Derivada de uma Função (Aula 3)

Olá pessoal tudo bem vamos continuar com o assunto das derivadas e agora nós veremos a derivada de uma função e você verá que isso aí é muito importante sobre o assunto das derivadas beleza pessoal se você gostar do vídeo clique ali em curtir outra coisa pessoal divulg esse trabalho compartilhe esse trabalho já que ele é totalmente gratuito e pode ajudar aí inúmeros estudantes beleza vamos começar Então vem comigo aqui [Música] Então pessoal vamos ver aqui ó a derivada de uma função olha só o que diz aqui ó a derivada de uma função dada por y

= FX Olha só pessoal é a função denotada por F linha de X tudo bem tal que seu valor em qualquer x pertencente ao domínio da função f é dado por e nós temos então aqui ó a derivada da função representada por esse limite aqui ok e olha só continua dizendo assim ó se esse limite existir tá se ele não existir o o o limite não existe a derivada OK aí continua assim ó dizemos que uma função ela é derivável ou ou diferenciável tá pessoal quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio

pessoal reparem que a derivada de uma função nada mais é do que aquele limite que nós tanto calculamos aí nas aulas anteriores não é verdade ou seja pessoal olha só presta atenção a derivada de uma função nada mais é do que a inclinação ou seja o coeficiente angular da reta tangente a essa função beleza vem comigo aqui ó Então pessoal esse limite aqui ó ele nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente a essa função aí pessoal reparem que a derivada de uma função ela é uma outra função isso porque pessoal a

derivada da função depende daquele x ali ou seja depende da abscissa do ponto aonde nós iremos colocar a reta tangente beleza por exemplo olha só naquele gráfico ali se eu pegar aquele ponto ali pessoal traçando a reta tangente à curva tá naquele ponto nós temos essa reta tangente aí e essa reta tangente pessoal possui um coeficiente angular ou seja possui uma derivada para aquela abscissa que nós temos ali OK agora por exemplo se eu pegar aquele outro ponto ali aquele outro ponto pessoal possui uma abscissa diferente da abscissa anterior concorda comigo ou seja o valor

do X é diferente o que acontece nós temos aquela reta tangente que também possui uma inclinação Ou seja a derivada diferente da derivada da reta anterior que nós traçamos ali Beleza então pessoal a derivada de uma função irá depender da abscissa que nós iremos escolher ali pra função beleza vem comigo aqui então pessoal por isso que a derivada de uma função ela é uma outra função tá porque sempre irá depender aqui ó desse valor x que nós temos OK agora Olha aqui pessoal o que nós temos ó outras notações podem ser usadas no lugar de

y linha que representa né a derivada da função f linha de X pessoal nós temos aqui ó essa representação derivada da função f em relação a x olha só F Dex é a mesma coisa que Y então derivada de y em relação ao x agora essa terceira aqui pessoal ela é uma notação que foi criada pelo matemático libis tá essa derivada aqui ó é a derivada da equação Y em relação ao x ou seja a derivada da função em relação a x tá então nós vamos sempre utilizar no nosso curso ou essa anotação aqui ó

que é anotação de libis ou essa notação aqui ó que é a notação que foi criada pelo matemático francês Lagrange ok pessoal agora vamos derivar algumas funções sempre lembrando que a derivada de uma função representa a inclinação ou seja o coeficiente angular da reta tangente a essa função aí beleza vem comigo aqui então pessoal Olha o primeiro exemplo aqui ó D da função nós temos aqui uma função do segundo grau tá encontre a derivada dessa função aqui para o x valendo 3 Beleza então pessoal primeiramente vamos lembrar que a derivada da função isso para abscissa

valendo 3 nós vamos ter aqui a derivada lá no x = 3 dada pelo limite vamos ver aqui ó isso quando delx ele tende a zero tá agora vamos ver aqui ó nós vamos ter então a função ó a função é x + delx né Então nesse caso é o 3 + Ox - FX que nesse caso é o f de 3 tudo bem tudo isso dividido pelo delx Ok primeiramente pessoal vamos calcular aqui ó o f de3 Então olha só f de 3 nós vamos aqui na função e no lugar do X aqui ó

nós vamos colocar o 3 ou seja ficaremos com 3 x o x qu ou seja o 3 Quad mais 2 ve o 3 e nós temos o -1 Então pessoal Olha só primeira potência 3 qu dá 9 3 x 9 dá 27 né 2 x 3 dá 6 então 27 + o 6 nós vamos ter o 33 e o 33 - 1 nós ficaremos com 32 então calculamos o f de3 e o resultado Deu 32 agora pessoal vamos calcular F3 mais o delx Olha só f de 3 + o delx nós vamos ter o seguinte

ó nós ficaremos com 3 que multiplica o x aqui ó que nós vamos colocar então o 3 mais o delx isso aqui é o quadrado mais o 2 que multiplica o x que é o 3 + o delx tudo bem e ainda temos o -1 Ok continuando aqui nós vamos ter o seguinte ó O 3 então irá multiplicar nós temos aqui Pessoal esse produto notável Aqui Nós faremos ó o quadrado primeiro ou seja 3 qu ficaremos com 9 mais 2 vezes o primeiro então 2 x o 3 dá 6 vezes o delx ficaremos com com

6 delx mais o quadrado sego que nesse caso é o delx ao quadrado tá tudo isso daqui ó fecha o parênteses agora pessoal nós temos esse dois aqui ó multiplicando então ele fará a distributiva que é o famoso chuveirinho então nós teremos mais 2 x o 3 dá 6 e 2 ve delx teremos aqui 2 delx e temos ainda o -1 tudo bem agora pessoal aquele TR ali ó ele está multiplicando todo esse pares aqui ó Então nós vamos fazer a propriedade distributiva também tá então 3 x 9 dá 27 3 x 6 delx ficaremos

com 18 delx e o 3 que multiplica delx qu ficaremos com 3 delx tá tudo isso daqui ó elevado a quadrado nós temos ainda mais o 6 mais o o 2 delx e temos ainda o -1 ok então continuando aqui olha só o 27 com mais esse 6 nós ficaremos com 33 e o 33 menos esse 1 ficaremos com 32 temos aqui ó 18x somado com esse 2 delx ficaremos com o 20 delx e temos ainda esse 3 que multiplica o delx que está elevado ao quadrado agora pessoal substituindo aqui na derivada da função nós

vamos ter o seguinte ó então a derivada da função no x = 3 é dado pelo limite isso quando delx ele tende a zero tá agora vamos colocar aqui ó o que que vem a ser o F3 + delx tudo isso daqui então copiando nós vamos ter o 32 mais o 20 delx e temos ainda o 3 que multiplica o delx elevado ao quadrado tudo bem nós temos ainda pessoal - F3 pessoal F3 ele vale 32 então ficaremos ainda com menos o 32 tá isso tudo dividido pelo del X então Olha só pessoal nós temos

aqui o 32 positivo com 32 negativo nós cancelamos tá então só vou passar um traço aqui assim ó Para não misturar e nós vamos ter então o seguinte ó continuando aqui ó nós vamos ter então que o limite isso quando delx ele tende a zero tudo bem Vamos ver que sobrou aqui ó sobrou então 20 que multiplica o delx mais o 3 que multiplica o delx elevado ao quadrado enquanto que no denominador nós vamos ter o delx beleza pessoal agora vamos colocar aqui ó o delx em evidência ou seja tudo isso daqui pessoal é o

mesmo que o limite delx ele tende a 0 nós vamos ter agora o seguinte ó colocando delx em evidência nós vamos ter delx abre parênteses Olha só delx vezes quanto que resulta aqui ó 20xx x o 20 mais delx vezes quanto que resulta aqui ó 3x qu 3 delx concorda comigo e no denominador nós vamos ter aqui ó o delx Então nesse momento pessoal nós podemos aqui ó multiplicar quer dizer nós temos a multiplicação então nós podemos cancelar o delx e nós vamos ter então o seguinte ó que a derivada da função para abscissa 3

é dada pelo limite de 20 + o 3 delx isso quando delx ele tende a zero o cálculo desse limite pessoal é muito simples então aonde aparece o delx nós vamos colocar o zero então colocando o zero aqui nós ficaremos com três vezes o zero então isso daqui ó ficará exatamente igual a zero e nós teremos então que a derivada da função para abscissa 3 Vale exatamente o quê Vale exatamente o 20 ok então pessoal a derivada da função lá no ponto de abscissa valendo TRS o resultado dessa derivada é 20 vamos lembrar aqui ó

se é 20 a derivada pessoal significa que o coeficiente angular da reta tangente lá no ponto onde o x do ponto é 3 esse coeficiente angular ele vale 20 coeficiente angular positivo significa uma reta crescente ok pessoal vamos fazer agora mais um exercício aí para fixarmos bem a reta tangente ou seja a derivada de uma função beleza vem comigo aqui agora pessoal Olha esse exemplo aqui ó diz o seguinte seja essa curva Y = 1 so x - 2 tudo bem E diz assim ó determine a derivada de y em relação ao x lembra que

essa então essa notação aqui ó é a notação de lienis matemático alemão tudo bem Então olha só a derivada de y em relação ao x nada mais é do que o limite Olha só f de x mais o delx - FX isso tudo pessoal dividido por delx quando o delx ele tende a zer tudo bem Então pessoal que que nós temos ó o f Dex é a nossa função ou seja 1 sobre o x- o 2 agora FX + delx nós vamos ter o seguinte ó f de x + o delx é igual Olha só

1 sobre no lugar do X Vamos colocar o x + delx tá E temos ainda o -2 ali Ok então pessoal agora substituindo nós vamos ter o seguinte vou passar um traço aqui ó tá então a derivada de y em relação a x isso aqui é exatamente igual limite agora pessoal vamos substituir tá olha só no lugar de F Dex + delx Vamos colocar essa fração aqui ó ou seja 1 sobre x mais o delx e temos o -2 tudo bem E temos ainda ó - FX então - FX que nesse caso é 1 so

x - 2 ok isso pessoal sobre o delx e esse limite né quando o delx ele tende a zer agora pessoal muita calma aqui tá Isso aqui é matemática básica agora hein então isso tudo aqui ó é igual limite Vamos colocar aqui já o delx tendendo a zer tudo bem vamos passar um traço aqui ó agora pessoal nós temos aqui uma subtração de duas frações de denominadores diferentes Então o que nós vamos fazer eu vou passar um traço único aqui ó e no denominador aqui ó eu irei colocar a multiplicação desses dois denominadores ou seja

ó nós ficaremos com x mais o delx menos o 2 isso aqui multiplica o x - o 2 tudo bem agora Olha só esse denominador aqui ó dividido por esse denominador nós ficaremos com x - 2 e x - 2 que multiplica 1 ficaremos com o x - o 2 ok o que nós estamos fazendo aqui pessoal é o mínimo múltiplo comum tá agora pessoal nós vamos ter o seguinte ó esse denominador aqui ó dividido por x - 2 nós ficaremos com x + delx - 2 esse x + x - 2 que multiplica o

1 nós ficaremos com o seguinte ó olha só negativo abre parênteses nós ficaremos com x mais o delx - o 2 tudo bem Vamos fechar o parênteses e no denominador nós vamos ter o delx agora pessoal continuando aqui embaixo ó nós vamos ter então limite para delx então tendendo a zero OK agora nós vamos ter o seguinte ó aqui no numerador reparem que nós temos esse negativo na frente desse parêntese aqui ou seja esse negativo irá trocar o sinal desses três termos que estão aqui então nós vamos ficar com o seguinte o x - 2

tá E esse negativo então fará aqui ó menos o x o menos delx e mais o 2 tudo isso daqui ó dividido por essa multiplicação Vamos colocar aqui ó o X mais o delx - o 2 que multiplica o x - o 2 tudo isso daqui então dividido pelo deltax OK agora repar o seguinte ó Aqui nós temos o -2 cancelamos com o + 2 e Aqui nós temos o - x cancelamos com o + x Então nós vamos ter o seguinte tá isso aqui é exatamente igual limite isso quando delx ele tende a zero

tudo bem o que aconteceu ó nós ficamos aqui com uma fração e a divisão de duas frações que que nós vamos fazer nós vamos conservar a primeira tudo bem que que ficou a primeira ficou menos delx dividido por esse denominador que é o x mais delx Men o 2 tudo isso multiplicando o x o 2 tudo bem agora então essa fração multiplicada pelo inverso dessa lembra que aqui nós temos ó delx so 1 tá então nós vamos ficar aqui multiplicando pelo inverso que é 1 sobre o delx então nessa multiplicação aqui ó nós iremos cancelar

esse delx com esse delx e nós vamos ter então o seguinte ó esse limite então isso quando delx ele tende a z0 ele é dado pelo seguinte Olha só o numerador fica -1 x 1 ficaremos com -1 e o denominador nós teremos aquela multiplicação ali ó x mais o delx Men o 2 que multiplica o x - o 2 OK agora pessoal no cálculo desse limite aqui ó no lugar do delx nós iremos colocar o Zero Tudo bem então o valor desse limite aí ó o resultado será então o -1 tá dividido por x +

o 0 menos o 2 que multiplica o x - o 2 Beleza então o que nós vamos ter aqui ó nós ficaremos com -1 no numerador enquanto que no denominador nós ficaremos com x - 2 que multiplica x - 2 nesse caso x - o 2 elevado quadrado Então pessoal esse resultado aí nada mais é do que o valor da derivada da função em relação ao x beleza vamos fazer agora pessoal a Saira para você ficar bem craque em relação à derivada de uma função beleza vem comigo aqui então pessoal olha o que a Saira

diz ó dada que nós temos a função h tá no qual G é uma constante Então pessoal notem que muitas vezes as nossas funções não vão vir apenas com x e y nós temos aqui o g a constante tá no caso Aqui nós temos a equação posição na queda livre tudo bem calcule DH em relação ao t ou seja vamos derivar essa função aqui ó em relação ao t o t Então pessoal nós chamamos de variável independente Ok então pessoal vamos calcular aqui ó a derivada dessa função H em relação ao T beleza pessoal essa

anotação aí e não é uma divisão tá nós não temos ali uma fração nós temos apenas uma notação que fala a respeito da derivada da função H em relação à nossa variável T Ok vem comigo aqui então pessoal essa derivada aqui ó como nós já vimos né é o limite já vamos colocar aqui ó do quê da função H olha só é H em função do T então é H de t mais o delta t - h de t tá isso tudo quando del t tá dividir por del T isso tudo quando del T ele

tende a zero agora pessoal Olha só primeiramente a função h de T nós já conhecemos ela é 1/2 de g t qu como está aqui tudo bem agora a função h de T + del T nós vamos ter o seguinte ó h de T mais o Del T isso aqui é dado por ó 1/2 que multiplica G que no caso a gravidade né vezes o t qu ou seja nesse caso o t mais o Del T tudo isso daqui ao quadrado então desenvolvendo nós vamos ter o seguinte vamos continuar aqui ó isso aqui então é

1/2 vezes a gravidade que multiplica ó quadrado primeiro que nesse caso é T qu mais duas vezes o primeiro vezes o segundo ou seja duas vezes o t vezes o Del T mais o quadrado segundo que no caso é o Del T elevado quadrado tudo bem agora pessoal fazendo aqui a distributiva nós vamos ter o seguinte ó 1/2 que multiplica G que multiplica o t qu tudo bem mais 1/2 que multiplica G que multiplica 2T x del T nós iremos Cancelar esse do com esse do e ficaremos com a gravidade vezes o tempo vezes o

delta t agora 1/2 x o g que multiplica o Del T elevado ao quadrado Ok então pessoal substituindo nós teremos o seguinte ó O limite isso quando del T ele tende a zero já vamos colocar ali né E vamos colocar aqui a fração Olha só h de T + delt nós vamos colocar tudo isso daqui tá então vamos simplesmente copiar nós ficaremos então 1/2 que multiplica o g que multiplica o t qu mais o g ve o t ve o Del T mais 1/2 que multiplica o g que multiplica o Del T tudo isso daqui

ó elevado ao quadrado e ainda nós temos aqui ó olha só menos o h de T pessoal h de T nós temos aqui ó 1/2 GT qu então ficaremos com - 1/2 g t qu isso tudo sobre o Del T OK agora repara o seguinte ó nós temos aqui ó - 1/2 GT qu aqui + 1/2 GT qu poderemos cancelar sem problema algum tá então isso daqui pessoal nós ficaremos com o seguinte ó limite isso quando del T ele tende a zero agora repar no seguinte ó nós vamos ter aqui ó o Del T nesse

termo nesse termo Nós também temos o Del T Então vamos colocar o Del T já em evidência ou seja nós ficaremos com o Del T que multiplica o qu pessoal o GT Vamos abrir aqui ó mais o 1/2 de G del t 1/2 vees o g ve o Del T tudo bem Isso aqui é tudo dividido por del T como nós temos ali ó uma multiplicação então certamente vamos cancelar o Del t e nós vamos ter então o seguinte ó a derivada então de H em relação ao t em relação ao T é simplesmente o

limite de GT mais 1/2 g vees o Del T isso quando del T ele tende a zero então calculando esse limite aqui pessoal nós veremos que esse del T ele será substituído pelo valor zero então zero que multiplica o G que multiplica 1/2 todo esse termo aqui ó ele será igual a zero Então nós vamos ter que a derivada da função H em relação ao T é dada por G vezes o t certo então pessoal Chegamos Ao Final De Mais uma aula sobre derivadas Espero que tenha sido bastante proveitosa essa aula acerca da derivada de

uma função beleza só aguardo vocês aí nos próximos vídeos um abração e até mais [Música] ah [Música] [Aplausos] [Música] ah [Música] h [Música] [Aplausos] [Música]