Aula PDS Filtro Digital IIR com Protótipo Construído no Plano S pt1

E aí galera de processamento digital de sinais dando sequência ao conteúdo da disciplina né hoje eu vou apresentar para vocês a parte teórica né do projeto do Fio digital e R1 protótipo função de transferência na loja construído no plano essa tá então a gente viu lá o chefe chefe construído com a ajuda de protótipos de funções de transferência de segunda ordem que a gente foi cascateando para levar a ordem do sistema uma tabela né é de modo a preencher os parâmetros né da das funções de transferência e a gente fez um exemplo de um filtro

do tipo passa baixa uma resposta Chev chelios tá agora a gente vai mostrar como construir diretamente a função de transferência tá O protótipo da função de transferência analógica Ou seja a função de transferência que vai ser depois que utilizado para o digital mas dessa vez ela construída diretamente no plano é se tá E aí ela é de enésima ordem ta pode ser ordem pa pode ser ordem importar aí vai dar uma visão Geral de isso aí essa visão geral vai ser para um filtro passa-baixa com resposta butterworth tá E aí a gente vê o seguinte

aqui a resposta do filtro bater o ovo a resposta tipo é tá aqui tá em módulo tal é o módulo nesse caso aqui um ganho ganho adimensional por enquanto tá E aí ela é maximamente plana na Banda passante depois ela tem um decaimento aqui um joelho tá na frequência de corte então é importante que se diga o seguinte que no nosso caso o ômega C é um homem S2 x Pi x FC e FC é a nossa frequência de corte né frequência de corte do filtro tá frequência é de corte né do filtro passa-baixas tá

Oi e aí esse essa resposta em modo né em função da frequência que a frequência Ômega né o Ômega em radiano por segundo tá adiando o segundo ela tem uma resposta parametrizada que é igual a 1 sobre raiz de um desculpa 1 sobre raiz né de um mais um apps não ao quadrado tá é esse Epson é um parâmetro épsilon o épsilon Esse é um parâmetro geral ta parâmetro e a ametro em geral O Tom é voltando né vamos de novo então modo a resposta em módulo do filtro passa a parte bater Wolf é um

sobre raiz de um mais apps não ao quadrado vezes a frequência né aí a frequência variável que né dividido pela frequência de corte elevado a 2x em maiúsculo SN maiúsculo é a ordem do filtro tá ordem I do os filtros bom então essa expressão que é uma expressão geral tá pessoal uma expressão do tipo Geral do ganho médio de um filtro passa-baixa com resposta bater o ovo tá o que foi parametrizado tá parametrizado em função desse apps aqui um parâmetro geral em função das variáveis de frequência dele frequência frequência de corte tá e em função

da Ordem do filtro Tá certo e aí é o seguinte e quando o ômega tem de Ômega ser seja na frequência de corte tá o módulo ganha que fica simplesmente um sobre né 1 sobre raiz de 1 + Epson ao quadrado Tá certo só voltar para o lápis Aqui tá um mais apps só o quadrado e a a bomba que ficar um né um elevado a qualquer coisa é um né Tá então fica simplesmente O Edson é o quadrado aqui ó tá onde isso acontece na frequência de corte aqui tá então ganho na frequência de

corte é um sobre raiz de um mais apps só o quadrado tá nesse ponto existe essa decaimento tá então a resposta bater ou ela não ando lá na Banda passante mas ela tem essa atenuação aqui ó né na ainda na Banda passante tá E ela é máxima nesse ponto aqui que é a frequência de corte do do meu filtro tá então aqui ó essa faixinha que eu coloquei a chave aqui é o a Max né ah Max atenuação máxima na Banda passante tá então a Max vermelho em volta para amarelo aqui então a massa atenuação

máxima na Banda passante tá uma Max Essa é a pena doação a máxima e na a banda passante gente já viu isso tá pessoal e o frisando a banda passante beleza Oi e aí eu tenho uma faixa de transição né uma faixa de transição com vai desse ponta pense aqui ó então daqui até aqui né o ômega é essa Eu tenho uma faixa faixa é de transição transição de que transição entre a banda passante e a banda cortante a banda cortante né uma banda de supressão ela vai do Omega s para frente aqui tá então

o ômega é é se é a minha frequência e da banda cortante tá banda E aí o corpo ante o a manter uma frequência de supressão da PSOL de moto que vamos pensar ainda em termos de quando o ômega tende a mega-sena né então ganho vai ser esse cara aqui tá E vamos passar ele para beber tá então se eu ganho é o HD Ômega é igual a 1 é sobre raiz de um mais Epson ao quadrado adimensional HD Ômega e em bebê e vai ser a 20 log de 1 e no numerador menos 20

log na base 10 né de raiz de um mais Epson quadrado o denominador tá só que 20 log na base 10 de um é zero bebê né zero bebê tá então o h e de modo lento HD Ômega é independente quando o ômega tem de uma mega ser seja aqui né nessa nesse pontinha que ia dar tendo ação máxima na Banda passante tá ele vai ser igual a -20 log de raiz de um menos mais né É só o quadrado tá então a gente pode falar que essa esse de crescimento aqui ó essa atenuação tão

atenuação máxima e na Banda passante tá vai ser igual a 20 Logus de raiz de um mais Epson quadrado tá ó o ganho nesse ponto é é até no ou menos 20 aqui porque até no ou tá batendo o daqui para cá do zero DB para cá tá só que qual o tamanho desse pedaço aqui né o tamanho desse pedaço é simplesmente 20 logo na base 10 de raiz 1 + Epson o quadrado tá bom então o a máximo a Max atenuação na Banda passante é um da de projeto tá toma sentir o a Max

atenuação máxima na banda de passante é dado de projeto né dado de projeto Ou seja você ou alguém fala o que ele quer né no Exercício é entrou no projeto seu filtro ou você estipula tá por exemplo lá na tabela de Shelby chefe tinha lá 1 2 ou 3 bebê né de atenuação máxima na banda passante aí você pode escolher um valor né Mais ou menos desse tipo né Porque quanto mais é liso aqui for né reto aqui sem ondulação na Banda passante melhor tá então é interessante escolher sei lá um dois ou três de

bebê tá Lógico que depois a gente vai ver que isso implica na ordem do seu fio Tá e aí quanto maior a ordem do HDs mais difícil de ficar estável vai ser o h dizer tá então é uma relação de compromisso tá mas é algo entre um tá entre um e três de bebê tá um ó e vou colocar entre nem entre entre é um bebê e três de bebê tá nessa faixinha aqui o que você escolhe vai vai depender da ordem lá do seu filtro tá então se esse cara o a Max é da

de projeto o que a gente não tem é o parâmetro Epson tá então a gente tem que isolar esse cara e vai ser assim ó seu passado aqui para cá o amax e vai ser 20 blog E aí para tirar a raiz eu vou fazer um mais Epson ao quadrado é levado a meio né Oi e aí para passar esse cara multiplicando então a Max e vai ficar 20 vezes meio da 10 né 10 horas log na base 10 de um mais Epson ao quadrado tá Passa esse cara dividindo a Max o / 10 =

log na base 10 de um mais Epson ao quadrado e Oi e aí e para tirar esse logo aqui eu faço 10 né 10 elevado a a Max o / por 10 então dez elevado a isso aqui eu tiro esse lado de cá tá fica igual então a um mas Epson ao quadrado tão o Epson ao quadrado vai ser 10 elevado a a Max é dividido por 10 ou menos um então o y primeiro parando do seu filtro né já que o a Max aqui é um dado de projeto vai ser raiz de os 10

elevado a mas é dividido por 10 ou menos um esse aqui é a nossa primeira fórmula né que a gente usa lá para poder começar a projetar o nosso fio tá ele vai implicar mais a mais a frente na ordem do filtro Tá OK agora então é para o restante né na Banda passante tá E o restante na Banda passante aliás desculpa para o restante né Depois da faixa de transição e na Banda cortante tá Então nesse ponto eu tenho atenuação mínima tá pessoal é o mínimo que você quer que atenua nos né do seu

filtro tá é para poder vamos ver se sentir as Eu reconheci indesejáveis né acima da frequência Omega essa aqui ó você não quer que que passa da entrada para a saída do seu filho é o que você festivamente quer filtrar né ah é arrancada do componente que você quer preservar que dentro da banda passante Tá certo Então nesse caso a gente tem que pensar nessa expressão aqui ó tá E aí tem que levar em conta que o ômega aqui é o ômega é essa né da faixa que abre o fim da faixa de transição tá

E aí deixa só e esse cara aqui pra cá e vai poder ficar mais Opala eu vou copiar Entra lá para poder simplesmente modificar né contra você colocar é de cá control bebê aqui ó tá eu estou só dividir esse aqui e até aqui o Edson né e para que o Edson e daqui em diante é um o ganho né levando em consideração o ômega essa aqui na faixa de supressão Tá beleza então vamos passar esse cara agora para beber tão Ômega da de Ômega e em bebê e vai ser a passarem passar de tudo

e vai ser então HD homem bebê o modo né cadê minha bebê vai ser 20 logo na base 10 de um né vai dar a zero de novo menos 20 19 na base 10 de a raiz o site é um jeito colocar não ficar muito bom muito estranho a ex de um mais Epson quadrado a omega s o ômega Aécio sobre Ômega cc2 n a ordem do filtro tá e esse cara vai o Cezar de Bené serve bebê então h é de Ômega é de Ômega módulo em bebê e vai ser menos 20 log na

base 10 de raiz de em 1 + Epson quadrado Omega S sobre Ômega cê elevado a 2 em tá bom Então nesse caso aqui ó como eu tô tratando né de ganhos que leva em consideração a faixa de atenuação tá então ganho que leva em consideração a faixa de atenuação daqui até aqui né então daqui até aqui eu tentei no ação mínima né que eu quero para o meu filtro tá a partir do qual Tá parte do Omega essa aqui ó tá partir do qual é eu atendo né frequências indesejáveis né Eu não quero que

vá pro pago da entrada do meu de sinal para saída de se não tá Então nesse caso atenuação e tendo ação mínima o meu fio que vai ser o tamanho né Tá então o esse tamanho todinho aqui né esse tamanho todinho é simplesmente 20 a 20 Logus na base 10 de raiz de um mais Epson quadrado Omega essa sobre Ômega C 12 x n a ordem do filtro tá beleza oi ou é e você pode fazer assim também mais fácil tá não ação mínima vai ser 20 log na base 10 de hummm hummm mais Epson

ao quadrado sobre isso ele tinha que são Coxim e deixa eu tirar esse aqui rapidinho o colchete aqui para dar uma coxambrar tá G1 é um né mas Epson quadrado Ômega é essa sobre Ômega cê elevado a 2 vezes n e isso tudo é levado a meio tá então atenuação mínima e na Banda cortante vai ser né passou fica 10 log na base 10 de o colchete Novo 1 + Epson ao quadrado sobre Ômega S sobre Ômega C I elevado a 2x n a ordem do filtro tá pensei que uma outra a fórmula importante para

o projeto do nosso fio só que agora ela é um pouco diferente da primeira do Edson tá Então imagina aqui você já calculou Epson a partir da atenuação máxima da banda passante tá e atenuação mínima também é dado de projeto Tá eu vou colocar aqui também atenuação mínima a premiação mínima e é dado do projeto dado e do projeto tá então você também tem que levar isso em consideração atenuação mínima exigida para o seu filtro após a faixa de transição seja após a frequência aqui na Banda cortante tá Oi e aí ó você tem como

outros dados de projeto a sua frequência de corte também é dado do projeto dados tá o ômega s o que se não for dado você escolhe tá dado o ou escolha tá e o que é escolha o que você pode ter em mente frequência se você quer que fique dentro da banda passante tá e a priori você já sabe frequência que você quer filtrar né partir do qual você quer vamos desse filtrado seu sinal então você escolhe essa você escolhe essa frequência na Banda cortante entendeu porque é é aí a questão é o seguinte é

quanto mais seletivo filtro ser quanto mais próximo o mega é se tiver do Mega ser maior vai ser a ordem do seu filtro tá então você tem que ter cuidado na escolha da sua faixa de transição Porque se ela for muito Estreita a ordem do filtro vai aumentar muito tá E aí você vai ter dificuldade ao discretizar de manter o h dizer né a função teu csnz o fio digital mesmo estável tá Então essa é uma é uma outra relação de compromisso tá E você tem que verificar então dado seu Ômega se você escolher um

Omega S aqui ó tá que não aumenta muito a faixa né de aliás que não diminui em muito a faixa de transição do seu filtro né e consequentemente mantendo a ordem do filtro no valor né que vai ficar fácil de ficar estável quando for discretizado tá aí é o seguinte bom você calculou o Epson né dado o seu a Max Você tem uma a mínima aqui que também é dado de projeto tá você tem essa opção né você tem a frequência de corte você escolhe a frequência na Banda cortante né ou seja escolhe a largura

da faixa de transição da o que te resta é jogar valores aqui no n na ordem do filtro tá para dar uma atenuação mínima que é atenuação do seu dado de projeto tá bom então você vai fazer isso aqui interativamente você vai depois a gente vai fazer um exemplo eu vou mostrar que eu monto essa expressão no matlab tá e vou jogando valores e n aqui ó tá e verificando atenuação mínima né Se eu conseguir aquela que é verdade projeto acima dela né Ou pelo menos igual tá então eu chego na ordem desejada para o

seu filho Então nesse caso aqui ó você é escolhe E aí a n papa ou seja a ordem do seu filtro o interativamente não é na verdade nem escolhi né eu tô falando errado calcula tá é um calcula a ordem né calcula a n e a ordem do seu filtro tá o interativamente interar o Ivan mente um dado e o valor é de da atenuação mínima tá você precisa do seu filtro tá E esses outros elementos o Epson que você já calculou e a faixa de transição né que dado uma frequência de corte você escolheu

aqui para frequência né na Banda cortante tá beleza não fica muito claro isso aqui porque eu não isolei o n tá igual isolei o ex o apps não tá bom então para facilitar o jeito é usar essa expressão E aí você monta isso lá em algum programa né ou na calculadora Tá e vai jogando valores de n aqui ó até atingir atenuação mínima que é o dado do projeto do seu fio Ok beleza então uma vez você escolheu né ah vamos assim a ordem que no final das contas o que interessa aqui vai ser a

ordem do seu filtro tá vamos ver se você escolheu a ordem tá tu vem para cá ó é o plano West tá então depois do cálculo da Ordem do filtro aqui ó depois e do cálculo é da Ordem do filtro E aí e do filtro o projeto seus polos no plano é se tá projectas um pouco amigo aqui projeto assim e os polos e no plano s Ah beleza então aqui eu tenho um plano esse aqui tá pessoal o da esquerda ai bom então depois do cálculo da Ordem do filtro projeto Esses pólos um plano

essa então da esquerda Eu tenho um exemplo de um filtro de quinta ordem ta sejam fio de ordem ímpar ou da direita Eu tenho um exemplo de um filtro de quarta ordem ou seja um filtro de ordem par tá isso aqui é o plano é se tá Pessoal esse círculo azul aqui não é o círculo unitário tá é um círculo cujo raio é a frequência do Polo tá frequência do Polo é uma mega zero aqui ó Tá bom que o ômega 0 o ômega 0 a frequência E aí um dos polos tá Oi e essa

frequência dos polos vai ser o ômega cê a sua frequência de corte radiano por segundo vezes 1 / épsilon é levado a um / n esse n aqui a ordem do filtro tá então vai ter um número vai ser um número vai ser um valor bem específico tá a distribuição dos polos no plano é se eles vão ser todos no semi-plano esquerdo né no semi-plano esquerdo do plano é se para poder ficar estável né no plano Oeste tá E ela vai ter essa distribuição nesse semicírculo aqui de 180 graus cujo o raio né continua sendo

que o ômega zero tá então esses esses raios aqui ó o tamanho deles é uma mega zero tá E aí você faz a distribuição dos polos tá de que forma então aqui ó eu tenho Polo um e o Polo um conjugado complexo Polo 2 São Paulo dois conjugado complexo Polo três aqui um exemplo de um filtro de quinta ordem tá beleza e aí a separação entre ele está Então você tem a distância aqui que é o ômega zero tá E tenha separação aqui do eixo J um guia separação entre os polos é um ângulo tá

então esse ângulo aqui esses ângulos de fora aqui ó tá tanto esse quanto esse de cá Tatinha mudar para vermelho que Talita vermelho é o tamanho desse desse ângulo aqui ó tá é o mesmo tamanho desse ângulo aqui que são simétricos aos polos vai ser 180 graus dividido por duas vezes a ordem do filtro tá então esse aqui é de quinta ordem tá então vai ser duas vezes 5 né então vai ser 180 por 10 né nesse caso nesse exemplo aqui tá então aqui vai dar 18° aqui também 18 graus tá no caso volta frisado

esse filtro é de quinta ordem 1 2 3 4 5 poros tá pessoal mas de forma geral de enésima ordem ímpar né esse pedacinho aqui ó vai ser 180 e 20 por 2 vezes n n a ordem do filtro e esses pedaços aqui de dentro tá e vai ser ó esse aqui né este Oi e esse aqui ó todos eles têm a mesma medida qual vai ser a medida 180 graus devido por n ta 180 porém 180 por n-180 por Amy e nesse caso tá ele vai dar é 180 por cinco vai dar 36 graus

aqui ó tá então são 36 vezes um dois três quatro né ouvi quatro vezes 36° c 14 x 36 graus 144° mas uma duas vezes 18° né Mas duas vezes 18° fechou 180 graus nesse caso aqui ó de filtro de quinta ordem Tá mas de maneira geral né é esses pedaços aqui internos aqui vai ser 180 dividido por n e na ordem do filtro de moda distribuído de maneira simétrica os polos sem plano esquerdo do plano é está e do lado de cá a gente tem uma distribuição também né no plano é se tá também

aquele círculo continua sendo o raio dele é o ômega 0 a frequência do Polo que é o mega c g Jung por Epson elevado a 1 / n n a ordem do filtro tá E aí os polos esse caso aqui ordem par né ordem pa eles vão ser distribuídos de maneira igual aqui simétrica no semi-plano esquerdo do plano é se tá aqui né De novo falando do distribuição dos polos no semi-plano e Cia do plano é se para ficar estável né logicamente tá nesse caso essa essas esses ângulos aqui ó tá separando cada um desses

polos aqui tá vai ser diferente do de ordem ímpar o jovem para tem aqui 180 m por 2 m e os de dente e por n&s último aqui 180 por dois anos de novo né esse aqui não é simplesmente 180 dividido por n + 1 Tá beleza então nesse caso aqui de um filho de quarta ordem 1 2 3 4 polos seria 180d por cinco Então vai ter 36 graus aqui aqui aqui né ó tá Daqui até aqui aqui e aqui ó tá então um dois três quatro cinco vezes 36 da o semiciclo de 180

graus tá uma vez que você localizou os polos no plano é seja o fio de ordem par o fio de ordem ímpar tá você tem que achar esse Polo tá achar esse Cola Que jeito você tem uma hipotenusa aqui né certo e tem esse ângulo aqui de dentro o ângulo daqui até o eixo Sigma aqui tá E aí você usa trigonometria para achar exatamente a o valor né as coordenadas retangulares desse Polo tá coordenada retangular você vai ter coordenada no eixo cima né e ordenada no eixo J Ômega tá uma vez que você localizou cada

um desses polos tá usando então trigonometria você vem para cá e monta a função de transferência então HDs vai ser cá vezes Omega zero elevado a n tá E aí se o cara for um vai ficar Omega zero elevado a n e o ganho do filtro vai ser portanto um né Na banda passante Tá beleza então esse carro que o valor desse carro é o ganho CC do seu filho já que é o fio te resposta do te passa baixo tá certo aí vai ser então caves Omega zero elevado a n dividir o S -

- Paulo um XS - - Paulo um conjugado complexo tá eu coloquei - - porque é na verdade é ele vai ter coordenada tanto real quanto imaginária né mas a coordenada real vai ser sempre negativo porque todos eles estão no semi-plano esquerdo do plano é seja o o fio de ordem ímpar ou o fio de ordem par tá então por isso que eu coloquei esse menos aqui né então fica essa menos menos Paulo um vezes é assim - Paulo - Paulo um conjugado complexo vezes é sim - - Polo 2 XS - - Polo 2

conjugado complexo até S - - Polo n né aí depende da Ordem do filtro e se ele é ordem limpa ou ordem par tá E aí pessoal às vezes reclamar a pessoa é esse mais polo 1s + polo um conjugado tá então se você fizer menos ele dá isso aqui né é esse mais Polo um exerce mais falando conjugado s mais Polo 2xs mais Polo dois conjugado vezes é se mais Polo três vezes é se mais Paulo três conjugado até S mais Polo e no Tá certo beleza então esse aqui se você constrói a sua

função de transferência em essa né o próximo passo tá vai ser o quê é discretizar né discretizar é discretizar dado é uma a FS né que que FS frequência de amostragem né frequência é de amostragem essa frequência de amostragem vai ser a mesma né do seu sinal discreto tá e você pode escolher um método Sei lá tá tim0 ordem Hood é um variância tá e fica critério variância um filtro eu para mim e eu vejo diferença muito entre eles não tá uma vez que você disse que ia tesoura Você tem o h dizer né H

dizer aí o próximo passo é verificar e o Finn né Veri ele ficar estabilidade tá stábile I dade Aí sim você leva isso o h dizer no plano Z né plano Z e verifica o ciclo militar né planta ser círculo é unitário e os poros né como a gente viu uma aula anterior devem os polos DH dizer né no plano Z eles devem ficar dentro do Círculo unitário para o h16 paga tá E aí interessante né porque a gente projeta no plano é se com os polos semi plana esquerdo plano s para garantir estabilidade Tá

mas isso não quer dizer que você vai ter uma hdz seja automaticamente estável né Tem muita coisa envolvida tá é por exemplo a frequência de amostragem Tá certo a quantidade de polos Apolo filtro desse tipo é acima de sexta oitava ordem e já vai ficando muito difícil de ficar de ficar estável tá o h dizer E aí às vezes você tem que vamos assim pegar mais leve na seletividade do filtro ou seja aumentar a faixa de transição Ou seja a distância do Ômega s em relação ômegas e a diminuir a ordem do seu e consequentemente

pagar dizer ficar estado pessoa mas eu tenho que reprojetar o filtro se ele ficar instável sim você tem que reprojetar o filtro inclusivo localizando de novo os polos calculando novamente a ordem né para diminuir Lógico é para ficar estável né nesse caso localizando de novo os polos aqui no semi-plano esquerdo do plano é se dessa maneira que a gente tá fazendo distribuição para fio de ordem e para o filho de ordem par discretizar de novo verifique de novo estabilidade tá E assim até chegar no H dizer que seja estar largar dizer que seja destrava o

próximo passo né é equação de diferenças a equação é de diferenças e os coeficientes do seu filtro né coeficientes o Warface foi eficientes do filtro e não foi mentar implementar sei lá de SP né o ou no computador onde quer que você esteja Processando o seu sinal tá certo então é isso pessoal olha aqui é só teórico próximo eu vou dar um exemplo de projeto do filtro e é com protótipo função transferência analógica né dessa maneira que eu expliquei aqui construída direto no plano é se nem com resposta butterworth tá beleza valeu um abraço