Cálculo I - Aula 8 (2/3) Derivadas de funções inversas e funções dadas implicitamente

o quarto exemplo você fdx igual à tangente x local col da elevada inversa com a mesma técnica tudo bem que a gente pode dizer bom aí você pega o intervalo onde a coisa funciona bem né nesse caso por exemplo de - pi sobre dois ataques sobre dois agentes escolhe a função inversa o ramo da função diversa daquela que valeu 00 por exemplo então tudo bem tem gente de arco tangente x x levando os dois lados quanto à elevada tangente secante ao quadrado se não lembrar sereno sobre cosseno aplicar a regra do consciente então a gente

vai ter seqüência ao quadrado do arco tangente dp vezes a derivada do arco tangente calculado no ponto p u1 portanto que a gente pode dizer que é derivada do arquiteto gente no ponto b é um sobre secante ao quadrado do arco tangente dp tá certo isso corretíssimo agora que dá pra dizer a respeito dos e cante ao quadrado quando o cálculo em cima do ar tangente e que é semelhante ao quadrado com a relação do freqüente o tangente você não lembrar faz na hora né você não quadrado de x mas se no quadrado de x

da um de vídeos dois lados por concelho x o que você vai ter um mais tangente ao quadrado de x é igual um sobre conselho se você continuar tá tão semelhante ao quadrado é um estande ao quadrado ok então posso trocar isso aqui por um mais tangente ao quadrado vai ficar 1 sobre o mais tangente do arco tangente é p então é derivada do arco tangente um ponto é um sobre um mais um ponto ao quadrado então quando você tem funções inversas que você sabe que são derivava fez você consegue descrever a forma precisa de

elevada inversa rapidamente se quiser fazer derivada do arco secante dá pra fazer tudo isso agora vai aparecer na sua frente você sabe exatamente o que fazer bom bom do ponto de vista de lista de exercícios a gente continua conseguindo fazer os mesmos exercícios de antes só falta além agente inclui agora a seção 5 que a sessão que fala sobre derivada de funções inversas então tenho a três exercícios o que a gente acabou de fazer nesses três exemplos foi exatamente o exercício 5.2 da lista a jóia é um outro tópico que a gente ainda tem para

fazer é uma coisa muito legal que a gente chama de derivação implícita o que isso quer dizer o que quer dizer deriva' emprestar mente uma função não vamos dizer primeiro que quer o implícita na coisa suponha que você tem uma relação de dependência entre duas variáveis x e y ou seja para cada x eu determino y mas eu não tenho uma expressão explícita a função y em termos da variável x eu tenho alguma equação algébrica envolvendo funções que a gente conhece que amarram os valores de y e x ou seja tem uma equação nas variáveis

x e y e acontece o seguinte coisa para cada valor de x que eu substituo numérico nessa equação eu vou ter uma equação só na variável y yo determina um único valor de y que resolve a situação então para cada x tem um único y que resolve a situação tá ou seja para cada valor de x eu tenho um único yy é uma função x uma pergunta natural é se eu não conseguir escrever explicitamente a função y dx igual a tanto será que dá para descobrir quem é a derivada da função y mesmo sem saber

quem é ficção y resposta é parcialmente positiva condições exatas para ver quando você consegue fazer isso não dá pra gente vê agora uma coisa que engloba conteúdos que são vistos no curso de cálculo dois anos só estudar funções de duas ou mais variáveis tá mas supondo que y é uma função dele vável dx da implicitamente a gente vai calcular y linha sem saber quem é explicitamente y tá então vamos ver exemplo não é primeiro dizer o que é uma uma função sociedade implicitamente fazer alguns exemplos então vou dizer y é uma função the xx dada

a emprestar mente se existe uma função vou chamar f maiúsculo de r 2 e r tal que vale a seguinte coisa fd x y e x idosa para todo o chile pertencente ao domínio dessa função e não existe uma equação é fão de x e y que quando é igual a zero para cada valor de x eu descubro um único y não vou dizer que y é definido implicitamente por essa expressão f maiúsculo também vamos ver um exemplo acho que o exemplo ilustra melhor o que eu quero dizer pega por exemplo essa função aqui ó

yy dx igual a raiz quadrada de 11 metros quadrados essa função dada explicitamente está vendo a forma dela né y x é igual a isso aí tudo bem qual é o domínio dessa função x varia num intervalo de menos de 1 até 1 você consegue de levar essa função se precisar sim quais são os pontos onde dá para calcular essa derivada após calcular em qualquer ponto do domínio da função não é se você tentar calcular derivada disso aqui quando x é igual a 1 ou menos um só ver que não funciona porque nesses pontos a

reta tangente ao gráfico tenderia a ser vertical portanto não têm coeficiente angular não tem derivado nesse ponto tá mas essa função é dada implicitamente estou fazendo o contrário é que eu estou dando uma função explícita estou escrevendo quem é ela quem seria uma função implícita que a definir é dado implicitamente por f x e y igual x2 mais 12 - todo mundo concorda com essa afirmação quer dizer para cada valor de x eu encontro um valor de y no caso aqui tem até dois né mas se eu pegar y os positivos para cada valor de

x em um encontro único y positivo que resolve essa equação é fão xy igual a zero claro quem a solução quando você é igual a isso aqui a 0 isolam y é isso aqui teria rais negativa também mas se você se restringe só as positivas também dá certo né então a função y dx igual a menos de um minuto x 2 também é dada implicitamente pela mesma equação tá uma questão de escolher raiz positiva ou negativa a vamos tentar entender nesse exemplo o que está acontecendo quem é o conjunto dos pontos onde a função é

fão vale zero quando que x quadrado mais y quadrado - 1 a 0 antes quadrado mais opção quadrado é igual a 1 e o que dá isso no plano circunferência centrada na origem de raio né então o conjunto dos pontos onde esta expressão realizaram corresponde ao círculo militar you centrado no turismo redondinho com o sempre tá bom então o que eu quero dizer que a função essa função y igual a raiz de um número x 2 verdade tem precisamente por isso quer dizer que o gráfico dessa função é o semicírculo superior tudo bem para cada

valor de x tem um único y positivo que verifica essa equação igual a zero ora para cada x tem um único y tem uma função perguntas naturais que você quer fazer sobre essa função ela é contínua é derivava eu a gente como eu tinha dito anteriormente a gente não tem condições de a priori saber se a função da implicitamente por isso é derivava ou não se quer contínuo mas quando a gente sabe ou supõe que ela é derivado a gente consegue calcular derivada somente tinha pra você saber isso é vai precisar estudar o que a

gente chamaria de derivados parciais essa função aqui e esse é um assunto que está lá no cálculo 2 tá então a gente tem que esperar um pouquinho mais um semestre para chegar nessas coisas diga não à pergunta por que que a f1 vai ser sempre zero então a definição de ser dado implicitamente por uma equação é essa tem que existir uma expressão a duas variáveis na qual quando eu trago o valor de x e pega o valor e pontes correspondente ela anula sua expressão tá então essa função aqui se você aplica nessa nessa f maiúsculo

valorizar sempre tudo bem ela vai ficar ao quadrado sou machista ao quadrado e tira 1 a 0 então vou dizer que essa função é dada implicitamente por essa equação em duas variáveis quando o que não vai ser possível há aqui deu né nesse mesmo exemplo não da pergunta é possível se eu pegar esse ponto aqui é possível tirar o y como função de x pega um pedacinho da curva de escrita por essa equação em volta desse ponto vai ser um arquivo de circunferência aqui pergunta isso aqui é o gráfico de uma função y e x

não porque porque para o valor de x eu vou ter dois exemplos diferentes tá então perto do ponto 10 se você quiser dizer assim perto do ponto 10 essa expressão não define uma função implícita y como função de x mas define x como função de y tá pra cada y vai ter um único x perto desse ponto é o y aqui não é função x mainz x é função dele aí de novo lá no cálculo 2 e vai ter ferramentas para dizer se uma foice uma expressão desse tipo foi dada por uma f bem comportado

em algum sentido em todo ponto do conjunto solução ou o y vai ser função de x 1 xv se função de y ah mas isso é uma coisa um pouquinho mais para frente e nem faz parte do programa do curso de cálculo 2 estudar isso mas é um fato bom então pra cada x que não é meio ponto um meio ponto - 1 o gráfico é essa função aqui o que você acha dessa função se acha que ela é derivava não tem nem um bico na intuitivamente mesma conferência um gráfico lisinho a gente conseguiria calcular

derivada e consegue de fato dá pra fazer isso explicitamente quem é y linha só você escreve por extenso em y dx igual a raiz quadrada de 1 - x ao quadrado você sabe deriva' a função y em cada ponto p como é que a gente deriva eu tenho uma composta aqui né o que eu estou fazendo estou pegando x autuando o número um - x ao quadrado e depois chegando à raiz quadrada disso tá bom então como é que a gente deriva deriva a última coisa primeiro né então eu tenho que levar à raiz quadrada

quanto é derivada da raiz quadrada x elevado a meio a gente tem uma fórmula já né então você vai fazer meio 1 - ao quadrado tudo bem tudo levando a raiz o calculando no ponto um número x ao quadrado justo tudo bem aqui e vou multiplicar pela derivada da função de dentro quanto é derivada de um menu x ao quadrado um é constante - 2 x 1 então se você quiser você pode escrever y linha de x nesse caso tenha forma explícita da por como - x sobre a extinção - fiz ao quadrado que é

um menu x ao quadrado o próprio y x então essa derivada é menos x sobre y como é que a gente faria perder e vai se implicitamente quando que seria vantagem dele vai precisamente nesse caso como o y é quadrat qo aqui você consegue isolar se aplicam tipo 1 basta alguma coisa assim sei solo y função de x agora essa expressão que envolve a variável y for mais complicada por exemplo tiver um polinômios degrau maior que sim margot 5 você não vai ter uma fórmula para escrever o y em termos das funções elementares topolino degrau

maior golpe 5 não tem uma expressão para determinar suas raízes como a fórmula de buzz cara ou tartáglia para situações de gol 34 cartão me tratado né então você não conseguir isolar mas ainda assim ele consegue calcular derivada vamos tentar fazer isso então veja como é que a coisa funciona a gente tem é fã de x y e x igual a zero né nesse caso quem a função é fã x ao quadrado mais y ao quadrado de x - um é igual a zero estou supondo que y depende de x é uma função de x

estou supondo que esta função uma função que lhe valeu então eu posso derivar dos dois lados em relação à variável xis aqui tá quanto é derivada de x ao quadrado 2 x 1 enquanto que é derivada de y ao quadrado de x tem uma regra da cadeia aqui certo você pega o ponto x calcula o valor da função yxc o resultado leva o quadrado qual foi a última coisa que fizermos levamos ao quadrado então poder levar começando aí qual é derivada da função e levar ao quadrado duas vezes a coisa então para derivar isso aqui

vai ficar duas vezes à coisa vezes a derivada dessa y unit 1 a 0 então consigo isolar o y linha nesse caso quanto que dá - x sobre pio x tá bom quando o que eu posso fazer isso eu precisei passar o y dividindo né quando o y pode passar dividindo quando ele não é zero nessa situação geométrica quando o y a 0 quando x é igual a 1 ou menos 1 então essa fórmula vale pra todo x no domínio da efe que não seja menos um que são os pontos onde y valle 0 e

é natural né nesses pontos você não vai querer dizer que a função é derivava porque a reta tangente vertical rap tangente a circunferência nesses dois pontos não está claro como ceder implicitamente uma equação e tem uma equação enorme com as variáveis x e y você troca o ypy de x e deriva lembra bem vamos ver se eu tenho mais um exemplo aqui tem exercícios nas provas aos montes têm exercício na lista os montes vamos tentar pegar esse outro exemplo aqui onde em princípio não saber isolar o y como é esperado que o cidadão médio saiba

decora fórmula para raízes depois o nome do terceiro grau né então se você não souber ainda assim dá para derivar então vamos ver um outro exemplo a suponha que fdx é derivava eu e y é fictício você quiser pensar dada implicitamente a pela equação y ao cubo mais y igual à x bom então eu sei que a minha função é essa é uma função que satisfaz é levado ao cubo somado com ela dá sempre igual x vamos tentar descobrir quem é derivada da f1 certo ponto né e então a como é que a gente faria

isso depois a gente faz um simples numérico eu sei que fdx ao cubo mais fdx guache a partir dessa expressão como é que eu descubra quem é filhinha de nível dos dois lados achar inversa poderia o que achar inversa na verdade é resolver essa equação estes dói depois e como é que você acha a inversa disso como é que você isola o y nessa equação aí ele falou aí você achará inversa da função efe calcula derivado da função inverso e perguntar efe estou certo mas nesse caso acho que funcionaria isso né quer dizer se olha

para a equação y e guaches ocupam mais x essa essa função vai ser que satisfaz a equação da inversa da efe e você consegue derivar explicitamente nesse caso né vai dar 3 x ao quadrado mais um essa seria derivada da inversa quanto é derivada da original1 sobre isso no ponto correspondente de fato que vai dar aqui né você conseguiria nesse caso escrever porque porque dá pra trocar tudo né agora você tem uns e no ce cossenos complica um pouco tá bom ele apresentou uma ideia que é uma solução que funciona bem pra esse exemplo a

expressão foi um pouco mais complicada concordamos que não fica muito fácil de essa abordagem né então como é que fica derivando membro membro essa expressão é quando é derivada df ao cubo a última coisa que fez foi levar o cubo então vai ficar à deriva durante levaram cuba três vezes a coisa ao quadrado veja derivado do que está dentro de levar o cubo fininho mas é derivada da f1 bom nesse caso da professora é fininha sim eu vou ter que é fininha de x é igual a 1 sobre três fx ao quadrado mais um bom

dia também por efeito prático y desse jeito é dado implicitamente pressa e fãs isso é uma coisa que você consegue verificar como substitui esse y aqui dá quanto a 0 então esta y dx satisfaz é fã de x y e x igual a zero que é exatamente a definição da sociedade e principalmente pela função a de baixo também as duas porque na hora que você leva o quadrado final de - vai embora então este semicírculo é o gráfico dessa função e o semicírculo inferior é o gráfico dessa função eu tenho uma equação que definir precisamente

duas funções tudo bem 5 relacionar qual primeira com o pó com essa é fã a eu é que eu construí um exemplo eu peguei uma função dada explicitamente e criei uma função é fão que define ela implicitamente aqui nesse exemplo agora eu sei que a função é dada implicitamente por essa equação aqui quem está o que está dito quem a minha é fã de chip y ao cubo mais y negro x tudo bem então tô supondo que existe uma função efe derivava eu que é dado implicitamente por essa equação o que quer dizer que se

nesta quarta no trópico y por fdx vai dar zero sempre ou seja exatamente essa equação é claro e derivando lembrar melhor conseguir calcular a derivada da função efe eu não sei qual é a sua forma em termos do valor da f1 em cada ponto então de paz e disse eu poderia tentar determinar qualquer equação da reta tangente o gráfico da f 1 ponto tá então ele poderia por exemplo determinar a o valor é determine a equação da reta tangente o gráfico df no ponto eu pegar um regime sabe fazer a 10 f10 como é que

a gente calcula a equação da reta tangente o gráfico de uma função que tenha forma né a equação é y - f10 o coeficiente gloria derivada nesse ponto as vezes que eu preciso descobrir quem é filhinha de 10 e quem é f10 como é que eu vou descobrir quem f10 o que a gente sabe que a f10 satisfaz f10 elevado ao cubo mais f10 é igual a essa porque essa equação vale pra todo x então preciso descobrir um número que é elevado ao cubo mais ele mesmo da 10a email por inspeção tá xf 10 tem

que ser dois bom se eu sei que o f10 é igual a 2 eu substituo aqui e descubra o quanto vale a filhinha de 10 é filha de 10 substituindo ali a gente vai ter um sobre três vezes dois ao quadrado três vezes quatro mais 11 13 tá basta substituir o valor encontrado para f10 aqui está claro como é que a gente fez a conta então a gente tem explicitamente e costa uma reta tangente então é essa equação vai ficar como y - 21 sobre treze x - tá aqui que a gente pode usar essa

informação exatamente sabendo aqui que a gente fez na época passada não provamos que em cada ponto a reta tangente ao gráfico era uma boa tem uma boa aproximação própria função ou seja pra pontos próximos do ponto de tangência não tem nenhuma reta melhor que a reta tangente para aproximar o valor da função então de posse da reta tangente no ponto x igual a dez eu consiga obter estimativas para o valor da função f1 muito boas sem saber quem é fórmula efe então com a derivação implícita consigo descobrir pra você pega um ponto lá bem pertinho

do x goddess quanto vale a função eu tenho que botar um número esse número aqui se ela 10,000 1 eu coloco 10,00 um aqui tem que resolver essa equação não sei o valor aproximado para o valor df calculado em r 10,00 11 pode ser obtido portando 10,00 um obter uma boa aproximação para o valor da função sem saber quem é a cara da função você pode fazer isso com qualquer função que seja derivava derivando implicitamente você tem alguma equação que definir precisamente a função se você conseguir descobrir o valor do derivado num ponto você descobriu

que na reta tangente e portanto essa reta gente vai aproximar bem a função que é desconhecida explicitamente perto daquele ponto esse número de onde veio sim a a gente descobriu que o valor da função no ponto a 2 roque substituir a expressão aqui quem é fininha dx é um sobre três vezes o valor da f1 quadrado mais um então como f10 e 2 e ficar 11 sobre três vezes dois ao quadrado mais 13 vezes quatro mais 13 tá bom justo então é uma derivação em vista uma ferramenta muito boa para aproximações de funções que nem

tem expressão ou a cara dela sabe que ela satisfaz alguma equação também