Visualizando e Calculando o Rotacional e o Divergente de um Campo Vetorial | Cálculo Vetorial

Oi gente meu nome é Ester Velasques e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca nessa aula a gente vai falar sobre rotacional e divergente Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá [Música] gente para a gente falar sobre rotacional e divergente vamos lembrar o que são os campos vetoriais então lá na aula sobre Campos vetoriais a gente viu que um campo vetorial vai associar um vetor a cada ponto do plano então se você tem aqui um vetor x y desse ponto vai ter algum vetor

associado aí aqui vai ter outro vetor aí Aqui outro vetor então para cada ponto do plano ou do espaço a gente tem um vetor associado e isso forma um campo de vetores então aqui nesse caso a gente tem um campo f de duas dimensões então a gente tá no plano onde para cada ponto x y a gente tem o vetor y0 associado a ele então o que tá acontecendo aqui nesse caso se você tem um ponto x e y aqui que pertence ao plano na direção do eixo X Ele vai apontar para o valor do

Y então aqui for 4 ele vai apontar para o 4 na direção do eixo X na direção e e na direção J que a direção do eixo Y ele tá apontando para 0 ou seja ele não tá nem para cima e nem para baixo ele tá na horizontal Então se a gente desenhar para alguns pontos os vetores Associados a eles a gente fica com esse desenho aqui quando Y é positivo os vetores estão apontando para direita né E quando Y é negativo os vetores estão apontando para a esquerda então aqui Uma Breve revisão de Campos

vetoriais né agora vamos supor que a gente tem aqui esse mesmo Campo vetorial né E que ele tá representando para gente a velocidade da Correnteza em determinado Rio então aqui em cima na superfície do Rio a gente vê que a Correnteza tá maior né aí conforme a gente vai indo mais fundo a Correnteza tá ficando menor nesse mesmo Rio porque os vetores estão ficando menores E aí eu faço o seguinte eu jogo uma barra aqui no Rio uma barra pequenininha ali por algum motivo essa barra dá uma afundada aqui e vem parar nessa parte do

nosso Rio a barra ela tá sendo submetida a uma determinada correnteza né a gente vê que na região que a barra tá essa correnteza sempre tá apontando para o lado direito mas ao longo dessa barra aqui embaixo essa correnteza é menor aqui em cima Ela é maior aí aqui é uma correnteza média né aqui vai ser um pouco maior Então dependendo do ponto dessa barra onde a Correnteza tá encostando essa correnteza pode estar indo com mais ou com menos força mas uma coisa é claro né gente se esse rio tem uma correnteza que tá fluindo

sempre para lá a nossa barra vai se mover de acordo com essa correnteza né E como ela vai se mover bom você pode pensar que ela tá vindo sim para cá né A barra tá aqui agora tá aqui agora tá aqui e você não tá errado Realmente a tendência aqui fisicamente falando é a barra se mover para direita que é onde a Correnteza tá indo ela vai ser empurrada pela correnteza Mas além disso como aqui na parte de cima da Barra a Correnteza tá indo mais forte do que aqui embaixo a parte de cima vai

se mover para direita antes da parte de baixo ela vai com uma intensidade maior ali né O que significa que quando a barra se mover ela tende a rotacionar um pouco não é a parte de cima dela tende aí para frente antes da parte de baixo justamente por causa da intensidade da Correnteza E conforme essa barra força e mexendo for andando para o lado direito ela vai rotacionando ali certo ela tem uma tendência de rotação devido ao comportamento desse Campo veto onde ela tá presente e no caso aqui a tendência dela é girar no sentido

horário né ó se a gente for comparar onde ela tava antes onde ela tá agora ela tá rotacionando nesse sentido no sentido do ponteiro do relógio mesmo gente então vamos entender onde a gente vai chegar com isso através de um software que a gente tem aqui com um outro Campo vetorial imagina que a gente tem um campo vetorial em duas dimensões também onde na primeira coordenada a gente está indo na direção LN de 1 + y ao quadrado e na segunda coordenada LN de um mais x ao quadrado então gente caso você não lembre tão

bem de Campos vetoriais eu vou deixar o link dessa aula aqui na descrição Tá bom mas então a gente tem esse campo aqui que tá com esse comportamento ó a tendência dos vetores é dessa giradinha aqui e depois eles vão de uma forma meio linear lá para cima vai crescendo e crescendo né E aí eu coloquei aqui um determinado ponto uma determinada partícula que vai ser análoga a barra que a gente viu lá no outro exemplo quando essa partícula tá aqui nesse ponto aqui na origem ela tá tranquila ela não tá girando tá acontecendo nada

com ela aqui agora se eu colocar essa partícula aqui nessa região por exemplo ó o que tá acontecendo ela tá girando no sentido horário por causa do movimento dos vetores aqui nessa região onde ela tá então supondo que esses vetores aqui sejam uma correnteza também no meio do mar lá tem uma correnteza diferentona se você colocar uma partícula nessa região aqui da Correnteza essa partícula tem uma tendência arrotacionar ela tem uma tendência de girar aqui né E como ela tem uma tendência de girar no sentido horário ele deu aqui pra gente um valor negativo agora

se eu colocar nossa partícula aqui desse lado ela vai girar no outro sentido por causa dos vetores aqui da região onde ela tá ela de rotacionar só que agora no sentido anti-horário e por isso ele deu um valor positivo aqui pra gente Então dependendo do Ponto X e Y onde essa partícula vai estar Então dependendo do lugar da Correnteza aqui que ela foi parar no meio do mar pode ser que ela não rotacione ela vai só se mover mas sem rotacionar Pode ser que ela mova rotacionando um pouco Pode ser que ela se mova rotacionando

um pouco mais rotacionando um pouco menos no sentido ou no outro ó vou colocar outro Campo aqui para a gente ver de exemplo aqui a gente tem o campo sendo de y na primeira coordenada e x na segunda coordenada Então dependendo de onde você coloca sua partícula também ela pode girar mais ou menos ó se eu colocar ela aqui nessa região a gente até tem uma tendência a visualizar isso né que como os vetores estão com esse comportamento a nossa partícula tem já rodar ela não vai se mover parada ela não vai se envolver fixa

ali né né ela vai se mover girando ela vai se mover rodando e nesse caso aqui dessa região rodando no sentido anti-horário então para cada mínimo pontinho que você vai pegando aqui você vai vendo a tendência que essa partícula tem de rodar aí aqui ela vai girar um pouco menos né aí aqui ele já tá um pouco mais ou então tem lugar que ela simplesmente não vai rodar né quando ela tá aqui nessa região ele deu um zero aqui para gente significa que ela pode se mover Aqui de acordo com esse fluxo que pode ser

de água pode ser um campo elétrico enfim ela pode se mover mas nesse ponto exato ela não tem a tendência de rotacionar e agora sim vamos para a parte matemática disso que a gente estava vendo visualmente a gente viu que quando a gente tem um campo vetorial e você coloca uma partícula aqui no meio esse campo vetorial pode ser o que for pode ser o movimento de um fluido pode ser uma coisa elétrica ali mas se você coloca uma partícula ali no meio você pode observar uma de essa partícula rotacionar e essa tendência pode ser

vista matematicamente pela operação que a gente vai ver agora então se você tem um campo vetorial F que vai P na direção e que na direção j e r na direção k uma outra forma de escrever esse campo é colocar as coordenadas pq e r né Vamos introduzir aqui um novo operador que é o operador diferencial vetorial a gente vai chamar ele de Nabla então de Deo dependendo do livro que você tiver vendo esse operador vetorial vai ser a derivada parcial em relação a x na direção e derivada parcial em relação a y na direção

j e derivada parcial em relação a z na direção k Então vamos supor esses dois parâmetros o campo e o operador a gente vai falar que o rotacional do nosso campo vetorial vai ser hot de f é denotado dessa forma que é o produto vetorial entre o Nabla e o nosso campo vetorial então calculando esse produto vetorial aqui você vai encontrar a forma matemática de descrever o que a gente estava vendo no começo dessa aula a tendência de uma partícula rotacionar ali no meio do seu campo vetorial e só lembrando do que a gente viu

lá em geometria analítica o produto vetorial é calculado pelo determinante dessa Matriz ó na primeira linha você coloca as direções e j e k que são as direções do eixo X eixo Y e eixo Z na segunda linha você coloca as coordenadas do seu primeiro vetor então derivado em relação a x derivada em relação a y e derivada em relação a z e na terceira linha você coloca as coordenadas do seu segundo vetor então aqui no caso P Q e r calculando determinante dessa Matriz Você tem o resultado do seu produto vetorial então vamos fazer

o exemplo do campo vetorial que a gente viu no começo da aula a gente tem um campo vetorial de duas dimensões Ou seja a componente Z vale sempre zero né e a gente quer determinar o rotacional desse Campo Então a gente vai fazer o produto vetorial do Nabla com o nosso campo então vamos lá primeira linha e JK segunda linha as coordenadas do Nabla ddx DDI y e dez e na terceira linha as coordenadas do campo Então a primeira coordenada do campo é y na direção x né zero na direção y e zero na direção

Z porque ele não tem componente Z E aí vamos Calcular o determinante dessa Matriz aqui repetir as duas primeiras colunas para facilitar aqui vai zerar aqui vai ficar dizer de y na direção J aqui vai zerar aqui desse outro lado a gente troca o sinal né então vai ficar menos de de Y de y na direção k aí aqui zera e a que zero também então a gente tem a derivada parcial de y em relação a z que é zero né então 0 x J menos a derivada parcial de y em relação a y que

é um na direção k logo o que a gente tem aqui é zero na direção e mais zero na direção J menos um na direção k a gente obteve como resultado o vetor zero zero menos um uma coisa que é importante a gente lembrar é que o produto vetorial o resultado dele é sempre um vetor tá bom Então nesse caso aqui a gente obteve um vetor único que é o vetor 00 - 1 como esse vetor não depende de X nem de y nem dizer isso significa que para qualquer Ponto X Y Z do seu

campo ali do plano a tendência de rotação ali tá apontando para o mesmo lugar a gente então trouxe uma visualização aqui em 3D do que a gente estava vendo aqui a gente tem o campo vetorial que representa a Correnteza ali no Rio né e a gente encontrou que o rotacional desse Campo vetorial em qualquer ponto a ponta para direção 00 - 1 ou seja zero na direção x 0 na direção y e -1 na direção Z o que isso aqui tá falando para gente é que a tendência de rotação em qualquer ponto aqui do nosso

campo vetorial é sempre a mesma uma partícula que tá submetida a esse campo vetorial laranja a nossa correnteza sempre vai entender a rotacionar em torno desse vetor preto que é o resultado do nosso rotacional e gente pela regra da mão direita que a gente vem em produto vetorial para esse vetor estar apontando para baixo isso significa fechando sua mão direita que ao redor o seu polegar tá apontando para baixo né então seus dedos da mão direita tem que estar vindo no sentido horário que realmente condiz com o movimento da Barra que a gente viu né

ela tava girando no sentido horário e aí o resultado do produto vetorial é o seu polegar apontando para baixo Então faz o teste coloca o seu polegar para baixo e você vai ver que os outros dedos da sua mão apontam no sentido horário agora vamos fazer esse exemplo aqui de um campo vetorial que de fato tá em três dimensões gente então na direção e ele aponta para x vezes Z na direção Y ele aponta pra x y z e na direção Z que a direção k ele aponta para menos o valor de y ao quadrado

então para calcular o rotacional do campo f a gente vai fazer o produto vetorial do Nabla com o nosso campo né então vamos lá calcular esse determinante aqui aqui vai ficar a derivada em relação a y de - y ao quadrado isso na direção I né aí aqui a gente vai ter a derivada em relação a z de X vezes Z e isso na direção J aqui a gente tem a derivada em relação a x de x y z isso na direção k e agora vamos para o outro sentido que a gente vai trocar o

sinal né Aí fica menos a derivada em relação a y de X vezes Z na direção k aqui a gente vai ter menos alvo Aqui para baixo para continuar a derivada em relação a z de X Y Z isso na direção e e aqui a gente vai ter menos a derivada em relação a x de menos y ao quadrado e agora na direção j a gente então isso aqui recapitulando é o cálculo do determinante de uma matriz 3 por 3 Tá bom a gente multiplica aqui para o lado direito depois para o lado esquerdo trocando

o sinal Então vamos ver como vai ficar isso aqui a derivada parcial de menos y ao quadrado em relação a y vai ficar menos dois Y então menos dois Y na direção e a derivada de x vezes Z em relação a z é uma constante vezes né então O resultado vai dar a própria constante na direção aí é derivada de X Y Z em relação a x vai ser a constante que multiplica o x que é o y x z na direção k aqui é derivada de x vezes Z em relação a y como não

tem nenhum Y aqui vai dar zero a derivada de x vezes Y vezes Z em relação a z vai dar x y na direção e e aqui a derivada de y ao quadrado em relação a x como não tem Y envolvido vai dar zero então organizando aqui na direção I que é a primeira que a gente coloca a gente tem menos dois Y aqui desse termo menos x y aqui do segundo termo na direção J A gente tem só o x apontando para J né e na direção k a gente tem Y vezes Z Então

esse é o campo de vetores que a gente forma com rotacional o que isso aqui significa dependendo do Ponto X Y Z Onde você tá você vai ter um determinado vetor do campo F então o vetor associado a esse ponto aqui que tá formando um primeiro campo vetorial ali agora de acordo com comportamento desse Campo vetorial em cada ponto ali a gente vai ter uma tendência de rotação essa tendência é dada por esse segundo Campo vetorial de acordo com o ponto x y z onde a gente vai estar ela tá determinando para gente Para onde

está apontando esse vetor do rotacional para Onde tiver apontando esse vetor as suas partículas ali da região tem a tendência de girar em torno dele de acordo com a regra da mão direita então se tiver assim a tendência é que as partículas girem nesse sentido né ó se o Polegar para cima e sua mão fechando aqui se tiver para lá a tendência é que gíria assim ó sua mão girando para cá e o seu polegar tá aqui para baixo a gente então aqui a gente tem o campo vetorial F é esse campo laranja aqui que

para cada ponto tem um vetor associado é claro que a gente não consegue colocar todos os vetores Associados a todos os pontos mas a gente tem uma prévia aqui do nosso campo e aí o que a gente encontrou foi o rotacional desse Campo que é o que vai dar para gente a tendência de rotação das partículas ali dependendo do ponto onde a gente tá aqui nesse campo então por exemplo Vamos pegar esse ponto a vamos mover ele para cá esse resultado esse vetor preto que a gente tem aqui é o vetor que a gente encontrou

aquele rotacional aplicado nesse ponto a ele tá indicando que nesse ponto as partículas têm a tendência de girar ao redor desse vetor seguindo a regra da mão direita se o seu polegar tá para lá as partículas estão girando assim sentido né sentido anti-horário quando a gente vê aqui de frente e aí de acordo com a sua localização aqui no ponto a você consegue encontrar ao redor de qual vetor as suas partículas tendem a rotacionar em qual sentido que elas estão fazendo isso então é isso que o rotacional tá fornecendo para gente gente agora um teorema

importante sobre rotacional é que se o nosso campo F foram gradiente de alguma função é vizinho ou seja o seu campo vetorial f por um campo Gradiente um campo conservativo é a mesma coisa o rotacional de F vai ser igual a zero ou seja se f for um campo conservativo rotacional desse Campo vai sempre vale zero então é uma condição né Se for conservativo tem que valer zero então se for diferente de zero você já sabe que não é um campo conservativo agora se o seu campo vetorial f valor definido sobre todo o R3 ou

seja o domínio do seu campo não tiver furos for todo o domínio R3 a recíproca também vale sempre que o rotacional do seu campo for zero você pode afirmar que ele é um campo conservativo então ó vamos colocar aqui o que sempre vai valer independente do seu campo independente da situação que você tá FC era um campo conservativo implica com certeza que o rotacional desse Campo vale zero agora se o seu campo f por definido em todo o R3 o seu domínio não tiver buracos o que sempre vai acontecer também é a recíproca se o

rotacional de fôr igual a zero com certeza você pode falar que ele é um campo conservativo então outra coisa que é fato sempre é que se o seu rotacional for diferente de zero Com certeza o seu campo não é conservativo para ser conservativo com certeza tem que valer zero e aí valendo zero você vê bom pode ser que ele vale a zero mas não seja conservativo ou pode ser que ele vale a zero e seja conservativo se vale zero e seu domínio for todo R3 Com certeza é conservativo beleza gente gente agora vamos supor uma

outra situação aqui de um campo de vetores onde a gente tem um campo elétrico então aqui a gente tem duas cargas né e o campo elétrico associado a essa região aqui eu quero te fazer uma pergunta se eu coloco uma partícula supondo uma situação aqui coloca uma partícula aqui perto dessa carga da esquerda da carga vermelha a tendência nessa região é que a gente esteja saindo entrando ou não tem nada acontecendo as setas estão simplesmente passando bom aqui ao redor da carga vermelha as setas estão saindo né a tendência ali do nosso campo é sair

É como se a gente tivesse uma torneira aberta e tá saindo água ali dessa fonte agora se eu colocar uma partícula aqui perto da carga azul o que tá acontecendo as setinhas estão tendo em Traque né a gente tem uma tendência de ralo aqui ó tá tudo vindo concentrado para essa região aqui agora se eu colocar minha carga aqui no meio aqui nessa parte de transição não tem nada acontecendo né não tá nem entrando nem saindo as retas estão simplesmente passando e não tem nada acontecendo demais aqui nessa parte então gente tem uma nova operação

que a gente vai ver além do rotacional que é o divergente o divergente vai ser positivo quando as setas estiverem saindo vai ser negativo quando as setas estiverem entrando uma tendência de entrar uma tendência de ralo ali né E vai ser zero quando naquele ponto ali você não tiver uma tendência nem de torneira e nem de ralo gente o divergente Então vai ser uma outra operação bem parecida com rotacional mas o que vai mudar é que ao invés de fazer o produto vetorial entre Nabla e o campo a gente vai fazer o produto escalar entre

Nabla e o campo e o que a gente lembra lá de geometria analítica no produto vetorial o nosso resultado vai dar um vetor por isso aqui no rotacional a gente tinha outro tempo de vetores né como resultado do rotacional agora no produto escalar Como o próprio nome diz a gente vai obter um escalar como resultado um número e esse número é o resultado do produto escalar entre Nabla e o vetor F então ó se você for calcular o divergente de F que a gente denota por Jeff Você tem o produto escalar de ddx DDI y

e DDD que é o seu Nabla com o campo F pqr quando a gente calcula produto escalar a gente faz o primeiro vezes o primeiro mas o segundo vezes o segundo mas o terceiro vezes o terceiro então isso nada mais é do que a derivada de P em relação a x + a derivada de que em relação a y mas a derivada de R em relação a z isso que vai dar o resultado do seu produto escalar que é o seu divergente a gente então voltando para esse exemplo que a gente viu no começo da

aula que a gente estava vendo com rotacional a gente também pode analisar o divergente que em diferentes pontos do nosso campo nesse caso aqui ele tá sempre valendo zero né vamos ver aqui outro Campo cosseno de x na primeira coordenada e seno de x na segunda olha só aqui por exemplo o nosso divergente é negativo porque a gente tem uma tendência de ralo que nessa região a gente tem uma tendência de algo que está entrando Enquanto aqui ó você vê que a gente tem um divergente positivo as setinhas estão tendendo a sair aqui como se

fosse uma pia aí dependendo de onde você tá você vê se sua região tem tendência de ralo ou uma tendência de pia isso é um fenômeno muito importante lá em mecânica dos fluidos por exemplo e também no eletromagnetismo na física que estuda o campo magnético o campo elétrico isso aqui também personalizado se você for ver por exemplo as equações de Maxwell lá do eletromagnetismo você vai ver que tá totalmente relacionado com isso que a gente está vendo aqui então olha esse exemplo aqui gente é o mesmo Campo que a gente já calculou rotacional ali atrás

e agora a gente quer o divergente dele então divergente acaba sendo até um pouco mais simples de calcular no que rotacional porque você vai fazer a derivada do primeiro em relação a x mais a derivada do segundo em relação a y mas a derivada do terceiro em relação a z então a derivada de xz em relação a x é uma constante multiplicando x né então a derivada da própria constante a derivada de X Y Z em relação a y é o xz que multiplica o y e a derivada de menos y ao quadrado em relação

a z não vai dar nada né porque a derivada de uma constante da Então esse é o resultado do nosso divergente de acordo com o ponto x y z Onde você tá esse valor vai dar para gente o divergente do seu campo e para fechar gente relacionando o que o divergente com rotacional se a gente tem um campo f e a gente encontra rotacional desse Campo o divergente do rotacional sempre vai ser igual a zero Tá bom então ó a gente calculou divergente de algum Campo vetorial e o rotacional Jeff é um campo vetorial também

né E aí calculando divergente desse rotacional O resultado vai ser zero bom gente então foi isso nessa aula espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo [Música]