica o lado direito é

bem fácil né privado x vale um é derivada da composta quanto que é deriva a função de fora no ponto gdp vezes a derivada de dentro do ponto pê certo você já sabe que a função é derivava pela regra da cadeia você tira a fórmula direto gelinho dp é igual a 1 sobre o bom então se a priori você já tem informação de que a efe - um é derivava eu você tira de brinde rapidamente essa forma de ver a uma coisa que a gente tem que tomar um cuidado aqui quando a f derivava eu

tenho certeza que ela é contínua né é verdade que você tem uma função continua invencível a inversa dela sempre é contínua a gente ainda não tem ferramentas para demonstrar quando isso é verdade ou não sob certas condições e isso é verdade mas dá pra você pegar exemplos de funções invencíveis que são contínuos e conversam é contínuo pra isso que precisa acontecer o domínio dela precisa ser o que a gente chama de desconexos e precisa ter dois pedaços separados então um exemplo você pode pensar é uma função um bom diretor então só porque ela é linear

até esse ponto aqui nesse valor e daqui pra frente ela assume assim tá com o domínio da função é composto por esses dois intervalos esse intervalo fechado aqui esse intervalo aberto a perguntas a função uma função contínuo em todos os pontos do seu domínio sim o gráfico apresenta alguns alto de alguma natureza não é em todos os pontos qualquer que seja o iene se você tem de pôr o ponto pelo valor do limite tem dpf de pé então ela é contínua ok ea inversa dessa função é contínua ou descontínua vai ser de se continuar a

avançar porque quando você for pegar a função inverso ao que vai acontecer pra esse valor aqui quando me aproximo desse ponto vou me aproximar de dois valores diferentes então é inversa dessa função é uma função desse contínuo dá pra gente mostrar com conteúdo que vai ser visto futuramente que se a função está definida no intervalo é contínua e invencível então se o inverso também é contínuo isso depende do teor e tem está definido no intervalo depende muito do grêmio que tinha uma teoria do valor intermediário a gente vai ver lá pra frente tá bom diga

o negócio essa é a composta df possui versa é sempre igual função identidade a definição da função identidade e que é a função inversa de uma outra função é aquela que desfaz o que o anterior fez eu pego um número x calcula função efe obter um valor fdx o que é inversa vai fazer é pegar esse valor fdx e voltar no x tá bom então é composta de uma função com sua inversa canto numa ordem enquanto na outra sempre tem que dar função identidade tá bom então se você já sabe que a inversa derivava eu

a forma de se obterem a mesma sai rapidinho da regra da cadeia aqui a gente está demonstrando quando que dá pra fazer isso vamos ver como é que a gente consegue deriva' algumas funções a partir disso né vão pegar alguns exemplos vamos pegar fdx como sendo x elevado à m tá bom quem é inversa dessa função raízes enésima tem que tomar cuidado na sn for parar não é bem verdade que por exemplo seu igual a 2 quem é inversa da função destes ao quadrado não tem né porque a função destes ao quadrado no mg torá

mas se você se restringe o domínio somente dos números positivos a ela fica injetora e ela é invencível sobre sua imagem por exemplo tá então eu vou fazer com ele qualquer aqui se ele for para se tomar cuidado de olhar só um pedaço da função é objetor tudo bem então com esse cuidado tomado quem é a função gtx na nossa conversa aqui a enésima de x certo então dá pra gente tentar descobrir quem é derivada da raiz enésima olhando como derivada da função inverso então quem é pela forma que a gente tem gelinho dp um

certo ponto qualquer um sobre a filhinha dgdp né muito bem quem é filhinho num ponto gp qualquer n vezes elevado - 1 calculado no ponto p ta certo isso vai ser sobre ele vezes a função x levado em -1 calculada nesse ponto então vai ser gdp elevado vou escrever assim ainda menos um tudo bem que a edp elevado ainda menos um gp é a função raiz enésima x elevado 1 sobre n se você quiser pensar após cada vez como sendo um sobre n vezes p elevado em -1 sobre ele está arrumando isso um pouquinho o

que a gente vai ter um sobre m vezes p elevado a 1 - n sobre ms você quiser troca o sinal do expoente ou seja 1 sobre m vezes p elevado a 1 sobre ele só tô reescrevendo a expressão ou seja na prática o que aconteceu como é que deriva x elevado 1 sobre ele tomba 1 sobre ele subtraiu um dos points de novo vale aquela regra do tom então quanto é derivada da raiz cúbica de x um terço vezes x elevado dois terços em cada ponto muito bem vamos fazer mais três exemplos disso diz

elevado - dois terços não é o benfica x elevadores dois terços um denominador prefeito tá bom diga esse aqui a quem é gdp levado um sobre ele então vai ser pelo elevador 1 sobre n tudo elevador - um bom ótimo tá aqui pra cá aqui em seguida ótimo então vamos aplicar a fórmula né quem é derivada da função g1 sobre a filha no ponto gdp quem é fininha como é que você veria x elevado a n é mm vezes o ponto elevado aí - 1 não é isso então é fininha e níveis o ponto elevado

- um bom só usei a regra de derivação para a função efe fmx e rochas elevador ele tá bom claro muito bem se você usando essa expressão que a gente tem pra derivada da raiz enésima e sabendo de vários points você consegue deduzir a fórmula pra levar x elevado qualquer expoente racional descreve como uma composta x elevado a emi sobre n como é que a gente pode escrever x elevado a emtu do elevado 1 sobre n se aplica a regra da cadeia nessa forma surpreendentemente o que vai acontecer uma regra equivalente a essa você vai

tombar o expoente e subtraiu um tá então em geral se você tem fdx igual à x elevado a emi sobre m tá temos a linha um ponto qualquer m sobre n vezes p bom tomba o expoente subtraiu essa regra pra qualquer um expoente racional um pouco mais de trabalho se consegue provar também que a fórmula vale para qualquer expoentes real quanto é derivada da função x elevado ap e vezes x elevado ap - 1 calculado no ponto perguntar bom ótimo vamos pegar um segundo exemplo esse é o primeiro uma outra função que a gente pode

derivar desse jeito é inversa é se você pega fx iguaçu x pergunta essa função é gestora claramente não é só tem período do espírito mas se você se restringir ao intervalo aberto - pi sobre dois ataques sobre dois ela fica injetora tudo bem vale mesmo tende a valer menos um extremo esquerdo do intervalo e já valeu um plano estritamente crescente nesse intervalo enquanto que é derivada da função inversa você deve ter ouvido falar da função inversa sem um x chamar que o cene x tá e como é que você pode calcular derivada do arco ser

um x a partir disso é que a gente sabe vamos tentar usar essa ideia que não é a função cena de x é uma função contínua se você tentar fazer o gráfico da função arco cena você vai ver que também uma função contínua vai ser a inversa de uma função continua indefinido no intervalo a gente vai ver depois porque isso dará continuidade não sendo é derivava eu acho inversa uma função contínua no intervalo então que teorema de garante que é inversa é derivava como é que a gente faz para calcular derivada já sabendo que ela

é derivada quanto vale sereno do arcos e no the x pra qualquer x nesse intervalo estou compondo uma função com sua inversa pergunta dele compor uma função com a sua inversa sempre roches levando os dois lados o que a gente obtém aí o lado direito sempre é fácil né o que faz o primeiro ponto que dá derivada do lado direito um lado esquerdo é uma composta de funções como é que seria uma composta deriva a função mais de fora você docas e no vezes arquivos e no derivada passar vamos calcular isso tudo chave um ponto

pena tudo bem não é derivada dessa composta aplicada no ponto p me dá isso aqui ou seja a derivada do arcos e no no ponto p você consegue servir como sendo um sobre o sena corpos mdp está certo isso tá mas dá para melhorar um pouquinho expressão é com o senador por cento é uma coisa que a gente consegue escrever de uma maneira melhor e de que maneira melhor dá pra fazer primeiro de tudo corre o risco de só que ser zero não porque eu tô dentro do intervalo de minutos sobre dois ataques sobre 2

x está lá dentro então arcos e não vai ser um cara cujo conselho única vai dar zero porque nunca vai batendo papo sobre dois números sobre os então denominador está sempre diferente de zero aí tá tudo ok eu tô no intervalo aberto e como é que a gente pode escrever isso aqui de uma maneira um pouco melhor cosseno se concorda que a raiz quadrada de um - e no quadrado é que eu vou pegar podia ser mais ou menos arraes vou pegar raiz positiva porque porque tanto nesse intervalo o conselho sempre positiva estou certo então

a raiz mais isso aqui você ainda pode escrever como sendo um sobre a raiz quadrada de 1 - senão quadrado docs mdp bem enquanto que é sereno do arsênio p eu sei que dá um sobre a droga de um derivado do arcos e no ponto p é um sobre a raiz quadrada de um menos que o quadrado ó fez essa qual que é a coisa seguinte você morre de vontade de fazer ao padre wahda do arco concelho né então como é que a gente pode fazer você pegar a função nesse intervalo com o 0 x

1 só pegar um pequeno intervalo onde essa função injetora onde a gente pode pegar isso conselhos em gestora pode ser por exemplo de 0 ap e se repete o mesmo argumento você no do arco concelho x canto que dá x levando os dois lados você vai ter menos seno do arco concelho calculado no ponto pê vezes arco cosseno linha calculado no ponto pê igual é importante você vai ter que é derivada do ar por cento é menos 1 sobre o sena da coisa como é que você pode escrever os e no raiz quadrada de 1

- conselho ao quadrado então de maneira totalmente análoga ar por ceno derivada no ponto p - um sobre a raiz quadrada de 1 - pouco justo incorpora essas formas é a regra da cadeia quem é derivada vamos lembrar como era derivada da função compósito um ponto p qualquer né isso é a derivada da função mais externa calculado em gdp vezes de mdp bom é derivada daquela composta é derivada de fora levado do conselho - e no calculada no ponto esse aqui vezes a derivada dessa função um ponto bom a gente sabe deriva inversa do cena

do conselho no qual mais que dá vontade de calcular tangente diga derivada do concelho ser - e não uma conta que a gente fez duas aulas atrás vamos lá é você já sabe quanto que é isso não é essa que a gente quer calcular então eu usei essa expressão para fazer aparecer a derivada do arco cosseno que é o que eu quero descobrir em termos de derivados que eu já conheço tá eu não sei quanto é derivada do alto concelho bom na verdade você sabe que o derivado do arco cosseno é um sobrevivente vado do

cosseno no ponto que é exatamente um sobre - sendo usando aquela identidade trigonométricas e consegue escrever desse jeito e não tem porque é derivada da inversa quer dizer pensar desse jeito fica meio estranho né derivada do cosseno é - e no então você põe arc dos dois lados e continua forma igual e quero que você estava pensando por que é derivada do arco cosseno não é - arco ceni não é colocar a função arc na frente um preserva o derivado de alguma maneira está bom