Cálculo I - Aula 7 (1/3) Aproximação da função por sua reta tangente em um ponto

[Música] no final do ano passado a gente chegou a ver o que quer o conceito de derivada de levamos algumas funções na função trigonométrica 1 x elevado a eni pra n um expoente natural e margot quiser fizemos isso e acho que é um bom ponto para a gente olhar agora é tentar entender aquela coisa que eu falei lá naquela primeira aula do que era qualquer um significado da reta tangente porque a gente toma como coeficiente angular da tangente é derivado então é uma coisa que a gente vai ver o quão boa é a aproximação do

valor da função próximo do ponto de tangência usando a reta tangente como expressão para aproximar o valor não é tão só pra gente lembrar a gente estava trabalhando com o seguinte conceito de derivado a gente dizer que uma função é fera derivava um ponto pê seguinte limite a que existia né se existia e era um número real e chamava esse número de é filhinho de pedra derivada da função efe no ponto p uma outra maneira de calcular esse mesmo limite era uma coisa escrita dessa forma aqui né tá claro então a gente tem essas duas

expressões que são totalmente equivalentes no sentido de que quando uma existe outra existe vice versa os valores são sempre o mesmo tá tão comum observar vou chamar de observação esse fato sobre a aproximação de uma função pela sua reta tangente então vamos olhar de novo pra nossa figurinha de sempre então digamos que a gente tem aqui um ponto pê com o fdp e a reta tangente ao gráfico nesse ponto sá se você pegar um ponto x bem próximo de p a gente pode tem aqui o valor real valor exato da função fx está certo tem

que ser ordenada e esse valor aqui quem que é essa altura y desse ponto da reta é o valor de y assumido quando eu calculo a equação da reta e se x certo não é não é necessariamente fdx né o que acontece em geral é isso né você tem essa pequena diferença essa medida que a gente vai chamar de hedge x tap porque eu te chamando de e exatamente por que esse essa quantidade é o erro que você vai cometer aproximando o valor real da função efe pelo valor obtido calculando o y da reta tangente

ao gráfico no ponto p então a gente consegue escrever exatamente quem é a função e né qual é a equação da reta tangente em geral a reta tangente ao gráfico df no ponto pf dp vai ter como equação y igual a fdp mais é filhinha dp x - feito acerto então pra esse valor de x ac isso aqui é fdp mas é filhinha de pvc x - p e esse é o valor real fx então quem é e de x é a diferença entre o valor real da função ea expressão da reta tangente naquele ponto

x fp o que se observa dessa função e the xx claramente é uma função contínua no ponto pena porque porque a f f sendo uma função de agente já provou que toda função derivava ué continua então a ef é contínuo no ponto p isso aqui é uma expressão pois nome ao em primeiro grau então uma subtração de funções contínuos portanto uma função contínuo então esse fato que eu vou escrever agora ele se reflete naturalmente da nossa intuição né o que você acha que acontece quando x tende pra p diddy isso o que você acha que

acontece com a medida desse segmento amarelo conforme x se aproxima dp tende a zero e como a gente observou que essa função é de fato uma função continua isso aqui vale quando o limite de uma função contínua é o valor dela no ponto se você substitui x igual apenas a expressão de cima a 0 mesmo então essa é uma uma coisa que é super intuitiva que a gente esperaria que acontecesse quanto mais próximo de x menor vai ser essa medida mas acontece mais quer dizer essa aproximação é uma aproximação ainda melhor do que isso se

você olhar para essa quantidade e the xx sobre x - p o que acontece na hora que a gente for analisar esse limite quando x tende para zero o que você pode dizer o numerador tende para 0 já observamos denominador também tende para zero então eu tenho uma determinação concretamente justo vamos tentar resolver esse limite interpretar o resultado está em que a etes pressão está lá né fx - fp - é filhinha dp x - p tudo isso vamos dividir com os x - passar separando as expressões aí consegue escrever isso como fdx - fdp

sobre x - p tá certo é que sobra só é filhinho de pena quanto vale esse limite agora vale 0 exatamente essa parcela que tende pra f linha de pena porque por hipótese é feita em função do elevado eu escrevi mas está trabalhando com essa é uma função derivavam no ponto p então se ela deriva em um ponto pensou que tem de pré filha dp isso aqui é um número fixo é filha de pai então essa diferença se aproxima de zero tá então qual é a interpretação que a gente tira disso que esse consciente tende

para zero o que isso quer dizer o numerador e denominador ambos tender para zero e eu tô com essa conta verifiquei que se consciente específico tende para zero o que isso quer dizer que apesar de ambos tender para zero o numerador é uma quantidade que tende a zero mais rápido do que o denominador certo para valores de x próximos dp essa quantidade no numerador o ed chi x é desprezível em relação à quantidade x - p voltando lá na figura o que isso quer dizer que quando che está bem próximo de p essa quantidade aqui

tende a zero já vimos mas mais do que isso ela tende a zero com uma velocidade muito maior do que o x tem de proteger ou seja para valores de x bem próximos de p a medida desse cumprimento é desprezível em relação à medida desse cumprimento ou seja valores de x muito próximos de p o erro que eu cometo é muito menor do que a diferença entre x ipê portanto aproximação pela reta tangente uma boa aproximação diga o edu chiquita porque a gente fez essa conta que o porquê é desprezível o a medida de em

relações - p o consciente a divisão entre essas quantidades tende para zero isso interessa a qualquer interpretação que o numerador é em termos de ordem de grandeza se você quiser pensar muito menor do que o do iluminador portanto essa quantidade aqui de caia 0 muito mais rápido do que é [Música] isso é se você está num ponto que você conhece a reta tangente você pode utilizar essa reta gente como uma boa aproximação para o valor da função o quão boa ou não a gente tem até técnicas que vamos ver mais para frente de como obter

estimativas parecia se consegue controlar em que casa decimal esse erro vai estar por exemplo usando formas de taylor essa é uma pergunta natural quer dizer o que em si a linha a gente vai ver isso mais pra frente mas de alguma maneira se você não está contente com a aproximação linear você poderia por exemplo aproximar por alguma função que se curvasse na mesma direção do gráfico de algum jeito com uma parábola uma equação catedrático uma cúbica quanto maior o grau desse polônio que a gente vai conseguir construir em algum momento mais pra frente você vai

ter em alguns casos uma aproximação cada vez melhor a gente vai ver isso ou mais lá para a frente mas na direção dessa tua pergunta de escolher com o que eu vou aproximar uma pergunta natural é ok é com essa reta eu conseguir uma aproximação com essa qualidade se eu pegasse qualquer outra reta será que eu vou ter o mesmo ou eventualmente uma aproximação melhor do que essa então faz o seguinte vamos fazer esse mesmo tipo de conta para uma reta de coeficiente angular qualquer que passa pelo ponto pf dp tá então estudar uma função

erro que vai depender do número m que é o coeficiente angular da reta que eu estou considerando em disse mdx a fórmula vai ser fdx - fdp - m x - p o que é esse m que eu tô indexando aí é o coeficiente angular da da reta né fdp mais e me vestistes - p y igual a isso a equação da reta que têm coeficiente angular m e passa pelo ponto pf dp tá bom então esse m é o que é a diferença entre o valor da função f e dessa outra reta então por

exemplo se você pegar uns exagerados mesmo não é estou pegando essa reta com coeficiente angular e me aqui nesse ponto x quem é meu erro o mx a toda essa medida aqui né o que será que acontece quando for tentar olhar esse erro de novo se você fizer a conta o limite quando x tende a p dmx é novamente 0 né quando x tem de pagar p em si m também tende para 0 natural essa medida conforme se aproxima de peso e quantidade vai diminuir afinal de contas o gráfico passa pelo ponto pf agora se

eu for tentar olhar para aquele limite proporcional o que vai acontecer na hora que a gente fizer a conta a expressão vai ser exatamente análoga essa eu só vou trocar esse é filhinha por m tá certo então o que a gente vai obter aqui fazendo essas contas todas vai ser o limite quando x tende a p fx - fdp sobre x - p - emtu bem exatamente igual trocando o mpf lin enquanto que dá esse limite sendo a ef derivava eu esse cara tem de pré filhinha dp isso aqui vai ser é fininha dp -

ou seja qual é o único número m eu tenho que colocar aqui para garantir que se consciente tem de preservar o m tem que ser exatamente igual a filhinha de pena ou seja dentre todas as retas que passam pelo ponto pfp a única que tem a propriedade que o erro vai a zero mais rápido do que se estende para a p é a reta cujo coeficiente angular é filhinho então isso mostra que a ré a reta tangente é a reta com a boa propriedade de aproximação não existe nenhuma outra com o mesmo poder de aproximação

que a reta tangente então isso justifica porque calculado derivada é uma coisa importante e falando em calcular derivado a gente precisa saber calcular derivadas né calculamos alguns exemplos mas a gente precisa ter algum mecanismo prático de modo que você seja capaz de ao pegar uma função quando precisa calcular derivada dela você sabe exatamente o que fazer em cada momento então com isso isso é o que a gente vai chamar de regras de derivação eu vou demonstrar todas elas e para fazer demonstração vão fazer uma demonstração que é um pouco alternativa em relação ao que aparecem

nos livros em geral porque as demonstrações que estão os livros me incomoda um pouco sim tem passagens estão meio meio obscuras em geral então desse jeito fica tudo bem e tranqüilo então vale a pena a gente estabelecer esse resultado antes que é uma caracterização alternativa para uma função se derivava ou não baseado nessa caracterização equivalente que eu vou estabelecer agora a gente consegue provar todas as regras fazendo merda manipulação algébrica de expressões tá some o conceito de limite dado o derivado então eu vou dizer que uma função f1 é derivado eu limpei c e somente

c existe uma função roupa eu vou escrever drr mas na verdade o domínio precisa ser o mesmo que o da função efe ou pelo menos algum intervalinho em volta do ponto p ta essencialmente existe uma função rohde rr contínua em p o que vale é a seguinte forma fdx pode ser inscrito como fdp x vezes x - então toda vez que você for capaz de encontrar uma função continuar ro para a qual vale essa fórmula a função é que vai ser diferenciado no ponto p é claro que essa função hol vai depender do ponto p

ta diga é diferencial é o inter vá ver ou são sinônimos a gente tá diferenciável no ponto b derivava um ponto p quer dizer a mesma coisa pelo menos por enquanto então vamos lá vamos tentar demonstrar este teorema da idéia não é muito difícil a gente vai ganhar bastante com isso tá então você vê que é um teorema daqueles do tipo 6 somente sei o que isso quer dizer a gente tem duas coisas pra fazer né temos que demonstrar que quando a função é derivava eu que elas e derivava aquele limite existe é aquele limite

existe e tem que ser capaz de construir uma função o contínua com essa propriedade feito isso se existe uma função ro continua com essa propriedade então f derivativos são duas coisas para fazer então vamos fazer primeiro vamos supor que a f derivava eu ea partir disso construir a função rouco rohde x essa função aqui está o que é uma função ser derivava eu pra gente estava aqui eu acabei apagando precisaria existir aquele limite quando x tem de pagar p e fitch - fp isso é ser derivava o que eu estou te dizendo que em vez

de ter que calcular esse limite para garantir que uma função é derivada um ponto eu preciso mostrar que existe uma função rolou com essa propriedade não é exatamente aquela reta né mas quando x tende a p o valor de rhode p vai ser exatamente o coeficiente angulado aquela reta a gente vai ver isso na hora que a gente escrever a conta vai ficar quarta então vamos partir do pressuposto que é federico ravell inter que significa que existe um número real que a gente chama de a filhinha dp que é exatamente esse limite aqui tudo bem

olha bem para a expressão que está dentro do limite e olha o que a gente precisa fazer a gente precisa construir uma função ro o que vale é essa fórmula olha para essa forma um pouquinho e vamos fazer a engenharia reversa quem teria que se a função hol pra que isso aqui vale se você tenta isolar ro a expressão que você tem pra rua exatamente o que está dentro desse limite tá certo então vamos tentar fazer isso defina road x dessa maneira vai ser fdx - fdp sobre x - p isso é que eu posso

calcular em qualquer ponto não é expressão não está definida quando x é igual à p isso aqui vale x vai for diferente dp eu quero que a minha função ou seja contínua no ponto pequeno quero qual é o valor que uma função tem que assumir um ponto pra você contínuo lembra que a gente provou que ele teorema f é contínua num ponto pcs aumente seu limite é igual ao valor no ponto ótimo então qual é o valor que eu tenho que colocar se eu quisesse colocar um l aqui de modo que a função seja contínua

no ponto b quem é esse é o limite quando x tem de provar petiscos aqui ou seja é filhinho dp a função roupa eu vou definir dessa maneira está bem definido em todos os pontos sim pergunta uma função contínuo sim como a f derivava o fx é contínuo portanto é um consciente de funções contínuas para todos x diferente dp é um consciente de contínuas portanto é contínuo no ponto x igual p o valor dela é igual ao seu limite portanto ela é contínua também tá essa é a função rolou essa função vou definida essa maneira

satisfaz essa expressão a gente olhou pra isso aqui pra construir ela tá certo então pra todo x diferente dp rone x é igual é isso que passa multiplicando isola se obtém exatamente aquela expressão e quando x é igual à p a forma também vale né igual peso vai te f desigual fdp aqui pra esse voto para essa função ro também então tá tudo certo então se a função é derivava eu o conceito que a gente viu na aula passada existe essa função rocco recíproca suponha que exista uma função ro continuar dessa maneira porque a função

é derivava então se existe uma função ro dr é contínua em p tal que fdx gente escreve como fdp mais rohde x vezes x - p porque a função é derivava eu então se o x for diferente de pelo que eu posso dizer vou ter que roth x é igual a fx - fdp sobis - p certo o que acontece quando o x tende a peculiar dado esquerdo como a função hol é contínua esse cara tem limite e é igual a quanto rohde p existe se esse cara tem limite essa função é igual a rua

é essa aqui também tem limite estamos usando aquele teorema tem duas funções que coincidem perto do ponto p mas não necessariamente no ponto então se o limite de 1 existe outra existe e é igual então isso implica pra gente que o limite quando x tem de provar p&d fdx - fdp sobre x - p é igual ao limite quando se estende à p&d rohde x pergunta qual é o limite roth x se rolar uma função contínua basta calcular o valor no ponto que mostramos então que este limite existe e é igual a um número portanto

efe derivava eu tá demais quanto vale a derivada são time anunciado do teorema mas a gente pode colocar agora né nesse caso o nome completar o anunciado aqui nesse caso é filhinha dp é exatamente igual ao certo porque é derivada quando existir o valor desse limite o valor desse limite a rua dp então isso aqui implica que f é hétero elevável em p&d efe linha dp igual a hoje vamos fazer um exemplo concreto de mostrar que uma função é derivado desse jeito pra gente ver como que isso aqui é ruim pra fazer conta é uma

coisa muito desagradável para você trabalhar em casos concretos mas ela é super útil para aprovar os termos que a gente quer é bom você tem as duas ferramentas uma que é boa pra fazer teoria e o limite de fx - a de pessoas - p é pra fazer contato prático vamos ver um exemplo o que a gente já sabe derivar né x ao quadrado tá bom pegar fdx igual x ao quadrado que ponto que a gente quer derivação sanchez ao quadrado é igual a 3 por exemplo então vamos lá de acordo com essa definir essa

coisa que é equivalente a definição de derivada ela ser derivava eu eu vou ter que construir principalmente uma função continua ro tá de que jeito eu vou querer que fdx um escrever isso eu tenho que ser capaz de encontrar uma função continuar roubo tal que fdx seja igual à efe de 3 ou de xx - 3 bom então quem fdx utilizar o quadrado quem efe de 39 você consegue colocar alguma função contínua aqui que verifica essa fórmula não tentar x + 3 se você quiser que você tem que por a kibon isola as coisas nem

se vai ficar x ao quadrado menos nove sobre x menos três que x ao quadrado - novos sobre x - 3 x mais três pra todo x diferente de 3 né é como eu queria uma função contínuo vai ser x mais três para todos x diferente de 3 do valor do limite dela naquele ponto tá então a gente tem que rhode x igual x + 3 pergunta essa é uma função contínua no ponto p sim o nome de primeiro grau se é uma função continua no ponto b e isso já me mostra pela definição que

f é derivava eu um pegou a 3 pelo que a gente observou enquanto que vale a filhinha pelo anúncio do teorema filhinha dp é a função vou calculado nesse ponto enquanto vale on road 36 tá certo isso quanto que vai levá da função x ao quadrado no ponto pegou a 3 a gente já sabe derivativos ao quadrado em cada ponto ela é duas vezes o ponto o ponto pegou a 32 36 deu certinho então bateu e de fato é isso mesmo né então é muito importante você vê que essa função ela não tem nada a

ver com a derivada da f1 né é uma outra função continuar aqui no ponto p tem o mesmo valor que é derivada df se você fosse pensar na função da elevada a gente vai falar disso daqui a pouco para cada ponto x para cada valor de x o coeficiente angular é 2x a função da elevada 2 x 1 não tem nada a ver com um x + 3 tá bem então você fica dependendo de ter que construir a função por exemplo se aqui fosse fdx igual aceno de x num outro ponto qualquer fica ruim ficar

ruim de explicitar essa função roth x então prefeitos práticos ele não é um bom jeito de de provar que uma função derivava diga da onde veio rouches gostas mais três tá é o seguinte a gente está tentando verificar que essa função que a gente já sabe que é derivavam é derivado no ponto pegou a 3 de acordo com esse novo conceito tá então pra que ela seja derivava eu preciso construir uma função continuar roth x que verifique esta igualdade a função continua no ponto pegou a 3 também então olhando pra isso quer dizer se você

deixasse road xis aqui quem teria que ser road x alguma coisa que verifica x ao quadrado menos nove igual a rohde xv e xx - 3 então esse erro tem que ser x + 3 não está definido praxes igual a 3 não é porque não poderia passar esse cara dividindo mas você olha para a função contínua que impacta com ela em todos os pontos e que está definida no ponto 3 a gente viu que é derivada da f 1 ponto p é exatamente o valor dessa função e bate com a regra do tombo que a

gente jornal passado então já estamos relativamente acostumados com esse novo conceito de de viabilidade de uma função vamos a ele pra deduzir todas as regras de elevada soma derivada do produto derivado de uma composta que com ela derivada do consciente de seu plano pra pra hoje