Tabla de transformadas de Laplace

i o la una de las aplicaciones más comunes de la transformada de la plaza aparece en la resolución de ecuaciones diferenciales cuando vamos a resolver una ecuación diferencial utilizando el método de la transformada la plaza lo que debemos hacer es reemplazar cada término de la ecuación diferencial por su transformada correspondiente sin embargo lógicamente resulta impráctico que cada vez que vayamos a resolver una ecuación diferencial tengamos que calcular la transformada de la plaza de todos sus términos en realidad en la práctica no hacemos eso lo que hacemos es contar tener a la mano una tabla de

transformadas de la plaza y utilizarla cuando la necesitemos y justamente ese es el interés de este vídeo generar nuestra propia tabla transformada de la clase de las funciones más comunes que vamos a encontrar en las aplicaciones para que así podamos tener puedas tú tener este vídeo como una referencia útil que puedas utilizarlo cada vez que requiera tener una aplicación de la transformada en la planta de alguna de estas funciones en generado aquí una tabla donde tenemos primero efe dt igualar a es una constante le hemos llamado a puede ser acá puede ser cualquier otra letra

en fin es una constante de adn coseno de ats no de ate las funciones exponenciales alarte a la menos ate y el cose nielsen hiperbólico que son las funciones típicas más comunes que podemos encontrar en las aplicaciones de la transformada de la plage fíjate que aquí en el caso de tea line ya he puesto su transformada en la plaza se escribe como el factorial sobre ese line en las 1 porque justamente en mi canal hay un vídeo que te invito a que veas donde cálculo la transforma la planta de té al aire y también aparece

aquí la transforma de la planta el coseno de ati que se escribe como dice sobre ese cuadrado más a cuadrado y del seno de ate que se escribe como as sobre ese cuadrado más al cuadrado porque hay otro vídeo también en mi canal donde hago el cálculo de la transformada de laplace del coseno de ate y en este vídeo también describo que utilizando siguiendo un procedimiento similar al del cose no podemos calcular la transformada de la plaza del seno bien vamos entonces a completar la tabla para las demás funciones que tenemos ahí y vamos a

comenzar con la primera que es enfrente igual a partimos de la definición de la transformada aplastada como el integral de cero infinito de edad menos cst efe de diferencial de t entonces en este caso para ft igual a recordando que es una constante nos queda entonces que la transforma de la clase es la integral de cero a infinito al menos st por fx pero es una constante sale del integral y me queda entonces de esta manera y esto es simplemente la integral de al menos ese 3 -1 sobre ese ala menos 7 de al menos

1 sobre ese para mí queda menos a sobre ese área a la - st evaluado de cero al infinito cabe señalar que esta exponencial era la menos 7 evaluado de cero infinito es exponencial es igual a menos 1 pero lo demuestra aquí rápidamente para que lo veas y después simplemente la vamos a utilizar en los demás cálculos aquí me concentré la exponencial tener el ala menos st de 0 a infinito es lo mismo que tener 1 entre a la sct de 0 a infinito pero esto cuando te tiende a infinito es exponencial se hace muy

grande el cociente tiende a cero menos cuando te es igual a cero me quedaría la 03 11 entre 11 y esto efectivamente es menos 1 por tanto este exponencial da menos 1 entonces menos a sobre s por menos 1 me queda que esté simplemente a en 3 y ya tenemos aquí la transformada de la plantea la transforma de la plana constante es la constante entre s de esa manera nos va a quedar bien ya tenemos entonces para para la constante a vamos a hacer la transformada de la plaza de alarte las borramos aquí ya esta

parte la no la necesitamos y ahora para ft igual ahí alarte bien si aplicamos entonces la definición nos va a quedar que la f de ese viene dada como la integral desde cero hasta infinito de a la menos st la fe diferencial de ti que tenemos aquí dos exponenciales la misma base copiando un aval si sumamos los exponentes no se me queda la integral de será infinito de alaminos st más te voy a factorizar la t y también al menos que me queda menos s aquí me queda ese menos corte diferencial de 33 - ese

porte que es eso - porque nada más aporte que si es exponencial estar ahí bien y la integral de ala menos el menor era la menos s menos aporte esa integral me da menos 1 / s menos a por el ala menos s menos a corte evaluado de cero al infinito pero ya dijimos que está exponencial es menos uno entonces menos uno con esto que está aquí me da simplemente uno entre s menos a y esa es la transforma de la plaza de la exponencial de la t1 entre s menos de esa manera bien vamos

a hacer ahora la transformada y hará menos a ti en realidad es la misma es el mismo cálculo solo que cambiamos la por menos al entonces de aquí cambiamos por menos a me queda uno entre este masaje simplemente va a ser eso lo que vamos a tener y lo puedes ver fácilmente aquí te lo muestra aquí para efe dt igual a menos arte donde quiera que esté ale vamos a cambiar el signo entonces aquí tendríamos menos cuando factor hicimos aquí al menos aquí queda más entonces cuando salga esto me da menos 1 entre s más

a la exponencial queda de esta manera pérez exponencial nuevamente da menos 1 y entonces quedan 1 entre s más a directamente lo podemos hacer y ya tenemos la transforma de la plata también de ese exponencial negativa bien vamos voy a borrar aquí ya no necesitamos esto y vamos a ser ahora la transformada de la plaza del consell hiperbólico entonces para ft igual al coseno hiperbólico de ate bien aquí la de hecho no necesitamos hacer la integral porque hay una definición que conocemos de matemática que nos dice que el coste lo hiperbólico de x lo podemos

escribir como ea la equis más a la menos x entre 2 por tanto podemos decir que la transformada de la plaza del coseno hiperbólico de x va a ser igual a un medio de la transformada de la plaza de a a la x más a la menos x pero la transforma de la plaza se calcula como un integral y la integración del operador de integral su operador lineal con la transformada la plástica tiene una propiedad de linealidad por tanto la transformada de la planteada x + sea la menos x es igual a la teta lo

pongo aquí directamente para que lo veas esto sería un medio de la transformada de la a la equis más la transformada la plaza de al menos x por la ópera de la propiedad de linealidad de la transformada en la plaza pero esto lo tenemos la transformada flash de la x ya lo hemos calculado aquí en este caso sería ya la ate es lo mismo en la variable que tengamos ahí será uno sobre s menos a ideal a menos en ti sobre al menos antes era uno entre s masa por tanto me queda que la transformada

de la plaza del coseno hiperbólico de ate ahora donde esté la x lo voy a sustituir por ate lo podemos escribir como un medio de la transformada plas de alarte que es uno entre s - dar y a eso le vamos a sumar la transformada en la planta a la menos a ti que es uno entre ese pasar de esa manera y todo lo que tenemos que hacer esa suma de factor fracciones entonces esto es fácil porque este es simplemente un medio y aquí vamos a sumar entonces el denominador lo vamos a ver como el

producto de ese menos a por ese massa cuando dividamos este 3 de menos a quedar este más y a eso le vamos a sumar ese menos a es lo que nos va a quedar aquí ahora cuando hacemos eso fíjate que tenemos ahí menos a que quiere decir que ésta se elimina y queda 2s que con ese 2 el 2 se elimina y esto queda simplemente 2 arriba y debajo tenemos la suma por la diferencia esa es la diferencia del cuadrado a diferencia de la diferencia de cuadrados o sea eso es ese cuadrado menos al cuadrado

y por por tanto tenemos ya la transforma de la planta del consejo de arte que lo vamos a escribir como 2 perdón esto es 2 2 s el doble o eliminado lo que queda aquí en la es entonces que la s sobre ese cuadrado menos al cuadrado esa es la transforma de la plaza del coseno de arte bien vamos ahora por último hacer la transporte perdón a través del cos el hiperbólico de arte vamos a hacer ahora la transforma de la plaza del seno hiperbólico de arte bien no voy a hacer toda esta parte de

explicar de la propiedad de linealidad por favor ya sabemos que se cumple simplemente ahora lo que es importante recordar es que para él ser hiperbólico también tenemos una definición en términos de las exponenciales y lo que tenemos es que el seno hiperbólico de ate lo podemos escribir como que alarte menos en este caso la menos arte entre dos una definición muy parecida a la de coser o sólo que en lugar de la suma tenemos la diferencia ya expliqué que entonces puede aplicar la transforma de la plaza del seno de arte y eso le expreso en

término de las transformadas la planta de estas exponenciales dónde voy a evitar que esa parte y voy simplemente hacer la diferencia entonces la transformada de la plaza del seno hiperbólico de ate la podemos escribir como un medio y vamos a hacer la diferencia aquí la transformada de a la te dijimos que es 1 sobre ese menos a y a eso le vamos a restar 1 entre ese masa de esa manera y esto va a quedar simplemente que es un medio entonces en el denominador vamos a tener ese menos a por éste más a y aquí

lo que voy a tener es más o menos s - a de esta manera fíjate que ahora quien se elimina es la s y ahora tengo a menos menos ya tengo dos ar el 2 elimina con este entonces que era simplemente arriba quedar y debajo sabemos que es una diferencia de cuadrados entonces me va a quedar de la forma y sobre ese cuadrado menos al cuadrado esa sería la transformada de la planta del sen hiperbólico de arte y con eso hemos completado nuestra propia tabla de transformadas de la plaza de generado aquí entonces una tabla

con las funciones típicas básicas más comunes que vamos a encontrar en las aplicaciones de la transformada de plaza por ejemplo cuando resolvamos ecuaciones diferenciales utilizando este método espero que este vídeo puedas usar entonces como referencia útil que puedes tener en cualquier momento en cualquier lugar donde vas a tener a la disposición la transformada en la plaza de estas funciones si te ha gustado si te ha parecido interesante pues te invito a que el extra y solo te invito a que me sigas en mi canal modesto office más a