Cálculo Vetorial - Aula 3 - Dependência Linear de Vetores

o Olá tudo bem eu sou o professor Adriano Medeiros do canal lógica na matemática na hora de Oi nós vamos estudar sobre dependência linear e esse ficar bem nós vamos tratar inicialmente do que é uma combinação linear certo quando é que o evento é uma combinação linear de outros vetores depois disso aí teremos condições de definir o André que leva um conjunto de vectores linearmente dependente ou independente vamos fazer é o significado tanto algebrico quanto geométricos dessas definições para que não reste Nenhuma Dúvida aí você tá bom então sem Mais delongas o Davi ele a

névoa Meire vai anoar Station é hoje vendo a definição do que é se você combinação né abre outros A então queremos que não vê Tôa é uma combinação linear dos depois v1 V2 até iene se existem números reais x 1 x 2 x n faz que ou tem essa escrita tá ou = X 1,22 é dois né até xlv e É nesse caso aqui ó esses números reais eles são chamados de coordenadas ou é o X1 é a coordenada do vetor um na direção ver tá o X 2 é a coordenada do retorno na geração

de 2 e assim por diante tá XL a coordenada do vetor u na direção vem é eu apresentei que uma definição de forma geral leve combinação linear porque realmente você pode escrever em qualquer quantidade e depois mas a gente vai se ater ao que a gente vai trabalhar nesse curso que ela para essencialmente né não L2 ou L3 então em geral a gente vai considerar acaso tem que ir eu vou escrever e vetores como combinações de reais de dois ou de três vetores houve um retorno tá E aí eu vou fazer isso agora para você

então o primeiro caso particular que eu não considerar é quando a gente tem só o seguinte o é uma combinação linear do ver um apenas tá então quando isso aqui acontecer o que a gente quer dizer geometricamente né geometricamente Isso tá dizendo para gente que cuidar ver tem a mesma direção tá Não seja esse seria um desenho de novo eu posso colocar eles sobre uma reta A não ser que seja o vetor u ó e aqui o resolver presente Oi e aí existe uma relação entre Neto o sentido e por tamanho também com o uso

do ver né com relação ao como a gente viu lá na definição de produto por escalar e nesse caso aqui ó tem que eu fiz eles conseguimos opostos é porque o X1 vai ser um número negativo tá então o tempo que a gente usa aqui é que o IV são colineares tá então fui ver são colineares E aí E aí bom então esse é o primeiro caso particular o segundo caso particular é quando o como uma combinação linear de v1 e V2 tá quando isso aqui é acontecer a gente ele pode ser subdividido em duas

situações geométricas bem a primeira situação que é o caso em que os três setores estão sobre uma mesma reta suporte tá então por exemplo eu tenho aqui o eb1 a TV 2 bom então nessa configuração aqui em que o ar combinação única de ver um e fez dois quando v1 e V2 tem a mesma direção Obrigatoriamente oo vai ter a mesma direção né uma vez que o que a gente tá fazendo é a soma desses dois depois vem a gente dentro desse segundo caso né a gente tem uma outra situação que algum desses vetores v1

e V2 eles não são colineares às vezes não estão alinhados Então pegamos que eu tenho aqui o resolver um o inventou de 2 tá então o vetoo né é X1 ver um velha pegando que esse ver por aqui daqui até aqui ele seja o X1 ver ontem tá Edgar os que o x 2 u a ver 21 e na verdade é x 2 é um número menor do que um né faz com que o tamanho dele seja menor então ofertou né a gente usa aqui a regra do paralelogramo que a gente aprendeu e na primeira

aula bom então a gente vai ganhar né essa soma aqui tá Então esse aqui Segue o vetor u u bom então quando eu tenho o combinação linear de dois é todo seu pé sujo situações dou eles estão na mesma reta suporte E aí novamente a gente usa que esses três leitores São Paulo em Reais ou acontece essa situação aqui né quando v1 e V2 são vetores que não São Paulo em reais então o que vai acontecer aqui né é que esses três leitores eles são ditos populares né porque se você observar aquilo que a gente

está formando é a figura de um plano tá Então nesse caso que a gente fala que eles são coplanares e e é importante você memorizar essas nomenclaturas porque em geral é o que aparece na hora dos exercícios considere dois vetores colineares não consegue três vetores coplanares Então você já sabe né se você tem três vetores coplanares é porque um é combinação linear dos outros então tem reconhecimento da definição de combinação linear a gente consegue agora não é apresentada a definição que são vetores linearmente Independentes então diremos que né com um ou dois até o n

são vetores em realmente Dependência em que a gente vai abreviar o de líder e se um dos vetores por exemplo um pode ser tocado dos outros for combinação linear dos outros em - 1 de 2 tá não seja fascist esses números reais Taís que eu escrevo um como combinação linear dos outros tá então sempre que está acontecer a gente disse que esses depois são LD e lê a mente dependência caso isso aqui não aconteça né casa não consigo escrever um vetor como combinação linear dos outros a gente vai dizer que eles são linearmente independentes aí

a gente vai representar em geral de forma abreviada é por ele ok então tá aqui novamente né coloquei uma definição Geral com a quantidade n de vetores Mas como eu falei como como a gente vai considerar o centro L2 ou L3 tá então a gente na verdade vai considerar o caso que eu tenho um conjunto com 2 setores com três setores tá E aí eu vou fazer essas observações novamente aqui para vocês então primeiro caso que eu quero chamar atenção e quando a gente tiver Considerando o conjunto com dois vetores né eles vão ser ali

ver quando eu puder escrever um combinação linear do outro né ou seja o é igual e existe um real Tá ok ou é igual a 15 vezes ver a gente já viu isso quando a gente fez a definição de combinação linear quando isso aqui acontecer é porque esses dois vetores eles você colineares né é um detalhe é que caso um dos dois vetores seja o vetor muro à Óbidos que o vetor V seja o retorno bom então sempre eu vou poder escrever um como combinação baixa eu escolheu X para seja ela tem uma fazer uma

correção aqui pessoal é onde estava escrito lá né ou igual a três vezes é eu falei né que quando um dos vetores o vetor nulo né E aí no caso eu falei o vetor V para o que eu escrevi Está correto Na verdade o vetor u né se eu considerar o vetor para ser o vetor nulo né aí sim eu posso escrever né sempre o vetor nulo como sendo zero número real vezes qualquer vetor tá não só essa pequena correção é E aí sempre que eu tiver o vetor nulo em qualquer outro vetor eles eram

LD eles estão sob uma mesma reta tem como você colocar sobre uma mesma reta suporte né então quando você tiver fazendo algum exercício que só dentro que os vetores são colineares Então você já sabe que automaticamente esses vetores são LD tá agora o professor se eles não forem LD bem se eles não forem Deve que eles não vão estar é ih retas suportes coincidência ou Paralelos habitam e esse aqui seria um desenho né tá bom para representar esses leitores que seriam agora linearmente Independentes ou seja Eles não têm a mesma direção já no caso em

que a gente tem três vetores eles vão ser ml de se existirem x e e contar o que uma escrito como combinação linear dos outros dois então também gente já viu né no caso particular de combinação linear que quando isso aqui acontece é porque esses três vetores eles são pobre mais né só relembrar aquele desenho rapidamente eu não sei que eu tenho que já seja o X1 é aquilo Y ver a então a gente usar a regra do paralelogramo Oi e esse aqui cê viu nosso reitor da água e eles estão no mesmo plano Professor

esse esses vetores eles não foram LD Se eles forem ele ir vem se eles forem ali é porque esse retornável ele está saindo do plano então um presente seria esse aqui pois é G1 e esse caso aqui né você acha melhor ir ao nosso espaço tridimensional né velho eu tô tendo tô gerando três direções diferentes tá Então essa é a diferença tá Então nesse caso relembrando os vetores são coplanares né e Nesse caso eles não são faltam mais então quando você vem três vetores que são próprio nariz você já sabe que eles são LV E

aí você ganha essa essa equação aqui pessoal agora eu vou passar para vocês duas observa ções que são muito importantes sabe aquelas questões de v ou f que costuma cair na prova bem em geral é nós professores nós gostamos de colocar relacionadas a isso aqui então fica bem atento para que você não possa cair lá naquela chamada cascas de banana tá Então veja é a primeira diz o seguinte um conjunto formado por um ou mais vetores no R2 sempre será ele dê certo esse conjuntos de vetores o Válido por três ou mais leitores sempre será

ele de E aí é é Claro porque deu o seguinte quando tu vier dois daí eu tô um pano então não tô não né eu não consigo colocar três vetores de modo que eu não consiga pelo menos escrever um combinação linear dos outros justamente eles são coplanares estão nesse plano então a gente já viu que eles vão ser líder e outro que se eu tiver por 45 aí é que realmente a gente vai ter essa situação tá bom É também né a mesma coisa a gente tem para o R3 então quando eu tenho quatro ou

mais Jesus não é três ele sempre será e de é porque o mar os três vetores eles vão CL ir mas se eu acrescentar Qualquer uma outra direção eu não consigo sair né já que o espaço em três dimensões quando está sem pedir não É só escrever que ele tem no máximo três direções Independentes parece que que significa geometricamente então se eu acrescentar o quanto vetor aqui com quinto Obrigatoriamente eu vou conseguir escrever como combinação linear dos outros tá bom só que agora onde é que tá a casca de banana cascas de banana tá o

seguinte beleza que eu sou aqui eu já entendi né Vamos nesse caso aqui se eu tenho três quatro vetores ou mais tempo serão a igreja daí às vezes aparece lá que ela aquela alternativa em que ela vai dizer sim em dois vetores e no R3 sempre serão l não tem como a gente tem uma observação geral Desse tipo aí vai cair lá desse dessa foto dois vetores e no R3 sempre serão L né Mas não é verdade né porque mesmo ajeitando aí três esses dois vetores podem estar sobre uma mesma reta suporte a eles podem

ser comida antes então presta bem atenção nesse tipo de exercício porque por experiência própria né de vários corações alguns alunos costumam errado né porque acaba generalizando mais uma percebe que no caso particular aquilo ali acaba não sendo verdade tá bom então essa dica que eu quero que você guarda também bem já que agora temos bem estabelecida a noção de ver dois linearmente independentes e vetores linearmente Independentes a gente tem condição de definir o que seria uma base para o espaço Tá então vamos de e ele me ver cores é uma base para o RN se

esse conjunto aqui ou ele ir tá então Observe né que eu até coloquei uma observação aqui ó essa quantidade de vetores ela tá relacionada com a dimensão do espaço Então para que eu tenho uma base no R2 ela Obrigatoriamente é formada por dois vetores ele tá então se eu todo R2 é o caso que a gente vai trabalhar né só dois casos particular que a gente vai trabalhar então esse caso baixa que seja dois vetores série ir em dois vetores r i forma uma base para o R2 e observe que eu tô falando como uma

base né não é forma a base do Idoso Então existe infinitas bases tá bom baixo que o conjunto formado e seja li1 e já quando eu tô no R3 né Aí eu preciso exatamente de três é dois por aqui eu tenha uma base tá então exatamente três vectores l no R3 vai ser uma base para o R3 e professor Qual é a importância de uma base a importância de uma base é porque eles vão gerar Todo o espaço Como assim professor gera Todo o espaço quer dizer o seguinte a França se eu pegar qualquer vetor

w e no R3 Oi e aí eu sei que isso aqui é uma base do f-3 então quer dizer para gente que vão existir Obrigatoriamente é reais e em que eu consigo escrever se w como combinação linear de se setores da base cheio um mas eles com dois mas zo3 o bom então você gerar o espaço significa isso significa que qualquer Factor que eu pegar nesse espaço ele pode ser escrito como combinação linear dos vetores da baixo tá então essa exigência para ser uma base ele tem que gerar Todo o espaço e aí por isso

que a quantidade de vetores L ela foi incide com a dimensão do espaço Tá bom então aqui novamente eu quero chamar atenção né para querer tipo de questão nível F Digamos que eu tô com dois vetores e o U2 isso aí ó G1 e eu posso dizer que esse conjunto é uma base para o R3 e jamais né porque como eu acabei de falar como eu tô querendo uma base para o R3 Obrigatoriamente eu tenho que ter três vetores tá agora isso aqui seria uma base para nós dois aí sim porque eu tenho dois vetores

que são é lindo tá então forma esse cuidado Zinho para na hora que tiver exercitando ou na hora de uma avaliação você não cometer se ele tem um pessoal eu trago agora para vocês então a mesma muito importante e ele vai relacionar a noção de l com a solução dessa equação aqui tá E vocês vão ver né nas aulas posteriores que de forma prática é essa noção de L que a gente vai usar tá porque veja bem o resultado Ele disse que se eu tenho três vetores que são ele ir Isso vai acontecer Se e

somente se essa equação que e ela admite como única solução o x = 0 Y = 0 x = 0 veja Observe que se eu colocar x = 0 x = 0 x = 0 ela já vai atender essa gosta então isso aqui sempre é uma solução e o que vai ser chamada atenção agora é que quando esses atores são ele ir é só o tamanho único e é eu escrevi aqui para três e depois mas você também pode usar essa mesma Moção para dois depois compra 4 assim tá bom escrever aqui para três Então

eu só para facilitar porque em geral que a gente vai trabalhar bom então de novo né a gente tem que três vetores você como é o fim somente se e só acaba para isso ela aqui falando isso pra gente então essa que passa a ser uma definição diretores série linearmente Independentes a Então sempre que você ouvir leitores né Independente se você vai lembrar aqui essa equação aqui ela admite essa única solução E aí novamente eu chamo a atenção que ela quer estão bem corriqueira né manuseio f-1 ou só coloca lá os dois são ele então

e esse essa equação admite como solução x = y = z = 0 e tira esse aqui do texto e quando tira isso aqui do texto essa afirmação ela fica sendo falsa tá então preste atenção também com relação a esse detalhe é e pega sol então era isso que eu queria passar para vocês na aula de hoje espero que vocês tenham gostado e qualquer dúvida né pode entrar em contato comigo pode deixar seu comentário se você gostou da aula né Eu quero que a gente pode melhorar tá bom é um forte abraço e fique com

Deus e até a próxima tchau