Combinação Linear de vetores: LI e LD | Geometria Analítica

Oi gente meu nome é Ester Velasques e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal até matteca na aula de hoje a gente vai falar sobre combinação linear de vetores e como saber se os vetores são LD ou li Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá [Música] gente vamos começar essa aula falando sobre combinação linear E para isso eu quero que você imagine que você tenha algumas notas de r$ 20 r$ 50 e r$ 100 Então você tem algumas notas de cada um desses valores e

aí você precisa formar 120 como você pode fazer isso então você quer comprar ali um produto que custa r$ 120 você quer comprar com dinheiro ali com as notas que você tem você pode fazer isso de algumas formas né você pode pegar uma nota de r$ 100 e somar com uma nota de r$ 20 por exemplo uma outra forma de fazer isso é você pegar duas notas de r$ 50 e somar com uma nota de r$ 20 ou então se você quiser você pode pegar seis notas de r$ 20 que você ainda vai ter 120

Então você tem algumas formas de escrever reais como uma combinação linear das notas que você tem na sua carteira então quando a gente faz uma combinação linear a gente está justamente formando algo novo a partir da combinação de coisas que a gente tem então multiplicando aquilo que a gente tem por alguma constante específica então aqui a gente multiplicou o 100 por um e o 20 por 1 aqui a gente multiplicou 50 por 2 e o 20 por 1 e aqui a gente multiplicou o 100 por 0 ou 50 também por zero e multiplicamos o 20

por 6 agora como você formaria r$ 100 a partir dessas notas mesma coisa né você pode fazer algumas combinações ou você pode pegar direto uma nota de 100 E aí zero notas de r$ 50 e 0 de r$ 20 então você fez uma combinação aqui você pode pegar cinco notas de r$ 20 e aí você entrega zero notas de r$ 50 e 0 notas de r$ 100 isso vai dar r$ 100 né E você também pode pegar duas notas de r$ 50 e 0 das outras então aqui também você fez combinações lineares das notas que

você tinha para formar algum determinado valor que no caso é o de 100 reais então Gente o que são combinações lineares quando a gente está falando de vetores a gente vai falar que o vetor u é uma combinação linear dos vetores v e w se a gente puder escrever o vetor u como uma constante vezes o vetor V mas uma constante vezes o vetor w então é como se o vetor u fosse o dinheiro que a gente queria formar e os vetores v e w fossem as notas que a gente tinha na nossa carteira e

aí a gente combina essas notas para formar um dinheiro novo ali um valor novo a partir notas que a gente tinha certo então por exemplo a gente pode formar o vetor 1 2 a partir da combinação linear dos vetores 10 e 01 como a gente faz isso Ó para a gente descobrir quem são esses valores a gente vai começar a multiplicando o vetor 10 por uma constante Alfa então vai ficar Alfa 0 e o vetor 01 a gente multiplica por uma constante beta aí fica 0 Beta E aí a gente vai somar esses vetores porque

olha só a gente tem uma soma de vetores aqui né então na primeira coordenada vai ficar Alfa +0 que é alfa e na segunda coordenada vai ficar zero mais Beta que é Beta Então a gente tem que alfa beta é igual um dois igualando as coordenadas a primeira com a primeira a gente tem que Alfa é igual a 1 e na segunda coordenada a gente tem que Beta é igual a 2 portanto para a gente formar o vetor 1 2 a partir de um zero e zero um a gente precisa multiplicar um zero por um

e multiplicar 01 por 2 então a gente pega uma nota desse valor aqui e duas notas desse aqui para formar o valor que a gente quer e de Fato né gente se a gente multiplicar um zero por um e somar com duas vezes zero um a gente vai ter um zero mais zero dois e somando esses vetores vai ficar um dois que é o vetor que a gente queria chegar agora e nesse caso aqui como vai ficar agora a gente tá no R3 né a gente tem três coordenadas E aí vamos descobrir se o vetor

452 é uma combinação linear de um zero zero zero zero e zero zero um então esses são os vetores são as notas que a gente aqui na nossa carteira é aquilo que a gente já tem disponível e aqui é o que a gente quer formar então a gente faz aquele mesmo esquema a gente multiplica cada um dos vetores por uma coordenada genérica então para o primeiro vetor a gente multiplica por Alfa para o segundo a gente multiplica por Beta e para o terceiro a gente multiplica por Gama E aí somando os três vetores a gente

vai ter Alfa na primeira coordenada Beta na segunda e Gama na terceira E aí igualando as três coordenadas a gente tem que Alfa é igual a 4 Beta é igual a 5 e Gama é igual a 2 então esses são os valores que a gente precisa colocar aqui para que o vetor 452 seja uma combinação linear desses vetores que a gente já tinha E aí fazendo essa combinação a gente consegue formar esse novo Vetor agora gente vamos pensar o seguinte a gente conseguia formar a partir de notas de 50 e de 100 reais teria como

a gente fazer alguma combinação linear para isso tinha né nem sempre a gente consegue fazer combinações lineares com que a gente tem nem sempre a gente consegue formar o valor que a gente quer então por exemplo nesse caso aqui será que a gente consegue formar o vetor 2 1 2 com os vetores um zero zero e zero um zero se a gente fizer aquele mesmo esquema multiplicar pelas constantes genéricas que fica α 00 e 0 Beta zero quando a gente somos vetores a gente fica com alfa beta zero e aí igualando as coordenadas a gente

vai ter que Alfa é igual a 2 beta é igual a 1 e 0 = 2 Gente olha essa igualdade que a gente chegou aqui isso é um absurdo né não tem como zero ser igual a dois Isso quer dizer que é impossível a gente ter essa igualdade aqui é impossível a gente escrever dois um dois como combinação linear 00 e 010 porque nenhum dos dois tem alguma coisa na terceira coordenada ela sempre vale zero então não tem como a gente formar 2 a partir de zero né portanto essa combinação linear é impossível Então vamos

fazer esse exercício aqui a gente quer saber se o vetor 10 - 2 5 é uma combinação linear desses três vetores que a gente tem aqui o primeiro passo é a gente escrever 10 - 2 5 igual uma constante Alfa vezes o primeiro vetor então 5 - 31 mais uma constante Beta vezes o segundo vetor 043 mas uma constante Gama vezes o terceiro vetor menos 10 18 7 então fazendo aquele esquema multiplicando cada constante por cada vetor a gente vai ter cinco Alfa menos três alfa e Alfa para o primeiro vetor aí no segundo a

gente vai ter 04 beta 3 Beta e no terceiro vetor a gente vai ter menos 10 Gama 18 gramas e 7 Gama e somando os três vetores a gente vai ter cinco Alfa menos 10 g na primeira coordenada menos três Alfa + 4 Beta + 18 Gama na segunda coordenada e Alfa mais três Beta + 7 Gama na terceira coordenada E aí igualando as coordenadas a gente vai cair em um sistema 5 Alfa menos 10 Gama que é a primeira coordenada daqui é igual a 10 que a primeira coordenada daqui aí -3 α + 4β

+ 18 Gama que é a segunda coordenada é igual a -2 e Alfa + 3β + 7 Gama é igual a 5 E aí gente resolvendo esse sistema linear aqui por escalonamento a gente vê que a gente tem duas linhas linearmente dependentes né E aí eu vou deixar o link dessa aula aqui na descrição onde a gente fala melhor sobre isso mas nesse caso aqui a gente tem infinitas soluções ou seja tem infinitos valores de alfa beta e Gama que a gente pode colocar aqui para que o vetor 10-25 seja uma combinação linear desses três

vetores logo esse vetor é uma combinação linear de u v e w porque esse sistema linear teve solução agora se o sistema linear não tivesse solução se fosse o sistema Impossível aí o vetor não seria uma combinação linear tá bom gente agora vamos falar sobre dependência e Independência linear então aqui a gente tava falando sobre as notas né que você tem notas de 20 e 100 reais na sua carteira e a gente viu que a gente consegue formar 100 reais por exemplo a partir de duas notas de r$ 50 ou então a gente consegue formar

100 reais a partir de cinco notas de 20 isso quer dizer que o 100 é dependente do 50 e do 20 ele é dependente linear deles porque ele pode ser formado a partir deles certo então o que seriam vetores linearmente Independentes imagina que a gente tem um conjunto de a gente tem três vetores aqui fechadinhos no Conjunto deles a casinha que eles moram esse conjunto só vai ser linearmente independente se quando a gente fizer uma combinação linear entre eles três e colocar isso como resultado 0 esses vetores vão ser linearmente Independentes quando a única solução

dessa equação é que alfa beta e Gama sejam iguais a zero ou seja nenhum vetor vai ser combinação linear dos outros então quando a gente tem um conjunto de vetores que eles não formam combinações lineares eles vão ser linearmente Independentes Eles não conseguem se formar um a partir dos outros quando a gente tem dois vetores eles vão ser linearmente dependentes Se eles forem Paralelos ou seja se um for múltiplo do outro então por exemplo um dois zero e dois quatro zero se a gente ficar um dois zero por dois a gente está formando o vetor

240 eles são vetores Paralelos estão na mesma direção então necessariamente é múltiplo do outro Logo eles são vetores linearmente dependentes tá bom Um pode ser formada a partir do outro então olha só se a gente for ver esses vetores no espaço a gente vai ter isso aqui ó o vetor um dois zero que é o menorzinho e o 240 aqui eles estão na mesma direção o mesmo vale no plano tá bom se a gente estiver no R2 dois vetores vão ser linearmente dependentes quando eles forem Paralelos então por exemplo o vetor 3 - 2 se

a gente multiplicar ele por 3 a gente chega no vetor 9 - 6 então esses vetores também são linearmente dependentes porque eles são Paralelos um é múltiplo do outro como a gente pode ver aqui agora vamos ver se caso será que os vetores 5 - 3 1 0 4 3 e - 10 18 7 são LD ou são li para a gente ver isso ao gebricamente a gente vai multiplicar cada um deles por uma constante e a gente vai igualar isso ao vetor nulo 000 E aí se a gente fizer aquele esquema de multiplicar cada

um dos vetores pela constante E aí somar tudo a gente vai cair nesse sistema 5 Alfa menos 10 Gama igual a zero menos três Alfa + 4 Beta + 18 Gama igual a zero e Alfa mais três Beta mais sete Gama igual a zero como a gente tem um sistema homogêneo que tá tudo igualado a zero a gente consegue ver se isso vai ter uma ou infinitas soluções pelo determinante da matriz então a gente coloca os coeficientes aqui em uma matriz então 137 aqui na última e a gente calculou determinante dessa Matriz aqui se esse

determinante for igual a zero a gente vai ter um sistema possível e indeterminado com infinitas soluções se esse determinante for diferente de zero a gente vai ter um sistema possível determinado onde a única solução é a solução trivial Ou seja quando os três coeficientes valem zero Então se o determinante for diferente de zero a gente sabe que os vetores são li porque a gente vai chegar só na solução onde os três coeficientes falam zero Caso contrário vai ser LD e calculando esse determinante que a gente vai chegar que ele vale zero logo a gente tem

um sistema possível indeterminado com infinitas soluções inclusive soluções diferentes de portanto gente esses três vetores são linearmente dependentes tá bom porque a gente resolveu o sisteminha aqui e a gente encontrou várias soluções não apenas a solução trivial e lembram para ser li essa equação aqui só pode ter a solução trivial como solução geometricamente falando três vetores vão ser linearmente dependentes quando eles são coplanares Então se eles estiverem no mesmo plano como caso aqui os vetores são LD bom gente então foi isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir

se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo [Música]