POTENCIAÇÃO: Definição e Propriedades | Matemática Básica - Aula 6

e aí pessoal tudo bem com vocês vamos agora mais uma aula de matemática básica tá aí o assunto agora nós veremos é a potenciação do assunto é muito importante não apenas para a disciplina de matemática mas muito importante também pensando na disciplina de química e física e olha só essa aqui gente nós veremos as principais propriedades ou melhor todas as propriedades de potenciação que são importantes em relação à i aos seus estudos beleza faremos também alguns exemplos você fixar bem para você compreender cada uma das propriedades tudo bem eu vou ensinar esse assunto aí gente

como vocês nunca tivessem visto esse assunto antes tudo bem beleza não começar então desejo a vocês todos aí uma boa aula a nota em tudo e vem comigo aqui [Música] então pessoal vamos ver aqui a potenciação começando aqui com uma definição sobre ela olha só seja há um número real e iene o número natural com o mp só olha só maior ou igual a 2 ou seja se ele aqui ó pode ser dois três quatro cinco seis e por aí vai aí continua assim a potência de base à e expoente henin é o número a

na n ou seja o então é a base e o enem é o expoente tal que o pessoal que nós temos a definição de potenciação olha só o a elevada ao expoente e mim isso aqui é exatamente igual a avisá vezes a obra só n vezes ou seja formando aqui ó m fatores tudo bem ou seja pessoal se o n por exemplo foi exatamente igual a quatro nós teremos teremos o aviso a jesuá vezo a ou seja a base aparece ali se multiplicando quatro vezes devido ao seu expoente tudo bem vamos fazer agora alguns exemplos

importantes acerca da definição ok vem comigo aqui então o pessoal olha só nesse exemplo a nós temos menos cinco elevador quadrado cuidado aqui ó reparem que é o menos cinco todo ele aqui ó elevada ao quadrado isso daqui é a mesma coisa que - os cinco que multiplica o - os cinco horas ou menos cinco vezes menos cinco multiplicação de dois números negativos resulta num número positivo tá e cinco vezes 5 resultado é 25 tudo bem agora pessoal em contrapartida aqui um exemplo bem nós temos o menos 5 ao quadrado novamente só que o quadrado

agora é somente para o 5 e se negativo não tem nada a ver com o quadrado aqui tá nós vamos ter o seguinte ao negativo e continua a gente só repete nós vamos ter 15 ao quadrado ou seja cinco vezes por cinco nesse caso o negativo ou seja cinco vezes 5 25 tudo bem uma coisa que você já pode se acostumar é o seguinte a qual nós tivermos todo um número negativo por exemplo é só todo - 5 está elevada ao expoente seu expoente aqui ó como nesse caso foram expoint pa o resultado será um

valor positivo caso expoente aqui eu fosse um número ímpar nós teríamos aí no final aqui um resultado negativo tudo bem vamos ver isso aqui nos próximos exemplo está aqui na letra c nós temos o seguinte olha só ao menos dois está levando o expoente 3d para o seguinte negativo não tem nada a ver com um expoente então colocamos negativo aqui o que nós temos aqui ó é dois elevadores point 3 ou seja 2 vezes o 2 vezes o 2 o resultado tão negativo 2 vezes dois a quatro vezes o 28 tudo bem agora pessoal olha

só o que nós temos aqui ó esse negativo a letra d ele está aqui na frente não tem nada a ver com um expoente que está aqui o que nós temos agora é um expoente em para e expoint inpa ea expoente de todo esse número é que eu seja um número negativo então o resultado pessoal disso daqui ó será um número negativo no caso dois e levado ao expoente 3 tudo bem olha só negativo com negativo o resultado é positivo e nós temos aqui o dois elevadores point 3 ou seja 2 vezes 22 o resultado

é 8 tudo bem agora aqui na letra aí nós temos uma fração elevada ao expoente pessoal nós vamos ver nas propriedades que tanto o numerador como denominador eles recebem expoint aqui ou seja nós ficaremos com 3 elevada ao quadrado dividido pelo 2 e levado ao quadrado também três ao quadrada três vezes três ou seja o 9 e 2 elevada ao quadrado 2002 não seja 49 quartos é o resultado para essa potência são que está aqui tudo bem agora a letra f nós temos o seguinte ó esse negativo não tem nada a ver com expoentes então

a gente repete aqui o que nós temos aqui ó é todo esse número aqui reparem que é um número negativo tá por causa do sinal aqui e esse número negativo está elevada ao expoente o que expõe ti ímpar ou seja o resultado dessa potência são aqui será um valor negativo então abre parênteses teremos negativo e nesse caso o 3 receberá esse point 3 ou seja três vezes 39 e 63 27 2 receber a expo e3 que dois elevadores foi de 3 o resultado é 8 está negativo com negativo aqui ficaremos com positivo ou seja 27

oitavos a então muito importante cuidado com esses negativos ea potência em si beleza agora aqui na letra g nós temos todo esse número negativo aqui ó elevada ao expoente o que o expoente para então certamente o resultado é positivo e um elevador dispõe de 10 no caso é o valor 1 então agora olha só em contrapartida a entraga nós temos ou menos um todo ele elevada ao expoente in para um número negativo elevado expanding para continua negativo nesse caso o elevador dispõe de 15 1 aqui ou seja ficará com o - um tudo bem então

pessoal muito cuidado com a potenciação que envolvem números negativos isso inclui o que o pessoal se expoentes do valor pago seria um valor inpa e se o negativo está no interior do parêntese ou seja faz parte da potenciação ou se negativo está lá de fora não tem nada a ver ele no caso com expoente tudo bem então muito cuidado com essas peculiaridades aí que envolve a potenciação beleza vamos ver agora mais uma definição que envolve esse assunto vem comigo aqui então pessoal essa definição é que diz o seguinte seja há o número real não nulo

iene um nome natural com eni maior ou igual a 2 ao nosso expoint a potência de base à e expoentes da só pessoal expoint - e não sei responde negativo é um número a elevada ao expoente - n tal que agora olha o que nós temos aqui ó nós temos a base a elevada ao expoente negativo que acontece se nós trocarmos aqui o sinal do expoente transformando ele os valor positivo o que acontece acontece a inversão aqui da base na seguinte a mesma coisa que há sobre um invertendo nós teremos 11 sobre a no final

das contas é simplesmente o seguinte ó o a elevada ao expoente - n isso aqui é exatamente igual a 1 sobre ela só o à elevada ao expoente ele vem para o denominador no caso e trocando o sinal tudo bem então pessoal quando nós temos uma base a elevada ao expoente - n se nós trocarmos o sinal do expoente passando para n positivo o que acontece é a inversão da base tudo bem vamos fazer agora alguns exemplos que envolvem essa definição que está aí beleza vem comigo aqui então pessoal nesse exemplo a nós temos 14

elevada ao expoente menos dois que acontece o quarto está elevadores point negativo tá se eu quiser transformar o 4 responde positivo a gente vai mandar ele para o denominador no caso agora elevada ao expoente do dispositivo isso aqui é a mesma coisa que um sobre hora só quatro quadrada quatro vezes quatro ou seja 16 tudo bem a letra b repare nós temos expoind negativo também nós transformarmos então esse expoente está negativo em um expoente positivo o que nós temos aqui a inversão da base se a base aqui há três meios ficar a dois terços tudo

bem e como nós vimos né essa potência dessa fração ela é potência que do numerador e do denominador o dois elevadores põe de 38 eo três elevadores point 3 é três vezes três que é nove vezes o 3 27 tudo bem agora pessoal cuidado aqui na letra c nós temos aqui o negativo e esse negativo não tem nada a ver com esses point ou seja a gente continua com negativo aqui nós vamos ter o seguinte o meio elevada ao expoente menos quatro que nós vamos fazer ó nós vamos inverter a base se a base é

um meio fica apenas com dois agora elevada ao expoente 4 positivo tudo bem e se negativo não tem nada a ver com o expoente ficamos com negativo ali e os dois elevadores point 4 o resultado 16 tudo bem então ficamos aqui com -16 agora pessoal um exemplo de nós temos o dez elevadores point - 5 vamos falar um pouquinho aqui ou de potência de base 10 nós teremos uma lei específica sobre isso tá nesse caso olha só o desenhista elevadores point - cinco então vou fazer eu vou levar 10 elevado expõe de 5 positivo para

o denominador ela só vamos adiantar o seguinte ó nós temos o 10 elevado a espanha de 5 isso acontece o seguinte olha nós vamos ter um e agora vamos ter 50 anos um dois três quatro cinco nesse caso 100.001 sobre 100 mil isso aqui é a mesma coisa que quiser o vírgula olha só 1 2 3 4 5 1 / 100 mil é a mesma coisa que um dois três quatro agora cinco seja original número que a com cinco casas decimais porque está sendo dividido pelo número 100 mil que possui aqui 50 anos tudo bem

agora no exemplo e nós temos um décimo elevada ao expoente menos seis vamos colocar aqui o expoente positivo e acontece a inversão da base ou seja vamos ter dez elevado expoente seis horas só desde levado o expoente 6 só tem uma potência de 10 nós teremos aqui seis zeros tudo bem ou seja o resultado aqui ó 1 milhão beleza beleza pessoal vamos ver agora duas notas importantes que não se enquadram na definição de potenciação que nós acabamos de ver a beleza vem comigo aqui ok pessoal a primeira nota diz o seguinte toda a potência de

expoentes 11 é igual a base o que nós vimos até aqui é que o nosso expoente era o número natural maior ou igual a 2 nesse caso nós temos aqui o expoente um então essa nota dia seguinte que o número há elevadores point 1 é exatamente igual ao número ao seja nós teremos um valor exatamente igual a base aqui a segunda nota ao seguinte ó para a different zero ou seja uma base não sendo igual a zero nós vamos ter o seguinte essa base elevado expoint 0 o resultado em um tudo bem ok então pessoal

qualquer número elevado expoint 1 o resultado é ele mesmo e qualquer número diferente de zero elevada ao expoente 0 o resultado em um tudo bem vamos ver agora as propriedades que envolvem a potenciação e esse assunto agora é muito importante para você beleza vem comigo aqui vamos lá pessoal vamos ver as propriedades assunto muito importante na potenciação para só se a e b são números que pertence ao conjunto dos números reais e m e n são números que pertence ao conjunto os naturais valem as seguintes propriedades a propriedade de um dia seguinte ó nós temos

aqui uma multiplicação de bases iguais tudo bem que acontece a gente conserva base e simplesmente acaba somando aqui os seus expoentes tudo bem olha só esse exemplo que nós temos aqui nós temos aqui uma divisão de algumas potências olha só potências de base três o que eu quero que você preste atenção nesse caso é simplesmente na menor potência no caso nós temos aqui o 3 elevada ao expoente 4 tudo bem então nós poderemos reescrever essa fração da seguinte maneira só nós temos aqui o 2 que está multiplicando o treze elevada ao expoente 6 esse três

elevadores por 26 eu posso escrever como sendo o 3 elevada ao expoente 2 vejo três elevadores por 24 porque isso irritou porque nós vimos que na multiplicação de bases iguais a gente conserva base ou seja temos 13 ali e somos expoentes 24 o expoente aqui é 6 a então o três elevadores põe de 6 é a mesma coisa que 13 levar dois pontos de 2 vezes o três elevadores point 4 beleza pessoal mais nós temos aqui o três elevadores point 7 que a mesma coisa que o treze levar 2 põe de três vezes o 3

elevada ao expoente quatro então reparar seguinte eu estou rescrever essas potências aqui ó utilizando para isso o três elevadores point 4 que é o nosso melhor expoente que nós temos aqui olha só o denominador nós vamos ter o 3 elevada ao expoente 4 nós temos 1 - olha só três que multiplica 3 levado à espanha de 5 é a mesma coisa que o treze elevada ao expoente 1 vezes o treze elevada ao expoente 4 porque porque a multiplicação de base iguais a gente soma dos points mais quatro resultado 5 aqui tudo bem então repare o

seguinte há nesse momento o que nós temos aqui por exemplo numerador é uma adição nós temos aqui dois termos esses dois termos possuem o três elevadores point 4 como fator comum então podemos colocar o três elevadores põe de 4 em evidência olha só aqui nós temos o 2 que multiplica 3 ao quadrado pessoal não faça multiplicação primeiro faça potência são três ao quadrado é 9 e 2 vezes 9 nós teremos o 18 então é 18 que multiplica três elevadores por 24 mais olha só três elevadores point 3 é três vezes três vezes 31 resultado é

27 então nós fizemos aqui é distributiva nós iremos cair nesse número a dor que está aqui tudo bem agora aqui no denominador nós temos aqui a subtração de dois termos esses dois termos eles também têm aqui o fator comum que é o três elevadores point 4 vamos colocar aqui o três elevadores por 24 e vamos abrir parênteses reparem que aqui nós temos 11 vezes o treze levado à espanha de 4 então vamos colocar aqui o um tá - agora só três vezes o três netos na um é 33 vezes ou três anos teremos 19 nós

temos aqui fechamos aqui o parentes olha só três elevadores point quatro vezes um nós vamos ter esse termo e três elevadores point 4 que multiplica que o menos nove nós vamos ter segundo termo está aqui tudo bem neste momento e para o seguinte nós temos aqui uma múltipla a ação tanto no numerador como denominador nós temos aqui dois fatores nós vamos cancelar o três elevadores por 24 e simplesmente nós vamos ficar com o seguinte 18 mais 27 resultado é 45 e no denominador nós temos 1 - 9 e 1 - 9 o resultado é menos

oito tá então a resposta poderia ser assim mas também pessoal olha só o negativo no denominador nós poderemos colocar o negativo no numerador ou seja 45 oitavos ou também se negativo pode vir na frente da fração um que eu quero dizer aqui a qualquer uma das três possibilidades é a mesma situação tudo bem beleza então pessoal na multiplicação de potências de mesma base a gente simplesmente conserva base e soma ali os seus expoentes tudo bem vamos ver agora a segunda propriedade que envolve a potenciação vem comigo aqui agora pessoal nessa segunda propriedade o que nós

temos aqui é uma divisão olha só de bases iguais que a gente faz a gente conserva base e nesse caso na divisão a gente faz o que subtrai os expoentes ou seja é o expoente do numerador - o expoente do denominador rock nesse exemplo aqui embaixo nós temos o seguinte simplifique e nós temos aqui essa fração algébrica olha só vou colocar aqui o sinal de igual tudo bem nós temos o seguinte nós temos aqui uma multiplicação reparem de mesma base que no caso é base a então o que a gente faz a gente pode simplesmente

conservar a base e somar os points quais são os expoentes nós temos aqui o 2 que multiplica o n mais um tá nós vamos somar com outro expoente que é o 3 - o enem também no denominador nós vamos ter a base a elevadores point 1 - o n agora o pessoal que acontece nesses point esse dois ele fará que a propriedade distributiva que é o nosso famoso chuveirinho e nós vamos ter então o seguinte vamos continuar aqui em baixo mas mesmo assim nós vamos ter o ar elevada ao expoente 2 vezes o n 2

e n 2 que multiplicam teremos o dois agora mais o 3 e temos o - m tudo bem e no denominador nós vamos ter o a elevadores point 1 - o im beleza agora só nós vamos ter nesse caso aqui é o seguinte no numerador nos mostrou a arma e efetuar aqui ó 2m com menos n nós vamos ficar e me agora dois mais o três nós temos o 5 positivo e no denominador nós vamos ter o ar elevada ao expoente 1 - o n agora o pessoal que nós temos aqui ó é uma divisão

de duas potências de mesma base nesse caso base a que a gente faz a gente conserva base e apenas subtrai aqui os seus expoentes nós vamos ter o seguinte o iene mais 5 que é o expoente do numerador - o expoente do denominador agora cuidado aqui ó é - 1 - henin então negativo vem pro ou seja ficaremos com menos um e um negativo vem pro - n - com menos ficamos com mais n beleza então nesse caso aqui nós vamos ter o ar elevada era só ele mas ele ficaremos 2 n e 5 -

1 teremos 14 positivo beleza então pessoal na divisão de potências de mesma base a gente simplesmente conserva base e subtrai no caso os expoentes ok vamos agora para terceira propriedade que envolve a potenciação vem comigo aqui nessa propriedade p3 o que nós temos aqui é uma potência de outra potência nesse caso nós simplesmente ela só iremos multiplicar aqui os expoentes e ficaremos nesse caso o ac a base elevada ao expoente m vezes o n jock no exemplo aqui embaixo nós temos o seguinte assinale ver para verdadeiro e f para falso nos itens abaixo nós temos

essas duas afirmações nós devemos julgar como verdadeiro ou falso tá olha só essa primeira que nós podemos fazer a seguinte abordagem nós temos aqui o 4 elevada ao expoente 3 mil será que é menor do que 3 elevada ao expoente 4 mil para só de acordo com a propriedade eu posso reescrever e se quatro elevadores põe de 3 mil como sendo quatro elevado expõe de três e todos aqui ó elevada ao expoente mil já que de acordo com a propriedade o três vezes 1 mil eles se multiplicam aqui no caso nós teremos dispõe de três

mil tudo bem e aqui o três elevadores point 4 mil nós poderemos abordar como sendo três elevadores point 4 e tudo isso aqui ó elevada ao expoente e então da mesma forma o 4 mil se multiplique nós temos aqui o expoente 4 mil tudo bem agora olha só o quatro elevadores onde três e quatro vezes quatro campi da 16 vezes 14 64 nesse caso é levado o expoente mil tudo bem que o treze levado dispõe de quatro horas só é três vezes três que dá 9 vejo três que dá 27 e vejo três que dá

81 nesse caso 81 elevada ao expoente mil pessoal como nós temos aqui essas duas potências ea base aqui é maior do que um cão certamente o valor 81 elevadores point mil ele é um valor que é maior do que 64 elevadores point mil nós vamos ter isso daqui então isso aqui é um item verdadeiro ok nessa segunda afirmação aqui pessoal cuidado não sai multiplicando que directamente tá pelo seguinte aqui se tem ainda pode considerar ele sendo falso pelo seguinte nós temos aqui um número negativo elevada ao expoente para o resultado daqui é positivo e aqui

nós temos um número negativo elevada ao expoente inpa o resultado daqui é um número negativo então só que não é igual isso aqui tá como a gente faz aqui isso aqui o pessoal a gente vai fazer assim o dois elevadores põe de 3 a 8 então o que nós temos aqui no entorno parênteses é menos oito nesse caso levado ao quadrado e nesse lado direito aqui nós teremos o dois elevadores point 2 o resultado é 4 ou seja ficaremos com menos quatro elevadores point 3 o -8 elevador quadrado isso aqui é menos oito vezes menos

oito resultado 64 eo menos quatro elevadores põe de 3 é menos quatro vezes menos quatro a 16 positivo vezes menos quatro é 64 negativo então nesse caso aqui nós vamos ter a diferença então por isso esse item aqui é um item falso tudo bem então pessoal no caso de potência de potência nas simplesmente conservamos a base e multiplicamos ali os seus expoentes tudo bem vamos fazer agora propriedade p4 que envolve a potenciação vem comigo aqui nessa propriedade p4 o que nós temos aqui uma potência da multiplicação de dois números o que acontece é como se

acontecesse aqui ó a propriedade distributiva tá ou seja o primeiro fator ficará elevada potência n e o segundo fator também ficará elevado ao expoente m tudo bem nesse exemplo aqui embaixo na cena seguinte quanto os algarismos possui um número 5 elevadores por 28 vezes o quatro elevadores point 3 o pessoal olha só como é que nós podemos pensar nessa questão cinco elevados por 28 vou simplesmente reescrevê tá e 14 levados point 3 é a mesma coisa que o 2 e levando o quadrado e tudo isso daqui ó elevada ao expoente 3 tudo bem o que

nós temos agora que há é uma potência de potência ou seja como nós vimos o 2 o treze se multiplicam e nós vamos ter então o seguinte o cinco elevadores por 28 vezes o dois elevadores põe de 2 vezes o 316 tudo bem agora olhando que os seus expoentes nós temos expoint 8 e expoentes 6 vamos fixar nossa atenção no menor expoente tá então vamos reescrever aqui os cinco elevadores point 8 utilizando potência a 6 nós ficamos então assim ó 5 ao quadrado vezo cinco elevadores põe de 6 já que a multiplicação de base iguais

a gente conserva base e somos expoentes 26 tac 8 e aqui nós temos vezes o 2 elevado expõe de 6 agora o pessoal vem essa propriedade b4 que nós vimos aqui ó nós temos os cinco elevadores põe de co2 elevador dispõe de seis nós poderemos reescrever isso daqui é como sendo cinco vezes o 2 e os dois aqui estão levados ao expoente 6 e nós temos aqui os 5 ao quadrado aqui na frente tudo bem então que nós vamos ter aqui ó nós vamos ter os 5 ao quadrado tavam escrever aqui ó 5 quadrado vezes

cinco vezes dois nós temos o 10 elevado expõe de seis horas ó pessoal 5 ao quadrado o resultado é 25 vezes o 10 elevado a expõem de 6 nós vamos ter aqui 123456 ou seja 25 e multiplica 1 milhão nesse caso nós vamos ter o 25 milhões beleza então quando os algarismos nós temos nesse número aqui só contaram nós temos aqui seis zeros mais dois algarismos então total de algarismos é 8 beleza então pessoal a potência de uma multiplicação se transforma na multiplicação de duas potências tudo bem vamos ver agora a última propriedade que envolve

a potenciação vem comigo aqui então pessoal a quinta e última propriedade o que nós temos aqui é uma fração tá uma divisão de dois números elevados ao mesmo expoente o que acontece expoentes se ele expõe tanto do numerador como expoente do denominador e ficamos então a elevada ao expoente n / b elevada ao expoente m tudo bem agora nesse exemplo que mais nós temos o seguinte assinale ver para verdadeiro e f para falsos nos itens abaixo olha só nesse primeiro item hakim nós temos que ver se isso aqui é verdadeiro ou falso vamos fazer o

seguinte olha só vamos analisar aqui ó os seis elevada ao expoente 4 dividido pelo 2 elevado e se põe de 6 nós poderíamos resolver isso aqui diferentes maneiras tá mas eu vou utilizar essa propriedade que nós acabamos de ver olha só nós vamos ter aqui os seis elevadores por 24 tudo bem e os dois elevadores põe de 6 eu posso escrever como sendo dois elevada ao quadrado vezes o dois elevadores por 24 concorda comigo multiplicação de base iguais conserva base e somos expoentes 24 é seis então nesse caso nós temos seguinte os seis elevadores põe

de quatro e dois elevadores 24 ou seja nós temos aqui uma divisão tá de potência saque com mesmo expoente então nós vamos fazer o seguinte ó vamos conservar aqui os 6 e os dois repare o seguinte tanto 6 como 2 eles estão elevados aos point 4 que está aqui não esquece nós temos aqui ó / 2 ao quadrado aqui a mesma coisa que olha só um quarto aqui na frente tudo bem agora pra só 6 / 23 anos cargo três elevadores point 4 beleza dividido pelo 4 3 e levados à espanha de 4 pessoal isso

aqui é 81 dividido pelo valor 4 agora que nós temos é o nove meios ao quadrado olha só nove meses ao quadrado vamos fazer aqui ó 9 ao quadrado é 81 e dois ao quadrado o resultado é 4 ou seja 81 quartos 81 quarto então afirmativa verdadeira agora pessoal nessa segunda afirmação que passo seguinte nós temos uma divisão aqui ó de duas potências que possui o mesmo expoente então utilizando essa propriedade nós vamos ter os seis dividido pelo 3 e tanto 6 como 3 eles estão levados ao expoente 4 tudo bem e repare na frente

nós temos ainda aqui ó um quarto como sendo um fator tá agora olha só 6 / 3 o resultado é dois são dois elevadores point 4 tá dividido pelo 42 elevada ao expoente 4 o resultado é 16 dividido pelo 4 o resultado é quatro e não dois como está sendo afirmado aqui tá então esse item é um item falso beleza certo então pessoal finalizamos a aula acerca da potenciação e eu desejo a vocês aí mas celente caminhada rumo à aprovação pessoal um abração bons estudos [Música]