Modelos de médias móveis - propriedades da média e variância

o Olá pessoal tudo bem nesse vídeo vamos falar sobre os modelos de médias móveis esses modelos também fazem parte da família dos modelos arima é um processo denominado de média móvel ocorre quando Y pode ser representado pela média ponderada dos choques aleatórios do modelo por exemplo yt aqui é um processo e média móvel que pode ser escrito por me mais é ter menos reta um é ter menos 1 - tetra dois até - 2 - a reta que é ter menos que o at é um termo de erro aleatório independente e identicamente distribuído comédia zero

e variância constante igual a Sigma 2 e os componentes é ter menos um até menos dois e até menos três são as defasagens do erro veja que o subscrito da última defasagem do erro é representado pela letra que então a gente pode dizer que esse modelo é um processo de médias móveis de ordem que para simplificar a notação algébrica os termos de erro defasados são denominados com sinais negativos essa colocação nos permite escrever o modelo M ar por meio de uma forma compacta muito parecida com a forma proposta Pelo modelo autoregressivo para escrever a forma

compacta do processo m a chamamos de élite o operador de defasagens do erro em e ter menos um L2 at o operador de defasagens do erro é ter menos 2 e é like at que é o termo que representa a defasagem do erro é ter menos que bom então isolando o erro na equação e colocando todos os parâmetros e os operadores de defasagem dentro do parênteses a gente chega Nessa expressão E para finalizar escrevemos a forma compacta por yt igual atleta que multiplica lx-at a qual representa um processo de médias móveis de grau que em

L assim como modelo autoregressivo é importante compreender também as propriedades de média e variância dos processos de médias móveis vamos começar aqui pela média móvel de um processo e mi A1 = me mais é ter menos teto um é ter menos um e me é uma constante qualquer então aplicando operador de esperança matemática na equação temos que a esperança de y t = esperança de mim mais a esperança de at menos reta é ter menos um a esperança matemática de uma constante é a própria é constante então é de mim É igual ao próprio coeficiente

m e como supomos que a média dos erros é igual a zero ao aplicarmos a esperança matemática nos termos defasados dos erros a gente pode eliminar esses componentes portanto a esperança matemática de y = constante m e em uma dele mi A2 denominamos Y como função de mim mas é ter menos teto um é ter menos 1 - reta 2 é ter menos dois aplicando a esperança matemática novamente os erros são cancelados Por que a média do erro é igual a zero então a esperança de y novamente vai ser igual a mim E se generalizarmos

o modelo por um processo e me aqui Chegamos aqui a mesma conclusão então a média esperada de um processo cm a = constante do modelo e se Y é um desvio da média aí então modelo especificados em constante o valor esperado de y se resume a zero não importa a ordem do modelo M A esse resultado que ele interessante porque a gente consegue concluir que não existe uma restrição específica presente nativas dos parâmetros reta para que Y seja estacionar em relação à média Então por construção um processo de médias móveis sempre vai ter uma média

estacionária porque os erros tem por característica média igual a zero e vamos ver o que acontece com a variância dos modelos de médias móveis vamos denominar novamente o modelo ma-1 por yt igual a mim mas é ter menos reta um é ter menos um agora vamos representar aliança desse processo por Gama 0 igual a esperança de y ter menos me elevado ao quadrado como a gente viu o me Aqui é o valor esperado de y agora vamos substituir Y dentro do parênteses pelo processo.na que a gente acabou de colocar descrevemos a variância do processo por

grama zero igual a esperança de mim mas é ter menos teto um é ter menos um menos me tudo isso é o quadrado eliminamos os termos positivos e negativos de mim e agora calculamos o quadrado dessa sono o resultado fica é ter ao quadrado menos duas vezes é ter vezes é ter menos um mais reta uma quadrado vezes é ter menos um quadrado aplicando a esperança matemática em cada elemento obtemos a esperança de Ethel quadrado menos duas vezes a esperança de ET vezes até menos um mais reta uma quadrado vezes as esperanças de é ter

menos um quadrado os coeficientes e os termos constantes saem do operador de esperança e vamos analisar primeiro o termo do meio e esse componente indica autocovariance de primeira ordem dos erros posto posição a gente definiu que os resíduos são independentes e identicamente distribuídos isso quer dizer que os resíduos não são autocorrelacionados Então por consequência autocovariancia dos erros vai ser igual a zero o que faz com que o termo do meio que seja Zerado o primeiro termo representa a variância do erro no período ter e o último definir a variância do erro no período de ter

menos um como definir os que os erros são identicamente distribuídos então a variância dos erros independentemente do período temporal que ele é analisado vai ser igual a Sigma do Este é dessa forma a gente pode representar a variância do processo ma-1 como Gama 0 = Sigma 2 já é mais reta uma quadrado vezes Sigma 2 d e e o Sigma 2 de e a variância do processo é descrita por Brahma zero igual a um mais reta 1 ao quadrado vezes Sigma 2 de E então em relação à condição de estacionariedade a gente percebe que não

existe uma restrição para os valores de PETA desde que esses coeficientes sejam infinito a variância do processo ma-1 também vai ser constante infinita no processo ma2 com a inclusão do termo - sim - peta2 é ter menos dois a variância de y passa dependente de todos os componentes ao quadrado mais da multiplicação cruzada Entre todos eles como agente supõe que autocovariancia dos erros é zero Então as esperanças matemáticas de todos os elementos cruzados vão ser anulados sobrando aqui apenas os termos individuais dos erros ao quadrado dessa forma ao aplicar Esperança matemática nos erros o e

utilizando também essa posição de que os erros são distribuídos de forma Idêntica a gente chega à conclusão de que Gama 0 vai ser igual a seguir uma 2D é que multiplica um mais reta 1 ao quadrado + teto 2 ao quadrado generalizando para o modelo M aqui a gente pode definir a variância de Y como Gama 0 = Sigma doce é que multiplica um mais te tão ao quadrado mais esperta 2 ao quadrado + teto Ah que ao quadrado se os coeficientes teto ah e o e os valores de que são finitos então a variância

do processo m&a que consequentemente também vai ser constante e infinita É bom assim a gente pode concluir que os processos de médias móveis São fracamente estacionárias por construção e não existe uma restrição específica de valores que esses parâmetros poderiam assumir para manter a propriedade de estacionariedade desses modelos se 20 fica por aqui até o próximo e bons estudos e