Propriedade de invertibilidade dos modelos autorregressivos e de médias móveis

Oi Oi pessoal tudo bem no vídeo de hoje a gente vai falar sobre a propriedade de imbatibilidade nos modelos autoregressivos e de médias móveis ainda tibilidade é uma propriedade importante que nos permite descrever o modelo autoregressivo por meio dos erros aleatórios no mesmo sentido a gente também pode utilizar a propriedade repetibilidade para escrever o modelo de médias móveis através de um processo auto-regressivo o primeiro vamos supor um processo auto-regressivo dado por y t = fiz um yt menos um mais at e agora vamos levar todos os elementos variáveis dessa expressão E com isso a gente

obtém yt - 1 = fio um y t - 2 mais é ter menos um agora a gente vai substituir o termo yt menos um da equação defasada na primeira expressão e fazer as substituições fazendo substituições a gente obtém uma estrutura que agora tá em função de y t - 2 e é ter menos um vamos de fazer novamente a variável Y para o período ter menos 2 e na sequência vamos substituir o yt menos dois expressão defasada na equação de yt e após a substituição temos que yt agora está em função de y te

menos três é ter menos 2 e é ter menos um perceba também que o coeficiente e segue um padrão decrescente bem específico a partir desse padrão quando a gente repete o processo e vezes a variável y p é representada por fim um elevado aí yt menos ir mas é ter mais fiz um é ter menos um mas fiz um ao quadrado é ter menos dois mas tananan mais fiz um elevado aí é ter menos e se o modelo original foi estacionário ou seja se o parâmetro fee for menor do que 1 quando o itens para

infinito o fi um elevado aí tende para zero então a gente pode simplesmente eliminar o termo fio um elevado aí e eles vão ter menos E aí o resultado dessa operação é que a variável y te pode ser representada pelos choques aleatórios que nada mais são do que o próprio modelo de médias móveis pois resultado é muito importante porque nos mostra que o modelo autoregressivo quando ele é estacionário ele pode ser invertido no processo de médias móveis e o resultado desse processo de invertibilidade é o que a gente chama de funções de impulso resposta às

funções de impulso resposta Elas mostram como a variável dependente varia a partir de um choque que é dado em um momento específico do tempo nesse caso o choque vai depender da estimativa do parâmetro Fi que estimado Pelo modelo autoregressivo quanto mais recente é o choque maior é o efeito esperado sobre a variável e vamos ver um exemplo se supõe um processo auto-regressivo com parâmetro Fi = 0,7 e ao inverter o modelo autoregressivo obtemos um processo de médias móveis que vai ser construído a partir do valor que estimamos definir os coeficientes do modelo de médias móveis

é compõem a função de impulso resposta essa função ela pode ser ilustrada por um gráfico que projeta os coeficientes estimados ao longo do tempo o valor 0,7 corresponde ao próprio pe obtido Pelo modelo autoregressivo e no modelo de médias móveis ele representa o coeficiente do resíduo do período ter menos um o coeficiente do resíduo do período ter menos dois é obtido elevando o 0,7 ao quadrado a função impulso resposta é construída a partir da ligação desses coeficientes ao longo do tempo O primeiro é perceba que a função tem um formato de crescente esse formato tem

relação Direta com a condição de estacionalidade da variável para variáveis que são estacionárias choques dos erros se dissipam o nome do tempo ou seja se um choque foi dado hoje ele causa um grande efeito na variável dependente mas na medida que o tempo passa esse choque vai perdendo força por exemplo vamos supor que o y seja a inflação e num determinado momento do tempo a inflação é impactada por um evento exógeno que acontece na economia pode ser um choque de oferta um choque de demanda o coeficiente 0,7 representa a parcela do Choque que permanece no

período posterior ao choque em dois períodos a frente essa parcela se reduz para 0,49 passado sair 12 períodos esse choque praticamente se disse porque fica muito próximo disso é o valor do coeficiente tem implicações importantes sobre o tempo de resposta da variável para um impulso que é dado em determinado período do tempo quando o coeficiente tá mais próximo de zero o choque tende a se dissipar rapidamente para outro lado quanto maior for o coeficiente nódulo maior será o tempo necessário para o choque se dissipar é uma outra forma de visualizar os choques é pela função

de impulso resposta acumulada para construir essa função primeiro a gente soma os valores dos coeficientes estimados e depois a gente Prota esses valores somados ao longo do tempo deixe esse gráfico o gráfico nos mostra o efeito máximo do Choque Inicial nesse caso o efeito máximo ele converge para cerca de 2,3 após 18 períodos vamos supor novamente que o y seja a inflação quando um shopping de um ponto percentual é dado ele se expande para 2,30 e... Percentuais 18 meses para frente e depois estabiliza quanto mais Inicial for inflação maior vai ser o efeito acumulado E

também o período de tempo necessário para o choque se dissipar Tá bom então a gente percebe que estacionariedade e invertibilidade e a construção de funções impulso resposta são conceitos que se inter-relacionam de forma semelhante também é possível inverter um processo de médias móveis em um modelo autoregressivo vamos supor um modelo ma1u igual a y t = me mais é ter menos teto um é ter menos um e vamos isolar o erro da equação e depois defasar todos os elementos e agora vamos substituir o e ter menos um da equação defasada na equação principal o resolvendo

a expressão a gente percebe que yt tá em função do erro contemporâneo é ter do componente auto-regressivo yt menos um da Média me e do erro do período ter menos dois de fazendo novamente em dois períodos a equação dos erros a gente obtém é ter menos dois igual a eles vão ter menos 2 - me mais fiz um é ter menos três substituindo o termo até menos dois na função de yt e desenvolvendo a expressão a gente obtém y t = me mais certa um me mais teto ao quadrado me menos reta 1yt - 1

- reta 1 ao quadrado Y T - 2 mas é ter menos tenta um Ao Cubo Y P - 3 e refazendo esse exercício de forma recursiva de luz que o yt ele pode ser dividido em três conjuntos de elementos O primeiro é uma progressão geométrica que converge para o termo me sobre um menos teto um o segundo é uma estrutura alto regressiva Oi e o terceiro é composto pelo erro aleatório contemporâneo e o termo reta um elevado aí é ter menos ir é bom nesse caso se o teto um modular for menor do que

1 e o entender para infinito a expressão que envolve o teto um elevado aí pode ser cancelada então a gente vê que o modelo de médias móveis pode ser invertido em um processo auto-regressivo infinito e Existem algumas características do processo de vestibilidade do modelo M A que são importantes mencionar primeiro o modelo M A só Será invertível se o parâmetro teto modular tiver no intervalo de 0 a 1 se o teto um modular for maior do que um isso quer dizer que o peso das observações passadas mas ser cada vez maior do tempo o que

Teoricamente sua bastante estranho porque a gente espera que as observações mais próximas a fé tem mais a variável do que as observações mais distantes o segundo se trata um modo lá foi igual a um então a gente teria um modelo a r com infinitas raízes unitários Então pessoal que a gente percebe é que enquanto o modelo autoregressivo tem restrições de estacionariedade o modelo de médias móveis tem restrições de invertibilidade a condição de imbatibilidade do modelo M A pode ser verificada pela equação característica dos erros de uma forma muito semelhante com aquela que a gente faz

para investigar o processo de estacionariedade um modelo autoregressivo para isso a gente escreve o modelo m&a na forma de polinômios de defasagens a partir da equação 1 - reta é igual a zero a gente obtém a raiz característica caso o teto modular seja menor do que 1 é a raiz do polinômio característico vai ser maior do que 1 e nesse caso o modelo e me abracem invertível porém se o parâmetro teto for igual ou maior do que um isso quer dizer que a raiz do polinômio vai estar dentro do Círculo unitário e nesse caso o

modelo M A não ser a invertível para resumir vamos traçar aqui algumas dualidades entre os modelos a rma o primeiro o modelo a r tem restrição de estacionariedade enquanto o modelo M A tem restrição de invertibilidade e Todo modelo Aero estacionário é automaticamente invertível ao passo que todo modelo.na invertível é também estacionário e de forma compacta o modelo aer pode ser escrito por Fi que multiplica l y t = ET sua forma invertida pode ser escrita por em São T = Fi que multiplica L elevado a menos 1 vezes é ter já o modelo m&a

na sua forma compacta é representado por y t = tetra que multiplica L vezes é te quando o modelo M A invertido ele pode ser escrito como reta que multiplica L elevado a menos um y t = ET bom pessoal se 20 vai ficando por aqui e a próxima e bons estudos [Música]