O que é o Campo Gradiente? | Cálculo Vetorial

O que é o campo Gradiente e como a gente trabalha com ele vamos lá entender Oi gente meu nome é Ester lasques e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca nessa aula a gente vai falar sobre o campo Gradiente que é um tipo de Campo vetorial que a gente vai usar muito nas próximas aplicações Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá [Música] gente então vamos lá entender o que é o campo Gradiente a gente viu que o campo vetorial vai ser uma função que

associa cada ponto x y que a gente tem a um vetor f de x y então o campo vetorial vai ser formado por vetores um vetor para cada um dos pontos que a gente tem então um campo vetorial é visão de X Y vai especificar um p na direção I então na direção do eixo X e alguma função escalar que na direção J que a direção do eixo Y então a gente pode ter por exemplo um campo vetorial é visão de X Y igual 2x na direção I mas 2 Y vezes x na direção j

ou seja para cada ponto x y a gente tem um vetor associado a esse ponto e esse vetor é calculado de acordo com essa aqui então se você tiver o ponto 23 x = 2Y = 3 o vetor associado a esse ponto ou seja o efisão nesse ponto 23 o vetor que vai sair dali vai ser duas vezes 2 na direção do eixo X Mas duas vezes três vezes dois que é y x x na direção do eixo Y Então esse vetor vai ter quatro na direção x e duas vezes três seis vezes 2 12

na direção do eixo Y então o vetor associado ao ponto 23 é o vetor 4 12 Então eu vou deixar aqui na descrição o link da aula onde a gente falou bastante sobre Campos vetoriais Tá bom então Campo vetorial no R2 vai ter esse formato e no R3 o que muda é que a gente acrescenta uma direção que a direção Então agora você pode ter um ponto x y z que é um ponto do espaço e para cada ponto x y z da sua função você vai ter um vetor associado a ela e a diferença

é que aqui esse vetor vai ter três dimensões a dimensão x a dimensão y e a dimensão Z que são respectivamente o i o j e o k então aqui você pode ter um vetorzinho assim por exemplo pode ser que seja para cá para lá ele vai ter três dimensões enquanto que a gente tinha um vetor com duas dimensões E aí para cada ponto da sua função Você tem o vetor associado e isso te dá um campo com vários vetores um vetor para cada um dos pontinhos da sua função Agora que a gente lembrou que

são Campos vetoriais vamos falar sobre o campo Gradiente E para isso a gente vai precisar lembrar o que é o vetor Gradiente que a gente estudou anteriormente então quando a gente tem uma função f de x y a gente fala que o gradiente dessa função é um vetor formado pelas derivadas parciais dela então se você tem uma função de duas variáveis x e y o gradiente dessa função vai ser um vetor onde a primeira coordenada é a derivada parcial da função em relação a x e a segunda coordenada é a derivada parcial da função em

relação a y e dependendo do Ponto X Y que você estiver na sua função você vai ter diferentes vetores porque as derivadas parciais podem se alterando de acordo com o ponto que você tá então de acordo com o ponto x e y que você tá Você tem um vetor que tá apontando na direção da derivada parcial em relação a x no eixo X e a derivada parcial em relação a y no eixo Y Então esse eu fiz é a mesma coisa que esse DF DX aqui e esse fy é o DF dy então por exemplo

se a gente quiser encontrar o gradiente dessa função f de XY que é uma função de duas variáveis como vai ficar para encontrar o vetor Gradiente a gente tem que encontrar as derivadas parciais né então vamos começar encontrando derivada parcial em relação a x quando a gente deriva em relação a x a gente vai tratar o Y como constante então Ó aqui menos x ao quadrado A gente deriva normal em relação a x fica menos dois x menos y ao quadrado é como se a gente tivesse uma constante aqui e a derivada de uma constante

é zero e o 9 também é uma constante né a derivada de uma constante é zero portanto a derivada parcial dessa função em relação a variável X é menos duas vezes x agora vamos encontrar quem é a derivada parcial dessa função em relação a variável Y agora a gente vai tratar o x como constante o X é uma constante e o y é variável Tudo bem então a derivada de x ao quadrado em relação a y é uma constante né então vai ser zero a derivada de y ao quadrado em relação a y a gente

usa regra do Tombo fica menos dois y e a derivada de 9 é uma constante então a derivada é zero logo a derivada parcial dessa função em relação a y é menos duas vezes Y Então quem vai ser o vetor Gradiente dessa função em um ponto genérico X Y A primeira coordenada desse vetor é menos duas vezes x e a segunda coordenada desse vetor é menos duas vezes Y que são as derivadas parciais que a gente encontrou isso é a mesma coisa que dizer que a gente vai ter um vetor apontando na direção menos 2X

em relação aí então na direção do eixo X Ele tá apontando para menos duas vezes x dependendo do ponto que a gente tiver aqui né e menos duas vezes Y em direção do eixo Y Então a primeira coordenada é referente ao i e a segunda coordenada referente ao J certo o que isso quer dizer gente que se você tem um gráfico da sua função assim por exemplo dependendo do Ponto X e Y que você tiver esse ponto vai ter um vetor Gradiente E no caso dessa função esse vetor Gradiente vai apontar para menos duas vezes

x na primeira coordenada e menos duas vezes Y na segunda coordenada gente então vamos ver graficamente o que a gente acabou de fazer aqui em roxo a gente tem o gráfico da função menos x ao quadrado menos y ao quadrado mais que a função que a gente acabou de trabalhar E aí vamos pegar um ponto a que é um ponto genérico dessa função então o ponto x 0 y0 z0 então de acordo com o valor de x e y a gente tem o z correspondente nessa função então o valor correspondente em relação ao eixo Z

Então a gente tem uma função de duas variáveis né o z é uma função de x e y de acordo com a variação do X e do y a gente tem o valor de Z no eixo vertical Beleza então de acordo com o ponto x y que a gente tá por exemplo aqui no caso X é menos 0,9 e y é 1,2 a gente vai ter o vetor gradiente da função nesse ponto Então olha aqui eu vou tirar aqui a função Esse é o vetor gradiente da função quando a gente tá nesse ponto x =

- 0,9 e y = 1,2 e dependendo do ponto onde você tiver o seu vetor Gradiente vai estar para diferentes direções e com essa direção é a direção menos 2X - 2Y que é o vetor Gradiente que a gente encontrou então por exemplo aqui que o x está valendo 2,4 e o y tá valendo 1,2 o vetor Gradiente vai estar apontando para menos duas vezes 2,4 na primeira coordenada e menos duas vezes 1,2 na segunda coordenada Então esse aqui é o nosso vetor Gradiente e olha só o comportamento dele então de acordo com o que

a gente viu na aula sobre vetor Gradiente Ele sempre vai apontar na direção de maior crescimento da sua função Então olha só quando você tá aqui no ponto a se você tá subindo Essa montanha a direção que você tem que seguir é a direção desse vetor Gradiente você tem que ir para frente ali né Para onde ele tá apontando se você vier aqui para lateral ou então aqui para trás você não vai estar na direção de maior crescimento da sua função certo então onde a função tá o melhor crescimento partindo do ponto A é nessa

direção do vetor Gradiente e de acordo com o ponto que você tiver aqui ele sempre vai apontar para direção onde sua função tá crescendo mais rápido então olha só quando a gente vai mudando ele vai sempre mudando a direção dele também de acordo com onde a função tá crescendo de forma mais rápida então beleza A gente já sabe que de acordo com o ponto onde a gente tá na nossa função a gente vai ter um vetor Gradiente diferente né a gente tem infinitos vetores gradientes cada um para cada um dos pontos da nossa função Agora

uma outra coisa que a gente sabe sobre o vetor Gradiente é que ele sempre é perpendicular a curva de nível da sua função então como assim curvas de nível vão ser as curvas que a nossa função forma quando a gente vê ela de cima Então qual é a figura que a sua função tem em cada uma das alturas dela aqui então por exemplo na altura 6,4 quando Z Vale 6, quatro você tem essa circunferência e conforme vai alterando o seu Z por exemplo em Z = 0,68 você tem essa circunferência Maior Zona então ó de

acordo com a variação do Z você vai tendo diferentes circunferências que são as curvas de nível da sua função eu vou deixar a aula sobre isso aqui na descrição também tá bom e a gente vê ó vou até tirar a função aqui a gente vê que o vetor Gradiente é sempre perpendicular a essa curva de nível ó tá vendo que se a gente for ver exatamente no ponto a o vetor Gradiente Tá formando um ângulo de 90 graus com aquela região ali da curva de nível e de acordo com o lugar onde a gente tiver

esse vetor Gradiente sempre vai ser perpendicular a sua curva de nível Independente de qual for essa curva se for menor se for maior ele sempre vai estar numa direção perpendicular Então você não vai ver um vetor da gente que tá apontando aqui pra diagonal que tá apontando para cá o vetor está sempre na direção de maior crescimento da sua função e sempre perpendicular as curvas de nível dela Beleza então nosso vetor Gradiente tem esse comportamento ó de acordo com a curva de nível ele vai ser perpendicular a ela e sempre apontando na direção de maior

crescimento então para todos os infinitos pontos da sua função você vai ter um vetor Gradiente diferente e ele sempre vai cumprir esses dois requisitos E no caso dessa função o vetor Gradiente sempre aponta para menos duas vezes x menos duas vezes Y de acordo com um ponto x e y que você tá então gente se para cada ponto x e y da nossa função a gente tem um vetor Gradiente então para cada ponto da função tem um vetor associado e a gente pode chamar isso de um campo vetorial porque olha só o gradiente tem alguma

função escalar na direção e alguma função escalar na direção j e isso é exatamente o que a gente viu sobre Campo tutorial né alguma coisa na direção i e alguma coisa na direção j o maior diferencial do Gradiente é que os vetores sempre vão ser formados pelas derivadas parciais da sua função então a função escalar que está na direção e sempre é a derivada parcial da sua função em relação a x e a função escalar que está definindo o vetor na direção J é a derivada parcial da sua função em relação a variável Y mas

como cada ponto x e y vai ter um vetor associado sendo que esse vetor é o vetor Gradiente a gente pode falar que isso é um campo vetorial Então a gente vai ter vários vetores cada um associado a um ponto e esse campo vetorial onde as coordenadas são as derivadas parciais a gente vai chamar de Campo vetorial Gradiente ou simplesmente Campo Gradiente Então se a gente for ver por exemplo as curvas de nível dessa função que a gente acabou de trabalhar menos x ao quadrado menos y ao quadrado + 9 a gente vê as curvas

de nível aqui no R2 né com x e o y e cada curva de nível representa uma curva que foi formada em cada altura Z então por exemplo aqui pode ser que seja altura Z = -2 aqui é altura Z = 5 então de acordo com a altura Z no eixo vertical você tem diferentes curvas formadas podem ser circunferências maiores ou menores e para cada ponto x y dessa função a gente vai ter um vetor Gradiente associado e isso vai dando para gente um campo de vetores né vários vetores sendo formados Aqui de acordo com

o ponto x y que a gente tá quando o vetor é maior como a gente está falando do vetor Gradiente isso tá indicando que a função tá crescendo mais rápido ali então ele tá apontando na direção de maior crescimento e esse crescimento é assim muito rápido é muito inclinado ali e quando esse vetor Gradiente é menor quer dizer que embora seja a direção de maior crescimento esse crescimento não se dá de forma tão absurda assim não é algo tão inclinado Pode ser que seja algo mais assim né um crescimento mais tranquilo então vamos ver mais

esse exemplo aqui a função f de x y que é uma função de duas variáveis também então a gente já pode pensar que o gradiente está no R2 que é dada por seno de x + seno de y Então quem é o vetor Gradiente dessa função Gradiente do f de x y na primeira coordenada a gente vai ter a derivada parcial em relação a x que no caso dessa função vai ser o cosseno de x e na segunda coordenada a gente tem a derivada parcial em relação a y que no caso dessa função é o

cosseno de Y ou seja o gradiente dessa função vai apontar para o cosseno de x na direção e vai apontar para o cosseno de y na direção J então gente a gente tem esse gráfico para essa função aqui é a função seno de x + seno de y e aí para cada x e y a gente tem o z correspondentes sendo que o z é o seno do X mas o seno do Y então para cada ponto x e y dessa função a gente vai ter um vetor Gradiente e esse vetor Gradiente vai apontar na

direção do cosseno de x aqui no eixo X no eixo e né E vai apontar na direção do Cosseno de y na direção J que é esse eixo aqui o eixo J referente ao Y Então se a gente for ver o campo vetorial formado por esse Gradiente a gente tem algo nesse formato Claro que não dá para a gente desenhar os infinitos vetores formados para cada um dos pontos a gente desenha para alguns né se não seria impossível mas a gente já consegue notar o comportamento desse Gradiente aqui ó a gente consegue ver que nesses

meinhos aqui a gente tem justamente esses Picos da função Ó essas montanhas maiores zonas aqui estão nesses meinhos e como a gente consegue ver isso porque todos os vetores estão apontando na direção dela e os vetores sempre apontam na direção de maior crescimento né todos os vetores aqui ao redor vão entender a apontar nessa direção desse morro aqui porque é onde tá ocorrendo maior crescimento da nossa função Enquanto aqui nesses meios a gente vê que a função vai estar apontando para essa parte aqui quem tá aqui ao redor a direção de maior crescimento é onde

tá essa montanhazinha aqui então Ó partindo daqui a direção de maior crescimento é para lá ou seja os vetores estão apontando para montanha maior zona nessa direção agora para quem tá saindo aqui de baixo a direção de maior crescimento é para lá que é para esses vetores aqui estão apontando Beleza então aqui a gente tem um campo vetorial tem um campo cheio de vetores cada um ali com seu comportamento e o comportamento nesse caso tá sendo definido pelo vetor Gradiente todos eles são vetores gradientes referentes a cada um dos pontos dessa função seno de x

+ seno de Y e para fechar uma última definição é que quando a gente tem um campo vetorial que é formado pelas derivadas parciais da função ou seja um campo vetorial que é o vetor Gradiente a gente vai chamar esse campo de campo conservativo então por exemplo o campo menos 2X - 2Y que é o campo que a gente encontrou lá atrás ele é um campo conservativo porque ele é o campo gradiente de uma função agora para você saber se um campo genérico por exemplo Y na direção e mais 2x na direção J para você

saber se isso é um campo conservativo a gente vai futuramente nas próximas aulas como a gente comprova isso tá bom mas sempre que você tiver uma função e você encontrar o campo Gradiente dela pode ter certeza que é um campo conservativo campo conservativo é um campo que é formado pelo campo gradiente de uma função bom gente então foi isso nessa aula eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente

se vê no próximo vídeo gente beijo [Música]