DERIVADAS PARCIAIS: Introdução e Interpretação Geométrica | Cálculo em Várias Variáveis

Oi Oi gente tudo bem O meu nome é escreve lá que sejam bem-vindos é o canal matemá Teca no vídeo de hoje a gente vai falar sobre derivadas parciais aqui em cálculo em várias variáveis a gente vai entender o que são as derivadas parciais e também aprender a interpretar graficamente o que elas significam Então antes da gente conversar já curti embaixo se inscreve no canal e Vamos lá gente porque não lembro que representava a derivada lá em funções de uma variável era taxa de crescimento da nossa função e essa taxa de crescimento é dada por

uma reta tangente a nossa função um determinado. Então aqui por exemplo a gente tem a função x ao quadrado quando x = 2 Essa é a reta tangente ao ponto 24 essa reta tem uma inclinação positiva O que representa que quando X cresce o y também está crescendo assim digitação por é definida quando o ângulo é maior do que 0 graus e menor que 90° agora é quando a gente vai para x = - 2 aqui na função x ao quadrado Essa é a reta tangente ao ponto - 24 essa reta tem uma inclinação maior

que 90° passou que do ângulo reto né então tem uma inclinação que a gente fala que é negativa O que quer dizer que quando os X está crescendo o y está diminuindo nessa função o que de fato está acontecendo aqui né a gente também pode ser uma derivada igual a zero o que acontece quando a nossa reta tá totalmente horizontal isso acontece nesse ponto da função por quê que funciona tá nem crescendo ainda crescendo né é o ponto de transição entre onde ela tava de crescendo para onde ela vai começar a crescer então inclinação positiva

crescimento inclinação negativa de crescimento gente se eu te pedir para encontrar a derivada dessa função dois x Ao Cubo mais x ao quadrado Oi gente faz isso aqui é uma função de apenas uma variável né a variável X então f de x = 2x ao cubo mais x ao quadrado A gente pode derivar essa função simplesmente usando as regrinhas que a gente viu em calculo1 a derivada da função f em relação a variável x que a única variável que né Vai ser 6 x ao quadrado + 2x fazendo a regra do tombo aqui né o

expoente cai multiplicando e subtraiu um mas isso eu te pedi para derivar essa função dois x Ao Cubo mais y ao quadrado Isso aqui é uma função de duas variáveis gente tem a variável x e tem a variável Y são duas variáveis que definem o comportamento desta função mas aí na hora de derivar essa função Será que eu faço de f de x ou será que eu faço de fdy um Y também é uma variável aqui então quando a gente vai derivar funções com mais de uma variável a gente vai usar um conceito chamado derivadas

parciais então que vai ser isso exatamente a gente pode derivar Nossa função tanto em relação a x quanto em relação a y e para essa mudança que a gente tem aqui a gente não usa mais o de normalzinho que é o de que a gente usava nas derivadas comuns né a gente vai usar esse daqui para representar as derivadas parciais Tá bom então quando a gente está derivando só em relação a x a gente vai tratar o Y como constante Então a gente vai tratar como se fosse um número qualquer ele 35 alguma coisa independente

da mesma forma quando a gente está derivando em relação a y a gente vai derivar normalmente tratando x como constante então tratando x como algo independente ele e gente a derivada é feio E assim a gente fazia lá em cálculo então a gente usar as mesmas regras regra do Tombo ou regra da cadeia então a gente usa tudo igualzinho a coisa aqui é que a gente vai derivar primeiro em relação a x depois em relação a y a gente vai ter duas taxas de variação dependendo da direção do gráfico então se você tem a função

f de x y = x + y quem é a derivada parcial dessa função em relação a x a gente deriva normalmente no x e trata Y como consegue a derivada de x em relação a x é um e a derivada de y em relação a X com Y é uma constante da Zero Então essa derivada é um agora derivando em relação a isso a derivada de x em relação à ya0 porque o X é uma constante aqui e a derivada de y em relação a y é um então aqui também não mas vamos entender

o que isso representa E para isso vamos ver se exemplo aqui em que a gente tem uma função que diz quantos litros de gasolina você gastou em determinado dia essa função é uma função de duas variáveis a variável cá e a variável ter a variável cá fala quantos quilômetros por litro faz o seu carro EA variável P Diz quantos quilômetros você percorreu hoje então a gente tem essa tabelinha aqui com alguns valores de k e alguns valores de p e aí a gente tem o resultado de quantos litros você gastou em cada combinação dessas variáveis

para calcular quantos litros você gastou aqui é só fazer p / cá tá bom que aí a gente tem o resultado ele então por exemplo se o seu carro faz nove quilômetros para cada litro de gasolina e hoje você percorreu 10km Então você gastou 10 sobre 9 que é 1,1 l ou então se o seu carro faz 12km por litro e você percorreu 30k E aí você gastou 30 sobre 12 e 2 litros e meio de gasolina então aqui a gente tem a função ele que é o resultado litros que depende de duas variáveis quilômetros

por litro e quilômetros percorridos então é como se aqui fosse x aquilo y e o resultado disso litros é o nosso Z Tendo isso graficamente a gente vai ter esse gráfico aqui para nossa função e isso analisando apenas para x maior que zero e y maior quiser vamos seguir com esse domínio para essa função aqui tá bom então essa aqui é a função y sobre x onde x representa quantos quilômetros por litro faz o seu carro Y representa quantos quilômetros você percorreu e o z representa quantos litros de gasolina você gastou nesse dia mas como

a funcionar Lisa a taxa de variação dessa função não pensar que o seu carro faz 12km por litro e você sai com seu carro quatro dias diferentes no dia Você percorre 10 km no outro 20 ou 30 e 40 Km percebe que em cada dia você gastou uma quantidade de diferentes litros de gasolina né porque você fez trajetos diferentes aqui que deram quilômetros horas então você percorreu mais você gastou mais litros de gasolina foi crescendo aqui então quando a gente fixo x igual 12 Km por litro conforme o y foi crescendo o valor da função

também foi crescendo né a gente tem uma taxa de variação na direção Y que é crescente agora vamos supor que todo dia você faz o mesmo trajeto trajeto de 30 km Então fique sendo isso mas é em cada dia você usa um carro diferente então segunda você usa o carro faz 9 Km por litro na terça 10 11 12 e 13 Km por litro cada dia você vai colocar o cara que em cada G foi diminuindo a quantidade de litros de gasolina que você gastou mesmo percorrendo a mesma quantidade de quilômetros como quilômetros por litro

é diferente em cada carro você gastou menos gasolina cada dia então quando a gente fixa Y = 30 km conforme o x aumenta então quanto maior o quilômetros por litro o resultado da função que usei foi diminuindo só ficando cada vez menor a quantidade de letras você gastou a gente então vamos visualizar aqui essa aqui é a nossa função y sobre x e primeiro a gente ficção x igual a 12 Km por litro certo então repara que aqui no eixo X que é o eixo vermelho a gente tá pegando o plano onde X é 12

então a gente só tá pegando um valor de quilômetros por litro e a intersecção aqui da função com o plano A gente tem essa reta repare que o apartamento dela quando Y que é o eixo Verde está crescendo Ou seja quando você está percorrendo mais quilômetros a quantidade de litros que você gastou também já crescendo ó então e Tom cresce o z tá crescendo junto isso quer dizer que se a gente tá fixando x igual 12 Km por litro a inclinação dessa superfície roxa na direção Y tá dando um crescimento que pra gente ou seja

a derivada parcial dessa função em relação à Y quando X = 12 mas se sempre positiva porque a gente está tendo o crescimento nessa direção agora por outro lado se a gente fizer Y sempre igual 30Km olha só a intersecção da função com o plano Y = 30 então a gente tá pegando sempre que você percorreu 30 e com carros diferentes 100 Km por litros diferentes quanto maior o quilômetro por litro do seu carro menor a quantidade de letras que você gastou quando X cresce aqui o resultado da função vai decrescendo vai diminuindo então quando

a gente fica isso aí precisa igual a 30 a inclinação da nossa função na direção x representa um de crescimento que então a derivada parcial dessa função em relação a x quando Y é fixado = 30 + se algo que representa um de crescimento a função tá caindo aqui a superfície vai ter uma inclinação negativa a gente então se Nossa função é y sobre x Qual é a derivada parcial dessa função em relação a x a gente da Raven x normalmente e trata Y com uma constante né então lembrando lá de cálculo quando a gente

tinha uma função uma constante sobre é a derivada disso é menos a constante sobre x ao quadrado então aqui a derivada parcial da se função relação a x vai ser menos a constante Y sobre x ao quadrado agora repare que independente do Y que você colocar aqui lembrando que a gente está trabalhando com y maior que zero né a gente sempre vai ter um resultado negativo sempre vai ser algo negativo com algo positivo porque o x ao quadrado isso quer dizer que a inclinação desse função na direção x sempre algo que tá negativo é algo

que está decrescendo Então essa função diminui na direção x agora qual é a derivada parcial dessa função em relação a isso lembrando o y a variável agora e o X é constante Então o que a gente tem que sim é um sobre x que é uma constante vezes Y A derivada de uma constante Às vezes a variável é a própria constante né é tipo a derivada de 2x da dois aí mesma coisa aqui derivada de um sobre xy.da o próprio 1 sobre x como a gente está trabalhando apenas com valores de x maiores do que

zero então qualquer valor de x que a gente colocar aqui o resultado dessa divisão é positivo porque vai ser positivo com positivo que dá o resultado Positivo né então aqui na São dessa função na direção do eixo Y com crescimento de y é algo que cresce a mente nação positiva gente então lá no cálculo em uma variável agente analisava o que acontecia com y conforme o x crescia então a taxa de variação do Y em relação a x aqui em cálculo em várias variáveis como a gente está falando de uma função de duas variáveis x

e y a gente pode analisar esses inclinação tanto na direção x quanto nas direção Y a acontecer por exemplo Jefferson crescer na direção x enquanto está diminuindo na direção Y Beleza então vamos lá entender como isso funciona fazendo exercício interpretando graficamente os nossos resultados mas antes da gente continuar assim vou pedir para você curtir embaixo se inscrever no canal que isso ajuda muito o canal e atingir novas pessoas Tá bom então vamos lá então vamos comprar as derivadas parciais daquela função que a gente viu no começo da aula a gente tem sdxy que é dois

x Ao Cubo mais y ao quadrado Então vamos começar encontrando a derivada parcial dessa função em relação a x E lembrando que nesse caso a gente vai usar x como variável e Y como constante então a derivada de 2x ao cubo em relação a X raio 3 multiplicando e subtrair um né então fica 6x ao quadrado agora é derivada de y ao quadrado em relação a x como um sanduíche Isso aqui vai dar zero então a derivada parcial dessa função em relação a x é 6x ao quadrado é isso que representa o crescimento na direção

x agora vamos ver a derivada parcial da essa função em relação à Y como X é constante então a derivada de 2x ao cubo em relação à ya0 que a derivada de y ao quadrado em relação à y2y a gente então esse aqui é a função dois x Ao Cubo mais y ao quadrado vamos ver o que acontece se a gente fixar x igual menos um por exemplo aí eu vou colocar aqui a intersecção do plano com a função a gente tem aqui uma parábola e para o comportamento dessa parábola quando o y é negativo

a gente tá de crescendo aqui nossa função tá caindo né quando a pessoa vai aumentando o z vai caindo agora quando Y começa a ser positivo E conforme ele aumenta o z também aumenta isso faz sentido com a derivada que a gente encontrou na direção y a gente encontrou quem quem nasceu daquela superfície na direção Y é dado por duas vezes y 2x Y quando o y é menor que zero 2Y também vai ser melhor quiser então a inclinação da função nesse intervalo é negativa agora quando Y é maior que zero 2Y também vai ser

maior que zero então aqui na segunda função nesse intervalo é positiva agora reparem que nação na direção x EC x ao quadrado como isso aqui é sempre positivo aqui na São na direção X tem que ser sempre positiva vamos ver se isso é verdade agora eu fiquei aqui Y = 1 como a derivada na direção x não está dependendo do Y tanto faz o y que a gente vai fixar aqui tá bom agora repara conforme Oxe está crescendo a função também tá crescendo o intervalo que a gente tá quando a gente está na direção positiva

de X a função tá sempre indo para cima ela nunca vai para baixo quando X cresce Então realmente a inclinação desta superfície na direção X é sempre positiva ela tá sempre em crescimento nessa direção aqui então vamos fechar fazendo esse exercício que a gente tem a função 4 x Ao Cubo mais x y quadrado e não tinha a gente se encontrar a inclinação da superfície na direção x um determinado. 12 e na letra b a gente tá falando sobre o mesmo. Só que a gente quer inclinação na direção Y não tem um primeiro passo para

a gente encontrar inclinação na direção x e a gente fazer a derivada parcial da se função em relação às vezes certo então a gente deriva o x como variável e y Como consegue a derivada de 4x ao cubo o 3 vai cair multiplicando fica a x ao quadrado A derivada de x e y ao quadrado é como se fosse uma constante multiplicando X então fica y ao quadrado só que a gente quer assim que nação na direção X no ponto 12 Então a gente vai fazer a derivada parcial em relação a x só que no

ponto 12 substituindo X por um Y por dois então fica 12 vezes um ao quadrado mais dois ao quadrado que é 12 mais quatro cidades e seis Então essa é a inclinação da superfície no ponto 12 na direção x agora vamos encontrar inclinação da superfície na direção eles para eles a gente faz a derivada parcial em relação à Y 4 x Ao Cubo em relação a y é uma constante então a derivada a zero x e y ao quadrado e com uma constante aqui e o y está ao quadrado né o 2K e multiplicando Então

fica 2xy como a gente quer entre nação no ponto 12 a gente vai fazer essa é a derivada parcial aplicada no ponto 12 substitui X por um Y por dois então a inclinação é quatro bom gente então foi isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo