hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a empezar con un tema nuevo vamos a ver transformada de la plaza que es una herramienta que nos va a ayudar a resolver un montón de ecuaciones diferenciales de una manera bastante rápida antes de empezar a ver qué es una transformada de la plaza hay que repasar dos conceptos que tienen que ver con integrales el primero es referente a una integral que tiene más de una variable por ejemplo aquí tenemos una integral definida que tiene dos variables aparece x y bueno cuando tengamos
una integral con varias variables el diferencial de esa integral nos va a decir respecto de cuál variable estamos integrando es decir la otra variable la vamos a tomar como una constante en este caso el de x nos dice que nuestra variable es x y que el ay es una constante así que lo que tenemos que hacer aquí es integrar la x y a ese resultado que nos dé lo vamos a multiplicar por la constante que es la integral de x como ya sabemos es un medio de x cuadrada y lo multiplicamos simplemente ahora hay que
evaluar en los límites de integración esos límites de integración se evalúan en la variable es decir en este caso en x por eso ponemos aquí que va de x igual a 1 x igual a 2 aquí hay que recordar que siempre empezamos evaluando en el límite superior sustituimos entonces el 2 en la equis y nos va a quedar un medio de 2 al cuadrado porque luego va a ser menos siempre es menos el límite inferior que es un medio de 1 al cuadrado porque ahora simplemente hay que hacer esta operación 2 al cuadrado es 4
que entre 2 nos queda 2 sigue que iba a ser 2 y aquí 1 al cuadrado 1 por un medio que era un medio y 2 menos un medio son 3 medios entonces queda tres medios de iu fíjense en algo inicialmente nosotros teníamos una integral con dos variables pero al ser una integral definida una de las variables desaparece al ser evaluada en esos límites de integración y únicamente nos queda la otra variable que era de allí así que como resultado nos queda una función de g que es la variable que bueno estábamos tomando aquí como
constante ahora el otro concepto que hay que repasar es el de integrales impropias una integral impropia es por ejemplo una expresión de este tipo tenemos una integral que es definida pero el límite inferior es 1 mientras que el límite superior no es un número sino que es infinito cuando tenemos un infinito aquí arriba o aquí abajo o en ambos extremos eso es una integral impropia bueno hay otras integrales y propias pero para el caso para lo que vamos a ver nosotros únicamente necesitamos tomar en cuenta este tipo de integrales impropias para resolver una integral impropia
lo que tenemos que hacer es empezar integrando esta función que aparece aquí que es 1 sobre x cuadrada x de x la integral de esa función es menos 1 sobre x simplemente hay que recordar que se sube x cuadrada como x a la menos 2 y se aplica la fórmula de x a la n vamos a poner igual una línea vertical y vamos a poner aquí los límites de integración que son de 1 a infinito aquí es muy importante que infinito no es un número por lo tanto no se sustituye infinito en la equis eso
no es matemáticamente correcto en cambio lo que se hace es tomar el límite cuando x tiende a infinito de esta expresión aquí vamos a hacer lo mismo que acá arriba de que tomamos el límite superior y luego menos el límite inferior entonces cuando tomamos el límite superior nos queda el límite cuando x tiende a infinito de menos 1 sobre x pero bueno aquí el menos lo podemos sacar del límite por eso lo puse aquí afuera menos límite cuando x tiende infinito de 1 sobre x luego eso va a ser menos lo de abajo sustituir lo
de abajo en la x pues va a ser menos menos 1 sobre 1 porque bueno aquí ya teníamos un menos ese menos de aquí por el menos de la integral definida nos dan este más y entonces queda 1 sobre 1 ahora aquí hay que calcular este límite el límite cuando x tiende a infinito de 1 sobre x aquí simplemente hay que recordar los límites que es bueno se ven en cálculo diferencial este límite vale 0 y nos queda simplemente 1 sobre 1 que es 1 así que aquí como resultado nos quedó 1 bueno no siempre
las integrales impropias nos van a dar un valor numérico o sea no siempre convergen cuando nos dan un valor numérico se dice que convergen pero hay veces que este límite no existe ya sea porque tiende a infinito o tiende a menos infinito o simplemente es un límite que oscila y no existe en esos casos la integral diverge bueno y nosotros vamos a estar interesados únicamente en las integrales que convergen ahora sí ya que repasamos estos dos conceptos vamos a ver qué es una transformada de la plaza la transformada de la plaza vamos a representar con
este símbolo que es una ele y entre corchetes vamos a poner la función que vamos a transformar ahora aquí es importante que nuestras funciones generalmente van a depender de una variable que va a hacerte hasta este momento nosotros estábamos utilizando xy en las ecuaciones diferenciales decíamos que la x es la variable dependiente perdón independiente x es la variable independiente que es la variable dependiente así lo estábamos tomando en las ecuaciones diferenciales generalmente pero podemos tener muchos otros casos de las variables no necesariamente tienen que ser xy y un caso demasiado frecuente en los problemas sobre
todo en los problemas físicos es que tengamos una variable t que generalmente representa al tiempo y como tenemos cantidades que varían respecto al tiempo bueno aquellas cantidades serán variables dependientes del tiempo y el tiempo será la variable independiente así que es importante irnos acostumbrando a utilizar la variable t como variable independiente así que aquí vamos a tener funciones que depende dt bueno la transformada de una función de t va a ser igual a la integral que va de 0 a infinito fíjense que es una integral impropia como las que mencionaba hace un momento de la
función de t multiplicada por la exponencial de menos 7 x dt fíjense que aquí aparecen dos variables aparece la t y aparece la s entonces es una integral con dos variables pero se está integrando respecto de t por lo que aquí s es una constante cuando integremos y evaluamos en los límites de integración el resultado nos va a quedar únicamente en términos de s va a ser una función de s así como habíamos visto anteriormente que la integral que teníamos xy nos quedaba en función de x que integrábamos respecto de x bueno vamos a ver
entonces un ejemplo la transformada de laplace más sencilla que es la transformada de uno en este caso nuestra función dt es uno una función constante sustituimos entonces aquí en la definición aquí va a ser un 1 el 1 no hace falta escribirlo así que simplemente etc y hay que integrar entonces está exponencial esta experiencia es muy sencilla como dijimos - s es una constante así que para integrar esta exponencial lo que podemos hacer es completar la derivada que es menos s y sacar de la integral menos 1 sobre s así que nos va a quedar
menos 1 sobre s de ea la menos cst y hay que evaluar de 0 a infinito esta integral ya no la hice paso a paso porque es una integral muy sencilla si ustedes tienen problemas con integrales los invito a que miren mi curso de integrales que ya subí anteriormente a mi canal pueden encontrar el enlace a la lista completa en la descripción bueno ya que tenemos entonces el resultado de la integral hay que evaluar de 0 a infinito como dijimos infinito no es un número por lo que no se debe sustituir ente lo que vamos
a hacer en cambio es tomar el límite cuando te tiende a infinito fíjense que es cuando te tiende a infinito y no cuando ese tiende a infinito porque la variable con la que estamos integrando aquí este y por lo tanto los límites se van a sustituir en t por eso tiene que ser límite cuando te tiende a infinito de 1 sobre ese de 7 fíjense que este menos que teníamos aquí lo saque del límite y luego eso va a ser menos esta función evaluada en el cero pero esta función ya tiene aquí un menos así
que ese menos por este menos nos va a quedar este más y entonces queda uno sobre ese de ea la menos ese ente sustituimos el cero o sea que aquí ponemos un cero aquí podemos hacer algunas simplificaciones para empezar uno sobre ese es una constante dentro de este límite así que podemos sacarla del límite y aquí podemos multiplicar ese por cero que es cero a la 0 es uno así que simplemente nos queda 1 sobre s nos va a quedar entonces menos el 1 sobre ese que sacamos del límite y nos queda el límite cuando
te tiende a infinito de al menos 7 y aquí está exponencial como dijimos vale 1 así que ya no la escribimos y nos queda simplemente + 1 sobre s ahora hay que calcular este límite de aquí bueno este límite dependerá del valor de ese tenemos tres casos posibles aquí tenemos un resultado de cálculo diferencial de cálculo de límites que nos dice esto de aquí el límite cuando x tiende a infinito de la exponencial beca por x es igual y tenemos tres posibilidades vale cero si k es un número negativo vale unos y cabal es cero
y vale infinito si k es mayor que cero bueno esto de que valga infinito realmente se refiere a que el límite no existe o sea el límite divergen nosotros queremos tomar la transformada de la plaza de tal manera que esta integral impropia nos dé un valor numérico o sea que no nos quede infinito entonces no queremos el tercer caso queremos uno de estos dos entonces si acá es igual a cero en nuestro caso fíjense que acá es menos s eso significaría que menos s vale cero o sea que ese vale cero pero ese no puede
valer cero porque aquí tenemos unas divisiones entre ese y tendríamos entonces divisiones entre cero que no existen de hecho fíjense que si ese valiera cero desde aquí desde el principio aquí al valer ese cero quedaría a la cero que es uno por lo que tendríamos simplemente la integral de dt que éste y cuando calcularemos el límite cuando te tiende a infinito dt eso es infinito entonces la integral divergen así que este segundo caso no puede ser el único caso posible es el de arriba el único caso que nosotros queremos que es que este límite valga
cero entonces este límite va a valer cero por lo que lo podemos quitar siempre y cuando k sea menor que cero pero como dijimos en nuestro caso que es menos s así que nuestro caso es el límite vale cero si menos ese es menor que cero bueno entonces este límite como vale 0 ya lo quitamos y nos queda simplemente el 1 sobre s por lo tanto la transformada de la clase 1 es 1 sobre ese y eso es solamente así si s es mayor que 0 bueno esto es equivalente a esto de aquí porque fíjense
que este menos s podríamos pasarlo al lado derecho como más s y entonces quedaría 0 menor que s por lo que es lo mismo es mayor que 0 bueno esto de aquí es el dominio de la transformada de la plaza eso quiere decir que la transformada de la plaza de la función 1 es igual a 1 sobre s solamente si s es mayor que 0 ese dominio de la transformada de la plaza es importante escribirlo si nosotros queremos ser muy formales matemáticamente pero en ecuaciones diferenciales realmente no va a ser necesario estar considerando el dominio
de la transformada de la plaza lo único que nos va a interesar es esta parte de aquí la transformada como tal la expresión no nos va a interesar tanto el dominio así que generalmente no vamos a escribir el dominio de la transformada de la plaza bueno entonces ya obtuvimos aquí el resultado más sencillo hay otra transformada que podemos calcular de una manera muy sencilla a partir directamente de la definición esa es la transformada de la plaza de una exponencial de este tipo elevado a a de donde a es un número una constante los invito a
que ustedes intenten calcular la transformada de la plaza de la atp a partir de la definición lo único que tienen que hacer es calcular la integral de una exponencial y evaluar los límites con la propiedad que les acabo de dar del límite de un exponencial y es todo entonces los invito a que ustedes intenten calcular esta transformada de la plaza y ya en el siguiente vídeo les muestro el procedimiento completo para que verifiquen su respuesta si les gustó este vídeo apoyen me regalándome un like suscriban a mi canal y compartan mis vídeos y recuerden que
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