Como calcular Integrais de Linha de Campos Vetoriais? | Cálculo Vetorial

como a gente calcula integrais de linha envolvendo Campus vetoriais vamos lá entender Oi gente meu nome é Ester Velasquez e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca nessa aula a gente vai aprender a calcular integrais de linha com Campos vetoriais a gente vai entender Qual o motivação por trás desse cálculo e como a gente faz para calcular esse tipo de integral Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá [Música] gente para começar essa aula e motivar o assunto que a gente vai ver vamos relembrar

um conceito que a gente vê em física que é o trabalho Então imagina que a gente tem uma caixa aqui essa caixa está apoiada no chão e aí eu exerço uma força constante uma força F empurrando essa caixa e aí essa caixa vai para frente né ela vai ter um deslocamento aqui que ela vai se movimentar então em física a gente vê que para calcular o trabalho exercido para mover essa caixa daqui até aqui é dada pela força que a gente aplicou na caixa vezes o deslocamento Que ela sofreu então o trabalho w é a

força vezes o deslocamento mas aqui no caso a gente tá falando de uma força constante né uma caixa que está se movendo bonitinho de um ponto até o outro mas agora a gente vai imaginar isso de uma outra forma E para isso eu quero que você lembre de Campos vetoriais então lembra lá da aula de Campos vetoriais a gente viu que o vento por exemplo pode ser visto como um campo vetorial em cada ponto aqui do Brasil do Oceano a gente pode ver um vetor que tá apontando para direção do vento e quanto maior esse

vetor quer dizer que maior é a velocidade do vento então aqui a gente formou um campo de vetores mostrando para gente como o vento tá se comportando nessa região nesse caso aqui a gente tem um campo vetorial de duas variáveis para cada ponto x e y a gente tem um vetor associado e a gente também pode ter Campos vetoriais de três variáveis para cada ponto x y z a gente tem um vetor associado a ele então para cada pontinho aqui tem um vetor apontando para algum lugar específico de acordo com a lei do nosso campo

vetorial então aqui no caso a gente tem um campo é visão de X Y Z agora a gente vai imaginar o seguinte esse campo vetorial que para cada ponto tem um vetorzinho associado e tudo mais a gente vai imaginar que cada um desses vetores que a gente tem aqui tá representando uma força Então dependendo do lugar que você tiver aqui do espaço tem uma determinada força ali que tá agindo sobre você então a gente pode chamar isso de um campo de forças né pode ser uma força elétrica por exemplo uma força associada gravidade então alguma

força que tá agindo conforme esse campo dependendo do lugar que você tá você vai estar submetido a uma força diferente agora imagina que essa força está agindo de uma forma tão intensa que nesse lugar que ela é capaz de movimentar uma partícula de um lugar para o outro ao longo dessa curva vermelha então da mesma forma que eu apliquei uma força sobre a caixa para movimentar ela de um lugar para o outro esse campo de forças que tá agindo em todos os pontos do espaço tá empurrando essa partícula de um lugar para o outro ao

longo dessa curva então ó em cada pontinho dessa curva a gente vai ter um vetor de força agindo né E essa força de cada um desses pontinhos ou seja não vai ser uma força constante né é responsável por movimentar a nossa partícula então a gente visualizando em três dimensões aqui aqui a gente tem um campo vetorial que é dada por esses vetores laranjas então é claro que a gente não plota os vetores em todos os pontos né porque tem infinitos pontos no espaço Mas a gente plota em apenas alguns para a gente conseguir Enxergar como

esse campo está se comportando E aí imagina que aqui é um campo elétrico por exemplo tá tem forças elétricas agindo que nesse espaço e as forças elétricas estão agindo de acordo com esse campo de forças e aí essa força elétrica vai pegar esse ponto b aqui que tá na origem e ela é capaz de movimentar ele de um lugar para o outro ao longo dessa curva preta essa força tá agindo sobre a partícula b e ela se movimenta ao longo dessa curva preta ela sobe essa ladeirinha aqui e aí eu quero te perguntar o seguinte

já que tem uma força agindo e tem um deslocamento envolvido na partícula Qual é o trabalho exercido para esse movimento que a gente tá vendo Qual é o trabalho que é exercido para movimentar a partícula B ao longo dessa curva preta a gente então Vamos enxergar isso aqui a gente tem uma partícula que ela vai se mover ao longo de uma curva ser Então vamos supor aqui a curva C dada de forma parametrizada ela é dada por uma equação vetorial R de T que aí tem o x de t o y de t e o

z de T então vou deixar o link sobre curvas parametrizadas aqui na descrição Tá bom então a gente quer que essa partícula se movimente ao longo dessa curva sendo que sobre essa partícula tá agindo uma força F que vem do campo vetorial então a gente viu que o trabalho exercido para esse movimento é dada pela força vezes o deslocamento só que diferente da situação que a gente viu lá da caixa agora nessa força não é mais uma força constante em cada ponto dessa curva a gente vai ter uma força agindo Então vamos que relacionar cada

ponto da curva pode ser nesse primeiro ponto que a nossa partícula tá a gente vai ter um vetor de força agindo sobre ela então esse vetor de força vem lá do campo vetorial E aí para esse ponto específico que ela tá a gente pega o vetor que sai desse ponto o vetor é associado a esse ponto então legal a primeira coisa que a gente precisa para o trabalho a gente já tem agora qual é o deslocamento que é essa partícula sofre saindo desse ponto ela vai se deslocar para lá ela vai para cá vem para

trás como que funciona se ela tá se movimentando ao longo dessa curva Qual é o vetor que vai representar o deslocamento dela saindo desse pontinho inicial vai ser um vetor rente à nossa curva Já que ela tá se movimentando ao longo da nossa curva Ela não vai para cima nem para baixo nem para trás ela vai se movimentar de forma tangente a essa curva ou seja o vetor deslocamento aqui nesse ponto é o vetor tangente a curva nesse ponto que a partícula tá então o segundo termo que faltava para a gente calcular o trabalho que

é o deslocamento vai ser dado pelo vetor tangente a curva no ponto onde Nossa partícula tá então a gente tem a força e a gente tem o deslocamento ou seja se a gente fosse calcular o trabalho nesse mínimo pontinho aqui para o primeiro mini deslocamento que a gente tem a gente ia fazer simplesmente esse vetor força vezes esse vetor deslocamento mas a coisa é a gente tem vários pontos ao longo dessa curva infinitos pontos para falar a verdade né Então o que a gente pode fazer é encontrar o vetor força e o vetor deslocamento em

cada um deles calcular o trabalho para cada um deles e depois somar tudo então por exemplo quando a nossa partícula vem para esse ponto a gente vai ter um outro vetor de força agindo que nesse ponto de acordo com o nosso campo vetorial nesse ponto o vetor de força pode ser completamente diferente e aí o vetor que representa o deslocamento mais uma vez é o vetor tangente a nossa curva nesse ponto onde a nossa partícula tá E aí a gente pode ir fazendo isso para vários pontos para esse mini pontinho para esse outro para esse

outro a gente vai fazendo isso ao longo de vários pontos o vetor força vezes o vetor deslocamento e soma tudo então a força que é exercida aqui é dada pelo nosso campo vetorial o deslocamento ele vai ser o vetor tangente a nossa curva Então se Nossa curva é R de t o vetor tangente a ela é a derivada né a gente vê o que vetor tangente é relacionado a derivada da curva e para representar de fatos só esse movimentozinho aqui esse mini movimento que acontece não tem nenhuma interferência de tamanho nem nada do tipo a

gente divide o vetor tangente pelo módulo dele porque aí ele vai ser um vetor unitário então ao invés de pegar um vetor tangente que é enorme assim que poderia acontecer a gente pega esse mesmo vetor só que de forma unitária pega o versor dele então por isso que a gente divide o vetor tangente pelo módulo dele e aí a gente faz essa força vezes esse deslocamento Em vários pontos da nossa curva E aí o trabalho realizado para mover a partícula de um lado para o outro vai ser a força no primeiro ponto vezes o deslocamento

no primeiro ponto mas a força exercida no segundo ponto vezes o vetor deslocamento do segundo ponto e assim vai indo para quantos pontos forem necessários mas quanto mais ponto a gente pegar melhor né porque a gente representa de forma muito melhor qual é o trabalho exercido para movimentar a partícula de um ponto até o outro a gente vai realmente pegar o trabalho e infinito os pontinhos aqui da nossa curva para ter Qual é o trabalho Total realizado e o que significa a gente querer que o número de pontinhos tenda ao infinito a gente vai estar

somando infinitas coisas isso vai levar a gente a uma integral ou seja quando a gente quer calcular o trabalho realizado para mover a partícula ao longo de uma curva a gente vai cair em uma integral de linha uma integral ao longo dessa curva c da força vezes o vetor tangente Mas ó gente lá nas aulas anteriores sobre integrais de linha a gente viu que se a nossa curva C for dada de forma parametrizada por R de t a gente pode escrever essa integral de linha da seguinte forma a integral de onde até onde o parâmetro

teta variando então aqui no caso ele tá variando de A até B e aí na função f no caso aqui é o nosso campo vetorial ao invés de colocar x y e z a gente vai colocar o x y e z que vem lá da curva R então o x a gente substitui por x de t o Y por y de t e o z por Z de T agora quem é o vetor tangente a nossa curva de acordo com o parâmetro t bom vetor tangente que é o deslocamento como a gente viu ele vai

ser a derivada da curva sobre o módulo disso para deixar de forma unitária Então a gente vai escrever aqui o t de X Y Z como o r linha de T sobre o módulo do R linha de tempo isso aqui é o que vai dar o vetor tangente de forma unitária agora gente quem é esse DS que a gente tem aqui Ó gente a gente vai lembrar de um conceito que a gente vem derivadas de que a derivada do S que é o espaço percorrido no caso que a gente está falando do comprimento da curva

né vai ser a velocidade então o DS é igual a velocidade vezes DT Mas quem é a velocidade se você tá aqui na curva em um espaço s qual é a velocidade instantânea aqui nesse ponto pelo que a gente vem em derivadas a velocidade é tangente ao espaço percorrido né mas como a gente tá falando da forma vetorial a velocidade é o vetor tangente a nossa curva ou seja a velocidade V é a derivada da curva rdt como a gente tá falando de tangente vai ser a derivada ou seja o nosso DS pode ser visto

dessa forma é o módulo do R linha de t Pode ficar tranquila gente que a gente está chegando Nossa expressão final tá bom a expressão que de fato Você vai precisar usar então isso aqui é a integral de A até B do F dado na forma parametrizada vezes o vetor tangente unitário então R sobre o módulo dele e o DS a gente acabou de encontrar que é o módulo do vetor tangente então isso aqui tá representando a velocidade vezes DT e olha só a gente pode cortar o módulo do R linha de t em cima

embaixo ele tá aparecendo nos dois termos e com isso o que vai sobrar para gente é a integral de A até B do F do rgt vezes o r linha de t e a gente integra isso em relação a ter de ter aqui então então gente essa fórmula que a gente vê para o d por mais diferentona que ela apareça nada mais é do que a fórmula que a gente viu nas aulas anteriores mesmo que é aquela coisa da raiz da derivada do x ao quadrado mais a derivada do Y ao quadrado mais a derivada

do Z ao quadrado foi isso que a gente viu lá nas integrais de linha de forma escalar né mas isso nada mais é do que o módulo do vetor x linha Y linha zelinha se você calcula o módulo desse vetor vai ser a raiz de cada coordenada ao quadrado certo então esse desce que a gente encontrou aqui é exatamente o mesmo DS que a gente estava trabalhando até o momento mas o que importa é que é que nossa fórmula final para calcular o trabalho exercido para movimentar uma partícula ao longo de uma curva vai ser

a integral de A até B de onde até onde o parâmetro teta variando né do campo vetorial aplicado no seu parâmetro t vezes a derivada da sua curva esse vezes que a gente vai fazer aqui é um produto escalar tá bom gente porque isso aqui é um vetor isso aqui também vai dar um vetor fazendo o produto escalar você vai ter Qual é o fator que você vai integrar aqui dentro então a definição formal aqui de integral de linha para um campo vetorial é que se f for um campo vetorial definido sobre uma curva C

sendo essa curva C parametrizada como rgt para ter entre a e b a integral de linha de F ao longo de C cuja interpretação que a gente viu é o trabalho exercido né vai ser a integral de A até B do produto escalar entre f e r linha de tempo gente antes de a gente partir para exercícios sobre esse assunto caso você queira ter acesso a outros conteúdos sobre integrais de linha e outras matérias do seu curso vem fazer parte da matemática você vai contar com muitas aulas teóricas e muitos exercícios resolvidos das principais matérias

do seu curso e conseguir alcançar o sucesso acadêmico então para fazer parte é só acessar o link matemática.com e conhecer nossas opções de planos ou clicar no link da descrição Então vamos lá resolver exercício então vamos fazer um exemplo aqui a gente quer determinar o trabalho realizado pelo campo de força é visão que é dado dessa forma aqui com essas coordenadas sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta que liga o ponto um zero zero até o ponto 342 Então esse campo de força aqui tá falando que para cada ponto x

y z do espaço a gente tem um vetor associado esse vetor vai estar apontando para Y mas é x + z x + y e aí a gente quer determinar o trabalho realizado por esse campo para mover uma partícula ao longo de uma reta Então a partícula tá aqui tem um campo vetorial agindo que em cada ponto específico né e a gente quer mover essa partícula ao longo dessa reta do ponto um zero zero até chegar no ponto 342 Então a primeira coisa de todas que a gente tem que fazer para calcular qualquer integral de

linha é parametrizar Nossa curva caso o exercício não tenha dado ela parametrizada a gente vai ter que parametrizar para deixar com um parâmetro t tá bom que vai ser nosso parâmetro de integração Então a nossa curva aqui no caso é uma reta né que vai de um zero zero até três quatro dois então sai do ponto um zero zero e vai em direção ao ponto três quatro dois preparametrizar uma reta a gente viu que a primeira coisa que a gente tem que fazer é encontrar o vetor diretor dela para isso a gente faz o ponto

final menos o ponto inicial então para a primeira coordenada três menos é dois a segunda 4 - 0 é 4 e na terceira 2 - 0 é 2 Então esse é o vetor diretor da sua reta Então quem vai ser a equação da sua reta parametrizada Ó você vai pegar um ponto Qualquer você pode escolher um 00 ou 342 tanto faz eu vou escolher um zero zero e aí você vai fazer para o X Ele é a primeira coordenada do ponto mas a primeira coordenada do vetor vezes t o y vai ser a segunda coordenada

do ponto que é zero mas a segunda coordenada do vetor vezes t e o z é a terceira coordenada do ponto que é zero também mas a terceira coordenada do vetor vezes T Então as equações paramétricas da nossa reta são essas aqui só que como a gente está falando só de um segmento de retas só quando a gente sai de um pontinho e vai para o outro e não dá inteira a gente vai ter que limitar o nosso parâmetro T então a gente pode pensar por exemplo o y ele é 4t de onde até onde

o y tá indo ele tá indo de 0 até 4 né então 4t tá variando de 0 a 4 dividindo tudo por 4 a gente tem que o parâmetro T que é variando de 0 até 1 Então essa é a variação do parâmetro t para esse segmento de reta você poderia também fazer para o z e para o x que é da mesma coisa tá bom gente aqui eu escolhi o y Mas você pode fazer para qualquer uma das variáveis agora que a gente tem Nossa curva parametrizada a segunda coisa que a gente vai fazer

é encontrar quem é R linha de t a derivada da nossa curva então é linha de tempo a gente vai simplesmente derivar cada uma das componentes dessa equação então derivando o a derivada de 1 + 2T em relação a t é 2 né agora derivando o y em relação a t vai ficar 4 e derivando z em relação a t vai ficar 2 então encontramos quem é o r linha de T agora podemos calcular Nossa integral de linha que representa o trabalho exercido então o trabalho vai ser a integral de onde até onde o parâmetro

teta variando então de 0 até 1 do campo F aplicado na nossa curva então no campo F no lugar de X você vai substituir um mais dois t no lugar de y você substituir 4t e no lugar de Z você substitui dois tempos então vai ficar y + z então 4t + 2T que dá 6t na primeira coordenada na segunda coordenada a gente tem X + então fica um mais dois t mais dois t que fica um mais quatro t e na terceira coordenada a gente tem x + y então vai ficar 1 + 2T

que é o x + 4t que é o Y fica um mais seis T Então esse é o campo vetorial aplicado na curva R de T é o campo vetorial trocando x e y e z pelo parâmetro T aí a gente faz o produto escalar disso com R linha de t r linha de T vai ser dois na primeira coordenada quatro na segunda e dois na terceira a derivada do rdt né então a gente vai fazer a integral de 0 até 1 desse produto escalar o produto escalar é o primeiro vezes o primeiro mas o

segundo vezes o segundo mas o terceiro vezes o então primeiro vezes o primeiro 6t x 2 vai dar 12t agora o segundo vezes o segundo 1 + 4t x 4 vai ficar 4 vezes 1 + 4t lembra do parênteses porque aqui a gente tá somando né o quadro tá multiplicando tudo isso aqui então a gente coloca entre parênteses e o terceiro com terceiro fica duas vezes um mais seis vezes T Então a gente vai ter a integral de 12t aí distribuindo quatro aqui dentro vai ficar mais 16 t + 4 e distribuindo dois aqui dentro

vai ficar mais 12t + 2 então a gente quer calcular integral de 40 vezes T + 6 Juntando os termos aqui soma 40t né e quatro mais dois que é então calculando essa integral a primitiva de 40t é 40 t ao quadrado sobre 2 e a primitiva de seis é seis vezes t e a gente calcula isso de 0 até 1 40 sobre 2 A gente já pode simplificar aqui né vai ficar 20 e aí substituindo T por 1 a gente vai ter 20 x 1 ao quadrado que dá 20 + 6 x 1 que

dá 6 e substituindo T por 0 mas era tudo mesmo né então fica simplesmente 20 + 6 que é 26 Esse é o trabalho realizado para mover a partícula ao longo desse segmento de reta Então passo a passo é sempre esse gente você precisa ter sua curva para metrizada para encontrar Qual é a derivada dela de onde até onde o teta variando e poder substituir essa curva para metrizada no seu campo de força e efeito isso você calcula o produto escalar e integra o resultado dele e agora gente uma forma de a gente relacionar a

integral de linha escalar que a gente viu lá nas aulas anteriores com a integral de linha vetorial que a gente está vendo agora é a gente pensar o seguinte aqui a gente tem a integral de linha de forma vetorial né que também pode ser vista como a integral de A até B do F da nossa curva vezes R linha de T X DT Então esse aqui é a nossa integral de linha vetorial né E aí vamos imaginar que o nosso vetor F tem coordenadas fxfy FZ para a gente calcular essa integral Aqui a gente tem

que fazer esse campo F aplicado na curva R Então a gente tem cada coordenada do campo de forças aplicado na nossa curva rdt e tudo isso multiplica a derivada da nossa curva ou seja o x linha de Y linha de t e zelinha de T Então esse é o produto escalar que a gente calcula de forma genérica fazendo esse produto escalar gente a gente vai ter a integral de A até B do FX vezes o x linha que nada mais é do que dxdt + UFI do rgt né aplicado na nossa curva vezes dydt mas

o FZ que é a terceira vezes o terceiro que é dzdt então isso aqui é o nosso produto escalar primeiro com primeiro mais segundo com segundo mas o terceiro com terceiro e tudo isso vezes DT agora gente o DT tá aparecendo aqui fora e também no denominador de todos os termos aqui dentro então a gente pode cortar o DT de cima com DT de baixo e a nossa integral fica desse jeito aqui ao invés de aparecer o DT ou DS Aparece alguma coisa de X alguma coisa de y e alguma coisa DZ e a gente

já viu isso anteriormente né lá na aula de integrais de linha escalares com funções de três variáveis a gente resolveu esse exercício aqui que era integrar ao longo da curva C dizer de x + x d y mais YZ ao invés de aparecer DS dtdr enfim apareceu dessa forma aqui com DxD y e DZ então nossas integrais também podem aparecer nesse formato tá bom nesse caso aqui da integral que a gente resolveu lá na aula anterior isso nada mais é do que a integral de linha quando o campo vetorial F tem coordenadas z x y

Então você tá calculando a integral desse campo e a única diferença é que ao invés de aparecer o r linha de ter DT a gente já cancelou o detém do outro e já ficou no formato de x de ytz uma outra coisa que é importante a gente saber sobre integrais de linha é sobre a orientação então aqui atrás a gente resolveu um exercício onde a gente fez a curva começar no ponto um zero zero e terminar no ponto 342 agora se eu te falasse que o segmento de reta começa em três quatro dois e termina

em um 00 por mais que seja exatamente o mesmo segmento de reta indo do ponto a até o ponto b ou do ponto b até o ponto a você tá mudando a direção que a sua curva se move você tá mudando a orientação ali do movimento então quando a gente inverte a orientação da curva a gente acrescenta um sinal de menos na nossa integral Tá bom então a integral de linha ao longo da curva C1 é o oposto da integral de linha ao longo da curva C2 quando você inverte o caminho bom gente então foi

isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo [Música]