Gravitação: como Newton construiu sua lei a partir de Kepler

Olá queridos Estudante eu sou professor Douglas Gomes e venho trazer física para você o tema de agora é como Newton chegou além da gravitação universal a partir das leis de Kepler Kepler pegou as observações anotadas por tico brachi aplicou ao modelo heliocêntrico onde o sol estaria no centro do nosso sistema e conseguiu encontrar as leis que regem a cinemática o estudo do Movimento dos planetas em torno do sol mas sim se preocupar com suas causas Milton a partir desses estudos e dessas conclusões de Kepler chegou a essa expressão que diz que a intensidade da força

gravitacional com que o sol atrai os planetas e vice-versa é igual a g onde G seria constante da gravitação universal vezes o produto das massas massa do sol em visão massa do planeta dividido pelo quadrado da distância a constante da gravitação universal é aproximadamente 6,7 vezes 10 a menos 11 Milton x metro ao quadrado por quilograma ao quadrado Você já se perguntou se essa equação caiu do céu pois bem no encontro de agora nós vamos tentar entender de onde é que ela veio se você tem interesse nesse vídeo deixe o seu joinha quer ver mais

vídeos como esse se inscreva aqui no canal e Ative o sino das notificações para receber aviso quando tiver vídeo novo quero aprender física comigo no curso feito especialmente para você Então acesse meu site professor douglasgomes.com agora vem comigo para gente entender mais essa para a gente começar a entender esse assunto é primeiro importante que você saiba Quais são as leis de Kepler a primeira Lei de Kepler dizia que as órbitas dos planetas não eram necessariamente circulares eram elípticas mas o que que é uma elipse para você ter uma ideia Imagine que eu fiquei dois pregos

aqui na lousa e coloquei um cordão ligando esses dois pregos peguei então um lápis cor laranja e Estiquei este cordão com lápis agora eu vou riscar a lousa mantendo sempre este cordão esticado a gente vai ver que tipo de desenho vai acontecer este desenho oval é o que nós chamamos de elipse então o que que vai acontecer cada um desses pregos vai estar num lugar geométrico chamado foco da elipse a elipse tem dois focos E por incrível que pareça o sol não vai ficar no centro da elipse mas sim em um desses focos que a

gente tá vendo aqui ó Então você vai ter em um dos focos o sol ocupando sua posição e o planeta vai em torno do sol vai orbitar o sol numa trajetória elíptica nesta trajetória oval Douglas o que vai ficar no outro foco absolutamente nada mas O interessante é que um caso particular de elipse é a circunferência a circunferência é um caso particular da elipse em que os dois focos estão no mesmo lugar é como se a gente colocasse aqueles dois pregos no lugar só então o planeta nesta circunstância faria um movimento chamado movimento circular e

uniforme Então você teria um mcu caso a trajetória fosse uma circunferência e um dos planetas que fazem quase uma circunferência perfeita é o planeta netuno a esse intensidade é muito pequena né a gente diz que a trajetória excêntrica quando ela é bem diferente de uma circunferência aqui quando a gente tem uma trajetória bem elíptica que é o caso de mercúrio e de plutão também a essas trajetórias bem elípticas Elas têm grandes intensidade já que a trajetória circular ela é pouco excêntrica então a gente já viu que o movimento circular é uma possibilidade pelo que Kepler

constatou das anotações de Chico Braune a o movimento do planeta quando a trajetória é elíptica não é uniforme é um movimento variado o planeta quando está a máxima distância do sol afastado do Sol que tinha o nome de Hélio afélio a gente chama essa posição de afélio ela precisa esse planeta apresenta a mínima velocidade o movimento ganha velocidade quando se aproxima do Sol Então não é uniforme afastado quando a distância é máxima a velocidade é mínima mas quando a distância mínima bem perto do Sol o planeta passa a grande velocidade Kepler teve a ideia de

pegar uma linha e ligar do sol ao planeta e observar o que acontecia no movimento ao fazer esta observação ele constatou que a área varrida por esta linha ela tinha valores iguais quando o intervalo de tempo era igual Suponha que o intervalo de tempo Entre Duas posições dessas desenhadas seja sempre o mesmo se um intervalo de tempo fosse igual a área varrida teria o mesmo valor e olha que interessante como tamanho da vassoura Ou melhor o tamanho da nossa linha ela vai diminuindo né o tamanho da linha diminui a gente vai ver que para conseguir

varrer a mesma área é necessário percorrer uma distância cada vez maior mas isso nos traz uma ideia interessantíssima quando a trajetória é uma circunferência a gente observa que esta nossa linha vai conseguir varrer áreas iguais em tempos iguais e isso vai implicar distâncias iguais também para intervalos de tempo iguais daí o movimento ser uniforme quando você tem um movimento elíptico ele é acelerado e depois mas quando o movimento é uniforme né quando o movimento é circular ele é uniforme então para distância sempre iguais velocidade sempre iguais demorou para publicar a sua terceira lei a terceira

lei dizia que o período ao quadrado era proporcional ao raio Ao Cubo Como assim quanto mais distante um planeta está do sol mais tempo ele demora para dar uma volta só que essas grandezas não são diretamente proporcionais o período tempo de volta não é proporcional ao raio mas o período ao quadrado é proporcional ao raio Ao Cubo Douglas como é que ele chegou essa conclusão tentativa e erro olhando os valores que estavam anotados para o período de cada planeta e a distância de cada planeta ao sol distancia média cuidado porque mesmo que você tenha uma

trajetória elíptica toda elipse tem um raio médio que a soma da distância mínima com a máxima dividida por dois então não fique triste porque até elipse tem o tal do raio médio quando eu falo de raio estou tratando do raio médio então isso daqui é a terceira Lei de Kepler ou Lei dos períodos Douglas Por que que é assim nem quer saber quer pressão sabia que era desta forma então para você memorizar que o período está elevado ao quadrado e o raio está elevado ao cubo uma dica para você ficar contente quando você desenha a

letra T quantos traços você costuma fazer um dois então é leve o período ao quadrado Quando você vai fazer este tipo de letra R Você faz quantos traços aí depois você faz dois e depois faz três traços Então você leva ao cubo era dessa maneira que eu memorizava que o período estava ao quadrado e que o raio estava ao cubo agora vamos atrás de encontrar como Newton chegou àquela equação dele por meio disso daqui Milton foi esperto ele pegou a terceira Lei de Kepler e viu a trajetória mais simples que era a trajetória circular e

conseguiu trazer para o estudo da lei da dinâmica que ele havia mesmo já escrito Newton partiu do caso particular da elipse a circunferência Então você estudar um movimento circular não invalida o a Lei de Kepler que diz que a trajetória é elíptica uma circunferência é uma elipse e para ver um movimento circular é preciso uma resultante centrípeta ou seja uma força resultante que esteja apontando para o centro do movimento que no caso é o próprio sol então a força né Deve existir e deve apontar para o centro então todo o planeta deve ser atraído pelo

sol legal isso né então é necessário que haja uma força feita pelo sol sobre o planeta esta força sendo centrípeta é igual a massa do planeta vezes a velocidade ao quadrado sobre R esta que é a expressão que nos dá o resultado da força resultante centr ípeta interessante isso né onde R seria a distância do centro do planeta até o local onde se encontra o nosso querido sol o raio da trajetória vai corresponder a esta distância no estudo do movimento circular uniforme o módulo da velocidade é dado por V é igual a distância sobre o

tempo a distância que ele percorre numa volta o planeta é dois pirralho que é o comprimento da circunferência e o período é o tempo para dar esta volta então o valor da velocidade é 2π raio dividido pelo período mas ali na nossa expressão nós temos a velocidade ao quadrado então Note que a velocidade ao quadrado seria 2 ao quadrado 4 PI ao quadrado pi ao quadrado R ao quadrado R ao quadrado do período ao quadrado t² fiz então a substituição daquele V ao quadrado por 4 PI ao quadrado R ao quadrado t² aqui na expressão

a gente cancelou R ao quadrado dividido por R ficou só R continuamos com quatro e ao quadrado vezes m e dividido pelo período ao quadrado A partir daqui a gente vai poder fazer algumas considerações interessantes lembra da Terceira Lei de Kepler de acordo com a terceira Lei de Kepler se tem ao quadrado sobre o raio Ao Cubo é uma constante o raio Ao Cubo sobre o período ao quadrado também vai ser constante o inverso de uma constante é constante E olha que interessante Nilton teve a Brilhante ideia de notar que aqui nesta expressão que a

gente obteve aparece o período ao quadrado só falta só falta o raio Ao Cubo o raio tá elevado a 1 Então olha que ideia feroz nós vamos multiplicar dos dois lados da expressão pelo raio ao quadrado para que apareça aqui o raio ao cubo multiplicando Então os dois lados dessa expressão por R ao quadrado Então vamos ficar com R ao quadrado vezes F = 4 PI ao quadrado Mr / t² X R ao quadrado tudo que a gente faz de um lado da expressão a gente deve fazer do outro lado dessa equação Olha que interessante

R vezes R ao quadrado da R Ao Cubo Eu juntei quatro pia ao quadrado vezes R Ao Cubo sobre o período ao quadrado porque porque aqui tá aparecendo o r Ao Cubo dividido pelo período ao quadrado que é uma constante Então todo este termo aqui é uma constante a famosa constante de Kepler olha aqui legal a gente pode então dizer que R ao quadrado vezes F é diretamente proporcional a massa logo a nossa força F é diretamente propor cional a massa mas inversamente proporcional ao quadrado da distância Olha que interessante Então a força de atração

entre o nosso querido sol e o planeta é proporcionar uma massa do planeta mas inversamente proporcional ao quadrado da distância agora vamos ajustar se o sol atrai o planeta o planeta também vai fazer uma força de atração sobre o sol e pelo que diz a terceira lei de Newton esta força tem o mesmo valor daquela ali porque para toda ação existe uma reação de mesma intensidade mesma direção só que de sentidos opostos portanto um vale f o outro menos F Ah isso quer dizer que se esta força é proporcional a massa do planeta deve ser

também proporcional a massa do Sol Esta é a ideia por conta do princípio da ação e da reação se esta força é proporcional a um dos elementos deve ser proporcional também a outra então a gente vai dar ainda uma melhorada na nossa proporção assim pela terceira lei de Newton princípio da ação e reação se a força é proporcional uma massa deve ser proporcional também a outra e inversamente proporcional ao quadrado da distância a gente pode então colocar uma constante para transformar esta proporção de nuvem uma equação então o módulo da força de atração entre as

massas é igual a uma constante vezes o produto das massas dividido pelo quadrado da distância Então é eu vi muitos livros de física trazendo a demonstração da Terceira Lei de Kepler a partir da lei da gravitação universal de Newton mas na verdade aconteceu o contrário Newton chegou à expressão dele a partir da Terceira Lei de Kepler que cronologicamente veio primeiro é interessante notar que Milton falou simplesmente que a força de atração entre as massas é diretamente proporcional ao produto das massas inversamente proporcional ao quadrado da distância a expressão que a gente vê que ela foi

trabalhada por matemático chamado Laplace outros cientistas também contribuíram para nossa compreensão mas o interessante do Newton é que ele quebrou aquela história de que se achava que haviam leis aqui para o mundo terrestre e leis para o mundo Celestial havia um havia dois versos havia o verso da terra e o verso do céu hoje a gente sabe que é um único verso um universo daí esta expressão ser conhecido como a lei da gravitação universal que quebrou essa dicotomia Cell e terra e trouxe um único verso o universo para que a gente pudesse compreender bom se

você gostou dessa nossa aula deixe o seu joinha quero ver mais vídeos como esse se inscreve aqui no canal e Ative o Sininho das notificações para receber aviso quando tiver vídeo novo quero aprender física comigo num curso feito especialmente para você acesse meu site professor douglasgomes.com um forte abraço e até um próximo encontro a gente se vê [Música]