Cálculo III - Aula 17 - Superfícies no R³

[Música] Olá alunos da univers Universidade virtual do Estado de São Paulo curso de cálculo 3 bem-vindos estamos na aula S do nosso curso e na aula de hoje nós vamos começar a discussão do conceito de superfícies no espaço tridimensional no espaço R3 esse conceito vai ter algumas aplicações importantes tanto num contexto geométrico como num contexto físico a nossa primeira aula de hoje nós vamos nos focar mais na seguinte eh interpretação Nossa qual vai ser a nossa motivação vai ser a ideia de que eu vou querer calcular a área de uma superfície então eu vou introduzir

o conceito de superfície e na próxima aula nós vamos usar eh a ideia de densidade e de e Distribuição de massa sobre uma superfície para calcular a massa total dessa superfície na aula de hoje nós vamos discutir o conceito de superfície Então nós vamos estar mais numa visão um pouco mais geométrica Tá ok é interessante observar o seguinte existem muitas maneiras de você apresentar o conceito de superfície de você trabalhar com na superfície existe uma maneira que remonta as tradições geométricas gregas que é falar em lugar geométrico e essa ideia já apareceu esse meu comentário

muito parecido com esse já apareceu em aulas anteriores falando de curvas curvas também podem ser apresentadas como lugar geométrico e isso é a tradição da matemática e da geometria grega por exemplo usando essa esse olhar de lugar geométrico eu posso dizer por exemplo que uma esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que equidistam de um ponto fixo isso é algo bastante comum eh na no nosso dia a dia esse ponto fixo é o centro da esfera E essa distância fixa esse equidistam essa distância é o raio da esfera Então você tem

o centro e todos os pontos que equidistam daquele centro forma uma esfera Observe que isso tá Expresso em língua cotidiana e não tem fórmula não tem nada mais eh matemático envolvido e que dá a maneira de abordar você vai ao trabalhar desse jeito você você não vai ter equações certo uma outra maneira de pensar numa superfície é através de equação geral e aqui tem já uma eh permite uma abordagem do ponto de vista do cálculo muito mais eficiente por exemplo a esfera eu posso te dar pela equação geral X2 + Y2 + E2 = a

2 isso é equação geral da esfera de centro na origem e raio a se eu quisesse centro em outro ponto eu teria que fazer X - x0 Y - y0 né tudo ao quadrado e aí teria colocando o centro x0 y0 z0 essa maneira de pensar como equação geral ela se conecta com o cálculo de uma forma muito útil que é a seguinte a gente pode pensar numa função de três variáveis X2 Y2 Z2 E aí o conjunto dos pontos que satisfaz esta equação geral é o conjunto dos das dos dos valores dos pontos que

são os os pontos onde a função tem um valor constante quando a gente falava de função de duas variáveis a gente falava em curva de nível quando nós estamos falando de três variáveis isso passa a ser superfície de nível ou superfície a valores constantes então a esfera dada por essa equação geral pode ser pensada como a superfície de nível ou superfície a valores constantes desta função de três variáveis Qual é a Por que que isso é útil do ponto de vista do cálculo porque se nós pegamos o vetor gradiente da função isso quando era para

em duas variáveis o vetor Gradiente tinha duas componentes e ele era perpendicular a curva de nível Nesse contexto com três variáveis o vetor Gradiente tem três componentes são as derivadas parciais em relação às variáveis naquela direção então eu derivo a função em relação a x na componente i derivo a função em Y na componente j e em Z na componente k este vetor a três componentes ele é perpendicular à superfícies de nível da função então se eu penso na Esfera como equação geral e como superfície de nível daquela função eu acabei de obter o vetor

perpendicular à esfera A partir do vetor perpendicular eu posso obter o plano tangente porque o plano tangente é o plano perpendicular ao vetor perpendicular e a partir daí eu começo a fazer geometria usando os instrumentos de cálculo vamos ver um exemplo numérico disso para ficar bem concreto Suponha que eu queira achar a reta normal e o plano tangente é um elipsoide olha aqui x so 4 Y so 1 eu destaquei o 1 aqui só para lembrar que no elipsoide tem um quadrado um quadrado e um quadrado embaixo e aqui 8 Z2 isso é um elipsoide

uma equação parecida com a da esfera Só que os números aqui são variáveis então em cada eixo ele tem tamanho diferente né quando eu zero duas componentes por exemplo 0 y e z X2 so 4 = 1 X2 = 4 o x é mais ou menos 2 então no eixo X Ele vai de -2 a + 2 observa que quando eu zero o z e o x Y2 = a sobre 1 = 1 Y2 = 1 quer dizer que no eixo Z vai de -1 a mais 1 e por isso que ele não tem tamanhos

constantes nos vários eixos não é uma esfera é um elipsoide no ponto eu quero obter a reta normal plantag gente no ponto 1 me 1/4 é claro que precisa verificar que esse ponto efetivamente pertence ao elipsoide isso é só uma substituição isso dá um 1/4 isso quadrado dá 1/4 1/4 1/4 dá meio aqui o Z2 dá 1 sobre 16 com 8 dá meio com outro meio soma 1 então eu pego a função de três variáveis X2 so 4 Y2 8 Z2 o elipsoide é a superfície de nível 1 para achar o vetor normal eu pego

o gradiente Então vamos pegar o gradiente dessa função deriva em cada uma das componentes deriva em x abaixa o 2 e fica X elevado Prim x so 2 deriva o Y2 2Y e deriva o 8 Z2 16z Então esse essa é a expressão do Gradiente eu tenho vou escrever várias vezes em coordenadas ou em notação vetorial na base I JK as duas coisas são equivalentes certo é a mesma coisa escrito de duas formas diferentes o gradiente no ponto que me interessa que é 1/2 1/4 eu obtenho substituindo aqui x = 1 isso fica meio e

Y = 12 2 com me fica 1 e 1/4 no lugar do Z 16 x 1/4 sobra 4 tá aqui o vetor Gradiente no ponto é 12 1 4 então a reta normal é ponto mais variável u observa que u aqui não é nenhum vetor u aqui é uma variável real poderia ser T poderia ser S qualquer variável real e V é o vetor normal que é o gradiente então ponto mais variável vezes o vetor nor Isso é uma equação de reta no espaço aqui eu escrevi em coordenada somando né esse 1 mais u x

me então u mais 1+ U So 2 n três coordenadas e variando a variável u em R isso percorre uma reta no espaço que é a reta normal àquela superfície plano agora tangente o plano tangente perpendicular ao vetor normal eu tenho a componente do vetor normal aqui o vetor normal tá aqui 12 1 4 lembra que a equação de um plano tem no AX + by + CZ + d = 0 vocês viram isso em geometria analítica e o abc dá um vetor normal ao plano Então o meu plano que vai ser normal a esse

vetor ele tem a b e c aqui por isso que eu começo com o plano meio 1 e 4 o d eu não sei então tá aqui a equação Geral do plano já sei de cara que tem me 4 d a ser determinado como é que Eu determino D eu sei que ele passa pelo ponto 1 me 1 4 está lá no começo do exercício no enunciado então eu substituo esse x esse Y esse Z e acho d d = -2 e tá aqui a equação do plano tangente Então esse exemplo ilustra como que olhando

uma superfície através da ideia de equação geral e pensando que ela é a superfície de nível superfície a valores constantes de uma função eu tenho instrumentos para trabalhar geometricamente com essa superfície mais uma maneira de falar em superfície é olhar como gráfico de função isso a gente fez muito no no cálculo anterior e olhando que Z é função de x e y não é toda a superfície que pode ser olhado assim só aquelas que são gráficos de função e também tem uma maneira do ponto de vista do cálculo muito prática de trabalhar que é o

plano o plano tangente vem através dessa expressão com derivadas parciais Z menos o valor da função no ponto derivada parcial em x x - x0 derivada parcial em y y - y0 lembra que nós estamos falando então de funções que são como essas você tem x e y variáveis Independentes Z variável dependente e isso é uma gráfico de uma função o gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície e também dá para fazer cálculo com isso todas essas maneiras são legais mas a melhor de todas para se fazer cálculo é a olhar paraa

superfície como superfície parametrizada isso é muito interessante eu vou trabalhar com cinco variáveis Nesse contexto duas num domínio então o UV vai percorrer um domínio no plano e x y e z vão ser as três variáveis do espaço porque eu vou fazer superfícies no espaço 3D vão ser as três variáveis do espaço dependentes das duas variáveis do plano essa expressão é o que a gente chama de superfície parametrizada já vou fazer um desenho disso e a gente obtém fazendo as derivadas parciais das componentes pensa aqui x y e z em seguida vou dar exemplos numéricos

fazendo as derivadas parciais em relação a u e v a gente obté dois vetores tangentes e claro se eu tenho dois vetores tangentes e faço o produto vetorial essas coisas vocês estudaram na geometria analítica eu obtenho o vetor normal perpendicular à superfície e aí eu recaio na num contexto parecido com o exemplo que eu dei anteriormente dá para fazer muita geometria porque eu tenho o vetor tangente e vetor normal deixa eu detalhar um pouquinho isso fazer uma ilustração para vocês como é que isso funciona essa ideia de superfície parametrizada eu começo com o plano u

v as duas variáveis no plano aqui está o meu domínio onde a superfície vai estar definida as a parametrização x y z Joga isso no espaço 3D x y e z de que maneira essa região plana vem parar no espaço formando uma superfície no espaço uma região bidimensional Então isso é a ideia de superfície parametrizada Observe que tem cinco variáveis e eu fico olhando pra imagem né aqui tá tal função normalmente eu vou chamar de x que manda essas duas variáveis nessas três Olha que bonito que é do ponto de vista geométrico isso quando eu

faço derivada parcial em relação a uma variável o que como é que a gente faz derivada parcial né eu acabei de mostrar que o o que o o vetor que eu tô querendo falar esse vetor aqui né derivada parcial do X do Y e do Z em relação a u Tá ok Eh que que é isso derivada parcial derivada parcial a gente obtém quando a gente fixa uma variável e deriva na outra então o que que é derivada parcial em relação a u eu fixo v e faço variar u é aí que eu fazer derivada

parcial em relação a u mas o que que essa função faz se eu fixar uma variável e deixar variar outra a região vai parar na superfície essa linha vai parar numa curva aqui no espaço e quando eu faço a derivada parcial em relação a u eu esqueço que tem duas variáveis fixei uma tô derivando na outra tô derivando uma curva que que acontece quando eu derivo uma curva eu obtenho um vetor que é um vetor tangente a essa curva eu faço isso nas duas variáveis por isso que eu coloquei no slide anterior que eu tenho

dois vetores tangentes um quando eu derivo em relação a u outro quando eu derivo em relação a v aí eu fixo a outra variável isso gera uma outra curva na superfície eu derivo em relação agora a outra variável e subt um outro vetor tangente dois vetores tangentes se eu fizer o produto vetorial desses vetores tangentes eu obtenho um vetor normal e com os dois vetores tangentes eu tenho o plano normal então eu consigo fazer toda a geometria que eu tinha feito antes eu consigo fazer nesse contexto isso é muito bonito superfície parametrizado olhado desse jeito

então continuando em importante que esse vetor produto vetorial seja diferente de zero de do vetor nulo porque aí eu tenho realmente um vetor normal e quando é que um produto vetorial é diferente de zero Quando os dois vetores são linearmente independentes Qual que é a ideia de linearmente independentes e linearmente dependentes se um deles for nulo eles são LD dependentes ou se eles estiverem na mesma direção eles também são LD ser li quer dizer que eles estão apontando em direções diferentes e de fato se ele se esse produto vetorial é diferente de zero eu efetivamente

tenho dois vetores Independentes no plano tangente e de fato tem um plano tangente gera um plano tangente de verdade e gera um vetor normal de verdade se isso se anular se degenera a superfície não é legal então eu vou chamar de superfície regular aquela em que isso ocorre tá isso garante a existência do plano tangente e da reta normal reta tangente se eu quiser escrever eu tenho o vetor tangente tenho o ponto normal redação de uma equação de reta ponto mais variável vetor plano tangente ponto mais variável primeiro vetor variável segundo vetor Então agora eu

tenho mesmos instrumentos para fazer geometria sobre a superfície eh ex vou dar dois exemplos numéricos coordenadas cilíndricas lembra das coordenadas cilíndricas aqui tá coordenadas cilíndricas no R3 inteiro três variáveis eu tenho o ponto P x y z cartesiano altura z t ET das coordenadas polares e r aqui na base esses três variáveis são as coordenadas cilíndricas tridimensionais relação entre as cilíndricas e as cartesianas é que X R cosseno teta y r seno teta z = z Tô interessado em superfície não em sólido 3D superfície de um cilindro de um pedaço de cilindro de um tronco

de cilindro eu fixo r r vai deixar de ser variável para fazer um tronco cilíndrico eu pego por exemplo X2 + Y2 = 2 eu fixo o a o a Deixa de ser variável o r Deixa de ser variável fixo no valor do raio do cilindro varia o teta varia o z e isso é a superfície cilíndrica se eu derivar essa parametrização né Observe que a parametrização eh ficou a cosseno teta a seno teta Z são as mesmas pressões das coordenadas cilíndricas só que com o r fixado se eu derivo em teta dá um vetor

tangente na variável teta aqui dá zero a segunda derivada e quando eu derivo em Z dá o outro vetor tangente dá 0 0 1 então aqui os dois vetores tangentes Na verdade o que está acontecendo é que eu parametrize o cilindro um tronco de cilindro assim foi isso que eu parametrize quando eu derivo em eu obtenho um vetor que é horizontal tangente desse tipo e quando eu derivo em Z obtenho um vetor que é vertical é tangente deste tipo que é o plano tangente ao cilindro certo bem normal e o vetor normal eu obtenho fazendo

o produto vetorial da aeno teta a seno teta é só desenvolver lembra do produto vetorial I JK as coordenadas dos vetores e desenvolve o determinante no nosso exemplo o vetor normal tá aqui perpendicular ao cilindro um exemplo numérico achar o plano tangente e o ao cilindro X2 - Y2 = 4 no ponto 1 √3 5 São pegar aquelas contas e fazer numericamente né o x t z o vetor normal é 2 cosseno Essa é a parametrização do cilindro desculpe 2 cosseno 2 seno Z eh para que esse ponto aqui esteja no cilindro ele vai ter

que ter aqui por exemplo que isso aqui seja 1 o cosseno tem que ser meio então o ângulo tem que ser 60 pi so 3 e se eu fizer x de Pi so 3 5 nessa fórmula dá exatamente 1 √3 porque o cosseno de 60 é √3 so 2 cancela o 2 fica o √3 e o Z = 5 e o resto é fazer substituição o vetor tangente no pi sobre 3 fica √3 1 0 o vetor tangente no z é constante então independe do Z 0 1 o vetor normal a gente já tinha visto

2 cosseno 2 seno fazendo no teta iG pi so 3 dá 1 √3 0 é um vetor horizontal o vetor normal e bom e o plano tangente equação vetorial ponto variável vezes vetor tangente variável vezes vetor tangente tá aqui a equação vetorial do plano tangente e a equação geral AX byy + CZ + d o vetor normal e tinha aqui igual a 1 E3 0 no C então X3 y + d = 0 passa por esse ponto substituo e acho o d - 4 então tá aqui a equação Geral do plano cer quer dizer Todas

aquelas aquela geometria dá para fazer aqui e para encerrar a lembra das coordenadas esféricas r f e teta isso 3D com a as variáveis cartesianas R seno F cosseno teta R seno F seno teta e r cosseno Fi com teta phi e r variáveis certo agora eu quero a superfície esférica X2 + Y2 + E2 = A2 que que eu faço mantenho fixo o raio quando o raio varia nas coordenadas esféricas ele mede na varia a distância em relação à origem quando eu fixo a distância igual a a eu tenho a superfície da esfera E

aí de novo dá para fazer as mesmas coisas as fórmulas são um pouquinho mais complicadas mas eu parametrize a superfície esférica e quando eu derivo em teta derivo em Fi da essas expressões que são os vetores tangentes à superfície esférica e o vetor normal que tem essa expressão aqui fazendo produto vetorial nós vamos usar tudo isso na próxima aula para fazer integrais sobre superfícies por hoje ficamos aqui [Música] [Música] C l