A VERDADEIRA ORIGEM do Número de Euler (NÃO é o logaritmo)

hoje é dia de fazer uma espécie de continuação da série de vídeos sobre logaritmo e falar sobre a história do número e também conhecido como número de oiler e que é a base do logaritmo natural Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e para aproveitar melhor esse vídeo vale a pena gastar R 1 de banda larga para assistir a série anterior de vídeos sobre o logaritmo especialmente os dois primeiros como a gente viu Nessa série naper inventou seu logaritmo no começo do século X e se você puxar pela memória a definição

na escola a respeito de logaritmo numa certa base b Vai se lembrar que o log de X na base b é aquele expoente ao qual o b precisa ser elevado para que o resultado de X então você poderia ter a seguinte Ideia se o nap el inventou o logaritmo natural que é o log na base e junto com o logaritmo n seu também o número é e esse é o fim da história certo errado errado ou não muito errado em primeiro lugar como a gente viu no vídeo sobre a régua de cálculo em que eu

expliquei a origem do logaritmo o logaritmo original do nepper Não Era exatamente o log natural aliás nenhum outro logaritmo moderno ele era algo ligeiramente diferente e mesmo fazendo uns ajustes para traduzir ele como um logaritmo moderno ainda assim ele não ia ser um logaritmo na base e mas sim na base um sobre e só que mesmo isso não importa primeiro porque ninguém fazia a ideia dessa base oculta na época e segundo porque naquela época não existia ainda essa conexão moderna de hoje entre logaritmo e exponencial logaritmo não nasceu como inverso da exponencial na escola a

gente aprende o logaritmo dessa forma Por uma questão didática mas historicamente a coisa foi bem diferente o logaritmo veio primeiro e só um bom tempo depois que foram várias décadas é que veio a ideia de conexão entre exponencial e logaritmo isso porque o logaritmo era inicialmente apenas um instrumento de cálculo não tinha essa visão de que o logaritmo era uma função ISO só começou a mudar quando em meados do século X San vanan resolveu o problema da quadratura da hipérbole e mostrou que a área Embaixo de uma hipérbole era um logaritmo é uma história bem

bacana que a gente falou no segundo vídeo da série sobre logaritmos Então vale a pena ir lá e conferir os detalhes na nossa linguagem moderna o que o San fez foi mostrar que a área do gráfico da hipérbole retangular Ou seja a função y = 1 so x entre os pontos x = 1 x = a tinha as mesmas propriedades que o logaritmo de a numa certa base e eu já adianto para você era o logaritmo natural o problema é que nem o San van San nem ninguém nessa época tinha feito a conexão de que

a base desse logaritmo tinha que ser exatamente o que hoje a gente conhece como número e Justamente a base do logaritmo natural aliás esse nome de logaritmo natural nem existia ainda por conta do problema da quadratura da hipérbole esse logaritmo era então conhecido como logaritmo hiperbólico e esse era o cenário antes da descoberta de fato do número e e é curioso porque você foi apresentado a ele na escola como a base do logaritmo natural mas esse logaritmo natural nasceu como um logaritmo hiperbólico a área de uma hipérbole e ninguém sabia dizer qual que era a

base certinha desse logaritmo pior do que isso ninguém tinha sequer uma forma eficaz para calcular esse logaritmo e quando você tem um problema com esse você chama Isaac Newton 20 anos depois da solução do problema da quadratura da hipérbole Newton deu a sua contribuição pra história do logaritmo o que ele fez foi descrever o logaritmo natural que naquela época tinha um nome de hiperbólico usando uma série de potências que é como um polinômio infinito ele chegou nessa representação usando os métodos do cálculo algo que com muitas aspas foi descoberto pelo próprio Newton assim era finalmente

possível cálcular os valores do logaritmo por um método eficiente para obter o valor com mais precisão era só somar mais termos da série o cálculo é a incorporação do infinito Na matemática o infinito era uma novidade no século XV alguns anos depois do Newton encontrar a série para o logaritmo Jack bernou estava estudando o comportamento de juros compostos algo aparentemente mundano e sem nenhuma conexão com a nossa história o que bernui fez foi imaginar a seguinte situação hipotética imagina o investimento em que o capital dobra de valor após um ano então R 100 viram duas

vezes 100 R 200 no final do período pois bem mas e se ao invés de uma única capitalização no fim do ano você tivesse diante de um investimento que pagasse Metade dos juros pela metade do tempo você pudesse reinvestir até chegar em um ano isso seria melhor ou pior vamos lá agora a situação é receber ao invés de juros de um por um ano um juro de me por meio ano ou seja em 6 meses seus R 100 viram 100 x 1 mais meio só que você pode reinvestir esse valor pela mesma taxa por mais

meio ano então no final das contas terá 100 x 1 + me qu que dá R 225 e é mais do que antes se fosse Capitalização mensal os R 100 virariam 100 x 1 + 1 so 12 elevado a 12 que dá R 271,3 também é melhor do que antes então quanto maior frequência de capitalização maior o montante final no caso Geral com n capitalizações cada real vira 1 + 1 sobre n elevado a n ao final de um ano o que o bernui fez foi analisar o que aconteceria se o número n tesse ao

infinito Essa é a chamada capitalização contínua o que reflete a ideia de que a cada instante uma nova capitalização é feita apesar de cada aumento de n provocar um aumento no valor final recebido esses acréscimos vão se tornando cada vez menores e mesmo fazendo o n crescer em direção a infinito o resultado final fica finito o bernui provou que ele ficaria entre dois e três ele fez isso usando o teorema do binômio que é um resultado que você aprende ainda na escola e que é essencial para lidar com os assuntos do cálculo é por isso

que os alunos do dominando cálculo T acesso a um curso completo também de pré-cálculo para cuidar de todas essas lacunas na base que poderiam comprometer o seu progresso no estudo do cálculo então se você quer aprender cálculo de verdade quer ir do básico até o avançado quer fazer isso entendendo direitinho os porquês enxergando o sentido daquilo que você estuda ao invés de se perder no caminho vazio da decoreba clica no link da descrição e conheça o dominando cálculo inclusive lá você vai estudar nos min os detalhes toda essa Saga aqui a respeito da relação entre

logaritmos e o número e que é uma das minhas partes favoritas do cálculo Beleza então o bernui mostrou que aquele limite ficava entre dois e TRS mas ele não conseguiu calcular o valor exato desse limite ele apenas forneceu uma estimativa se a gente usar uma calculadora moderna para analisar alguns valores maiores de n por exemplo no caso de capitalização diária Vamos ver que o resultado dá 2,714 5 e etc usando de novo essa maravilha tecnológica e pedindo para ela exibir o valor de e vemos que é praticamente a mesma coisa só muda a partir da

terceira casa decimal E por que que é assim porque meus amigos o número é a base do logaritmo natural corresponde exatamente ao limite de bernu o limite quando n tende a infinito de 1 + 1 sobre n elevado a n bernu publicou seus estudos sobre esse limite em 16 83 isso será quase 40 anos depois de saman Van San revelar o logaritmo hiperbólico ou como dizemos hoje o logaritmo natural só que como eu já Adiantei aqui para você o bernui não foi capaz de calcular o valor desse limite ele apenas mostrou que havia um limite

que essa coisa tendia para um número bem definido e esse número ficaria entre dois e três então de certa maneira Esse foi o nascimento do número e ele surgiu a partir de um estudo sobre capitalização contínua feito por bernui e foi o primeiro número da história a ser definido através de um processo de limite embora a linguagem de limite ainda não existisse naquela época Mas o que importa é que era a primeira vez que o infinito fazia um papel na definição de um número agora além de não conseguir calcular de fato o valor desse número

o bernu também não enxergou uma conexão entre esse número e o logaritmo natural Aliás na época de bernu esse nome já estava começando a ser usado embora ainda fosse mais comum usar o nome de hiperbólico Então apesar da primeira aparição realmente solo do número é ter sido promovida por bernui isso não passava de uma curiosidade menor algo sem nenhuma importância dentro da matemática até que veio o oiler e mudou completamente o jogo Oler foi o matemático mais prolixo da história ninguém escreveu mais páginas de Matemática do que ele e tem outra coisa importante sobre o

Oler várias das notações modernas que nós usamos foram criadas por por ele o que é natural já que ele publicava rodo e com qualidade então a sua influência foi realmente muito grande foi wer quem criou a anotação da letra grega pi pro número pi a razão entre a circunferência o seu diâmetro ele também usou I pra unidade imaginária f de x para representar a ideia embrionária do que mais tarde veria ser uma função e também foi ele quem usou a letra e para representar aquele que ficou conhecido como o número de eiler agora se o

número é chamado de número de oiler é porque o wer teve um papel crucial na história desse número ele fez duas coisas importantíssimas com ele a primeira foi calcular o seu valor algo que nem Jack bernouli conseguiu fazer aliás o irmão de Jack Johan bernouli foi o orientador do oiler e o orientador do Johan foi o Jack então o Jack é o avô acadêmico do eiler Mas como que o eiler calculou o valor do e os detalhes são bem técnicos né o tipo da coisa que não fica muito bem aqui num vídeo de YouTube mas

que tá feita com bastante calma lá no dominando cálculo inclusive se você já é aluno Pode conferir lá depois mas essencialmente oiler partiu da mesma ideia de bernui que foi expandir a expressão 1 + 1 sobre n elevado n usando o teorema binomial isso D então o somatório de k = 0 até n do binomial de NK x 1 so n elevado k então fazendo algumas manipulações algébricas aqui e ali No final a gente chega Nessa expressão aqui que envolve um somatório de 1 sobre k fatorial vezes alguns fatores em que o n aparece dividindo

como n tá crescendo em direção ao infinito cada um desses fatores fica muito próximo de um então é de se esperar que o número e tem uma relação íntima com a soma de 1 sobre k fatorial remando um pouquinho mais é possível provar rigorosamente e de fato essa soma é exatamente o número e então no final das contas o ol descobriu uma fórmula simples que permitia calcular o número que recebeu o seu nome com uma precisão tão alta quanto ele quisesse para isso era só somar um número suficiente de termos mas dentro do nosso contexto

aqui o mais interessante que o waller fez em relação ao número é foi provar que esse número de fato é a base do logaritmo hiperbólico ou como a gente diz hoje a base do logaritmo natural e da mesma forma que para calcular o valor de e olha encontrou uma nova maneira de expressar o limite de vernu para mostrar que e é a base do logaritmo natural eu preciso encontrar uma nova maneira de expressar esse logaritmo vamos lembrar do significado do logaritmo natural ele Corresponde à área de uma hipérbole como foi mostrada por S vanan 100

Anos Antes linguagem de hoje o log de A é igual a área abaixo do gráfico da função y = 1 so x entre os pontos x = 1 e x = a nos tempos do oiler já era conhecida a relação entre exponencial e o logaritmo log de a na base b é um número ao qual o b precisa ser elevado pro resultado ser a então fazendo a = b o log de B na própria base b sempre dá um não importa qual a base então Voltando ao problema da quadratura da hipérbole Qualquer que seja a

base b do logaritmo hiperbólico que representa sua área ele é tal que o log de B na base b É iG 1 ou seja a a área abaixo da hipérbole entre os pontos x = 1 e x = b deve ser igual a 1 no vídeo sobre a quadratura da hipérbole a gente usou o método de aproximar a área a ser calculada por meio de retângulos em que os pontos da base estavam em uma progressão geométrica para ver isso com mais calma eu recomendo que você volte ali no vídeo da quadratura a gente vai aproveitar

a ideia da PG para expressar a área da hipérbole de uma maneira um pouco diferente do que a gente fez naquele vídeo vamos aproximar a área em n retângulos e chamar de q a raiz n de b então os pontos da partição vão ser 1q q a quadrado q a cubo e etc até q elevado a n que deve ser exatamente b então um retângulo típico tem altura 1 soq elevado a k e base q elevado a k + 1 - Q elevado a k portanto a sua área é exatamente igual a q - 1

e não depende de k todos os retângulos TM a mesma área assim área total dos retângulos é o número de retângulos n vezes a área de cada um q -1 fazendo o número de retângulos cender ao infinito a gente vai obter a área mas como essa área a gente já sabe de an mão que dá 1 o que B é a base do logaritmo Lembrando que q é raiz enésima de b a conclusão é que o limite quando n tende a infinito de n ve a raiz enésima de B - 1 deve ser igual a

1 Essa foi a expressão que o wer obteve usando alguns argumentos mais técnicos é possível provar rigorosamente que esse B deve ser igual ao número de oiler é a gente não vai fazer os detalhes aqui mas dá para dar uma ideia de por que isso é verdade apelando para alguns argumentos assim meio mandraque mais intuitivos por conta da expressão de limite achada por eiler se tomarmos um número n realmente grande podemos dizer que n x √1 b - 1 é aproximadamente igual a 1 daí manipulando um pouco a conclusão é que B é aproximadamente 1

sobre 1 + n elevado a n e se você se lembrar do limite de bernu conforme n cresce esse valor se aproxima cada vez mais do número é então tá aí a razão intuitiva de como eiler fez essa conexão do número e com a base do logaritmo natural 101 anos depois do verdadeiro surgimento do logaritmo natural então conhecido como logaritmo hiperbólico quando San vanam resolveu o problema da quadratura da hipérbole e essa conexão só ocorreu mais de meio século depois que Jack bernou apresentou a definição para o que viria ser chamado de número e a

primeira definição de um número na história através de um processo de limite através da ideia do infinito Olha só como que essas coisas são mais ricas e mais interessantes do que os livros didáticos costumam apresentar por aí muito obrigado aos membros do canal Conheça o dominando cálculo clicando no link da descrição para ir mais a fundo nesses assuntos e até o próximo vídeo Y