EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 2): Bhaskara e Soma e Produto | Matemática Básica - Aula 17

olá pessoal tudo bem vamos ver agora a segunda parte da aula que envolve a equação do segundo grau tudo bem vem comigo aqui então vamos continuar a equação do segundo grau vendo agora a relação entre os coeficientes e as raízes tá na hora só que diz aqui ó a equação do segundo grau possui duas importantes relações entre as raízes x 1m x 2 e os coeficientes a b e c essas relações são conhecidas como sony produto ou também pessoal relações de jihad tudo bem o que nós temos aí pessoal são as duas relações existentes entre

as raízes e os coeficientes da equação do segundo grau a primeira relação ali é a relação de soma ou seja se nós somarmos aliás duas raízes o resultado sempre será - b sobre a lenda que o bb é o coeficiente do termo x elevado expoint 1 eo a é o conhecendo termine x elevada ao expoente 2 tudo bem ea segunda relação que nós temos ali é que o produto das raízes ou seja x 1 vezes fiz dois é exatamente goce sobre a all seja o tema independente dividido pelo coeficiente do x ao quadrado tudo bem

vem comigo aqui vamos fazer esse exemplo aqui a que trata sobre essas relações aids homem produto olha só nessa equação de segundo grau para calcular aqui as suas raízes nós poderíamos utilizar a fórmula de basca tá ou também como nós vamos fazer agora tá vamos utilizar as relações de hardy que são a relação de soma e produto olha só os coeficientes fiz ao quadrado nós temos o valor 1 tael a o b no caso está sendo representado pelo valor 3 e o seu termo independente que nesse caso vale - o 10 tudo bem então o

que nós acabamos de ver nós vimos então que a soma das duas raízes ou seja a relação de soma é - o bê dividido pelo a ok enquanto que a relação de produto no caso então é x 1 vezes o x2 é o cedd dividido e lá tudo bem então nesse caso aqui ó olha só como é que nós poderemos descobrir que as raízes de uma maneira bem simples olha só nós temos então o seguinte ó nós temos que descobrir as duas raízes dessa equação do segundo grau de tal maneira que a soma dessas duas

raízes aqui resulta em menos o bê dividido pelo ar pessoal o bê ele vale 3 ou seja teremos menos o 3 dividido pelo ac 1 ou seja menos 13 e esses dois mesmos valores que são as raízes eles multiplicados devem resultar o que os e sobre a nesse caso é ao menos 10 dividido pelo ac 1 ou simplesmente -1 10 eu sempre aconselho que você comece pensando aqui em duas raízes onde a multiplicação para começar pela multiplicação resulta menos 10 para só pensa primeiramente no 10 positivo dois números que a multiplicação é 10 eu tenho

certeza que vocês pensar nesses dois valores aqui agora pensa o seguinte olha só como o produto deve dar - o 10 um deles deve ser negativo como nós temos que a soma desses mesmos dois valores a soma tem que ser menos o 3 então só o que nós tenhamos aqui ó o 2 sendo somado ao menos 5 e 2 sendo multiplicado ao menos cinco para resultar nesses dois valores aqui beleza então nesse caso aqui nós temos o conjunto solução formado pelos valores - os cinco e os dois toque então pessoal a relação que existe entre

as duas raízes e os coeficientes de uma equação do segundo grau são as relações de somem produto a relação de soma disse que a soma das duas raízes deve ser exatamente igual a menos o bê sobre a nesse caso nós ficamos então com menos 3 / 11 ou simplesmente menos 13 enquanto que o produto das duas raízes deve ser o ce sobre a ou seja nesse caso - 10 / um nós vamos ter menos 10 sempre começa pela multiplicação pensa nesse caso vale a multiplicação de dois números que resulta 10 nós pensamos no 2 e

no 5 como o produto deve ser menos 10 um dos dois deve ser negativo agora qual dos dois é negativo aí você vai testar lá na soma com a soma deve dar - o três então assistimos na verdade menos 5 somado ao 2 e 1 - 5 x 2 dando resultado menos 10 beleza vamos fazer agora mais um exemplo sobre essas relações de adição bem importante sair no cálculo das raízes de uma equação do segundo grau ok vem comigo aqui agora pessoal nesse segundo exemplo nós temos o seguinte se x 1 x 2 são as

raízes dessa equação do segundo grau que está aqui tudo bem determine o valor da expressão 5 sobre x1 mais os 5 dividido x 2 o pessoal olha só se nós tentarmos descobrir as raízes dessa equação do segundo grau aqui ó utilizando a forma de basca olsson produto nós vamos nos encrencar aqui tá olha só esse caso aqui é um caso que ele fica relativamente simples se nós pensarmos nessas relações de gerrard como assim foi retórica só vamos primeiramente arrumar isso daqui ó nós temos aqui que a adição de duas frações com denominadores diferentes vamos então

tirar o mínimo múltiplo comum aqui assim ou seja nós vamos ter o x1 que multiplicou x 2 no denominador a infração então assim o x1 vezes x 2 / x 1 ficaremos com um x 2 e x 2 vezes 55 x 2 mas agora x 1 vez x 2 / x 2 teremos o x1 ex1 vezes 55 x 1 tudo bem pessoal que acontece nós temos aqui os cinco como fator comum tá nós vamos ter mau especificamente sobre facturação não é só nesse caso aqui vamos colocar os 5 em evidência tá e ele está multiplicando

quem estava explicando x2 mais o x1 que a mesma coisa que x 1 + 1 x 2 tudo bem agora enquanto que no denominador nós vamos ter aqui ó x 1 vezes o x2 beleza então pessoal reparar a seguinte a nesse exemplo fazendo a adição daquelas duas frações nós chegamos a essa expressão que está aí concorda comigo agora olha só no numerador dessa expressão nós temos x1 mais x 2 ou seja a soma das duas raízes daquela equação de segundo grau enquanto que no denominador nós temos x 1 vesoul x2 que no caso é a

multiplicação das duas raízes dessa equação de segundo grau como nós acabamos de ver existe uma relação entre a soma das duas raízes produto das duas raízes com aqueles coeficientes que nós temos ali e é isso que nós vamos fazer para chegar ao resultado desse exemplo beleza vem comigo aqui pessoal identificando aqui ó os coeficientes abc dessa equação nós vamos ter o seguinte o coeficiente a ele vale 3 o bê ele vale menos os 6 e os 6 está sendo representado pelo 5 positivo beleza então o que nós vimos o que nós vimos que a soma

das raízes x1 mais x 2 é dado por - o bê dividido pelo a nesse caso aí nós vamos ter o seguinte ó - o bebê como b aqui ó ele vale menos os 6 então - ou menos seis nós ficaremos com o 6 positivo dividido pelo a que no caso vale 36 dividir por três teremos o 2 beleza então a soma das duas raízes resultado é 2 agora em relação ao produto a x 1 vezes o x2 nós vimos que é o c dividido pelo a do bem agora quando é que vários e você

vale5 ou seja o 5 dividido pelo aqui nesse caso é o treze então nós temos aqui há cinco terços como sendo o produto x 1 vezes x 2 então pessoal nesse momento aqui nós poderemos substituir e prosseguir na conta olha só nós vamos ter 15 tá que está multiplicando x1 mais x 2 x 1 mas x 2 nós calculamos o resultado foi 2 agora o produto das duas raízes o resultado 5 terça então é dividido por cinco terços que nós vamos fazer olha só para calcular isso aqui em nós vamos primeiramente fazer o seguinte olha

só cinco vezes dois ficamos com 10 / cinco terços que acontece na divisão de infrações nós iremos conservar o numerador que no caso aqui é o 10 e multiplicar pelo inverso do denominador ou seja multiplicar por três quintos concorda comigo como nós temos aqui uma multiplicação nós podemos simplificar 10 15 ou seja vamos dividir por cinco o valor delas e obtivemos aqui o valor 2 e dividindo que os cinco por cinco teremos um ou seja pessoal o resultado aqui será dois meses e 3 o resultado é 6 beleza então a soma dessas duas frações resultado

é 6 então pessoal através dessas relações entre os coeficientes de uma equação do segundo grau e as duas raízes dessa equação de segundo grau nós poderemos chegar à seguinte conclusão olha só se nós tivermos dois números e vamos supor que esses dois números eles sejam raízes de uma equação de segundo grau será que tendo apenas dois números aqui eu posso chegar a uma equação no segundo grau onde o resultado dela ou seja suas raízes são esses dois no dos dois números claro que é possível e é isso que nós vamos ver agora a beleza vem

comigo aqui então o que nós vamos ver agora é a determinação da equação do segundo grau feito como assim olha só se x 1 x 2 são as raízes de uma equação do segundo grau então essa equação pode ser descrita como aí nós temos o seguinte ó esse diagrama aqui ó expressa resumidamente o que acontece mas vou explicar um pouco melhor olha só como nós vimos a soma das duas raízes x 1 mas fiz dois se nós tivermos elas né isso aqui é exatamente igual a menos o bê dividido pelo a beleza e o produto

dessas duas raízes x 1 vezes x2 resulta no quociente entre os coeficientes c&a foi isso que nós vimos né então olha só pessoal eu tenho por exemplo as raízes ou seja tem os números x 1 x 2 eu quero descobrir uma equação tá que leva a essas duas raízes uma equação de segundo grau bom que vou fazer pra isso eu vou atribuir ao valor a o valor um tudo bem ao coeficiente já no caso eu vou colocar o valor 1 beleza e é o que nós temos aqui ó a equação pessoal será formada por 11

x ao quadrado tá e agora vou falar a respeito do restante aqui ó bom nós temos aqui ó que a soma das raízes x 1 mas estes dois então ficará simplesmente gol - o bê que é a mesma coisa que escrever que o bebê é - o x1 mais o x2 tudo bem ou seja trocar de lado e sinal que está aqui agora x1 mais x 2 não é exatamente igual à soma das raízes ou seja o bebê é igual a menos o s ou seja - a soma tac o bê tudo bem agora em

relação ao produto o produto como nós temos aqui ó ele é o c dividido pelo a como a vale 1 então o produto das duas raízes é simplesmente os e então pode dizer aqui o que o produto é igual aos e beleza então nós vamos ter aqui que o coeficiente que é o termo independente é simplesmente dado pelo produto das duas raízes beleza vamos fazer mesmo agora pra você ver como é que funciona essa determinação da equação do segundo grau a beleza vem comigo aqui olha-se exemplo aqui pessoal nós temos seguinte determine a equação do

segundo grau então quer descobrir uma equação de segundo grau que possui três e menos sete como como um solução ou seja o treze menos sete são na verdade as duas raízes x 1 x 2 tudo bem então o que acontece se eu disser por exemplo que o à ele é igual a um eu tenho descobrir no caso coeficiente b se o coeficiente c o bê nós vimos que é exatamente igual a menos a soma e os e é exatamente igual ao produto então através dessa idéia aqui ó nós vamos ter os seguintes olha só então

o b é menos quando é que a soma desses dois valores bom 3 - os sete estamos somando e nós vamos ter então que o bebê é exatamente igual 3 - sete isso dá menos quatro e menos quatro com esse - aqui na frente nós vamos ter o mais 4 ou seja simplesmente 14 bom descobrimos aqui o bebê enquanto que o cê é dado pelo produto ou seja ou 3 irá multiplicar nesse caso a outra raiz que é menos de 7 ou seja o termo independente da equação de segundo grau três vezes - sete -

o 21 beleza então nós temos aqui olha só o a o b eo c então a nossa equação de segundo grau é dada por o avaliou seja um vezes x ao quadrado teremos o x ao quadrado mais o 4 x e somado aqui com menos o 21 igual a zero ok agora pessoal como o nosso curso aqui é direcionado para a prova do enem o que nós deveremos saber é simplesmente interpretar um problema está retirando seus dados e formando equações e resolvendo vamos fazer agora dois exemplos onde esses dois problemas retirando seus dados eles nos

levam a equações do segundo grau e aí através da forma de bàscara olsson produto a gente pode chegar no resultado beleza mas o principal é a interpretação e o correto equacionamento das informações beleza e isso aí pessoal você só vai adquirir fazendo bastantes exercícios ok vem comigo aqui olha só problemas que envolvem a equação do segundo grau nesse primeiro exemplo nós temos o seguinte o produto da idade de pedro pela idade augusto é igual a 374 anos vamos pensar assim o chamado de p a idade pedro e diá a idade de augusto então o produto

desses dois valores p&a o resultado e falou que é 374 então pv zoar 374 tudo bem multiplicação aqui aí continua dizendo o seguinte ó pedro é cinco anos mais velho do que eu gosto ou seja a idade pedro é exatamente igual à idade do augusto acrescido de 5 anos já que o pedro é mais velho beleza aí a pergunta quantos anos têm cada um deles retorno já que está aqui a equação de segundo grau pessoal primeiramente porque nós temos aqui ó é um sistema com duas equações e duas incógnitas que a gente pode fazer ó

como ppa que ele já está isolado na equação de cima no lugar do p eu colocarei o a mais cinco tudo bem e aí nós teremos o seguinte olha só entrou no lugar do p vou colocar o ar mais os 5 e esse há mais cinco está multiplicando a tudo bem que o resultado 374 bom como nós temos aqui ó a multiplicação desse parentes e que nós temos aqui dois termos nós vamos fazer aqui a propriedade distributiva que é o famoso chuveirinho então nós vamos ter o seguinte ó a vez o a-ha ao quadrado cinco

vezes o a5 a eu já vou trazer aqui pelo lado esquerdo e se 374 fica negativo ou seja menos 374 resultado é zero agora sim né pessoal nós temos aqui ó uma equação do segundo grau é bom para resolver ela eu vou utilizar aqui é a forma de básica já que os valores aqui é principalmente o tenente está muito alto está primeiramente vamos identificar os seus coeficientes a b e se o akp só está sendo representado pelo valor 1 o bê ele vale os cinco e os e ele vale menos 374 beleza primeiramente vamos calcular

aqui o discriminante que é dado por beau quadrado menos 14 vezes o aviso se adora só o bê ao quadrado teremos os 5 ao quadrado menos 14 vezes o aqui é um ver jesus e que é menos 374 tudo bem nós vamos ter entanto e discriminante será 5 quadrado 25 agora menos quatro vezes um dá menos quatro e menos quatro que multiplica - o 374 vamos fazer essa conta que ó tá então quatro multiplicam 374 4 vezes 4 a 16 foi 14 vezes dá 20 81 29 foi 24 vezes três a 12 com dois 14.496

como a multiplicação de negativo é o negativo resultado positivo aqui a 1496 beleza então nesse caso aqui e discriminante será 25 somado com 1496 nós teremos 1521 beleza agora vamos calcular aqui ó é o valor das raízes da atriz na forma de basca então nós queremos descobrir aqui ó a idade do augusto em primeiro lugar tá então a idade do augusto é dado por olha só - o bê mais ou menos raiz quadrada de delta q nós já descobrimos / 2 vezes o a nesse caso a idade do augusto é - o bebê o bê

vale5 né então ficaremos com menos os cinco mais - raiz quadrada de delta pessoal o delta é 1521 vamos colocar aqui a 1521 / 2 como a vale 12 vezes 12 e nós teremos aqui como sendo ela só - os cinco mais ou menos dividido pelo 2 pessoal agora pensa o seguinte comigo aqui ó nós sabemos que 30 vezes o 30 o resultado é 940 vezes 40 o resultado é mil e seiscentos tudo bem nós queremos calcular aqui ó a raiz quadrada de 1521 1521 está mais próximo de 900 ou de 1.600 de 1.600 né

então a raiz quadrada nada de 1521 está mais próximo o pessoal de 40 eu tenho que pensar em dois números que o resultado em 1521 agora só 1521 terminem um tá então pensa o seguinte ó se eu fizer então bem próximo de 40 né trinta e sete por exemplo vezes o 37 olha só sete vezes sete não vai resultar um número que terminou nove vai né então eu tenho que procurar um número que termina em 11 se eu pensar no 39 vezes o 39o resultado realmente ser a 1521 beleza então vamos ter aqui o 39

e pra isso agora pessoal nós vamos separar aqui ó e descobrir dois valores possíveis para a idade de augusto que a gente está calculando agora né então olha só - os cinco com mais o 39 queremos com 34 / 2 17 anos agora - 15 - 39 - 44 / 2 - 22 anos pessoa não tem como ter o papa não tem como ter aqui ó - 22 anos e nasceu ainda não é tão só que está fora de cogitação então nós temos aqui a idade do augusto é 17 anos agora se eu tenho a

idade do augusto eu venho aqui por exemplo nessa equação e possa descobrir a idade do pedro que no caso é 17 mas os 50 a idade do pedro aqui 22 anos beleza sério então pessoal vamos fazer agora a saideira sobre a equação do segundo grau beleza clique aqui então olha só o que diz esse exemplo dois um homem ele caminhou 240 quilômetros em uma certa viagem se caminhasse mais quatro quilômetros por dia teria gasto dois dias a menos na viagem a pergunta quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros andou por dia bom vamos fazer

o seguinte olha vou dizer então que dê representa a distância caminhada no caso isso por dia enquanto que o x representará o número de dias que ter essa viagem tudo bem então é só se eu pegar por exemplo a distância por dia vezes a quantidade dias isso dá à distância total que nós vimos aqui ó 240 quilômetros tudo bem agora olha essa informação aqui ó se caminhasse mais quatro quilômetros por dia d é a distância por dia agora se eu colocar quatro quilômetros a mais a quantidade de dias pessoal olha só teria gasto dois dias

a menos na viagem xx foi o número de dias totais ele teria gasto dois dias a menos ou seja a distância mais quatro e dois dias a menos ou seja x - o 2 é essa multiplicação ea distância da viagem que também é 240 quilômetros tudo bem pessoal agora repare a seguinte se essa equação aqui resulta em 240 e dever existir também rezou 240 nós poderemos igualar ou seja nós vamos ter então que o de mais 14 tchiplica o x - o 2 é igual à de vez o x agora nós podemos fazer aqui já

que temos a multiplicação fazer aqui a propriedade distributiva que é o famoso chuveirinho tudo bem então nós vamos ter o seguinte olha só de que multiplicou x de x de que multiplica - 2 - 2 d4 que multiplica x 4 x e aí nós temos o quatro que multiplicam menos dois teremos menos oito só que é igual à de vez o x olha só como nós temos aqui é devedor x nos dois lados da igualdade poderíamos cancelar nós temos então essa equação aqui ó pessoal seu dividir toda essa equação por dois fica mais simples olha

só nós teremos então aqui ó dividindo por exemplo 4x por dois teremos 2 x 1 - 2 de / 2 - o dele - 8 / 2 fica menos quatro igual a zero que a mesma coisa que é igual a 4 passei por outro lado né - 4 ficou 4 positivo tudo bem então nesse caso aqui ó nós poderemos dizer ó isolando de aqui tá nós vamos ter então que eu dê é igual 2 vezes o x - 14 feito porque isso porque nessa equação aqui ó no lugar do de eu colocarei 2x menos 14

beleza vão fazer isso olha só então 2 x 1 - 14 que multiplica o x isso aqui é igual a 240 pessoal fazendo aqui a propriedade distributiva nós vamos ter o seguinte 2 x que multiplica x 2 x ao quadrado menos quatro que multiplica x - 4x vou passar esse 240 pelo lado esquerdo fica negativo ou seja menos 240 igual a zero poderemos novamente aqui fazer uma divisão por 2 a 1 nós vamos ter aí sim a equação x ao quadrado - o 2 x - os 120 igual a zero tudo bem poderemos resolver essa

equação de segundo grau utilizando a forma de buzz cara ou utilizando a soja produto que é o que eu vou fazer da pessoal que nós temos o que é a soma das duas raízes e aqui o produto das duas raízes a soma como nós vimos deve dar quanto gente deve dar o - bes sobre a o beac no caso ele vale o menos dois então - 1 - 2 ficaremos com 2 dividido pelo aqui é um seja 2 e o produto é o cq no caso ou menos 120 dividido pelo aqui é um ou seja

menos 120 primeiramente começa pela multiplicação dois números que multiplicados resulta em 120 bom existem muitas possibilidades né nós que acontece o a adição entre eles deve ser o 2 nós podemos pensar assim olha só o 10 que multiplica o 12o 10 que soma o 12 o panfleto a multiplicação tem que dar negativo então um dos dois aqui ó é negativo como a soma deve ser 2 positivo que acontece o 12 é positivo e odessa então é negativo está então nós temos aqui ó as duas raízes né pra essa equação que está aqui em cima ou

seja nós descobrimos que o valor do x ele pode ser então x une pode ser - o 10 eo x 2 pode ser 12 tudo bem agora pensa assim se o xis aqui ele representa número de dias nós não poderemos ter um valor negativo ou seja quantidade dia só pode ser 12 dias a como ele quer saber também a distância é só nós pensarmos o seguinte nessa equação aqui de baixo poderemos fazer a substituição ou seja a distância é dada por dois que multiplica o x ou seja 2 vezes o 12 a 24 - o

4 ou seja a distância foi de 24 -4 20 quilômetros né 20 quilômetros isso por dia beleza pessoal certo então o pessoal chegamos aqui ao final de mais uma importante alta do nosso curso de matemática básica espero que você tenha aprendido bastante em relação à iaa equação de segundo grau e se dê muito bem as questões pessoal bons estudos e nós nos vemos nos próximos vídeos até mais [Música]