Cálculo III - Aula 18 - Integrais de superfícies (1)

[Música] com o tempo [Música] olá caros alunos do universo pela disciplina de cálculo 3 entendendo isso é mais uma aula vamos dar continuidade ao estudo que nós fizemos uma passada por lá passaram a introduzir o conceito de superfície e com ênfase em superfície parametrizado e toda a nossa discussão estava concentrada no aspecto um pouco mais geométrico sempre estava falando em obter plano tangente reta normal mas além de estar falando nesse aspecto geométricas estava preparando o terreno porque a gente vai fazer hoje hoje nós vamos continuar com ênfase em superfícies parametrizada pra explorar a seguinte ideia

com aquela aquelas idéias no ano passado a gente consegue falar em área de uma superfície de maneira bem geral então se você fizer uma análise crítica área de superfície não é uma coisa que você conhece muita superfícies a área de muitas coisas com as técnicas que não viu a gente consegue calcular a área de uma sociedade muito grande de superfície qualquer superfície parametrizada em geral e também usando essa ideia que vai calcular massa de uma lâmina sabendo a densidade superficial se você conhece a distribuição superficial de massa a gente consegue recuperar a massa dessa superfície

então são coisas com significado geométrico muito bonito área e físico de massa muito rico esse conceito filha aplicações vamos recordar então serviço parametrizada você tem duas variáveis no domínio 3 na imagem que depende daquelas duas e silva e percorre um domínio isso que gera uma superfície no espaço vamos lembrar como é que isso funciona no domínio duas variáveis num certo domingo variáveis ou ver uma função que manda isso pro espaço 3d então você vai ter aqui um x ou y e z um espaço 3d o que essa função faz trás daquela região plana para uma

região bidimensional no espaço essa é a superfície em que trata superfície parametrizado olhando para essa imagem no r31 na orla passada já discutimos esses dois vetores são vetores tangentes e esse vetor produto vetorial é o vetor perpendicular aquela superfície uma coisa importante que a gente vai discutir hoje a ideia de elemento diária então vamos voltar um pouquinho nessa figura e agora imagine que eu tenho então os dois vetores tangentes um determinado ponto eu tenho dois vetores tangentes a essa superfície o que eu acho elemento diária na superfície lembra que eu fizer o produto vetorial esses

dois vetores sim obtém o vetor perpendicular lembra que fizemos isso no passado o produto vetorial da o vetor perpendicular mas tem um outro significado geométrico no produto vetorial o módulo do produto vetorial é a área de um paralelogramo formado pelos dois vetores então esse paralelo formado pelos dois setores xx quando eu faço produto vetorial da área esse paralelo grande e isso multiplicado pelo delta hu e delta z-da o elemento diária em cima da superfície ele não é exatamente a área da superfície ele é uma pessoa aproximador que entra aquela idéia de integral sempre faz parte

são pegas regiões pequenininhos quanto menor a região melhor aproximação etc mas o elemento diária da superfície é o produto vetorial dos dois vetores em módulo delta o delta ver variação nas duas variáveis de modo que a área de uma superfície o que é importante é que muito rico em uma superfície qualquer essa função no sentido de gráfico de uma função pode ser um pedaço de espera cilindro qualquer superfície que você consiga parametrizar você cálculo x 1 xv a área da superfície é integral da função constante igual a 1 em relação ao elemento de área que

é integral no domínio da parametrização aquela região eo v do módulo do produto vetorial x 1 xv isso é que é a noção de área de uma superfície é uma solução extremamente rica e extremamente útil pra gente trabalhar então vou continuar explorando isso por exemplo calcular a área de 1 para o bologna e revolução x2 maceió x 2 na recepção 2 com 11 entre zero e quatro vão tentar então primeiro visualizar esse parabólica parábola e desigual x 2 na recepção 2v entre 04 essa superfície que está desenhado aqui atenção para a bolívia de revolução e

22 nós começamos o cálculo anterior funções de duas variáveis ele vai com os entre zero e até o nível 4 observe que dada a própria expressão da função 1 204 4 x 2 4 isso embora esteja pensando lá no espaço fazendo a curva de nível 4 a curva de nível 4 a gente desenha no domínio na base ea curva de nível 4 é x 2 na sessão de hoje 4 que é uma circunferência de centro na origem raio 2 para boyd sai do 0 0 que dá origem sobe para o nível 4 e no nível

4 está travado por uma circunferência de raio 2 para fazer o cálculo e observa como a gente já na aula passada falei de várias maneiras de pensar em superfície e eu acabei denunciado desde o exercício usar aquela ideia de apresentar uma superfície como gráfico de função foi exatamente assim que eu não sei calcular a área da superfície que o gráfico do pará boyd graça para boyd negócios 2001 2004 eu estou usando aquela maneira de falar na superfície como gráfico de função na hora que eu vou fazer a conta da área o que eu preciso é

a superfície parametrizada então observa como eu mudo agora um pouquinho jeito de falar na função eu vou agora discutir uma parametrização daquela mesma superfície então eu vou colocar igual ào e y quase que eu não mudei nada nessa machida eo bom chamar chama de um chama y dever e usei que era x 2 na recepção 22 mais de 2 mas é importante fazer essa mudança isso significa para amenizar superfície porque daí eu coloco no contexto do que a gente vem vinha fazendo aula passado nessa e que lhe permite calcular e então eu tenho o domínio

é o dois mais dois menores golpe 4 que os disco de centro na origem raio 2 isso aqui é um disco e centro na origem a dois e quando eu faço essa parametrização o meu domínio é na verdade todo esse disco de centro na origem rai2 e usando a passado na aula de hoje x um vetor deriva em relação a um pra achar o primeiro vetor tangente elevando em relação ao 1 10 e 21 11 e 21 local 1021 perigo em relação à v 01 2012 vêem notação vetorial estaria aqui j mais dois mercados o

vetor normal x1 vetorial xv e jk 102 101 2 v desenvolve determinante vai dar - beijo que quebrou na secundária lembra que na direcção j tem que trocar o sinal está dando dois ver mas trocando o sinal - 2v cálculos determinante direção j profissional e na direção cartum aqui é o vetor - 21 - 2000 esse é o vetor normal ao aquele para boyd eu não vou usar o vetor normal nesse momento eu vou usar o módulo do vetor normal para calcular a área mas se eu quiser interpretar geometricamente dá pra ver que aquele vetor

ali tem componentes o mv negativas na com o sinal de menos e 11 na componente z se você voltar aqui e por ano no primeiro quadrante ele é - 21 - hoje ele aponta para a origem eo z é positivo pelo vetor normal que está apontando lado do eixo z no interior do pará bolatti para cálculo de área eu preciso do módulo do chuchu z raiz quadrada dos quadrados das coordenadas 4 242 e mais um do que a área de uma superfície a área é integral do módulo 2 x 1 xv não é integral dupla

como nós vemos um cálculo anterior o dois mais de 294 desta função e aí o cálculo da integral dupla retomá-la integral dupla como é calcular que a turma de rubin que também tinha idéia de mudança de variável como nós estamos num domínio redondo tão disco é muito natural fazer mudança de variável coordenadas polares então vamos lembrar coordenadas polares o problema é calculada integral dupla cálculo do jeito que você quiser pode ser com sub nikon mudança de variável como for vamos fazer mudanças barata polares porque o domínio é disco então o rkc no teta vrc no

teto jacoby ano é é aquele fator sempre tem que colocar quanto às mudanças de variáveis o teto de 0 2 mil r de 0 a 2 e é integral fica integral de zero do espírito de teta integral de 02 de r jacoby ano é ea função escrito agora em coordenadas populares esta função 4 242 em polaris se eleve seu quadrado de r 2 com cena quadrado r 2 e no quadrado com r 2 em evidência cosseno quadrados sendo enquadrado relação fundamental do tribunal e teria um vai ficar o tal do 4 e r 2 que

eu coloquei aqui 4 e r 2 mais um rbr de teto para fazer essa integração já fiz uma mudança de variável integral dupla usando polares agora como é que eu faço essa integral tem que fazer integral desta função em dr aqui vou fazer uma mudança agora integral de uma variável não é mais mudança de coordenadas que populares para fazer essa integral eu chamo 4 e r 2 mais um de uma nova função te quando eu devo de tê lo aqui dá oito rdr porque esse rd/rr q tá me dando a derivada dessa expressão voltou a

lançar integral em r integral interna observe que está parada 02 pi detecta tá parado vou fazer daqui a pouquinho integral detecta quando r10 quando r 2 isso dá 4 16 17 então que era integral de 02 com integral de uma 17 isso aqui é a raiz quadrada da nova variável t&t rbr eu tiro daqui é deter sobre oito não têm nada interna nessa expressão portanto a integração interna vai ser só multiplicar por dois peritos estão chegando a resposta do esp 1 sobre oito que é constante pois pra fora a raiz de ter que ter levado

a meio a primitiva é ter levado a 36 uma unidade a mais um expoente dividido pelos três meios que é multiplicar por dois terços e substituído nos extremos integração 1 17 observe que esse dois esse dois cancelam com 8 fica quatro com três da 12 desculpe a 408 ficar dois ou três das seis então pi sobre seis e substituído nos extremos têm raiz quadrada elevado ao cubo raiz 17 elevada ao cubo e não tem igual a um mesmo essa então a área daquele para borges observa que elas causarão uma superfície que nós não tínhamos nenhuma

maneira de calcular até agora isso é absolutamente novo é uma é uma coisa que nós sabemos fazer agora com essa idéia de integral de superfície em geral eu acabei de fazer um exemplo que essa função que era o quanto essa função é um integrante do sol elemento diária da área qualquer campo eu faço a mesma coisa integral e integral nas duas varas xyz inscreva em termos de uso e ver como eu acabei de fazer tiras variáveis x y z faz tudo em função da nova variável elemento diária x 1 xv em um módulo de distribuição

de massa é uma densidade eu tenho densidade vezes elemento diária eu tenho massa e seu integral lembra que integrava o limite de uma soma tudo se passa como se eu pegasse a superfície fizesse uma partição pedaços pequenos pedaços o elemento diária de cada pedacinho multiplicado pela densidade da massinha de cada pedacinho somasse tudo e passar seu limite porque para cada parte são em particular tem um estimador da massa quando eu passo o limite da massa eo limite é integral e integral de densidade vezes modo xp do dz é a massa da superfície eu tenho aqui

densidade elemento diária integral da massa olha que bonito essa é agora uma aplicação física não geométrica ou física extremamente rica que é o cálculo de março vou fazer um exemplo e só para lembrar as coordenadas cartesianas cilíndricas rt z isso são as relações entre as 3 no espaço 3d mas eu estou interessado na superfície do cilindro o teu fixo ohio e essa é a parametrização típica de um cilindro e uma superfície cilíndrica aconselho a selos e afixado que o raio do cimento e o produto vetorial é aconselho a ser um teto a 0 a gente

fez tudo dar uma passada lembra que o módulo disso é o elemento diária o módulo disso é porque ao quadrado com seu quadrado ao quadrado sendo enquadrado 10 relação fundamental da trigonometria e raiz quadrada de tudo é o elemento diária no superfície cilíndrica é a veja como é semelhante à história da polaris jacoby ano era r na verdade tudo poderia ser tratado de uma maneira só um cálculo unificado ser um grande cálculo em que todas essas coisas que estão estudando seriam aspectos particulares não é só pura coincidência por exemplo calcular a massa do tronco de

cilindro x 2 na edição 129 centro 05 com densidades e como é que o processo tenho a superfície ea densidade é preciso parametrizar superfície tronco de cilindro coordenadas cilíndricas com raio fixado então aconselho trata-se da tv varia sua testa e z não varia o r o elemento diária é ohio a 2 933 de z ea densidade z a massa é integral 102 pe-05 z que a densidade 3 que o elemento diária desde terra e aí faz a conta de 75 p2p a integração também do espírito eo 3° 202 sobre 50 a 55 25 23 das

75 2 com cela com um exemplo importante uma esfera lembra a relação das coordenadas cartesianas esférica x y z 14 anos histéricas roberta filha a expressão geral que relacionem 3ds é essa superfície esférica eu fixo o raio-x dois jogadores não mais variam ro para fazer parametrização da superfície 7 que a gente fez na aula passado o cálculo do x terra x que só varia teto e fino varia mais um raio x fi e ser levar o quadrado somar tudo que a raiz quadrada da a2 e no fim com lasix esse é o elemento diária da

esfera parametrizada como superfície parametrizada pelos ângulos tetris ea área da esperar eu espero vocês conhecem mas provavelmente nunca viram calculada a área deserta isso fornece uma maneira de calcular olha que bonito área da esfera é integral de 1 em relação ao elemento diárias se eu tivesse uma densidade e as calcular a massa teria um outro integrando aqui o elemento de área 2 e no fim da fd teto integrado 02 pisar ap1000 integração por isso coloquei dois piac a 2 constante coloquei pra fora primitiva de ser no fia - com cenas de 02 - 14 -

country inferior de integração eo menos ficar mais 40 que é um saque da 2 com 2 a 4 pia 2 que a fórmula da área da esfera que vocês conhecem é 4 pirralho ao quadrado e com essa abordagem a gente consegue calcular isso que nós estamos neste momento do curso depois de falar em superfície parametrizada eu mostrei como que dá para calcular massa e áreas de superfícies parametrizada o que é um é uma capacidade que a gente não tinha antes como é que se faz através de uma integral de superfície do campo escalar e que

caem no integral dupla nós vimos no cálculo anterior as coisas todas se conectam de uma maneira geométrica muito bonita tão achando super interessante o cálculo é essa parte do carro foi muito legal né próximas aulas nós vamos falar de uma outra ideia física que a idéia de fluxo isso a gente vai fazer na próxima [Música] [Música] [Música]