O PROBLEMA (quase) IMPOSSÍVEL | Problema das 3 casas

hoje eu vou trazer para vocês um problema até bem conhecido que leva a forma de ser impossível só que não é bem assim um brinde ao tema de hoje o famoso problema das três casas Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e hoje eu vou falar para vocês sobre um problema que parece um daqueles Desafios que surgem ali no encontro de bar entre amigos inclusive ele está até representado aqui nessa Caneca é o problema das três casas A ideia é muito simples a gente tem três casas e três serviços básicos água

gás e Luz você precisa ligar cada um desses serviços a cada uma das três casas Porque toda a casa precisa de água gás e luz mas tem uma questão aqui você não pode cruzar as letras eu não quero correr o risco de estragar minha linda caneca que tá novinha zerada então eu vou fazer isso no iPad Então vamos lá eu vou começar ligando a água nas três casas Porque sem água não dá agora vamos para o gás primeiro eu vou fazer esse aqui agora essa aqui sobrou aquele beleza todo mundo com gás também falta luz

aqui tá fácil esse aqui também e aí já deu ruim o que faltou a primeira casa vamos de novo vou começar pelo gás um dois três agora tanto faz assimétrico vou fazer a água isso vai aqui isso vai aqui esse aqui vai por cima agora A luz primeiro aqui depois ali já ferrou de novo o que sobrou ali no meio a forma Pelo visto está certa esse problema parece que não tem solução mas aqui a gente Aprecia a matemática e um matemático quando ele encontra um problema difícil que parece impossível ele não larga a caneta

vai fazer outra coisa porque se ele não consegue fazer ele precisa provar que ninguém consegue ele precisa provar matemáticamente que o problema é impossível e como é que a gente prova que algo é impossível se você vai provar que era possível era só exibir uma solução uma forma de fazer que desse certo mas para provar que é impossível o que você quer na verdade fazer é dizer que não importa a forma que você tem de fazer esse desenho ela nunca vai dar uma solução você nunca vai conseguir ligar as três casas uns três serviços sempre

usar as linhas e como é que a gente consegue provar um negócio desses é isso que a gente vai fazer agora eu gosto muito desse problema porque ele é intimamente relacionado com a segunda equação mais bonita da Matemática a relação de yoga Inclusive eu já fiz um vídeo bem completo sobre essa equação eu vou deixar o link aqui na descrição que é para você ver Depois esse vídeo vai se aprofundar mais nesse assunto caso você queira vale muito a pena porque você vai ganhar uma intimidade maior com relação de olha entender de onde ela vem

na verdade a gente pode rapidamente provar que o problema é impossível usando a relação de olha mas eu acho que a gente aproveita mais essa experiência pensando realmente no que está acontecendo ao invés de usar uma fórmula pronta isso aqui não é um teste a gente não tá com pressa Então vamos fazer a coisa calmamente e desfrutando do passeio é o seguinte esse problema pertence a uma área chamada de teoria de grafos grafos são uniões de pontos e linhas que no caso a gente chama diversos e arestas Então as casas e os serviços vão ser

os vértices e a conexão entre eles vão ser as nossas arestas o que o problema pede que a gente faça é criar um gráfico envolvendo esses pontos que não tenha intercessão entre as arestas os matemáticos chamam isso de um gráfico e é aqui que entra a relação de oiler porque ela relaciona vértices arestas e faces e um gráfico planar as pastas aqui são as regiões fechadas e mais o exterior só que em vez de usar uma fórmula que é uma coisa que normalmente não acrescenta muito na nossa vida vamos construir a ideia porque isso vai

levar a gente a um nível mais profundo de compreensão inclusive da própria forma a ideia é a seguinte vamos começar num ponto Qualquer e imaginar que os demais pontos estão apagados Cada vez que a gente traz uma aresta conecta um novo ponto esse ponto se acende daqui a gente tem que descer para um outro serviço que acende E daqui a gente tem que ir para uma outra casa que também se Acende agora aqui a gente tem duas opções ir para outro serviço que também se Acende ou então ir para o primeiro serviço que já está

aceso Só que aí o que acontece toda vez que você atinge um ponto que já está aceso você forma uma nova região fechada e olha só como é que a relação de óleo entra nessa jogada a gente vai contar só os vértices acesos no começo só tinha um vértice uma aresta e uma Face vem menos a mais F dá dois depois a gente traçou uma aresta sendo um vértices los vérticesumar mais F2 mesma coisa depois usamos uma nova aresta para acender um novo vértice e ver menos a mais F também deu dois e quando voltamos

num ponto já aceso não tem vértice novo mas tem uma aresta nova e uma Face nova uma nova região E aí tem menos a mais F continua dando 2 vai dar sempre a dois Essa é a relação de yoyoler um gráfico aná ela disse que viu menos a mais F dá sempre dois beleza mas por que que a gente não consegue resolver o problema da S3 casas bem a gente tem seis vértices se a gente conseguir se conectar cada serviço a cada casa seriam três vezes três nove arestas ao todo olhando para a fórmula de

óleo a gente descobre que Se existisse uma solução ela seria um gráfico com cinco Faces a gente também podia chegar nessa conclusão com aquele nosso raciocínio dos pontos acesos a gente começa com um ponto e tem nove arestas para conectar os outros cinco pontos então é claro que cinco dessas arestas vão acender esses cinco pontos e as outras quatro arestas vão atingir pontos que já estão acesos e portanto vão criar novas regiões fechadas quatro novas fases juntando com a face do papel você então cinco Faces ao todo beleza mas qual é o problema de ter

cinco Faces O problema é que isso é impossível olha só a menor fase possível a que usa o menor número de arestas vai usar quatro arestas porque você começa por exemplo daqui depois desce para cá depois você tem que subir para algum outro ponto porque você não pode conectar serviços com serviço e depois aí sim você pode fechar Então você gastou quatro arestas como uma solução hipotética teria cinco regiões cada região Condomínio 4 arestas Então são quatro vezes cinco 20 arestas no total Só que tem uma duplicidade aí porque na verdade cada aresta pertence a

duas regiões Então a gente tem que dividir por dois e descobrir que são necessárias pelo menos 10 arestas para formar um gráfico desses Só que a gente tem 9 arestas então é impossível olha só que bacana para provar que uma coisa é impossível a gente pensou em como seria uma solução hipotética e mostrou que ela viola um fato matemático relação de oiler ou seja se tivesse uma solução então a gente teria uma contradição com uma verdade matemática mas com a matemática não se discute Então na verdade não tem como existir uma solução do problema nas

três casas ou será que tem elas são de Olha é uma equação que pertence ao campo da topologia que é uma área da matemática que estuda propriedades que não mudam com a gente deforma o nosso objeto por exemplo esse problema das três casas não tem solução no papel nem se a gente usasse também o verso da folha para continuar os desenhos porque desse jeito é como se eu desenhasse sobre um balão murcho isso inflar o balão ele vira uma esfera é a mesma coisa que fazer uma deformação balão murcho esfera e a relação de olha

não muda com uma deformação porque ela é um invariante odontológico ele nos a mais F continua dando 2 mesmo sobre a superfície de uma esfera e aqui entra essa caneca que eu mesmo mandei fazer ela não é uma homenagem é um problema impossível ela é uma homenagem a um problema possível se você forçar um pouquinho a sua imaginação consegue perceber que é possível deformar uma caneca numa rosquinha um toro como dizem os matemáticos Só que também é verdade que não dá para deformar um Toro e fazer ele virar uma esfera e vice-versa a esfera e

o toro são superfícies topologicamente diferentes não dá para deformar uma na outra então existem fatos topológicos sobre elas que não são iguais por exemplo a relação jóia relação de óleo na Esfera é venenosa mais f = 2 igualzinha no plano mas a relação de óleos notório é bem menos a mais f igual a zero fazendo a conta você vê que uma solução notória para o problema das três casas teria que ter três passos isso de fato é possível primeiro ligamos a água nas três casas depois o gás na esquerda na direita e para fechar em

cima eu vou dar a volta por trás para a luz eu vou fazer primeiro aqui e os outros dois eu dou a volta pelo outro lado para não ter problema repara que nós temos uma duas três regiões com 6 vértices e 9 arestas vemos a + f dá zero como a gente tinha previsto E é claro que para fechar esse vídeo eu tenho que fazer a solução na caneca não vai ter problema nenhum porque ela é topogicamente equivalente ao toro é possível deformar uma coisa na outra vamos começar ligando a água agora o gás esse

esse a casa no meio Vou Deixar para depois alguns aqui a luz aqui em cima repara que tudo que a gente fez até agora poderia ter sido feito também no papel a gente ainda não tirou vantagem de estar numa Caneca Então a próxima luz eu vou fazer dando uma volta por baixo da alça para chegar na outra casa e aí eu vou conectar o gás da última casa usando a alça e fim um problema impossível no papel mas que é perfeitamente possível numa caneca e o porquê disso está na relação de oiler Na minha opinião

é a segunda equação mais bonita da Matemática se você quiser saber mais sobre ela nem que está na descrição não se esqueça de deixar o like se inscrever e até a próxima