O que é DIMENSÃO? 2D, 3D, 4D… DIMENSÃO INFINITA?

gravidade é uma curvatura de um espaço tempo de quatro dimensões Como você sabe o que que é dimensão duas menções três quatro dimensão infinita pois dimensão é o assunto do vídeo de hoje Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e dimensão é uma palavra que a gente vê usar às vezes de uma forma até meio Mística mandar o sujeito para outra dimensão e aí o cara some a gente vai falar de dimensão de uma forma matemática mas esse negócio aí de desaparecer em outras dimensão até que faz um certo sentido mas

vamos começar do simples essa folha ela tem quantas dimensões ela tem duas beleza Mas e esse balão aqui tem gente que pensa que são três mas ele tem só duas dimensões não é porque ele é uma coisa curva num espaço de três dimensões que ele também tem três dimensões não é isso ele é só um objeto cubo de duas dimensões num ambiente tridimensional só que o ambiente é uma coisa e o objeto é outra um tempo atrás eu fiz um vídeo sobre o problema das três casas então na descrição o problema é ligar três utilidades

a cada uma das três casas sempre usar as linhas esse problema é impossível no papel dá para provar que ela é matematicamente impossível e eu acho que o vídeo papel é uma super bidimensional mas tem outra superfícies bidimensionais onde esse problema tem solução por exemplo na superfície dessa Caneca na sua casca bidimensional e se você olhar os comentários desse vídeo das três casas vai ver que tem muita gente falando que não tem solução em 2D mas tem solução em 3D só que não é isso a solução continua sendo em duas dimensões na caneca a gente

está desenhando sobre uma superfície bidimensional e não é porque ela é uma superfície curva no espaço de três dimensões que as soluções existe por exemplo numa esfera não tem solução Apesar dela ser uma superfície dois de curva no nosso espaço tradicional então aquele vídeo eu explico o que que é superfície precisa ter o problema dá certo para existir uma solução dá uma olhada lá depois mas lembra que tudo continua sendo em 2D isso é porque o conceito de dimensão é uma qualidade intensa que é do objeto e não do espaço onde a gente está enxergando

ou representando esse objeto Pensa num segmento de reta uma linha a única dimensão que ele possui é aquela que vai no sentido do seu complemento ele não tem altura nem profundidade é um objeto de uma dimensão representado no papel ele continua com uma dimensão apesar do Papel ter duas dimensões se a linha formaliável e a gente formar uma curva com ela no papel essa curvatura não faz a linha ter duas dimensões a dimensão uma propriedade intensa cada linha mesmo curva sobre o papel ela permanece unidimensional e se eu tirar ela do papel e torcer livremente

pelo espaço a dimensão dela continua sendo um mesmo eles estão agora no ambiente de três dimensões então a dimensão é uma característica intrínseca do objeto e não deve ser confundida com a dimensão do ambiente onde o objeto está mergulhado Ok mas o que é realmente dimensal Vamos começar com as coisas mais fáceis um ponto é a coisa mais simples da geometria e a dimensão dele é zero uma reta é um objeto de dimensão um a gente marcar um ponto de referência nela podemos traçar um vetor que vai lá para o lado que a gente escolheu

chamar de positivo qualquer ponto do lado positivo da reta pode ser atingido pela ponta desse vetor esticando ou encolhendo ele é exatamente como se a gente estivesse multiplicando o tamanho desse vetor se multiplicar por um número maior do que 1 o eventualmente se multiplicar por um número menor do que 1 o vetor diminui vai chegar nos pontos do lado negativo da reta a gente precisa inverter o sentido da Seta e depois esticar ou encolher conforme a necessidade como se agora a gente tivesse multiplicando o vetor por um número negativo que inverte o sentido do vetor

Ou seja é possível chegar em todos os pontos da reta simplesmente multiplicando um único vetor por um número positivo ou negativo como a gente só precisa de um único vetor para conseguir isso a dimensão da reta é igual no plano é diferente um único vetor não vai dar conta e aqui entra dentro de kart com as chamadas coordenadas cartesiadas usando duas retas que se cruzam dá para localizar qualquer ponto no plano através de duas coordenadas derivadas dessas retas mas cada uma dessas retas é unidimensional e pode ser totalmente representada por um único vetor então a

ação combinada desses dois vetores é capaz de chegarem em qualquer ponto do plano como esses vetores não estão numa mesma reta um não tem como ser múltiplo do outro a gente diz que eles são linearmente independentes então qualquer ponto do plano é alcançado somando múltiplos de dois vetores linearmente Independentes esses dois vetores formam uma base para o plano e como são dois elementos na base o plano tem dimensão 2 o espaço que a gente enxerga é tridimensional ele tem uma coordenada mais que pode ser uma perpendicular as coordenadas planas que vimos AIDS isso coloca mais

um vetor na jogada e esse vetor não pode ser gerado a partir dos outros dois porque ele não está no plano que aqueles dois geram Então os três vetores coordenados também são linearmente independentes e qualquer ponto do espaço pode ser localizado usando as três coordenadas desses vetores portanto eles formam base para o espaço e como são três vetores o espaço tem três dimensões a dimensão então é um número de vetores linearmente Independentes necessários para se gerar o espaço que estamos analisando é o número de vetores da base esses espaços de retas planos e espaços 3D

obtidos com coordenadas cartesianas são conhecidos como espaços euclidianos onde as noções usuais de cumprimento se aplicam um plano é um espaço cleidiano de dimensão 2 uma reta é um espaço de dimensão espaço cleidiano são tipo mais simples de espaço é onde o conceito de dimensão fica mais claro isso até a gente olhar para dimensões maiores porque aí a gente não tem mais a intuição geométrica para entender esses espaços a gente simplesmente não é capaz de imaginar as dimensões maiores que três visualmente ninguém precisa então mais a dimensão quatro já é um tremendo desafios quer ver

só uma coisa que não tem dimensão quatro são Nós seres de quatro dimensões não podem usar sapatos como cadastros poderia ser desfeito simplesmente erguendo o cadastro pela quarta dimensão da mesma forma que duas linhas estão cruzadas no papel mas você pode desprezar elas levantando uma através da Terceira Dimensão outra coisa é que Esteves de quatro dimensões não podem usar balões de festa no seu aniversário isso porque esse balão aqui só é fechado no espaço de três dimensões com quatro ele passa a ser aberto quais escaparia dele através da Quarta Dimensão isso é a mesma coisa

que um círculo num papel ele é fechado separa o plano em uma região interior e outro exterior Mas se a gente levar o círculo pelo nosso espaço tridimensional ele já não separa mais o espaço entre uma região de dentro e outra de fora até aqui a gente falou de dimensão dos espaços euclideados Mas e quando o espaço é Corvo Por que que uma esfera tem dimensão dois mesmo sendo uma coisa curva num espaço 3D na matemática esses objetos curvas são chamados de variedades Se você olhar para um pedaço bem pequeno de uma variedade eles parece

muito com espaço nada a dimensão da variedade nesse ponto é a dimensão desse espaço euclidiano local por exemplo pensando na sua escada favorita a minha é a superfície da terra se a gente pegar um pedaço bem pequeno do planeta como por exemplo aquilo que os nossos olhos alcançam quando olhamos para o mar a superfície da terra vai parecer Clara um plano é o espaço clidiante dimensão 2 por isso a superfície da terra e qualquer esfera É também um espaço de dimensão dois Porque localmente se parece com um plano quando a relatividade geral diz que a

matéria é curva o espaço tempo estamos dizendo que esse espaço tempo é um objeto Curvo de quatro dimensões e se você olhar uma porçãozinha bem pequenininha dele vai aparecer cada vez mais com espaço cotidiano de quatro dimensões que já é uma coisa bem complicada de imaginar colocando o pé um pouco mais no chão mas não muito tem uma superfície curiosa chamada de garrafa de Klein ela é um objeto de duas dimensões como a esfera só que ela não pode ser visualizada corretamente no nosso ambiente tridimensional a garrafa de é uma superfície 2D que só pode

ser representada direito no espaço de quatro dimensões lá ela não tem auto interseções Diferentemente dessas representações imperfeitas que a gente produz para enxergar lá na nossa perspectiva de ser extradimensionais é como um cubo desenhado no papel no plano ele tem interseções que na verdade não existem Realmente são apenas defeitos da sua representação imperfeita no ambiente de duas dimensões ao invés de três e de quantas dimensões do espaço ambiente a gente precisa para visualizar corretamente com objeto matemático de dimensão n o item provou que de um modo geral com espaço ambiente como no máximo o dobro

da dimensão do objeto a gente consegue uma representação correta a garrafa de klain chega nesse limite ela tem duas dimensões e precisa de quatro dimensões para ser representada corretamente Diferentemente de um Thor que também tem duas dimensões mas já pode ser corretamente representado no ambiente tridimensional é brincadeira com as dimensões pode ir além A gente pensar em espaços de dimensão cada vez mais alta inclusive espaços de dimensão infinita e com dimensão infinita E aí que a nossa intuição quebra completamente são espaços extremamente bizarros cada espaço euclidiano tem a sua própria noção de bola é o

conjunto dos pontos que estão uma distância até o centro menor ou igual raio em três dimensões a bola é um objeto maciço com uma bola de boliche a terra na verdade não é uma esfera esfera é só a superfície o planeta como todo é matematicamente uma bola em duas dimensões a bola é um disco e uma dimensão é um segmento de reta e uma forma de dizer quando um espaço tem dimensão finita ou não que é olhando justamente para as bolas nesses espaços é um resultado conhecido como teorema de banana que alguru e que diz

o seguinte o espaço tem dimensão finita sim e somente sim a bola desse espaço for compacta Isso significa que em dimensão finita Se você pegar uma bola e começar a escolher pontos dentro dela Conforme você escolhe mais e pontos é inevitável que eles comecem a se acumular em algum lugar não dá para evitar Isso é uma característica da dimensão finita só que em dimensão infinita dá para escolher pontos na bola de dimensão infinita sem que ele jamais se acumulem intuitivamente é só você ir pegando pontos em dimensões diferentes como são infinitas dimensões eles vão ficar

todos muito bem separados e não irão se acumular nunca mas mesmo em dimensão finita tem uma última coisa muito curiosa sobre bolas que eu gostaria de dividir com vocês cada espaço tem a sua própria bola e é possível calcular o volume de qualquer bola nidimensional e Acontece uma coisa muito interessante quando a gente faz isso se a gente imaginar que todas essas bolas têm raio unitário na sua respectiva dimensão dá para comparar Como que o volume se comportaria conforme a dimensão da bola vai mudando uma bola de raio unitário e dimensão não tem Volume 2

é simplesmente o seu diâmetro dimensão 2 esse volume é a área que vale pi dimensão três volume é 4/3 de Pi repara que o volume vai Crescendo com a dimensão só que não é sempre desse jeito o máximo possível acontece em dimensão 5 8 pi ao quadrado sobre 15 e daí para frente o volume só diminui em dimensões muito muito altas o volume vai se aproximando de Zero Isso fica mais legal se a gente lembrar da planolândia o mundo bidimensional criado pelo escritor Edwin ébots no final do século 19 e muito lembrado pelo Call Sagan

a planoland é muito bem até o dia em que uma esfera resolve visitar esse mundo ela tenta explicar por quadrado o que que é a terceira dimensão mas o quadrado não entende nada tudo que ele vê da esfera é a sua projeção bidimensional na forma de um círculo a esfera então começa a fazer alguns truques para convencer o quadrado como atravessar planolândia o que faz com que a esfera se projete com um círculo que aumenta e depois diminui ela também consegue ver o interior de casa na planolândia mesmo estando do lado de fora pelo menos

na Perspectiva da plano LED A ideia é que criatura de dimensões maiores vão ter uma compreensão que criaturas de dimensões menores não possuem e também elas teriam capacidade que seriam consideradas mágicas pelas criaturas de dimensão menor só que como o volume da Bola tende a zero conforme a dimensão aumenta isso faz com que o volume desses seres desse visitantes dimensões mais altas seja também cada vez menor segundo a sua própria perspectiva de volume então um ser dimensão altíssima que resolvesse visitar o nosso humilde mundo tridimensional poderia se projetar para nós com tamanho muito similar ao

nosso e um monte de poderes que pareceriam Mágicos pra gente mas no próprio mundo dele o volume multidimensional desse ser seria praticamente zero a gente ele é incrível mas em sua própria realidade ele é insignificante Muito obrigado aos membros do canal E não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo [Música]