Derivada: Coeficientes da Reta (Aula 1)

olá pessoal tudo bem vamos começar agora um curso completo sobre derivadas e nessa primeira aula pessoal veremos os coeficientes de uma reta já que esse conhecimento é muito importante para que você entenda bem o restante das aulas aí sobre derivada beleza aí assim pessoal se você gostou do vídeo clique em curtir e principalmente pessoal divulgue compartilhe esse trabalho já que ele é totalmente gratuito e além de ajudar você pode ajudar aí muitos outros alunos beleza não começar tão bem comigo aqui então pessoal primeiramente vamos começar aqui com os coeficientes da reta feito quais são os

coeficientes da reta primeiramente vamos começar aqui com o coeficiente angular olha só o que diz aqui ó seja a e b dois pontos distintos do plano cartesiano tá então os pontos a e b estão aqui com as suas coordenadas da então continua assim ó então o coeficiente era só o coeficiente angular que normalmente pessoal representado pela letra m tá do segmento de reta a b é dado por que nós temos aqui em baixo a forma dele então o pessoal aqui no plano cartesiano vamos imaginar há aqui dois pontos vamos colocar aqui ó o ponto a

ok esse ponto a ele possui abcissa x aa e possui ordenado ou seja o valor do y vamos chamar aqui ó y do ponto a tudo bem vamos colocar por exemplo aqui assim a um ponto b por exemplo aqui assim está o ponto b esse ponto bm ele possui abcissa ou seja valor do x b por sue a sua ordenar ou seja y b tem a ele falou o seguinte ó o segmento de reta ab vamos colocar aqui um segmento de reta que vai do ponto a até o ponto b que nós temos aqui pessoal

o coeficiente angular ele está diretamente relacionado com a inclinação de uma reta ou com inclinação de um segmento de reta mas o que vem a ser a ele pessoal coeficiente angular é a variação na vertical ou seja no eixo y e pela variação horizontal ou seja no eixo x em uma determinada reta ou em um determinado segmento então o pessoal se eu completar por exemplo esse segmento de reta e formando aqui ó um triângulo retângulo tudo bem o que nós temos na vertical aqui ó é a variação no eixo y e segmento de reta então

essa variação que no eixo y eu posso representar por exemplo por delta y enquanto que a variação no eixo x eu posso representar por delta x tudo bem mas o que vem a ser a variação delta y pessoal avaliação delta y seria o que seria todo esse comprimento que vai daqui de cima até lá embaixo - esse comprimento aqui ou seja pessoal seria todo o yb tudo bem - o valor aqui ó y ea aí nós ficaremos apenas como delta y ou seja nós vamos ter então o yb - o y ha representando avaliação na

vertical beleza agora em relação à avaliação na horizontal aqui o delta x a idéia é a mesma ou ser será o x do b tudo isso aqui ó né - esse comprimento que o x doha então vamos lá vamos escrever aqui ó é o x do b - o x do a beleza então pessoal vamos colocar aqui ó que o coeficiente angular eu vou representar com a letra m tá mas você pode representar por outras letras alguns livros colocam com a letra a mas vou colocar letra m e esse coeficiente angular pessoal é então o

que a variação na vertical que seria o delta y pela variação na horizontal que seria o delta x substituindo nós vamos ter o que o yb - o y a dividido pelo x b - o x a ok aí pessoal no plano cartesiano uma reta pode aparecer de diferentes maneiras por exemplo ela pode estar ali ó na horizontal ela pode estar colocada na vertical ela pode ser uma reta que é crescente e também pode ser uma reta que é decrescente beleza que nos interessa aqui é o seguinte ó quando a regra for crescente o coeficiente

angular preste atenção será sempre um valor positivo ou seja maior do que zero quando a reta no plano cartesiano ela for decrescente o seu coeficiente angular será um valor negativo ou seja menor quiser vamos ver isso aqui vem comigo aqui ó então pessoal no plano cartesiano como nós vimos a reta ela pode ser o que ela pode ser uma reta que é crescente vamos escrever aqui o escrevi em crescente ou pode ser uma reta decrescente vamos analisar primeiramente essas duas situações olha só quando a reta ela for crescente pessoal nosso coeficiente angular será um valor

positivo ou seja maior do que zero agora por sua vez se a regra for decrescente no plano cartesiano o seu coeficiente angular será negativo ou seja menor a 0 agora o pessoal se a reta estiver na horizontal nós temos uma reta que não é nem crescente e nem decrescente ou seja o seu coeficiente angular ele não é nem positivo e negativo ou seja o coeficiente angular de uma reta que está na horizontal ou seja paralelo o eixo x o seu coeficiente angular é exatamente igual a zero tudo bem ora por sua vez pessoal uma reta

e esteja localizada paralela ao eixo y ou seja na vertical olha só por exemplo aqueles dois pontos ali que acontece na avaliação de y naqueles dois pontos ali nós temos toda aquela avaliação ali tudo bem agora o que acontece em relação à variação de x pessoal avaliação de x ali ela não muda ou seja o x de 1 - o x do outro seja a pista de um ponto menos a vista do outro ponto é que daí a 0 pessoal o delta x está no denominador na fórmula 1 e 10 no denominador pessoas não poderemos

ter ou ser o que acontece coeficiente angular em uma reta vertical pessoal ele não existe a gente não irá considerar ele a beleza vem comigo aqui agora pessoal em relação aqui a tangente desse ângulo teta pessoal está dizendo que a tangente do ano tenta é exatamente igual ao coeficiente angular primeiramente vamos localizar ali o que vem a ser esse ano tenta pessoal no tenta é esse ano eu estou colocando aqui assim até pessoal se nós prolongarmos essa reta e tanto aqui pra cima pra baixo como pra cima nós vamos ter o seguinte essa regra está

está cruzando aqui ó o eixo x e o ano o tetra ele encaixa exatamente aqui tá então o ângulo teta nada mais é do que o ângulo formado pelo eixo x que é o eixo das artistas com a reta em questão ok agora pessoal e para o seguinte ó nesse triângulo retângulo aqui ó nós se nós fizermos aqui à tangente do ano teta olha só nós vamos ter uma tangente do ângulo teta que que é mesmo é o cateto o posto nesse caso é o delta y tudo bem dividido pelo cateto que é adjacente ao

ano ou seja o delta x vamos colocar aqui ó o delta x o delta y sobre o delta x como nós vimos aqui pessoal nada mais é do que o nosso coeficiente no lar então por isso que a tangente do ângulo teta também é exatamente o valor do coeficiente angular ok certo pessoal conseguiu entender bem o que significa o coeficiente angular vamos fazer agora um exemplo pra você pegar bem a situação e para você aprender como é que nós podemos calcular ali rapidamente o coeficiente angular de uma reta beleza vem comigo aqui então desce comigo

aqui ó e vamos fazer esse exemplo que diz o seguinte olha só determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos nós temos aqui os pontos a e b tudo bem então pessoal como nós vimos o coeficiente angular nada mais é do que a variação no eixo y dividido pela variação no eixo x beleza a variação no eixo y seria por exemplo que nós podemos pegar aqui ó y a menos o yb dividido aí pessoal olha só eu comecei com aqui ó eu tenho que colocar aqui em baixo o ato também então seu x

doha - o x do b pessoal tanto faz se você fizer y a menos yb o fizerem yb - o y mar agora o cuidado que você tem que tomar é o seguinte nós começamos lá em cima e luar fizemos então y a menos o y dengue no denominador nós devemos começar com a ou seja x a menos o x b do inter seguinte olha só o y ha seria esse um - o yb que nós temos é o quatro então 1 - 14 dividido o x do ponto a ao menos 12 - o x

do ponto b que é o 3 nós vamos ficar com o seguinte ou menos 14 aqui nós vamos ter menos 13 dividido - dois com menos três nós teremos o menos 5 ea divisão entre dois números negativos pessoal fica um valor positivo nesse caso três quintos toque pessoal então esse três quintos aqui ó é o nosso coeficiente angular da reta que passa os pontos a e b então pessoal nesse caso e chegamos a um coeficiente angular que é um valor positivo ou seja a reta que passa pelos pontos a e b é uma reta crescente

ok vem comigo aqui então o pessoal se nós colocarmos aqui ó um plano cartesiano mais ou menos assim nós vamos ter aqui o eixo y que elas ordenadas e aqui o eixo x que é o eixo das axilas tudo bem colocando os pontos aqui ó o ponto a que tem menos dois para a dar ao x e um para o y então menos dois para o x mais ou menos aqui assim e um para o y mais ou menos aqui então nós temos mais ou menos aqui assim nosso ponto a ao ponto b têm três

para o x e quatro para o y 3 para o x mais ou menos assim e quatro para o y mais ou menos aqui então o pessoal aqui nós vamos ter então o ponto b então dessa forma nós temos a reta ó que passa pelo hai pelo b uma reta crescente com o coeficiente angular 3 500 pessoas nos colocarmos aqui um triângulo retângulo como nós fizemos anteriormente o que acontece se o coeficiente angular aqui ele é três quintos ele significa o seguinte ó que a variação aqui na vertical foi três unidades enquanto que a variação

aqui na horizontal foi de 5 unidades então para que nós possamos subir aqui há três unidades nessa reta mas devemos caminhar aqui ó cinco unidades na horizontal beleza beleza então pessoal vamos seguir agora na aula e vamos ver equação da reta formada pelo seu ponto e pelo seu coeficiente angular ok vem comigo aqui então pessoal vamos ver agora a equação ponto coeficiente angular como assim ferreto olha só a equação da reta que passa pelo ponto olha só nós temos aqui um ponto conhecido que eu tenho estou chamando aqui com coordenadas x 0 y 0 tá

e possui coeficiente angular m ou seja nós sabemos também o seu coeficiente regular essa equação da reta pessoal é dada por essa fórmula o que está aqui então pessoal em um plano cartesiano quando nós tivermos um ponto bem definido ou seja nós soubermos ali as coordenadas dele como nós estamos vendo aí que acontece por esse ponto aí pessoal está passando uma infinidade de retas beleza cada uma das retas ainda possui um coeficiente angular diferente agora pessoal se nós soubermos exatamente o coeficiente angular da reta que nós queremos determinar o que acontece nós temos exatamente então

uma única reta que passa por esse ponto e possui o coeficiente angular de nós sabemos beleza então o pessoal se nós tivermos o valor do coeficiente angular e se nós tivermos as coordenadas de um ponto nós pegaremos então esses valores e substituiremos nessa fórmula que está aí e nós teremos aí sim a equação de uma reta beleza até pessoal tem uma sede para nós memorizar mos essa fórmula e como é uma série feita só piorou me show beleza vem comigo aqui então o pessoal se nós tivermos aqui ó as coordenadas de um ponto nós iremos

substituir as coordenadas nesse ponto aqui ó tudo bem e se nós tivermos o coeficiente angular da reta que passa por esse ponto nós iremos substituir aqui e aí nós teremos a fórmula da equação da reta ou seja a equação da reta está determinada a beleza pessoal desce comigo aqui ó e vamos fazer um exemplo acerca dessa situação que está aí olha só dia seguinte escreva uma equação da reta que passa pelo ponto ela só nós temos aqui as coordenadas do ponto com inclinação menos três meios pessoa só olha a palavra inclinação aqui ó inclinação pessoal

é a mesma coisa que o coeficiente angular beleza então pessoal substitui na forma vamos colocar aqui ó ioiô olha só eu é igual à ami substituindo nós vamos ter o seguinte ó y - o y do ponto que nesse caso é o 2 é igual ao mpe nesse caso é o menos três meios que multiplicou x - o x do ponto que estava lendo o 3 a ipê soal esse dois aqui está dividindo ele vai para a esquerda lhe multiplicando esse y - dois e nós teremos o seguinte 2 que multiplica o y ficaremos com

dois chips on 2 que multiplicam - 2 - o quatro é igual agora esse três aqui esse - três na verdade está multiplicando se parentes ou seja nós faremos aqui a propriedade distributiva que é o famoso chuveirinho são menos três vezes o x - xx e menos três vezes menos três ficaremos com mais nove ok vamos arrumar um pouco essa equação aí ó passando esse - 3 x para o lado esquerdo e vai passar positivo e esse 9 também passando para o lado esquerdo e passa negativo então nós ficaremos o seguinte ó 2 e y

com mais o 3 x agora se menos 4 está recebendo o menos 9 nós ficamos com menos o treze isso aqui é igual a zero e só então nós temos aí a equação da reta que passa por aquele ponto e possui coeficiente angular igual a menos três meios beleza é só uma coisa bem interessante aqui ó essa reta está num formato conhecido como formato geral ou seja o que nós temos aí é a equação geral de uma reta beleza vem comigo aqui ó então aqui e vamos escrever nós temos o formato da equação geral da

reta tudo bem existe o mal um outro formato para a equação da reta existe olha só se nós isolamos o y olha só o que irá acontecer aqui nós vamos ter então o 2 0 vamos passar esse 3 x pro lado direito ficará com menos o 3 x passando - 13 pelo lado direito nós vamos ficar com mais o 13 tudo bem agora dois está multiplicando 10 dividindo vamos ter o y é igual vamos copiar aqui ao menos 3 x mais o treze agora tudo dividido por dois ou simplesmente pessoal a gente dividir por dois

aqui e dividir por dois aqui ok pessoal se nós pegarmos a equação da reta isolarmos o y como está acontecendo aí nós temos aí sim o formato da equação reduzida da reta pessoal formado equação reduzida tem exatamente esse formato aí ó y é igual a mx mais o iene só esse m está aí é exatamente o coeficiente lar olha só nós temos ali ou menos três meios que é exatamente o coeficiente angular que foi fornecido lá no começo na questão beleza e aquele outro valor que está sozinho ali ou seja o termo independente na equação

reduzida aquele valor é o coeficiente linear da reta rock vem comigo aqui então o pessoal que nós temos aqui ó é o formato da equação da reta na forma reduzir então a equação reduzida da reta a equação reduzida reta a gente consegue sempre quando nós isolamos aqui ó o y o que acontece pessoal o seguinte ó a equação reduzida da reta ela sempre terá esse formato aqui ó y é igual o mx mais um certo valor m tudo bem o seguinte ó o emmy é o coeficiente angular que nós colocamos exatamente multiplicando x que o

coeficiente linear é o m que eu estou representando aqui então me colocar aqui ó isso aqui é o nosso coeficiente o que o eficiente line' tudo bem se eu for por exemplo colocar a equação dessa reta no plano cartesiano olha nós vamos ter aqui o eixo das bicicletas e aqui o eixo das ordenadas olha só nós temos o ponto que a reta passa está passando no ponto 1 coordenadas 3 e 2 vamos colocar por exemplo aqui assim o 3 e vamos colocar aqui o y igual a 2 então nós temos mais ou menos aqui assim

é o ponto aonde a reta passa como nós temos aqui é um coeficiente angular negativo o que nós temos é uma reta decrescente pessoal na reta de crescente passando pelo ponto pê estaria vamos supor localizado dessa maneira tudo bem feito já que está o ângulo teto em questão ó está aqui assim é o ângulo teta tudo bem repare que sendo o teto aqui ele é sempre tirada no sentido que no sentido anti-horário tá então a onu formado pela reta e pelo eixo sabe-se salas no sentido anti-horário e nós temos então que a tangente desse angu

teta ela vale aqui ó menos três meios beleza uma reta decrescente ferreto agora em relação à que é o coeficiente linear esse 13 mail pessoal é exatamente o valor aqui ó aonde a reta cruzou e das ordenadas ou seja o eixo y então esse valor aqui ó nesse exemplo ele vale 13 meios rock então o pessoal olha quanta informação que nós revisamos apenas em um único exemplo agora para finalizarmos aula e com chave de ouro vamos fazer mais um exemplo aí pra você ficar bem crack em relação aos coeficientes de uma reta rock vem comigo

aqui então o pessoal olha esse exemplo aqui ó escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos nós temos aqui então dois pontos tudo bem o pessoal que nós podemos fazer nós temos dois pontos aqui ó primeiramente é determinar o valor do coeficiente angular e como nós vimos é avaliação na vertical dividido pela variação na horizontal beleza o delta y pessoal olha só vamos pegar primeiramente o y desse ponto e subtrair pelo y desse ponto ou seja o menos 2 - esse 3 que está aqui beleza dividido agora pessoal vamos pegar o x desse

ponto aqui ó que ao menos três - o x do outro ponto que é o 4 nesse caso teremos menos dois com -3 ficaremos com menos 15 dividido - três com menos 4 ficaremos com menos os 7 divisão de dois números negativos fica positivo nesse caso 57 então pessoal agora preste bastante atenção tá nós descobrimos ali o coeficiente ano da reta nesse caso é um coeficiente no ar positivo sendo então uma reta crescente e essa reta pessoal passa por aqueles dois pontos ali que nós vamos fazer vamos pegar esse coeficiente angular e vamos pegar as

coordenadas de um daqueles pontos ali tá e substituir na fórmula e oi o lixou aí pessoal que nós teremos nós teremos a equação da reta que passa por esses dois pontos aí beleza vem comigo aqui ó então pessoal na fórmula 1 e eu ia chover vamos colocar aqui ó beleza que nós vamos fazer a no lugar aqui ó do x 0 e do y10 nós vamos colocar então as coordenadas de um desses dois pontos vamos escolher por exemplo esse ponto aqui ó coisas positivas fica mais fácil né enquanto que o coeficiente angular e ele está

aqui ó nós vamos substituir pelo valor 57 anos ok então pessoal apenas substituir nós vamos ter o seguinte y - o y do ponto que nesse caso é o 3 isso aqui é igual ao emmy nós vamos colocar aqui os cinco sétimos que multiplica o x - o x do ponto que esse caso vale 4 poderia pegar um outro ponto também sem problema algum tá esse 7 está dividindo pessoal ele irá passar multiplicando então nós teremos aqui ó sete vezes o y 7 y sete vezes menos três ficamos com menos o 21 isso aqui é

igual agora esse 5 ac a fará a propriedade distributiva e nós teremos então o seguinte ó talvez o x 5 x e cinco vezes - 4 - o 20 pessoal nesse caso aqui ó se eu passar por exemplo tudo para o lado esquerdo nós teremos sete y - os 5 x 1 - 1 e goze é nós teremos aqui ó o formato da equação que da equação geral da reta bem agora por sua vez só se nós isolamos o y nós ficaremos com o seguinte ó nós ficaremos com 5x vamos passar esse - um popular

de lá fica mais um agora s7 divertindo ó poderemos colocar aqui é dividindo 5 e dividindo aqui e nesse caso então nós teremos a equação reduzida da reta então pessoal nessa equação reduzida e apenas na equação reduzida nós temos ali os dois coreys semdes beleza aquele primeiro coeficiente é o coeficiente angular que é exatamente coeficiente angular que nós calculamos lá em cima beleza e aquele valor 17 maria representa o coeficiente linear que é exatamente onde a reta cruza o eixo que o eixo y beleza vem comigo aqui então o pessoal se nós colocarmos essa reta

por exemplo nesse plano cartesiano aqui nós temos aqui o eixo x o eixo y nós temos uma reta que é uma reta crescente porque nós temos o coeficiente angular positivo tudo bem então mais ou menos assim tudo bem o que acontece ela está cruzando o eixo y ali num sétimo que é o nosso coeficiente linear então esse ponto aqui ó é o ponto que vale um sétimo para o y beleza e outra coisa é pessoal o ângulo aqui no caso no teta aqui e nós sabemos então que a tangente o teto nesse caso vale cinco

sétimos que é o coeficiente angular ok certo então pessoal chegamos ao final dessa primeira aula que é uma aula muito importante uma aula introdutória para as aulas seguintes que viram aí a ser clarificada beleza espero que você tenha gostado bastante da aula se você gostou clique em curtir tá pessoal continue os estudos que muita força e tá um abração agora vocês nas próximas aulas e até mais