📚 Noção Intuitiva de Limites - Cálculo 1 (#2)

fala aí galera beleza professor paulo pereira que seja bem-vindo você está no equacionar essa aqui é a primeira aula de cálculo a gente teve uma aula foi mais um bate papo e agora a gente vai ingressar no assunto propriamente vamos falar da noção intuitiva de limite o limite ele tem uma definição matemática bem precisa no entanto é que a gente vai usar nossa intuição pra tá entendendo e calculando um limite beleza abre o coração vem comigo vão estudar um entender esse conceito aqui que é bem tranquilo você vai ver né se você gostar desse material

muito importante isso caso não seja inscrito inscreva se aqui no canal tabu um curto vídeo também vai ajudar bastante a perna seguinte você fica sabendo quando colocar o próximo vídeo eu tenho aqui pessoal quatro seqüências né um dois três quatro cinco a primeira depois viesse a 1 sobre dois dois terços três quartos quatro quintos 5º 6º e todas essas seqüências são infinitas um certo infinitos elementos a gente sabe que ela é infinita por causa da reticência de alguma maneira é possível a gente entender o que está acontecendo e aí a reticência vão dizer que isso

é infinito mas a gente consegue saber o que vem depois por exemplo aqui está bastante claro né depois nem tenho 6 7 8 9 10 aqui por exemplo próximo ano seria os 67 anos em algum momento a gente teria 19 sobre 10 né mas sempre o número dividido pelo seu sucessor lá na frente por exemplo a gente vai ter um número 1001 / mil essa aqui é fácil 11 0 - 1 - 2 - 3 - 4 próximo não seria menos 5 - 6 e por aí vai essa aqui repara bem já está um pouquinho

né 11 sobre 22 25 33 35 e 45 você observa bem essa que os elementos de índice limpa o primeiro o terceiro o quinto só exatamente os elementos desta seqüência aqui já os elementos de incitar o segundo o 4º eo 6º são os elementos dessa aqui então essa aqui é uma seqüência que digamos ela vai ter duas linhas ali né vai intercalar duas moções ficou claro isso não é tão difícil perceber mas beleza a ideia que é o seguinte eu vou te fazer uma pergunta esses números eles estão caminhando para onde eles estão se posicionando

para onde eles funciona paulo isso aqui vai crescer muito uma hora chegou mil chegou 10 mil vai ter um milhão e 2 milhões os números são infinitos ali né é verdade então isso aqui vai crescer muito vai ficar tão grande quanto a gente queira né 1 trilhão 10 trilhões 54 não está aí dentro né então esses números conforme você vai aproximando ele pra lá mas seguindo na sequência eles vão se aproximar do número gigante e cada vez você consegue aumentar mais ainda então essa é a noção de infinito se eu chamo os elementos da sequência

que de cheias pessoal eu vou dizer que x está se aproximando está caminhando para o infinito tá bom e aí pra não precisar escrever isso tudo dilke x está atendendo ao infinito assim x só tinha infinito vou botar mais definido porque a gente tem também o menos infinita beleza então xx é um elemento da sequência a gente tem que o x ele está caminhando lá para o infinito china está atendendo ao infinito ficou claro isso pessoal então eu poderia dizer que o limite dessa sequência é o mais infinito tá bom bem tranquilo na verdade onde

será para onde será que esses números estão caminhando eles estão se aproximando de que dá onde né conforme você vai andando aí pra frente e ilimitadamente de parabéns gente um sobre dois né a gente sabe que é 0,5 o dois terços por exemplo se você faz a conta 0,666 nã dá uma dízima periódica três quartos por exemplo 0,75 a gente consegue observar que os números estão aumentando mas será que é igual ao anterior vai também crescer tanto assim vai chegar lá pro mais infinito o que você acha não né apesar de estarem crescendo um pouquinho

mas esse crescimento é muito pequeno mesmo né e ainda que eu comece a pensar em números da sequência lá pra frente né por exemplo em algum momento vai ter aqui como eu falei com 1.001 dividido pelo 1002 ou ainda vai ter 1 mil dividido pelo nenhum quanto que dá isso mil / nenhum como é quase igual né mil vai dar muito próximo de 1 você concorda comigo né em algum momento vai chegar aqui ó porque é sempre o luna eo de baixo é uma unidade da imagem em algum momento lá na frente eu vou ter

um número 1 bilhão / 1 bilhão e 1 olha só que coisa né vai dar muito próximo de 1 então pessoal esses números eles estão caminhando por um eles estão tendendo a um cão se x representa os elementos dessa sequência eu vou dizer que num caso que china está atendendo a um claro isso por exemplo 4 5º jael 0,8 né olha tá aumentando e está indo por um tal é um momento aqui pessoal vai ter novos sobre dez novos sobre 10 é quem 0,9 beleza maravilha essa terceira que agora ficou relativamente fácil né porque ela

vai ou a diminuir tanto - a questão incluindo tabonta negativa vai diminuir tanto que vai chegar uma hora em menos 100 - mil - 1 milhão - 2 bilhões então tá indo lá pra menos infinito similar ao que a gente viu aqui só vi que tava indo para o lado oposto é por mais bonita então vou dizer que x ac está tendendo para o - infinito então isso aqui que a gente está calculando são justamente limites de seqüência né o limite dessa seqüência o mais infinito limite da seqüência um o limite dessa seqüência que é

um definido tá certo pessoal tá tranquilo beleza né aquilo que acontece é que lembra que a gente te percebeu que eu tô mesclando aqui esta seqüência os elementos de ordem ímpar é o 1º 3º 5º e os elementos de ordem parco 2º 4º 6º já são dessa outra tinha então na verdade há aqui uma coisa confusa a gente pensar numa parte dela estaria caminhando para mais ínfimo itu que é um dois três quatro cinco sempre pensar numa outra parte estaria caminhando por um e aí quando acontece isso então a gente não vai poder carimbar a

gente não vai dizer que tem limite aqui que hora vai ter uma coisa ora vai pra outra tá certo então aqui eu vou dizer que ora infelizmente essa sequência ela não tem limite tá bom acredito que isso tenha ficado claro pra você está bom beleza pessoal o que a gente fez aqui com essas sequências a gente vai fazer agora com funções que inclusive é a idéia principal é bom vem comigo aqui que eu trago uma função para vocês que a função y igual a 1 sobre x pessoal eu quero fazer o seguinte nessa seqüência eu

vou fazer o xixi estender ao mais ínfimo tá bom tá aqui ó eu vou fazer o x atender ao mais definido e votar interessado em saber o o seguinte x tendendo para o mais infinito o y tende para onde é isso que eu vou querer saber agora tá bom então vamos fazer umas continhas aqui quando x é um substitui-la por 11 / 11 mesmo né tá valendo 1 quando x é 2 o y é um sobre dois né troquei que por 2 que vai dar então 0,5 quando x10 aumentamos o valor de xisto fazendo x

tem de pôr mais definido o y é um sobre 10 0,1 e aí que você acha que tá acontecendo com o y itália tendo para onde a não fazer mais um dia quando os x é sem o y é um sobre e um sobre 100 é quanto em baixa de 0,01 a claro não tá pessoal conforme china aumentando muito você pega um e / um número muito grande isso vai tender caminhar para zero então aqui eu vou dizer que se estendendo por mais afinco mais infinito significa que o y está tendendo para zero e aí

eu posso simbolizar isso da seguinte maneira pessoal o limite desta função que é um sobre x conforme x tende para mais ínfimo o que aconteceu aqui fez o y entender aonde para zero então vou escrevendo isso o limite de 1 sobre x quando x tem demais infinito é igual a zero tá claro o pessoal olha a gente já começou a calcular ny reparou isso muito bem vamos fazer agora o x atender pelo menos infinita bom é que eu tô fazendo x o caminhar lá para o - o infinito que acontece com a minha função neste

caso pessoal vamos substituir toca ao chico - 11 sobre - um vai dar quanto menos um mesmo é tão y aqui vai - um toque o checho os dois que são os valores de y eligió trocando cheios com menos dois o filho com um sobre - 2 - 0 a 5 claro né se você observar a não ser os mesmos números aqui sofre negativo concorda comigo aqui por exemplo vai ser quanto gente o y vai ser a olha 0,1 aqui então é que é menos 0,1 interessante você também está se aproximando 10 concorda comigo olha

aqui né tinha andado 001 agora vai dar menos 0,01 então neste caso aqui o que ocorre é que o y também está atendendo 10 muito interessante isso é certo então vou dizer que o limite de 1 sobre x quando x tende ao menos infinito também a 0 a única diferença né eu vou deixar você enfrentar agora a tela até aqui 30 o tá show a única diferença foi qual vou te mostrar uma coisa que inclusive ser útil mais pra frente pra gente a diferença desse processo é que a gente tinha aqui ó bom o limite

de 1 sobre x quando chinin ao infinito ele foi para 0 eo limite de 1 sobre x quando che foi o menos bonito também foi um prazer a única diferença é que um foi para zero hora uns poucos 10 esteja aqui um foi para zero hora partiu de valores positivos lembra o meu exemplo que eu iniciei num depois foi para o 0,5 e foi depois foi para 0,11 ou seja ele entendeu ao 0 vendo aqui de valores maiores que fizeram né os valores positivos já o outro lembrou no meu exemplo ele começa em menos 1

depois vem pra menos 0,5 depois aqui então está tendendo a zero também mas ele está vendo agora de trás né tá vindo para valores perdendo de valores negativos mas acabou indo para o mesmo lugar muito interessante isso tá bom beleza pessoal bom continuar comigo eu quero te mostrar agora esse processo de limite ao colón graficamente é muito importante que você comece a acostumar-se com gráficos né vou aproveitar diante do que a gente conseguiu compreender e eu vou fazer o gráfico dessa função a gente vai fazer aqui juntos certo vamos lá acho que vale a pena

fazer isso uma vez pelo menos depois a real é que a gente vai é na prática está calculando limites utilizando propriedade pelo menos uma vez acho que vale a pena a gente entender é graficamente que está rolando aqui né lembra é quando x é um de um mesmo né então quando aqui foi um y foi um agente teria esse ponto aqui certo depois eu fui pra chegou a 2 e aí quando cheguei foi 2 de 0,5 que aqui ó 0 eu assim né este ponto aqui depois eu fui pra x goddess que ela na frente

não chegou ao 3 456 bandeira na frente mas o valor foi para 0,11 tipo aqui assim é então a ideia que eu estou assim com gráfico né que está se aproximando de zero conforme a gente viu ele está tendendo a zero não vai dar zero não vai entender a 0 então a gente consegue esboçar um grafo se você caminha pra capa sol por exemplo vai pegar 11 e divide com 0,5 vai pegar o indivíduo 101 quando você pega um e divide com uma coisa muito pequena esse valor aumenta então na verdade interessante isso aqui vai

começar a crescer muito e aí o gráfico fica assim imagina que você pegou um dividiu com 0,1 né vai dar certo quanto a 10 olha pegou um / 0,01 isso vai dar 100 é então o limite passa a ser o infinito então esse aqui é o gráfico quando a gente vem fazendo a mesma coisa com os valores negativos eu vejo que o - 1 - 1 - 1 netta aqui fica uma coisa parecida só que do outro lado do rio - dois esse valor eu vi lá que deu menos 0,50 assim estaria aqui então eu

consigo observar a mesma coisa só que ocorrendo aqui na parte negativa e pra cá se aproximando do zero ele vai lá - definido então bem legal isso até ajuda a gente a esboça gráficos e claro tendo gráfico essa visão seria imediata o número foi aumentando x atendendo infinito tende para 0 x tende para menos e finito tende para zero da mesma forma que foi o que a gente observou leda beleza até aqui pessoal tranquilo aí continuou comigo eu quero te mostrar mais alguns exemplos beleza galera olha só estou apresentando pra você sabe agora a função

fx gol x ao quadrado - 3 x mais dois tá bom quer calcular o limite de fx quando xistem dia mais bonito quando x tende a menos infinito e quando x tende a 1 essa aqui é a função do segundo grau função de segundo grau a gente já sabe fazer netão vão rapidinho aqui ó esboça o gráfico tendo gráfico a gente consegue ter essas respostas sempre né não precisa ficar experimentando valores não então não se você é igual à estaca zero x ao quadrado - 3 x mais dois é igual a zero você vai encontrar

as raízes como a uva fazer por só um produto a soma é 3 o produto é dois né som é sempre o carinho do meio com sinal trocado o produto no final isso quando é um bom então as raízes são 32 no eixo x esse gráfico vai passar num em dois dentes sabe que a condição de segundo grau é uma parábola o a positivo então essa parábola tem concavidade pra cima não é tudo isso tem aqui no canal então você precisa dominar bem isso é importante já vou sair na frente aqui pessoal beleza parábola tem

concavidade pra cima é porque eu acho positivo é um vai ficar assim esse gráfico e se assim onde cruzou aqui é o co2 a interseção com eixo y é sempre aqui o valor do ser no caso dois legal e aqui a gente sabe que esse gráfico eu parei de desenhar aqui mas ele continua ele vai abrindo aqui a vida toda e vai pra lá também a vida toda já é fácil já consigo responder o que está acontecendo conforme x vai pro mais infinito ou seja aumentando o que acontece com fdx que é o y aqui

acompanha o gráfico milan x aumentando ela vai aumentando também o y também vai lá pra cima vai pro mais infinito tá certo então conforme xistem do infinito o y ou fdx também vai para mais ínfimo olha que interessante quando x tem pelo menos o infinito agora o contágio né tô fazendo xixi estenderá pelo menos infinito o gráfico assumindo também vai subindo ou seja ele também vai subir eternamente aí também vai lá pro mais infinito do y então tão bem mais infinito aqui essa função é bem interessante porque quando x tem de pôr mais infinito ela

vai para mais definido também quando x tem pelo menos o infinito ela vai pra mais ínfimo itu também né muito legal isso e quando x tende a um olha aí pessoal um tac conforme você se aproxima tido um tanto pela direita quanto pela esquerda o que acontece com o y está indo para 10 é um é pessoal está com a caneta que eu quero achar uma cozinha colorida para ficar legal para você ver como fazer com o preto mesmo quase 1 ponto por exemplo se eu pego esse motivo a companhia comigo é o y dele

vamos lá e perguntar aqui se eu me aproximar mais ainda do um ano este valor que o pertinho o y dele se aproximou mais ainda do zero se eu fizer pelo outro lado se eu pegar esse valor tinha o y dele aqui se eu pegar o valor mais pertinho de um aqui ó o y dele desceu ghonim ou seja está se aproximando do zero também aqui aconteceu a mesma coisa então o limite quando x tende a 1 neste nesta função é o 10 conforme você vai se aproximando do 1 a função se aproxima do zero

y se aproxima do zero beleza pessoal ficou claro qual se eu não tivesse um grafo você poderia fazer uns testes eu quero x tendo mais infinito coloca x igual a 10 pra ver o que acontece del caguán descem 3 10 e 30 c - 30 70 72 coloca x biguá miu miu ao quadrado pessoal é mil vezes mil é um número grande não né - 3 mil então esse quadrado aqui ele vai fazer o negócio crescer absurdamente e ainda que você está diminuindo aqui mas está a diminuir uma coisa do primeiro grau não diminui pouco

e esse mais dois aqui conforme aumenta muito xixi ele tanto vai fazer não vai quase alterar absolutamente nada né imagina jogar um milhão aqui um milhão ao quadrado olha que número gigante é isso né então realmente você joga valores e x muito grande tendo preferido a tua resposta de wilson vai definir também e quando você joga valores para mim - infinitos jogar pelo menos um milhão o fato é que tal quadrado vai ficar positivo tá vendo então também vai ficar um longo do ano não só que o positivo por causa daquele quadrado ali beleza pessoal

e quando o xv de jaú você poderia fazer valores aproximando-se do 1 e ver o que está acontecendo você ia ver o que daria efetivamente 0 vamos para mais um exemplo aqui gente fx o 2 x 1 sobre che - 1 essa função é aquela função quase que a gente conhece no primeiro grau de segundo grau é logarítmica méxico inicial então a gente não tem uma noção a princípio como é o seu gráfico a gente pode tá de mostrar um gráfico mas não sabendo assim de maneira imediata então aqui a gente vai meio que na

lógica beleza x tendendo a mais infinito que acontece joga o x sendo 100 ac o x sendo 100 que acontece com a função que é o teu y é 12 vezes companheiro em dois meses sem 200 duzentos mais um y é a mesma coisa na 201 6 - 1 99 289 pessoal essa divisão da quase dois né um pouquinho chamado qe2 concorda comigo então aproximadamente 2 agora vão aumentar mais ainda vamos jogar com um x sendo mil 2 vezes 1000 2000 2001 2002 1 2001 embaixo mil - 1 999 concorda que também aproximadamente 2 um

pouquinho só maior que 2 só que inclusive pode usar a calculadora chegou mais próximo ainda dois né se você botar aqui 10 mil vai dar 20 mil mais um 21 sobre 9999 então tá claro que ele está se aproximando do 2 pessoal então o limite é 2 né a gente pode fazer mais limitações vão ver que sempre se aproxima do 2 o limite então é 2 como falei é uma maneira intuitiva de você perceber isso beleza e se você for trocando valores se aproximando - finito menos 100 - mil a gente também se aproximaram dois

só que pra valores é um pouquinho menores do que o 2 tá bom então aqui a gente conclui que vai ser 2 também você pode fazer alguns testes aí agora olha só que interessante pessoal poderemos fazer de maneira formal já tendo em vista que a gente deixou abrir um espaço aqui pra ficar organizando pra você a gente acabou de ver um exemplo inicial que a função y igual a 1 sobre che que acontece o limite dela quando che estende por mais infinito por exemplo era 01 sobre x conforme x tempo mais bonita a 0 e

conforme x tende pelo menos infinito também esteve junto né vamos ter dois meses é uma coisa que é muito parecida também entende por 1 a 0 a gente viu isso foi o primeiro exemplo então olha a malandragem vou pegar essa função aqui e vão utilizar um recurso ao gêmeo que é eu vou dividir todo mundo em cima o xixi supondo que x é diferente de zero tá então a 2 x 1 eu vou dividir por 1 x 1 x 1 a 1 x falar assim mas pau fazendo isso tá alterando a função vai ser uma

outra função não porque eu vou fazer a mesma coisa embaixo se você dividir o número em si mas divide o número embaixo você não altera nada também na forma se você multiplicar e se multiplicar em baixo não está alterando então x / x e menos 11 / x é a mesma coisa tá bom o que acontece aqui o portal x o que também não ficar 2 + 1 sobre o xv vai ficar chique postiga 11 sobre um sobre x como eu quero o limite de chitengo infinito eu sei que x tendo é finito para essa

função aqui dá zero então e essa função apareceu aqui então conforme x tende ao infinito isso aqui vai fazer isso aqui também vai trazer olha que interessante pessoal sobrando tão somente 12 em cima e embaixo e 2000 por 12 horas que coisa linda que a gente já pode fazer a gente pega esse conhecimento e extrapola para uma situação diferente bacana né então muito legal né se eu tivesse a função fdx igual a 5 sobre x da mesma forma que os 5 sobre x eu posso escrever como cinco vezes um sobre x então limite quando x

tenha mais definido por exemplo a 0 esse aqui daria 0 e 5 0 a 0 com essa função não é ela também vai ter o mesmo limite zero quando x tem por mais definido olha pessoal e coisas do tipo fdx igual por exemplo 2 sobre o chile -1 absolutamente análogo né esse - um ok conforme você vai tornando x muito grande ele não alterna porque esse xis vai parar mais definido por exemplo né o china zun zun também para definir tudo né imagina tu tá pegando no gigantão tá só diminuindo um praticamente não está alterando

ele continua dando o tom do mesmo jeito né então seria o mesmo limite de 1 sobre x conforme chega pra mais bonito isso aqui também vai trazer um bom tempo só querendo abrir atualmente a tua cabeça para coisas que a gente vai ver mais para frente pessoal neste vídeo a gente encerra por aqui um forte abraço continuou comigo como falei se você não é inscrito estrelas e agora deixa eu curtir um vídeo e vamos construindo junto esse conhecimento tá bom você vai aprender cálculo total