INCOMPLETUDE DE GÖDEL: a Matemática NÃO é Perfeita

a matemática não é logicamente perfeita e isso é bonito demais hoje nós vamos falar sobre os teoremas da incompletude de gadel que estão entre os resultados mais espetaculares do século passado e que mostraram que a matemática não é exatamente aquilo que a gente imaginava ela é mais Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e o vídeo de hoje traz um dos assuntos mais incríveis que eu já abordei aqui no canal e que mudou para sempre o nosso entendimento sobre a matemática Esse é um vídeo sobre como a matemática funciona e desde

a Grécia antiga o ideal para uma teoria matemática é ser como a teoria clássica da geometria da maneira como foi descrita por Euclides em seu livro os elementos a geometria de Euclides parte de alguns princípios que a gente chama de axiomas por exemplo por dois pontos passa uma reta é possível traçar um círculo com qualquer centro qualquer raio e por aí vai a que ciúmes são de certa forma intuitivos ele geralmente são muito básicos e a gente assume eles estão sendo verdadeiros e a partir desses axiomas vamos tirando confusões como se os nossos teoremas e

isso é feito através da lógica no sistema dedutivo os axiomas implica alguns teoremas esses teoremas vão implicar outros teoremas e por aí vai a ideia é que tudo na matemática que não seja um axioma precisa ser aprovado e a forma de provar é justamente uma cadeia de deduções lógicas que sempre pode ser rastreada até os axiomas Essa é a ideia Geral de como funcionam as engrenagens da matemática mas dentro da própria geometria grega tinha um problema com isso é o famoso problema do quinto postulado o quinto axioma de euclipse Ele disse que por um ponto

fora de uma reta passa uma e somente uma reta paralela reta dada muita gente não gostou de sexo homem ele não parecia tão básico quanto deveria e por dois mil anos os matemáticos tentaram provar que ele era na verdade um teorema poderia ser deduzido a partir dos demais axiomas da geometria até que veio o século XIX galos lobachevs de forma independente Descobriram que dava para construir outros tipos de geometria chamadas de geometrias não acresidianas tocou nesse quinto postulado por uma das suas negações tem vídeo sobre isso aqui no canal o link está na descrição essa

questão do quinto postulado causou um reboliço dentro da Matemática porque mexia com a estrutura mais básica da geometria clássica que era o ideal de beleza para uma teoria matemática isso fez com que os matemáticos do século XIX passassem a olhar com muito mais cuidado para os fundamentos das suas áreas de estudo isso rendeu frutos um deles foi o surgimento da teoria de conjuntos de George kantha que é uma formalização da noção intuitiva de conjuntos que vinha desde os tempos de Aristóteles mas com consequências bem interessantes uma das coisas que o cantor provou é que não

existe só um tipo de infinito Alguns infinitos são maiores do que outros Mas isso é um assunto com outro vídeo agora a gente vai para o século 20 Vem no começo better Russo encontrou um problema com a teoria de conjunto de canto era permitido fazer conjunto de qualquer coisa então você poderia perfeitamente pensar num conjunto de todos os conjuntos o mais interessante ainda no conjunto de todos os conjuntos que não contém a si mesmo é estranho e é um paradoxo vamos chamar esse conjunto de todos os conjuntos que não contém a si mesmo de S

e olha só a confusão se o s não contém a si mesmo então pela própria definição de s o s tem que estar contido dentro dele Afinal Essa é o conjunto dos conjuntos que não contém a si mesmo só que se o s Estiver contido dentro dele então também pela definição o s não contém a si mesmo e a gente fica indo e voltando e é o paradoxo Esse é um tipo de paradoxo bem específico chamado de paradoxo de Alto referência Russo popularizou esse raciocínio do famoso paradoxo do barbeiro imagina uma cidade que só existe

um barbeiro a regra da cidade diz que todos os homens tem que fazer sempre a barba só que você pode fazer sua própria barba ou então o Barbeiro faz para você a regra diz então que o Barbeiro é aquele que faz a barba de todos aqueles e somente daqueles que não barbeiam a si mesmo o Barbeiro é um dos homens da cidade e a pergunta é quem barbeia o Barbeiro se ele se barbeia então barbeiro está barbeando alguém ele próprio esse barbeia isso contraria a regra do barbeiro que só barbeia quem não se barbeia por

outro lado se ele não se barbeia a mesma regra diz que o Barbeiro tem que barbear ele então ele se barbeia é um paradoxo de Alto referência esse paradoxo com a teoria dos conjuntos foi resolvido por Zé Melo que colocou algumas restrições no que a gente realmente poderia chamar de conjunto por exemplo a coleção de todos os conjuntos não pode ser considerado um conjunto isso eliminou paradoxos de Alto referência como esse do Russell Melo foi aluno do Rio Verde que era um matemático mais importante daquela época e ficou muito contente com essa solução dos vermelog

isso porque o Hilbert tinha um grande sonho que ficou conhecido como o programa de Hilbert a ideia dele era formalizar toda a matemática no único sistema ele queria criar um conjunto de axiomas e provar que todo o resto da Matemática derivava somente desses axiomas e de forma consistente livre de paradoxos ou seja todo teorema que você possa imaginar toda a verdade matemática deveria ser uma consequência lógica desses axiona de Hilbert o Rio vai te acreditava firmemente que isso era possível ao menos em teoria reduzir a matemática a um conjunto finito de axiomas de formasse um

sistema lógico consistente livre de contradições além disso esse sistema deveria ser completo ou seja qualquer verdade matemática deveria poder ser provada dentro do sistema isso é uma coisa extremamente importante para o matemático tudo precisa de uma prova por exemplo o último teorema de firmar foram necessários 350 anos para encontrarmos uma prova para esse teorema e todos os inúmeros matemáticos que trabalharam nesse problema ao longo desse tempo eram guiados pela certeza de que era possível provar ele ou então refutar podia levar muito tempo porque esse é um problema bem difícil mas havia convicção de que em

algum momento seria possível chegar na resposta seja ela afirmativa ou não é isso que quer dizer um sistema ser completo As perguntas que fazemos dentro desse sistema sempre pode ser respondidas pelo sistema em outras palavras todo fato matemático verdadeiro pode ser provado matematicamente é isso que quer dizer um sistema matemático ser completo pensa por exemplo na conjectura de Gold bar que diz que todo número par maior do que dois pode ser escrito como a soma de dois números primos é uma conjectura de quase 300 anos que ainda não sabemos dizer se é verdadeiro ou falsa

vamos supor que ela seja verdadeira dentro da ideia do Hilbert de que a matemática é um sistema completo e consistente tem que existir então uma maneira de provar que é conjectura de gol de bar é verdadeira tudo isso parece bem razoável até mesmo Óbvio só que aí entra Kurt gadel mais tarde viria para os Estados Unidos trabalhar em Priston onde ele se tornou um grande amigo de Einstein quando foi pedir a cidadania americana um dos requisitos era conhecer a Constituição e o gay ainda levou isso bastante a sério no dia da audiência Einstein foi junto

com ele e tentou convencer alguém deu a não falar muito a respeito da Constituição americana para o juiz pois o guedel havia descoberto uma falha lógica nela que poderia levar a implementação de uma ditadura de forma perfeitamente constitucional O Guerreiro era bom essas coisas de encontrar problemas ele fez isso não só com a constituição Americana ele fez isso também com a matemática a ideia do problema de Hilbert era transformar a matemática num sistema formal de prova uma linguagem lógica simbólica que deveria obedecer a um conjunto rígido de regras para operar com esses símbolos essa ideia

guiou para equipe a matemática de White Red Russell que levou centenas de páginas só para provar que 1 + 1 dá 2 o guedel partiu dessa maneira de pensar através de um sistema formal e que é um jeito de fazer o sistema falar coisas a respeito do próprio sistema ou seja usar matemática para falar coisas a respeito do próprio sistema matemático e o que o gado fez foi provar que a matemática não era completa ou seja existem verdades matemáticas que não podem ser provadas matemáticamente na verdade porque demonstrou foi que qualquer sistema lógico suficientemente complexo

a ponto de incluir aritmética não poderia ser completo e consistente ao mesmo tempo é isso que diz o primeiro teorema nem completude de guedel mas como é que ele provou isso um sistema envolve símbolos e regras de manipulação desses símbolos para trabalhar com aritmética você precisa de nove símbolos básicos que na sua maioria são operadores lógicos negação implicação variável igual zero sucessor e sinais de pontuação de criação de novas variáveis por isso a gente consegue escrever toda aritmética por exemplo um é um sucessor do zero dois ao sucessor do sucessor do zero e por aí

vai para cada um desses símbolos o quinto atribuir um número conhecido como número de gadel quando a gente escreve uma fórmula como por exemplo invocar um número um que é o sucessor do zero essa fórmula também tem um número de gado Esse número é obtido pegando os números primos em ordem e elevando ao número de guia de cada símbolo da Fórmula então o número de Guido de um que é obtido tomando o sensor de zero é dois elevado a um número de guerreiro do sucessor 6 vezes 3 elevado número zero sim axiomas também podem ser

representados dessa maneira e também recebem um número de gudel por exemplo oitavo axioma de peano diz que nenhum número natural é sucedido pelo zero linguagem lógica isso pode ser representado usando os símbolos básicos o número de guiado desse homem é obtido como antes pegando os primos em ordem e elevando eles ao número de Guido de cada símbolo um dos primeiros teoremas da aritmética é que um é diferente de zero esse teorema também tem o número de gay a prova dele é consequência Direta do oitavo axioma de pena então é possível escrever com símbolos primitivos uma

prova para esse teorema começando pelo axioma e terminando no teorema em si o Grande Lance é que essa prova também tem um número de gay que é obtida da mesma forma de antes é só pegar novamente os crimes em ordem elevar um número de Guido de cada fórmula usada na prova o último termo é o resultado com esse sistema é possível atribuir um número de Guido para cadarço e cada prova matemática ou seja o guedo encontrou uma forma de codificar a matemática dentro da própria matemática e a fatoração única de qualquer número em fatores primos

permite a gente recuperar os símbolos a partir do número de guedel e traduzir eles de volta para linguagem lógica Então existe uma dualidade entre as sentenças Matemáticas e números inteiros e o ponto chave dessa codificação é que ela tem uma propriedade extremamente útil para verificar quando uma proposição pode ou não ser reprovada a partir dos axiomas e ainda descobriu que existe uma certa relação aritmética entre os números de Guido dá para uma posição e os números de gado dos axiomas essa relação poderia ser extremamente complicada mas entendeu provoco uma relação sempre existiria dentro de um

sistema consistente ou seja ele encontrou uma propriedade dos números de gado e garantia que todas as sentenças que poderiam ser aprovadas dentro desse sistema e somente elas deveriam ter números de Guedes satisfazendo essa propriedade aritmética portanto para descobrir se composição pode ser reprovada é só olhar para o seu número de gudel um exemplo não realista mas que ajuda a entender seria imaginar que um teorema seria aprovado a partir de um conjunto de axiomas se o número de Guido desses axiomas dividi-se o número de Guido do teorema em outras palavras o guiado encontrou um critério aritmético

sobre os números de Guido e garantia que todos os teoremas que pudessem ser provados naquele sistema teriam que ter o número de gabel satisfazendo esse critério Esse foi um passo Fundamental e a chave de ouro foi mostrar que era sempre possível encontrar uma certa proposição lógica dentro do sistema e que em palavras quer dizer o seguinte abre aspas é impossível provar a proposição com número de Guido G fecha aspas E qual é o número de gay deu dessa proposição G repara que tem uma questão de auto-referência aí como naqueles paradoxos do início do vídeo a

gente tem uma proposição matemática que faz uma afirmação sobre ela mesma o que ele encontrou isso através de um argumento de diagonalização Mas o importante para a gente aqui é pensar se essa proposição é verdadeira ou falsa se ela for falsa então a sua negação é verdadeira e ela pode sim ser provada Mas aí o sistema estaria aprovando algo que é falso o que não pode acontecer se o sistema for consistente ou seja livre de contradições então não sistema consistente a única alternativa é a proposição ser verdadeira E se ela é verdadeira ela não pode

ser provada isso meus amigos é o primeiro teorema da incompletores de gado aprovou então é que qualquer sistema formal com aritmética que seja consistente não pode ser completo ou seja existem proposições dentro dele que são verdadeiras mas que não podem ser provadas dentro do sistema portanto existem proposições matemáticas verdadeiras que não podem ser aprovadas mesmo sendo verdadeiras uma ideia para salvá lavoura seria pegar uma proposição dessas e incorporar o sistema como novo axioma ela é verdadeira então não teria problema nenhum só que o teorema de Guido diz que existirão novas proposições verdadeiras que não podem

ser aprovadas no sistema expandido em outras palavras não existe saída para o programa de Hilbert é impossível reduzir a matemática a um sistema lógico consistente com o número finito de hexiomas e esperar que se possa provar todos os teoremas a partir deles quando o dedo divulgou o seu resultado eles ou o último teorema de firmar e a conjectura de gol de bar para ilustrar pela posições que poderiam muito bem ser não prováveis dentro da matemática na época de gênero o último teorema de firmar ainda não havia sido provado dias de hoje ele já foi mas

é conjectura de gol de bar permanece em aberto ainda não sabemos se todo o número par maior do que dois é a soma de dois primos ou não E se a conjectura de gol de bar foi uma dessas proposições de gado que é verdadeira mas não pode ser aprovada aliás se é conjectura falsa é porque existe um número par que não pode ser escrito como a soma de dois primos a gente poderia então deixar um computador rodando nem que seja por bilhões de anos até encontrar esse número e outras palavras a falsidade da conjectura é

algo que pode ser reprovado pelo menos Teoricamente portanto Se pudermos demonstrar que é conjectura de Gold bar não pode ser provada isso necessariamente implica que ela tem que ser verdadeira e ela seria então um exemplo de uma preposição verdadeira que não pode ser aprovada uma estratégia interessante para quem quiser se aventurar por esse problema mas o gado não parou por aí ele provou também um segundo teorema que é uma consequência do primeiro e diz o seguinte nenhum sistema matemático consistente pode provar a sua própria consistência ou seja se a matemática for realmente consistente nós nunca

iremos saber disso através da própria matemática é extremamente importante ela ser consistente não ela não é nada qualquer coisa pode ser provada no sistema inconsistente tudo é verdadeiro e falso ao mesmo tempo então melhor que a gente pode esperar é que a matemática seja consistente e incompleta existem verdades matemáticas que não podem ser aprovadas e são grande baque para o ideal de Hilbert de transformar matemática no sistema completo e provar todos os resultados a partir de um conjunto finito de axiomas só que o próprio sujeito que descobriu essa incompletude estava na verdade satisfeito com isso

o gader não era um formalista como Hilbert até porque ele provou que o formalismo sonhado por Hilbert era impossível eu sempre digo que a matemática não se submete a realidade como as outras ciências ela está sujeita apenas a incrível abstrato Da Lógica só que isso não tá totalmente correto não é que a lógica seja mestra da Matemática o próprio teorema da incompetores de guede mostra isso A lógica é a forma como nós acessamos e validamos o conhecimento matemático só que o teorema de gado mostra que a matemática é maior do que a lógica o que

tem proposições matemáticas verdadeiras que não podem ser acessadas através no sistema lógico e ainda eu era um platonista ele acreditava que a matemática estava no tal mundo das ideias do Platão o seu teorema provava que a matemática era maior do que aquilo que a lógica poderia alcançar Nem todas as verdades eternas da Matemática poderiam ser acessadas pelo raciocínio dedutivo no entanto Apesar dessa limitação elas ainda assim não deixam de ser verdades se a lógica não pode nos levar até elas o que que poderia o físico e matemática o Rogers costuma dizer que essas verdades ocultas

podem ser acessadas através da intuição isso colocamente humano em vantagem contra a inteligência artificial por mais poderosa que seja não deixa de ser um sistema lógico limitado pelo teorema da incompletur de guedel incapaz de chegar onde só a intuição humana consegue não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo