Demonstração Matemática da Equação de Bernoulli | Compreendendo os Princípios da Fluidodinâmica

Então chegou a hora da gente conversar um pouquinho sobre a equação de bernolak foi apresentada pela primeira vez lá no ano de 1738 pelo matemático Daniel equações de benoli não dá para você simplesmente chegar e querer aplicá-la em qualquer situação não é assim que funciona vamos entender quais são essas condições a primeira delas é essa daqui o escoamento ele precisa estar em regime permanente ou regime estacionário ou seja não pode haver mudanças ali com o passar do tempo Regime estacionário lembre comigo é exatamente aquele que se por acaso tivesse um escoamento aqui em regime estacionário

você tirasse uma a foto dele agora e depois tirasse uma outra foto daqui a 10 minutos e você quisesse comparar essas fotos você não enxergaria diferença absolutamente alguma porque não há mudança nas propriedades do fluido com o passar do tempo tá bom a segunda condição é que o fluido ele precisa ser incompressível Ou seja a massa específica do fluido ela não vai mudar em qualquer ponto que você esteja analisando ela sempre vai ter o mesmo valor e a terceira e última condição Essa é mais forte é que o fluido ele precisa ser não viscoso Ou

seja o fluido ele não pode ter viscosidade todos os fluidos eles possuem algum grau de viscosidade eh um pouco mais um pouco menos dependendo do fluido mas não existe na natureza um fluido que não tenha viscosidade a viscosidade é causada por forças coesivas entre moléculas nos líquidos e por colisões moleculares nos gases mas o que acontece é que se eu vou considerar por exemplo um fluido que não tem viscosidade vamos fazer o seguinte experimento mental você vai colocar um barquinho para navegar em uma água sendo que nós vamos desprezar a viscosidade da água a gente

sabe que o barquinho para ele se mover você precisa lá da hélice do Motorzinho em contato com a água acontece que se o fluido não tivesse viscosidade a hélice começaria a girar e não teria interação exatamente com o fluido então ele giraria giraria e o barquinho não iria sair do lugar mas ao mesmo tempo se o fluido não tem viscosidade você também não precisa de hélice por quê Porque se você empurrar O Barquinho ele vai continuar o movimento dele infinitamente e nada vai fazer pará-lo por quê Porque não existe a resistividade Vamos pensar na viscosidade

como sendo uma força de resistência contrária ao movimento do barquinho então se não existe essa força de resistência ência O Barquinho ele vai ó pra frente sempre até que alguma outra força faça ele parar tá bom mas embora eu preciso fazer essas considerações há algumas situações na natureza em que a equação de bernolákovo tiro de fuzil na água Observe que o projétil ele anda simplesmente pouco mais ali de 1 m por quê Porque a viscosidade da água ela é tão grande tão grande que faz com que a trajetória desse projétil seja realmente consideravelmente afetada mas

se eu dou o mesmo tiro no ar um projétil desse passa facilmente de 1 km de distância então Note que para o caso do ar em em relação à água a viscosidade do ar é tão menor do que a da água que a gente pode torná-la despresível tá bom É claro que eu vou conversar com vocês também o caso do fluido real onde a viscosidade ali ela não pode ser desprezada isso a gente vai ver lá na nossa aula sobre equações de navier stokes então dito isso vamos para a nossa demonstração da equação de [Música]

um tubo pelo qual Vai escoar um fluido Ideal com vazão constante Imagine que em um dado instante del T vai entrar nesse tubo essa quantidade de fluido Mais Escura que eu delimitei chamando de um então Imagine que o volume desse fluido que aqui está entrando seja del V nós vamos assumir que esse fluido ele é incompressível logo no no mesmo intervalo de tempo delta t que entra essa parcela de fluido de volume Delta V também terá que sair aqui na extremidade direita a mesma quantidade de fluido logo entra um volume del v e sai imediatamente

um volume igual também de Del V no mesmo intervalo de tempo Vamos considerar que v1 P1 e A1 são respectivamente a velocidade de entrada do fluido a pressão nessa região de entrada e A1 é a nossa área de seção transversal desse fluido na parte de entrada da mesma forma V2 é a velocidade de saída A2 é essa área de seção transversal da saída e P2 é a pressão do fluido na região da saída nós podemos perfeitamente presumir que para esse fluido está subindo nesse tubo ele precisa que a pressão de entrada seja seja maior do

que a pressão de saída portanto P1 tem que necessariamente ser maior do que P2 Então a nossa análise aqui ela vai consistir basicamente na conservação da energia mecânica Imagine que eu vou escolher uma determinada linha de corrente como essa daqui e para essa linha de corrente eu vou considerar uma partícula fluida que está a uma determinada altura H1 do meu referencial essa partícula ela vai seguir esse caminho ajado aqui por essa linha de corrente ao chegar nessa região de afunilamento ela vai sofrer uma aceleração ao ser acelerada ela vai sair exatamente nessa região que vai

estar a uma altura H2 do nosso referencial então que que nós vamos fazer nós vamos aplicar o princípio de conservação da energia mecânica a essa partícula fluida uma vez que o fluido que eu estou trabalhando ele é um fluido sem viscosidade portanto a energia mecânica desse meu sistema é conservada muito bem então a partir de agora nós só vamos analisar as regiões de entrada e de saída e eu sei que a partícula fluida ela entra com uma energia cinética e vai sair conforme já entendemos com outra energia cinética logo houve uma alteração da energia cinética

e isso eu posso representar pelo teorema trabalho energia a variação energia cinética do sistema é igual ao trabalho Total realizado sobre o sistema sendo assim eu posso escrever que a variação da energia cinética é nada mais e nada menos que a massa dessa partícula fluida que eu vou chamar de Del M vezes a velocidade de saída ao quadrado dividido por 2 menos a massa vezes a velocidade de entrada v1 Quad dividido por do agora Só nos resta saber quem é o trabalho só que o trabalho ele tem duas orig A primeira é devido à força

gravitacional que eu vou chamar de WG e a segunda origem do trabalho é devido à diferença de pressão que eu vou chamar simplesmente de WP veja bem o trabalho realizado pelas forças de pressão e gravidade sobre a partícula fluida é exatamente igual a variação da energia cinética dessa partícula E é isso que nós vamos utilizar vejamos o primeiro caso do trabalho da força gravitacional nós sabemos que a partícula de fluido ela vai ser elevada de uma altura H1 até uma altura H2 logo nós temos que o trabalho da força gravitacional vai ser igual à massa

dessa partícula fluida vezes a aceleração da gravidade vezes a diferença de altura H2 - H1 acontece que como a partícula fluida ela está subindo portanto ela está indo no sentido contrário da aceleração da gravidade esse trabalho ele é negativo Então vamos colocar aqui o sinalzinho de menos na frente dele mas vamos fazer a seguinte consideração todo mundo concorda que a densidade do fluido é igual a massa del M dividido pelo volume del V Então vai ser conveniente a partir de agora a gente chamar a massa del m de simplesmente r x del V massa específica

vezes o volume e eu vou fazer essa substituição onde tem del M eu vou escrever r v vou escrever exatamente nessa equação do trabalho portanto vai ficar trabalho é igual menos R del V já substituindo a massa vezes a gravidade vezes H2 - H1 e eu também vou substituir lá na equação da variação da energia cinética então vou ter assim ó variação da energia cinética é igual vou colocar o delta M em evidência então vai ficar R del V que multiplica V2 qu so 2 - v1 qu so 2 muito bem só falta então agora

a gente definir quem é o trabalho devido àquela diferença de pressão recapitule comigo nós sabemos que trabalho é igual a força vezes a distância portanto uma partícula fluida que aqui está ela vai sofrer uma força no sentido da esquerda para a direita e ela vai realizar esse deslocamento que eu estou chamando de D1 portanto trabalho é igual a força vezes o deslocamento mas aqui nós não temos a força né Maurício Nós só temos pressão é verdade mas ninguém vai achar ruim se eu escrever pressão da seguinte maneira Ó quem é a pressão um é a

força um sobre a área um Então posso considerar que tem uma uma força sendo aplicada nessa área isso é igual a essa pressão conclusão a força F1 nada mais é do que a pressão 1 vezes a área 1 logo o meu trabalho é igual a pressão 1 vezes a área 1 vezes a distância 1 mas perceba se eu pegar essa área de seção transversal a1 e multiplicar por essa distância D1 Isso vai ser igual ao volume desse elemento de fluido então o nosso trabalho Ele é igual a pressão vezes o volume que eu vou chamar

de Del V pressão 1 x del V de forma análoga eu vou chegar à conclusão que o trabalho aqui na região de saída vai ser igual a pressão 2 vezes o mesmo elemento de fluido del V porque o volume de entrada tem que ser igual ao volume de saída uma vez que o fluido é incompressível agora aqui tem um detalhe esse trabalho de entrada ele está sendo realizado sobre o sistema Portanto ele é um trabalho positivo esse trabalho na região de saída ele é um trabalho realizado pelo sistema logo ele é um trabalho Negativo você

também pode pensar isso em term de força e deslocamento na região de entrada a força tá sendo aplicada para a direita e o deslocamento também tá sendo aplicado para a direita toda vez que força e deslocamento tiver no mesmo sentido o trabalho Ele é positivo Em contrapartida na região de saída o deslocamento do fluído se dá para a direita mas Note que a pressão ela é contrária ao movimento do fluido logo a força ela vai estar para a esquerda quando força e desloc formarem um ângulo de 180º esse trabalho ele será negativo então é por

isso que o trabalho da saída vai ser negativo conforme eu tô colocando aqui para vocês Conclusão o trabalho devido à diferença de pressão vai ser igual a P1 x del V - P2 x del V ou ainda trabalho devido a diferença de pressão vai ser igual a men P2 - P1 tudo isso que multiplica del V fiz só uma jogadinha aqui com esse sinalzinho negativo para deixar dentro do parênteses P2 - P1 perceba que não vai alterar em absolutamente nada é exatamente igual ao que nós tínhamos anteriormente muito bem concluímos então que o trabalho Total

vai ser igual ao trabalho da força gravitacional - r v g que multiplica H2 - H1 mais esse outro trabalho aqui ó então vai ficar - P2 - P1 vees V pessoal perceba que o Del V cancela com Del v e aí ficou pra gente que - r g H2 + r g H1 - P2 + P1 é igual a r V2 qu so 2 - R v1 qu so 2 E aí vamos organizar eu vou deixar o que é um do lado esquerdo e o que é do vai para o lado direito da equação

conclusão nós temos que P1 mais R G1 H1 + R v1 qu so 2 é = a P2 + r g H2 + R V2 qu so 2 essa daqui é a famosa equação de Inicial tem que ser igual a mesma expressão final ou seja pressão mais r g + r v qu sobre 2 é uma constante a soma desses termos tem que dar sempre o mesmo valor e agora eu quero fazer algumas considerações com vocês vou começar pegando um caso limite o que que aconteceria com a equação de bernou se por acaso a velocidade

do fluído fosse igual a zero ou seja se esse fluído tivesse em repouso Ora se isso acontecesse a equação de beroli deveria retratar exatamente a pressão em um ponto de fluido que está em equilíbrio estático que foi o que nós vios anteriormente e perceba que é exatamente isso que acontece se por acaso V fo igual a zer a equação de beroli se resume a essa expressão p0 + r g Note que esse termo aqui é exatamente o termo de pressão para um fluido que está em equilíbrio estático é por esse motivo que nós vamos chamar

esse primeiro termo aqui da equação de bernou de pressão estática enquanto que esse termo que depende da velocidade é a pressão dinâmica dinâmica exatamente de movimento então a equação de bernou ela é exatamente a soma dessas duas pressões da da pressão estática e da pressão dinâmica se eu retiro o termo dinâmico eu tenho que cair exatamente na pressão de um fluído em equilíbrio estático que foi o que nós vimos anteriormente a segunda consideração que eu quero fazer para vocês é o seguinte Imagine que a altura do fluido seja exatamente a mesma então H1 é igual

a H2 como é que vai ficar a nossa equação de H2 esses termos aqui se cancelam e o que eu tenho é simplesmente isso P1 + R v1 qu so 2 = P2 + R V2 qu so 2 ou ainda a pressão + r v qu so 2 tem que dar um valor constante que situação seria essa Maurício imagine um fluido que está escoando em uma mangueira eu vou pegar dois pontos desse fluido esse primeiro ponto e um segundo ponto já lá na saída da Mangueira o que que acontece quando você coloca o dedo ali

tampando parte da boca da mangueira né você coloca o dedo lá no bico da Mangueira você percebe que o jato de água ele vai mais longe a velocidade do fluido aumenta a equação de beroli explica isso e até contraintuitivo porque a gente imagina o seguinte se lá na frente onde eu coloquei o dedo a velocidade é maior a gente imagina intuitivamente que a pressão naquele ponto é maior e não é isso que acontece de acordo com essa nossa equação de e faz todo o sentido porque você tem que pensar o seguinte se por acaso o

fluido ele está acelerando é porque a pressão que tá lá atrás tem que ser maior do que a pressão que tá na frente e quanto maior for essa diferença de pressão mais rápido será o movimento desse fluido mas ele será acelerado então de fato a pressão lá na torneira é muito maior do que a pressão no bico da Mangueira onde você está colocando o dedo e isso é explicado exatamente por essa nossa equação então se a velocidade do fluído aumenta enquanto o fluido se move horizontalmente ali ao longo de uma linha de fluxo é porque

a pressão do fluido diminui e vice-versa beleza pessoal na próxima aula eu vou trazer para vocês só aplicações adequação de bernouli com experimentos exercícios e tudo que for possível aqui a gente fazer Tá bom vou ficando por aqui aguardo você na próxima aula