Grings - Teorema de Stokes

bom então vamos hoje pessoal nós vamos abordar o teorema de stes Teorema dos toes né reside em transformar uma integral de linha numa integral dupla ou vice-versa dupla se transforma integral de linha eu tenho aqui a função Dr rotacional DS integral sobre uma superfície s e aqui integral sobre uma curva essa rotacional aqui que vocês estão vendo eu já coloquei aqui como se obtém essa Matriz essa essa estrutura aqui é montada para nós determinar o rotacional então vocês copiam isso aqui numa folha ó i JK derivada em relação a x derivada em relação a y

derivada em relação a z eu já vou fazer e o pqr é a nossa função f aqui ó que vai ter a parte p a componente q e r e elas vão exatamente nesse lugar aqui aí nós calculamos o rotacional como tivesse calculando uma matriz aqui eu fiz o desenho né da de uma superfície a curvinha aqui no chão seria a parte de cá a integral sobre essa curva aqui fdr então seria essa parte aqui e a superfície seria toda esse inloco aqui e seria essa parte aqui então então quando eu integrar sobre a curva

eu faço sobre a curva tá aqui quando for sobre a superfície a superfície aí eu vou ter que me virar para dar as limitações né também essa curvinha aqui ó vocês vem que tá girando aqui nesse sentido então pela regrinha da mão direita e aqui tá ela os dedinhos vão no no sentido aqui do da direção aqui né e o Polegar vai dar aqui um vetor normal está perpendicular lá de cá então ele vai te dar o sentido do vetor normal a regra da mão direita bom esse rotacional Vocês já viram eu dei aqui em

cima e o DS para vocês se lembrarem né DS é o qu é o ru versus ru u versus r v derivada em relação a u derivada em relação a v d DV então isso aqui que vocês estão vendo né é o DS como se obtém bom feito isso acho que tá apresentado né vai ser dado esse função é esse vetor esse vetor essa função vetorial f a gente coloca ela aqui integra sobre a curva E se for do lado de cá a gente integra sobre a superfície toda essa superfície aí as limitações aqui vão

ser em relação à superfície Vamos fazer um exercício para entender a aplicação disto Verifica o teorema de esto para o campo vetorial F dado abaixo aqui 2 Z 3x + 5y considerando a superfície do paraboloide representada abaixo É esse aqui com z iG 0 aqui tá o paraboloide já desenhado fiz ele aqui né já conhecido para o qual a orientação é para cima a orientação é para cima e c é o círculo dado abaixo esse círculo aqui x qu + Y qu C essa curva aqui então então aqui tá a curva c e a superfície

S Então temos aqui né E aí nós temos que fazer isso aqui forma uma fronteira com plano XY Então aqui tem uma fronteira quer dizer um limite aqui XY isso aqui é a curva né a curvinha esta aqui que é dada por essa lei aqui e essa superfície tá dada por esse parabol aqui essas equações aqui Z mai igual a 0 aqui então ele é daqui para cima aí nós temos que calcular né verificar o teorema de stock que que quer dizer isso quer dizer que eu tenho que fazer dos dois lados Já coloquei aqui

né então eu vou ter que fazer ao longo da curvinha aqui desse lado de cá aí e depois ao longo da superfície e aí será o outro lado da igualdade Então vamos lá vamos fazer primeiro a integral de linha e depois a integral dupla então Primeiro começando com essa integral de linha vou fazer ao longo dessa curva aqui eu já passei a limpo só o que interessa aqui pessoal a curvinha aqui ó uma circunferência nessa curvinha dada por essa equação isso aí o que a gente pode fazer vamos parametrizar como é círculo né Vamos parametrizar

com coordenadas polares onde x iG 2 que é o raio cossen t e o y é 2 sen T sabendo que faz toda uma volta aqui então o t ele varia de 0 a 2 pi então o nosso vetor aqui já tá parametrizado a nossa curvinha tá parametrizada R de T tem só um parâmetro aqui é integral de linha vai ser cosseno T Vírgula 2 cosseno T 2 seno T vírgula e z0 zero pro k que não tem nós temos que depois de parametrizar derivar tá escrito aqui derivada d r derivada de cosseno é -2

seno T vírgula derivada de seno e cosseno 2 cossen t derivada de zer é z0 DT já temos isso aqui a função f eu vou ter que substituir no z aqui o valor zer no x eu vou botar então vou colocar lá dentro para depois trazer para cá então vai ficar se eu colocar né vou tentar fazer aqui embaixo f vamos fazer junto 2z Z é 0 ó 2 x 0 é 0 pronto o z Que bom 3 x x 3 x 2 6 cen T Então 6 cossen T vírgula 5 x y y é

seno então 5 x 2 10 seno T E aí feito isso na nossa curvinha é de 0 a 2 pi curvinha aqui as limitações o f eu já fiz aqui a substituição e o Dr tá aqui só colar as figurinha no lugar certo então colocando a integral de 0 a 2 pi de F que é 06 cossen T vírgula 10 sen T vezes Dr tá aqui - 2 sen T vul 2 cossen t e 0 DT produto escalar é multiplicar o X com X o y aquela história toda então integral de 0 a 2 pi

0 vezes o primeiro dá 0 que bom mais 6 cossen x 2 cossen dá 12 C qu 10 sen x 0 0 DT resolvendo essa integral o 12 é constante pode ficar para fora então vai ficar 12 integral de 0 a 2 PI cosseno quadr T DT O problema é que cosseno quadrado de T tem uma formazin trigonométrica diz cosseno Quad T é 1 + cossen 2T é bom vocês fazer um formulário com isso aqui e colocar isso num formulário seguidamente a gente tá usando então uma outra folhinha aqui passando a limpo né 12 integral

0 2 pi então substitui o cosseno quadado por isso 1 + cossen 2T sobre 2dt esse 2 vem para fora e aí ele fica dividindo o 12 né então vai ficar 12 sobre 2 integral de 0 2 PI 1+ cosseno de 2T DT vai dar 6 aqui na frente 6 integral de 0 2 pi1 DT + 6 integral de cosseno de 2T DT esse aqui é a regrinha da cadeia né integral de cosseno que regrinha da cadeia método da substituição Du às vezes eu falo errado tem que me concentrar mais é seno de U mais

constante sendo que o u é 2T Du é 2dt e passa dividindo Du so 2 = DT feito isso eu posso pegar isso aqui é de 0 a 2 pi e tirando esse vou fazer só essa parte aqui ó fazer nesse cantinho aqui vai dar integral de 0 a 2 pi cosseno u du sobre 2 o 2T eu botei u e o DT eu botei Du so 2 por isso o método da substituição passa pra frente 1/2 integral de 0 a 2 PI cosseno u duu ora aí fica integral de cosseno duu é seno 1/2

seno 1/2 seno de 2 de de de u de 0 a 2 pi ficou assim né integral de cosseno é C de U só que o u agora volta a ser 2T porque eu tenho que fazer a substituição então 1/2 seno de 2T 0 a 2 pi 1 so 2 seno de 4 PI seno de 0 substitui aqui dentro sen de 4 PI é 0 também é zer então isso aqui tudo deu zero logo isso aqui aqui vai dar 6 x 0 isso aqui some só ficamos com 6 integral de DT 0 2 PI só

que a integral de DT t 6t 0 2p 6 2 pi - 0 12 pi tá aí fizemos de um jeito agora vamos provar o teorema de est fazendo pelo outro lado da Igualdade bom Cá estamos né pessoal fizemos esse lado de cá agora vamos fazer do outro lado usando rotacional e usando essa superfície que vai dar as limitações primeiro já vou começar achando esse rotacional o rotacional tá aqui a formulazioni dado aqui foi dado aqui com i j e k eu tirei o i j que vai escrev desse outro jeito e aí o p

aqui esse aqui é o p Esse é o q e esse é o r então rotacional da de F vai ser o i o j o k isso aqui é o símbolo de derivação só escreve deriv em relação a x derivada em relação a y derivada em relação a z e escreve o PQ 2z 2z 3 x 5 Y I repete o i e o J derivada em relação a x derivada em relação a y 2z e 3x Faz aquela multiplicação né mas a gente não multiplica a gente executa a derivada assim assim e assim

vamos fazer junto aqui pessoal que que a gente tem que pensar derivada em relação a y de 5y ol derivada de 5y é 5 x 1 Então vai dar 5 I Então esse aqui deu 5i mais derivada em relação a z de 2z derivada de 2z é 2 xes j então 2 j mais derivada em relação a x de 3x é 3 x k 3 k tem que fazer agora o contrário que que é o contrário nesse sentido aqui nesse sentido aqui derivada nesse sentido e aí parece que vai me facilitar a vida porque ó

derivada em relação a y de 2z ó derivada em relação a y 2z z0 derivada em relação a z de 3x a 3x não tem Z é 0 e derivada em relação a x de 5y é 0 isso aqui tudo anulou então eu teria que fazer isto menos o zero ah zero não precisa fazer então rotacional de F Vai ser 5i 2j + 3 k Esse é o rotacional Então já achamos o rotacional o DS o que que é o ds ds é r u versus RV dud DV vou ter aqui meio apertadinho né só

que eu vou fazer o seguinte eu tenho que achar o r então eu ten que achar o vetor posição né para localizar a superfície para mim parametrizar essa superfície eu vou chamar x eu não vou chamar de U eu vou chamar x de x mesmo eu usar eu vou usar como parâmetro próprio x e o y eu vou usar como parâmetro Y só para você ver que também pode ser feito então não é u e v eu vou usar x e y e logo o z vai ficar como tá 4 - x qu - Y

qu então o nosso vetor agora x y eu usei como parâmetro o próprio x e y vai ser x x e yj + 4 - x qu - Y qu k posso escrever daquele jeito mais preferencial tirando o i bota só x v y 4 - x Y qu eu tenho que derivar agora em relação a u mas não é u é x então tenho que achar a derivada de porque eu tenho que fazer ru RX versus r y eu tenho que fazer ou r y versus e o que que tem que ser o vetor

tem que tá saindo aqui foi que disse enunciado logo eu vou ter que derivar na ordem R derivada em relação a X versus o derivada em relação a X versus produto vetorial derivada em relação a y porque os dedinhos tem que est nesse sentido para que o Polegar faça sair para cima aqui tá a minha mãozinha né que que diz a regra da mão direita Os Dedinhos tem que tá apontando nesse sentido X para Y para que o Polegar indique o vetor normal saindo como no enunciado do exercício foi exigido bom sabendo Então essa que

é esse sentido então agora continuando né eu vou ter que achar realmente X versus Y Então vamos achar derivada em relação a x Vai ser 1 0 - 2x e derivada em relação a y vai ser 0 1 e - 2Y fazendo o produto RX verus ry vai dar i j k substitui por 0 - 2x 0 - 2Y aqui i 1 e 0 j0 e 1 Faz aquela multiplicação que a gente já tá acostumado nesse sentido e depois nesse sentido Então tem que multiplicar assim né bom após fazer foi que eu achei esse lado

de cá deu - 2xi - 2 yj e aqui só k este menos esse então RX verus ry nesse sentido k - -2x i - 2 yj este menos troca o sinal menos com - 2 xi menos com Men + 2 yj e o k mais k o vetor então eu prefiro escrever daquele outro jeito versus ry 2x 2Y 1 Então tá aí o produto né este vetor aqui normal porque eu estou precisando dele aonde eu vou precisar dele aqui que eu vou aqui já tá o rotacional eu vou precisar dele nessa parte aqui pessoal

DS e RX verus ry DX dy nessa parte aqui e o que eu achei lá tá aqui então fica DS igual RX ficaria 2x [Música] y1 DX dy Geralmente eu chamo de u e v mas dessa vez eu resolvi deixar assim então a nossa integral integral sobre a superfície s é o rotacional 5,23 escalar 2x 2Y e 1 x d y podemos fazer agora o produto este vezes este este vezes este então fica integral é a superfície S que tá em função do X e do Y 10x + 4y + 3 DX d y vamos

ver agora a superfície s a nossa região né as limitações pessoal já fiz a região aqui o nosso paraboloide boca para baixo e eu tô notando aqui que essa superfície aqui S essa aqui eu poderia enxergar que ela tem um comportamento circular E aí coordenadas polares tem um raio aqui ó que vai mudando até chegar a zero então ele sai de 2 e chega a zero lá em cima então eu posso botar tirar do X e do Y e colocar em função de do raio e do ângulo então o raio aqui é maior igual a

z0 menor igual a 2 Opa raio maior igual a 0 menor iG 2 aqui 2 é o maior valor zer aqui em cima vários círculos vão fechando aqui ó até chegar a raio zero e o ângulo sai daqui do zero e faz toda uma volta do Pi então eu vou chamar ângulo teta 0 2 pi Essa é a superfície vai ficar agora em função do raio e do ângulo então eu tô transformando em coordenadas polares mas eu tô transformando em coordenadas polares uma integral tem que fazer as conversões aí nós temos que o x aqui

X é R cosseno de teta o y r seno teta e o DX di Y DxD Y é R D RD Tet se eu quiser transformar já a integral aí eu tenho que botar esse rdr eu acho que é só o que eu preciso existe também essa informação que x qu + Y qu iG raio a quadr mais essa não vou precisar Então vamos botar os limites era 2 pi agora os parâmetros vão ser ângulo e raio a 2 pi integral de 0 a 2 10 x r cosseno teta substituindo dentro do X e dentro

do Y + 4r Sen t+ 3 e aqui drdr D teta RD RD teta bom o que que eu posso fazer agora tem que fazer separar essas integrais e resolver elas esse d t eu até posso passar aqui paraa frente ficaria integral de 0 a 2 pi o d teta junto com as limitações dele esperando a vez dele de 0 a 2 R cosseno teta + 4r sen Tet + 3 RD r o d t eu já tirei daqui botei lá na frente eu posso pegar esse R juntar integral de 0 a 2 pi D

Tet F integral de 10 R2 cosseno teta + 4 R2 sen teta + 3rd R Pronto agora eu vou ter que separar então separando aqui integral de 0 a 2 pi D Tet vou fazer em relação a r Isso aqui vai ficar em relação a r vai ficar 10 R3 so 3 cosseno teta + 4 R3 so 3 seno teta não esqueça que o teta é constante + 3 R2 so 2 de 0 a 2 aqui de 0 a 2 os limites substitui primeiro o 2 e depois o zero mas pessoal eu acho que essa

integral dupla foi mais difícil que aquela de linha tô arrependido foi muito mais trabalhoso esse outro lado da Igualdade vocês vejam bem o que que eu já tô fazendo a de linha Parece que foi bem mais acessível na resolução 10 2 cubo so 3 cossen Tet + 4 2 cu so 3 sen T + 3 2 qu so 2 e bota zero dentro do R vai dar zer Então esse já me facilitou a vida Pelo menos isso fazendo aqui integral de 0 a 2 pi D Tet 10 c da 8 dá 10 então aqui vai

dar 10 8 x 10 dá 80/3 cosseno teta aqui vai dar 8 32/3 seno teta mais aqui 4 2 dá 6 é agora eu vou ter que separar todos eles vou separar eles fazer separado então Começando aqui 803 pode passar para fora integral de 0 a 2 pi cosseno teta D teta mas esse passei o 80 Tero para fora e copiei esse 32 também é constante 32/3 integral de 0 a 2 PI seno teta D teta + 6 integral de D teta de 0 a 2 pi Quanto é a integral de cosseno é seno então

dá 80/3 seno de teta de 0 a 2 PI 32/3 aqui vai dar menos cosseno de teta de 0 a 2 e aqui 6 T de 0 a 2 pi este menos pode vir para fora vamos tirar esse menos para fora então vou fazer o seguinte eu vou botar o menos aqui na frente ó e deixar mais aqui que ele já tira ele para fora e já me facilita para fazer a substituição esse menos não estará me atrapalhando então 80/3 sendo 2 pi Men seno 0 que é o primeiro substitui aqui - 32/3 cosseno 2

pi Men cosseno de 0 substitui de cima de baixo + 6 2 pi - 0 substitui o 2 pi depois 0 o 6 já deixei aqui fora aqui vai dar seno de 2 pi é 0 - seno de 0 é 0 0 - 0 dá 0 x 80 tudo isso aqui pessoal deu zer esse aqui cosseno de 2 pi é 1 menos cossen de 0 também é 1 1 - 1 0 isso aqui também dá 0 Que bom tá ficando bom mais 6 x 2 12 pi então e tudo isso D 12 pi que é

a mesma resposta que tinha dado anteriormente se lembram aqui pessoal tinha dado 12 pi quando eu fiz por esse lado em cima da curva e agora eu fiz sobre a superfície também deu 12 pi embora mais trabalhoso Mas fechou a resposta