Por que a raiz quadrada de 4 não é /-- 2 ?

Olá pessoas sejam todas e todos muito bem-vindos e bem-vindas aqui no canal professor possani para mais um vídeo sobre um tema de matemática que eu acho que desperta muita curiosidade eu vou discutir um tema bem básico tá coisa matéria de Ensino Fundamental mas que gera muitas dúvidas eu vou discutir a questão de raiz quadrada de um número por aí eu chamei né o vídeo mas por que que √4 não é mais ou menos dois Isso é um tema que gera sempre muita muita polêmica mas a gente vai chegar um a um acordo no final então

o que que aparece nos livros didáticos todos os livros ou A grande maioria deles define raiz quadrada do jeito que eu escrevi aqui e se for um livro um pouquinho né mais avançado eventualmente já está definindo raízes enésima com índice n mas a estrutura da definição é a mesma então dados dois números reais se for raiz enésima dado um n natural senão aqui no caso do raiz quadrada não preciso especificar dados os dois números reais positivos isso em geral está lá nos livros nós dizemos que a raiz quadrada do a é o número B se

o b ao quadrado é a Observe que na definição em geral aparece que o a e o b são maiores iguais a 0 então se a definição for essa raiz quadrada de 9 é 3 porque 3 ao quadrado é 9 e observe que por conta disso que está na definição Nós só estamos tratando dos números positivos e essa já seria uma resposta meio bruta Então por que que raiz quadrada de 4 não é mais ou menos dois porque lá na definição Eu não eu só coloquei positivo então o dois não pode aparecer Mas essa não

é uma resposta convincente e vamos pensar um pouquinho mais lembrando que em matemática definições tem um alto grau de liberdade se eu digo a raiz quadrada de 4 é só mais dois não menos dois porque eu pus na definição que tem que ser positivo alguém me pergunta mas por que que você pois isso na definição e no fundo poderia reformular a pergunta é por que que na maioria dos livros didáticos aparece isso com o maior que zero tanto no ar quanto no bem e não só para raiz quadrada comprar raiz de qualquer índice bom Então

é isso que nós vamos discutir lembrando que em matemática definições tem uma certa liberdade pro dia mesmo eu vi um vídeo de uma aula gravada no ímpar no ímpar Instituto de matemática por aplicada com grandes professores presentes e um deles disse que ele não gostava dessa definição que ele não compõe o maior que zero que para ele podia ser positivo ou negativa a resposta outros professores que estavam na mesa discordaram dele isso mostra esse grau de liberdade né Eu tenho um outro colega professor da USP que foi meu professor uma pessoa muito culta em matemática

que ele propõe uma coisa assim olha que engraçado ele propõe que se defina do seguinte jeito raiz quadrada com a palavra a palavra raiz quadrada em português r a Isa raiz quadrada escrito em português a gente permita positivos e negativos o conceito de raiz e que quando a gente usa o símbolo esse símbolo do radical que este símbolo indicaria entre as raízes A positivo Olha que é uma proposta também tem uma filosofia por trás aí ele colocaria no conceito de raiz quadrada a possibilidade do Positivo do negativo e no símbolo ele pegaria só o positivo

por que isso né que que tá acontecendo porque essa esse tema Então daqui a pouquinho eu fecho a resposta essa pergunta antes eu quero fazer alguns comentários que eu acho muito ilustrativos e discutiu a origem que na minha opinião é origem dessa confusão então primeiro para quem fica na dúvida se raiz quadrada é mais ou menos uma coisa que eu gosto de perguntar pega uma calculadora pela calculadora científica é que o seu computador seu laptop seu notebook seu celular que tem uma calculadora e coloca ali quatro raiz quadrada igual o que que aparece no visor

dois ou mais ou menos dois dois só dois não aparece mais ou menos dois Será que é porque o fabricante de computador de calculadora não saberia fazer uma calculadora que desse a resposta mais ou menos dois Claro que não né os fabricantes de calculadora saberiam fazer fazem coisas muito mais sofisticadas do que isso fabricantes de computador então eles colocam só dois quando você faz essa continha na calculadora porque a resposta é dois não é mais ou menos dois alguns alunos me perguntam Ah mas e na equação do segundo grau Por que que tem mais ou

menos então não pensa quais são do segundo grau a x ao quadrado mais b x + c = 0 todos conhecemos a fórmula resolutiva da equação do segundo grau essa fórmula é menos b a solução da equação menos B mais ou menos raiz quadrada do Delta sobre dois a em que Delta é o b² - 4ac e muitos alunos me pergunta então tá vendo mais ou menos mas olha só como é exatamente o oposto Por que que tem mais ou menos aqui por duas razões primeiro porque fazendo uma dedução matemática chegou-se a essa forma então

estudando a equação do segundo grau os matemáticos chegaram que a forma que a equação tem duas soluções dadas por essas expressões e que como são duas eu preciso pôr o mais ou menos uma eu somo a raiz do Delta e a outra eu subtraio a raiz do Delta mas a raiz do Delta é positivo tanto gente que se a raiz do Delta Já fosse um mais menos eu não precisava pôr mais menos na frente já estaria embutido na raiz do Delta mas menos por que que eu tenho que pôr mais menos na frente porque alguém

deduziu e viu que era assim e porque o mais menos não faz parte da raiz a raiz é só mais senão não precisa pôr aqui terceiro Insight que às vezes eu peço a gente pede para os alunos fazerem exercícios numéricos Qual o valor dessa expressão o quanto vale essa expressão Imagina só se o raiz de 25 tivesse duas possibilidades mas cinco menos cinco raiz de 9 + 2 possibilidades 3 e -3 o raiz de 16 4 - 4 raiz de 4 2 - 2 Quanto que vale essa expressão bom eu teria que dizer para para

tudo me dá um tempo que eu vou fazer todas as possibilidades jogando com as raízes com sinal de mais é sinal de menos e vai ter um monte de valores possíveis não é comum isso em matemática né não é usual em matemática uma conta sim ter mais de uma possibilidade de respostas Então olha três dicas a calculadora a equação do segundo grau e o fato de ser uma conta as três apontam na mesma direção a raiz de 4 é só dois não é o menos dois já vou voltar porque eu não gosto dessa resposta até

agora tá nós somos uma resposta melhor mais estruturada sabe da onde eu acho que vem essa confusão não sei se eu interpreto corretamente Existem duas situações diferentes mas que a gente confunde a gente mistura uma com a outra uma situação eu resolver uma equação e pensa na equação x ao quadrado igual a 4 a outra coisa é fazer uma conta a conta calcular raiz quadrada de 4 Isso é uma equação equação pode ter mais de uma solução na verdade a gente estuda já aí mais no final do ensino médio que uma equação algébrica né com

coeficientes reais assim potências ela pode ter tantas soluções quanto o grau da equação toma equação de grau 3 pode ter três soluções Isso é uma equação de grau 2 ela pode ter duas soluções Então as soluções aqui são x igual a mais ou menos 2 Isso é uma conta isso eu quero que tenha a resposta única raiz quadrada de 4 é só dois e como esses problemas São muito parecidos eu acho que a gente acaba fazendo confusão e veja quando as pessoas vão resolver x² = 4 frequentemente elas escrevem x = √4 Isso tá errado

o certo é x = mais ou menos raiz quadrada de 4 e o mais ou menos tá aqui justamente porque ele não tá na raiz ele tem que estar lá fora bom tentei desenhar um cenário de Por que que várias dicas né de que é só a resposta positiva e Da onde vem a confusão mas nada disso responde a pergunta lembrando da do grau de liberdade da definição porque os matemáticos definem a raiz com o maior aí agora eu vou falar de matemática estruturada agora vou falar de matemática séria Vamos pensar um pouquinho deixa de

lado essa polêmica boba se a fórmula Por que que alguém Define um conceito matemático conceito de raiz enésima de raiz quadrada só se definido porque vai ser útil porque vai ser usado Onde que vai ser usado o conceito de raiz vai ser usado na trigonometria vai ser usado na geometria na trigonometria o seno de 45 raiz de 2 sobre 2 na geometria vai calcular o lado do triângulo equilátero L raiz de 3 sobre 2 então a gente usa raízes então a gente define o conceito de raiz porque ele vai ser útil porque ele vai ser

usado e como que a gente usa a gente usa através das propriedades operatórias quando a gente vai fazer um exercício complicado de trigonometria a gente simplifica a raiz multiplica em cima multiplica em baixo simplifica calcula raiz de raiz então o que tá por trás disso tudo é que esse conceito vai ter uma certa utilidade dentro da matemática e ele para ser útil eu tenho que manipular Lu e eu manipulo usando propriedades operatórias que que eu quero dizer com propriedades operatórias aquelas propriedades que aparecem nos livros as propriedades operatórias eu vou não vou escrever uma lista

enorme de prioridade mas só para que vocês se situam quando a gente fala que raiz quadrada de a vezes B é raiz de a vezes raiz de b a gente faz um monte delas e tem uma que é assim raiz índice NP de a elevado a mp quando tem um fator comum aqui no índice e no expoente aqui a gente pode cancelar este p E isto é raiz enésima de a elevado a m são propriedades assim que eu preciso que sejam verdadeiras para eu poder manipular o conceito de raiz e eles ser útil de fato

estamos juntos agora a resposta porque que a gente foi o positivo essas propriedades estão ser aprovadas elas são teoremas em matemática eu tenho que demonstrar que essas propriedades são verdadeiras e suas propriedades são verdadeiras se os termos envolvidos forem todos positivos se eu permitir negativos as propriedades dão errado elas não são verdadeiras e a verdadeira razão pela qual na definição a gente põe o positivo e isso acarreta que a raiz de 4 é só dois não menos dois é porque o teorema que tá associado que é útil que é o que eu vou usar na

prática só funciona se todos esses números forem positivos na hora que eu vou demonstrar essas propriedades eu preciso que eles sejam positivos vou dar um exemplo numérico de como que as coisas ficam embaçadas quando a gente permite negativos Olha só o seguinte exemplo numérico raiz índice sexta de menos 8 ao quadrado eu posso fazer essa conta assim isso é raiz índice sexta de 64 menos 8 ao quadrado é 64 E se eu usar aquela definição quem é o número que elevado a sexta da 64 é 2 agora eu vou usar essa propriedade de cancelar o

numerador com o índice com o expoente aqui então eu posso cancelar esse 6 com esse dois e isso ficaria raiz índice 3 de - 8 elevado a 1 e isso é menos dois opa então Afinal Quanto que vale raiz de cesta de - 8 ao quadrado fazendo de um jeito da dois fazendo do outro dá -2 e perceba não resolve se eu disser que é mais ou menos dois porque usando a propriedade de simplificação da só menos dois ou seja instalou-se a confusão fechando de onde vem a confusão do fato de eu estar usando propriedade

operatória que é falsa porque eu não posso fazer essa simplificação se eu tiver a b etc negativo na hora de provar essa propriedade simplificatória só vale se o índice que o número aqui dentro é positivo e daí só dá confusão Então por que que √4 é só dois porque senão os teoremas associados não funcionam e daí a gente não consegue trabalhar uma confusão que ocorre muito aqui só para fechar a aula raiz cúbica de - 8 a gente costuma né trabalhar com isso e dizer que é menos dois é e de fato é uma coisa

prática ajuda às vezes na hora de redigir uma coisa colocar que raiz cúbica de -8 - 2 só que tem que lembrar que as propriedades operatórias não funcionam para esse caso eu costumo brincar com os alunos dizendo assim ó se aparecer uma raiz de índice ímpar de um negativo até dá para calcular calcula põe a resposta e larga o lápis porque se você começar manipular isso vai dar coisa errada como eu mostrei aqui por que que dá coisa errada porque as propriedades operatórias não funcionam legal ficamos por aqui com esse vídeo