O que é o Teorema do Divergente (Teorema de Gauss)? | Cálculo Vetorial

Oi gente o meu nome é estar Velasquez e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca nessa aula a gente vai falar sobre o teorema do divergente que também pode ser chamado de Teorema de galus a gente vai entender o que é esse teorema como ele funciona e resolver um exercício usando ele tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e Vamos [Música] lá gente depois de falar sobre o teorema de stokes Vamos agora falar sobre o teorema do divergente que também pode ser chamado de Teorema de gaus

então mais uma vez a gente vai só dar uma relembrada no que a gente viu lá no teorema de Green no teorema de Green a gente relacionou uma integral de linha em torno de uma curva C então a gente pegava só a curva literalmente só a linha aqui e relacionava o valor dessa integral com o valor da integral dupla da região aqui delimitada pela curva C então a gente relacionava o valor numérico da integral de linha com o valor numérico da integral dupla na região delimitada por essa linha então no teorema de Green a gente

usava essa relação né a relação de uma integral de linha com uma integral dupla agora vamos só dar uma revisada no que eram as regiões sólidas simples que a gente via lá no cálculo de integrais triplas então quando a gente tá no espaço no R3 a gente pode ter diferentes regiões que podem ser descritas dessas TR formas ou a gente especifica que x e y pertencem a uma região aqui no plano deles enquanto o z tá variando a altura então Z tá variando entre um ponto e outro e x e y estão sempre projetados nessa

região d ou a gente faz o análogo só que com a região projetada no plano xz então em x e z a gente tem uma região Projetada e agora é o y que tá variando entre ou entre constantes ou então a gente pode ter uma região projetada no plano y z então y z tá em uma região d e o x que tá variando entre constantes ou funções então independente do tipo de região sólida que a gente tem aqui o que é interessante a gente notar é que por exemplo se a gente tem essa região

aqui ela tem uma projeção no plano XY né e o z tá variando entre funç quem tá delimitando a nossa região é uma superfície é como se a gente tivesse a região lá dentro sendo uma casa e aí as paredes de fora dessa casa são uma superfície né as superfícies que a gente tem visto até o momento então é importante a gente notar aqui que uma superfície é diferente de uma região tá bom se eu te falo de uma superfície esférica eu tô falando da parede da esfera agora se eu te falo uma esfera propriamente

dita eu tô falando de tudo que tem lá dentro de toda a região esférica que a gente tem aqui para dentro da superfíce esférica legal gente então ó tô indo com calma aqui primeiro a gente revisou o teorema de Green que a gente relacionava a integral de linha com a integral dupla e agora a gente deu uma revisada nas regiões sólidas Simples que são regiões no R3 né aquelas regiões que a gente usava para calcular as integrais triplas E aí no teorema de Green uma das formas vetoriais desse teorema falava pra gente que a integral

de linha de um campo F ao longo de uma curva C também podia ser visto como a integral dupla do divergente desse Campo F na região D que é essa região aqui delimitada pela curva Então essa é uma relação que o teorema de Green traz como consequência pra gente ó a integral de Lin dessa linha aqui é igual a integral dupla da região D do divergente na região D da mesma forma a gente consegue generalizar aqui pras integrais de superfície e é isso que o teorema do divergente vai falar pra gente que se a gente

tiver a integral de superfície de um campo f em uma superfície S isso é a mesma coisa que a integral tripla do divergente de f na região e que é a região de dentro da nossa superfície Então imagina por exemplo que você tá calculando o fluxo de um campo F através de uma superfície cilíndrica então uma superfície aqui só a parede de fora né Quando você calcula esse fluxo você tá fazendo a integral de superfície do campo F na superfície S que é essa superfície cilíndrica Mas o que o teorema do divergente vai falar pra

gente é é justamente sobre essa relação entre o que tá delimitando e o que tá sendo delimitado Então o que tá delimitando é a superfície e aí o teorema do divergente fala pra gente que essa integral é a mesma coisa que a integral tripla do divergente de F na região delimitada por essa superfície cilíndrica ou seja em tudo que tem aqui dentro do cilindro não apenas falando só da porta aqui de fora só do da casquinha cilíndrica propriamente dita mas de tudo que existe aqui dentro de toda essa região Ou seja a gente integra o

divergente do campo f em uma região cilíndrica lá na parte de integrais triplas a gente aprendeu a calcular integrais triplas em uma região cilíndrica né então é justamente isso que a gente faz aqui ao invés de calcular integral na superfície a gente calcula integral tripla na região que é algo que a gente já fazia lá atrás mas ao invés de usar o campo F que é um campo vetorial né a gente usa o divergente de F que Dá Um Valor numérico Só lembrando o divergente de f a gente faz o produto escalar do operador Dell

que é o operador que contém as derivadas parciais com o nosso campo as componentes FX f e fz quando a gente faz esse produto escalar a gente encontra que o divergente do campo F é a derivada da primeira componente em relação a x mais a derivada da segunda componente do campo em relação a y mais a derivada da terceira componente do campo em relação a z isso dá pra gente algo escalar e não mais algo vetorial E aí é justamente esse valor que a gente vai integrar aqui na região e que que é a região

delimitada pela superfície S então é exatamente o que a gente estava vendo até o momento relacionar o que tá fora o que é a porta aqui da parte de fora com o que tá lá dentro a casinha que a gente tem dentro desse delimitador se você quiser ter acesso a mais aulas e exercícios de cálculo vetorial e de outras matérias do seu curso no matemateca Academy você conta com aulas exercícios provas antigas resolvidas além de uma comunidade onde você pode enviar suas dúvidas seus exercícios interagir com outros membros então para fazer parte da nossa plataforma

é só clicar aqui no link da descrição matemateca pcom e conhecer as nossas quatro opções de planos Eu espero vocês lá então vamos fazer esse exemplo aqui ele pede pra gente usar o teorema do divergente para calcular o fluxo de F através de s ou seja como a gente tá falando do fluxo de um campo através de uma superfície Isso aqui é uma integral de superfície né mas como ele pede para usar o teorema do divergente a gente vai calcular essa integral de superfície usando a integral tripla do divergente do campo F na região e

que é a região delimitada pela nossa superfície e aí agora vamos ver então as informações que ele deu pra gente ele fala que o campo F tem coordenadas 3xy x x o elevado a z e z cuo Então são as componentes fx fy e FZ e s a nossa superfície é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro Y qu + Z qu = 1 e pelos planos x = -1 e x = 2 então repara as palavras que ele usou aqui né s é a superfície do sólido Então a gente tem o sólido e a

gente tem a superfície dele que é só a portinha ali de fora né Então nesse caso sesse é só a casquinha de fora de um sólido como a gente quer usar o teorema de stokes o que importa pra gente é todo o sólido propriamente dito Então vamos trabalhar isso nessa questão então para usar o teorema de stokes a gente precisa encontrar quem é o divergente de F E quem é a região e delimitada pelo nosso sólido vamos começar encontrando quem é o divergente do campo f então ele vai ser a derivada parcial em relação a

x da primeira componente do campo que é 3xy qu mais a derivada parcial em relação a y da segunda componente do campo que é x x o elevado a z mais a derivada parcial em relação a z da terceira componente do campo que é z c então a gente usou esses componentes aqui que ele deu pra gente do do nosso campo F Então vamos lá a derivada de 3xy qu em relação a x a gente tem a constante 3y qu multiplicando x né e a derivada de uma constante vezes a nossa variável é a própria

constante a derivada de x x eiler elevado a z em relação a y É zero né porque não tem nenhum Y envolvido aqui e a derivada de uma constante vai ser zero e a derivada de Z cu em relação a z vai dar 3z qu então o divergente do campo F é 3 x y qu + Z qu então a gente já sabe quem a gente vai integrar aqui nessa integral tripla né mas agora a gente precisa saber onde a gente vai integrar Quem é essa região e delimitada pela nossa superfície Então quando for assim

o ideal é a gente tentar tar fazer um desenho da nossa região tá bom gente porque fica bem mais claro o que tá acontecendo ali então quando for possível quando não for algo bizarro Você vai desenhar sua região Tá bom então ele fala pra gente que esse é a superfície do sólido delimitado por esse cilindro Y qu mas é quadrado ig a 1 e pelos planos x = -1 e x = 2 então gente repara que esse cilindro tá nas variáveis e y e z né Isso significa que é um cilindro ao longo do eixo

X como o x não aparece o cilindro vai estar aqui ao longo dele a gente tá muito acostumado é o mais comum que acontece de aparecer o cilindro ao longo do eixo Z que é quando a gente tem x qu + Y qu igual raio quadrado mas não se assuste se o cilindro aparecer em outro formato Ele simplesmente vai estar ao longo da variável que não Aparece mas é claro que a gente não tem o cilindro inteiro como Nossa superfície porque esse cilindro se estende infinitamente lá para trás e infinitamente aqui pra frente a gente

não tá integrando no cilindro inteiro né ele fala pra gente que o sólido é delimitado também pelos planos x = -1 e x = 2 então ó pegando aqui no eixo X X = - é um plano que passa aqui ele vai cortar o nosso cilindro em X = men-1 aqui nessa região e x = 2 Ele vai cortar o nosso cilindro aqui ou seja embora no desenho não dê para perceber tão bem gente o que a gente tá pegando é a parte do cilindro que tá Entre esses dois planos então Ó refiz o desenho

aqui gente é o cilindro ao longo do eixo X esse cilindro tem raio um né porque aqui é 1 qu e esse cilindro tá delimitado entre -1 e 2 aqui aqui no eixo X Antes quando a gente estava só na integral de superfície a gente estaria calculando o fluxo através dessa portinha de saída aqui só através do que tá aqui delimitando do lado de fora mas como a gente vai transformar isso em uma integral tripla pelo teorema do divergente a gente vai integrar em toda essa região aqui em todo o cilindro e a pergunta que

falta responder aqui é quem é essa região delimitada pela superfície S né Então a nossa região é uma região cilíndrica né é uma região delimitada por um cilindro e dois planos Então a nossa região é uma região cilíndrica né um cilindro ao longo do eixo X quando a gente tinha que calcular integrais triplas em uma região cilíndrica a gente usava coordenadas cilíndricas certo gente então pra gente integrar o divergente de F nessa região cilíndrica vamos migrar tudo pras coordenadas cilíndricas e o que tá acontecendo nessas coordenadas cilíndricas como o cilindro tá ao longo do eixo

X a gente vai deixar o x sendo igual a x mesmo assim como quando o cilindro estava ao longo do eixo Z a gente chamava Z igual o próprio Z agora o y e o z vão variar de acordo com o ângulo vão variar de acordo com o ângulo teta então olhando pro plano y z assim Sim nesse formato a gente tem uma circunferência Projetada nele né migrando essa circunferência pras coordenadas cilíndricas o y que tá no eixo horizontal é R ve cosseno de teta e z que tá no eixo vertical vai ser R vezes

o seno de teta então nossas variáveis nas coordenadas cilíndricas vão ser x r e teta e de onde até onde varia cada uma pra gente substituir na integral o x que é onde tá o nosso cilindro tá variando de -1 até 2 né ele determina de qual altura até qual altura vai o nosso cilindro e no caso são os planos que estão delimitando aqui o r é a nossa distância até o eixo do cilindro é a distância mínima que a gente tem aqui É zero né porque a gente pode estar exatamente em cima do eixo

X e a distância máxima é justamente o raio do cilindro que vale um então a forma de a gente estar mais distante do eixo X é quando a gente tá aqui na superfície do cilindro e o teta como a gente está dando a volta completa no cilindro ele vai de zero até 2 pi então gente isso aqui é uma revisão de coordenadas cilíndricas Tá bom vou deixar o link dessa aula aqui na descrição Então a gente vai calcular essa integral tripla em coordenadas cilíndricas Lembrando que o DV vai virar R DX Dr D teta Essa

vai ser a nossa diferencial aqui então a gente vai ter a integral tripla de três vezes Y qu + Z qu só que em coordenadas cilíndricas isso aqui é R Quad né então 3 x r qu e a nossa diferencial que é R DX d r d teta o x tá variando de -1 até 2 R variando de 0 até 1 e teta tá variando de 0 até 2 pi Então a gente tem simplesmente uma integral tripla agora gente e aí vamos calcular de dentro para fora começando da integral mais interna a gente tem a

integral de 3R C em relação a x variando de -1 até 2 como a gente não tem x envolvido aqui é simplesmente a integral de uma constante né que vai dar essa constante vezes a variável x calculada de -1 até 2 então a gente tem 3R C x 2 - 3R x -1 Então 6 R C + 3R C que vai dar 9r C Então esse é o resultado da primeira integral Agora vamos pra segunda integral que é integral de 0 até 1 do resultado da integral de dentro que deu 9r C em relação a

r então a primitiva aqui vai ser 9r à qu sobre 4 calculada de 0 até 1 substituindo R por 1 vai ficar 9 X 1 elevado 4 sobre 4 e substituindo R por 0 vai zerar tudo né então isso aqui vai dar 9/4 esse é o resultado da segunda integral e por fim vamos calcular o resultado da última integral que é a integral de 0 até 2 pi do resultado da integral de dentro que é 9/4 em relação a teta a primitiva vai ser o próprio 9/4 multiplicando teta calculado de 0 até 2 pi então

substituindo teta por 2 pi a gente tem 9 x 2 pi sobre 4 e indo teta por zero vai zerar tudo então dividindo por dois em cima e embaixo a gente tem 9 pi sobre 2 esse é o resultado dessa integral tripla e que pelo teorema do divergente tá dando pra gente exatamente a integral do campo F na superfície S que é o fluxo do campo F através dessa superfície então a gente saiu de uma integral apenas na superfície e fomos para integrar o tripla do divergente do campo e deu exatamente o mesmo resultado que

daria aqui bom gente então foi isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilha com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente [Música] beijo