Geometria analítica e álgebra linear - Operações com matrizes

E aí [Música] o Olá bem-vindos a terceira aula de geometria analítica e álgebra linear e nas duas primeiras aulas mais Vimos a importância de matrizes como ela como elas são criadas e como elas funcionam hoje nós vamos aprender mais sobre a manipulação de matrizes especificamente nós vamos aprender como fazer as operações básicas com atrizes a primeira operação básica é a soma de matrizes a soma de matrizes tem que se dar por dois duas matrizes de mesmo tamanho quer dizer dor Matriz m por n as matrizes e a soma é bastante simples você pega cada elemento

da Matriz na sua mesma posição das duas matrizes e soma bom então nós temos o resultado um exemplo aqui é pegar duas matrizes que são dois por 4 x 2 com quatro linhas e duas correntes essas duas matrizes como nós fazemos as formas simplesmente pegamos o primeiro elemento da primeira Matriz tomamos com segundo elemento da segunda Matriz primeiro elemento a primeira matristico segundo alimentação da matriz e eles aparecem aqui e o resultado é dois nós fazemos isso com cada um dos elementos é bastante simples e Olá seguindo agora vamos falar do produto escalar aqui também

uma operação bastante simples e ali envolve um número real cá em uma matriz A e ela bastante simples de ser efetuada mas apenas pegar pegamos número cá e multiplicamos pela pelo o cada elemento da Matriz 1 e nós temos a nova Matriz por exemplo nós temos aqui uma matriz 44 por três quer dizer com 4 linhas e 3 colunas eu acho multiplicado pelo número pelo número real 4 e o que nós fazemos a pena pegamos esse número 4 que multiplicamos para o caso por cada elemento da Matriz 1 de 42 da 8 as quatro estrelas

2 da 12 Ah e assim sucessivamente então bastante simples e nós podemos também combinar essas duas operações por exemplo aqui nós temos 1 2 A + B quer dizer nós multiplica nós queremos multiplicar a primeira matriz A por dois e depois nós queremos somar o resultado dessa Matriz de dois a pela Matriz de bebê bom então nós vai primeiro primeiro multiplicamos esse dois pela matriz A que vai dar que e depois nós tomamos com a segunda Matriz 1 Oi e o resultado essa Matriz aqui tudo bastante simples e agora nós vamos mostrar como nós fazemos

a multiplicação entre duas matrizes e intuitivamente duas acharíamos que uma multiplicação de duas matrizes daria apenas nós pegamos duas latas de mesmo tamanho assim como foi na soma de duas multiplicar íamos aí matrizes por os elementos dessa Matriz o primeiro elemento o pelo da primeira Matriz pelo primeiro elemento da segunda Matriz 1 bom então nós estaremos segundo e assim você e depois o segundo elemento Oi da da primeira Matriz pelo segundo alimento da segunda Matriz bom então nós teremos resultado infelizmente ou felizmente Essa não é a forma de fazer a multiplicação de matrizes e a

multiplicação de E por que isso não é esse não é tão simples a escolha de como nós fazemos operações com matrizes não se dá pela sua facilidade a sua intuitividade a maneira que nós fazemos Nós escolhemos para fazer essas operações é pela sua utilidade no mundo real e essa é a esse tipo de modificação ela não é muito útil hoje nós vamos mostrar uma das a forma como ela é como a multiplicação de matrizes e feitas e como e depois nós vamos explicar por que que ela feita desse jeito Qual é o motivo deve ser

feita desse jeito agora nós vamos ver as situações aqui nós podemos multiplicar Matriz 1 e Aqui nós temos duas matrizes uma repoline outra ele ele por p e nós chegamos a conclusão que não encontram na matriz m por p e como isso funciona primeiro nós precisamos dar condição necessária para fazer para fazer a multiplicação de matrizes o número de Colunas da primeira Matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda matriz 2 = n então nós temos que amar a multiplicação ela é possível é a segunda a segunda coisa verificar é o resultado

dessa dessa multiplicação de matrizes O resultado é exatamente igual a matriz resultante cê ela vai ter o número de linhas igual ao número de linhas de ar e o número de colunas igual número de colunas de B ou seja se a matriz até m por n e a matriz b n por P então a matriz C ela vai ser e me poupe tá e como nós fazemos a multiplicação de matrizes e vamos começar primeiro com duas matrizes específicas que são Matriz linha para o matriz coluna quer dizer a matriz que tem uma única linha por

uma matriz que tem uma única coluna e que ela tem ele a primeira tem n colunas e a segunda tem em linhas o resultado será uma matriz que tem apenas um número os porque porque da do sistema é que nós vimos anteriormente Primeiro ela é possível sim porque a primeira a primeira Matriz tem exatamente o mesmo número de colunas tem o número de colunas igual a n e a segunda Matriz tem o número de linhas também igual segundo a qual o resultado da Matriz ela ela tem exatamente o número porque a primeira tem uma linha

e a segunda tem exatamente uma coluna portanto até a matriz e ela tem só pode ter uma linha e uma coluna e como isso é feito lá e multiplicamos a primeira é a primeira o primeiro elemento Rua da Matriz linha pelo primeiro elemento da Matriz coluna então somamos o segundo isso com segundo elemento da Matriz linha pelo segundo elemento da Matriz coluna e assim sucessivamente e o resultado disso é exatamente igual a esse valor aqui é o seu que exatamente único número dessa Matriz o o algoritmo para fazer essa soma dado exatamente aqui em baixo

agora que nós sabemos como multiplicar Matriz linha para uma matriz coluna fica fácil como fazer a multiplicação de duas matrizes qualquer primeiro exemplo pega Matriz linha essa Matriz linha que tem como elementos 13 - 25 EA Matriz coluna dado por 2013 e nós fazemos o como nós fazemos resultado primeiro nós pegamos o primeiro elemento da madrinha o X primeiro alimentar lata de coluna colocamos aqui então nós tomamos com o primeiro elemento da Matriz linha pelo primeiro elemento da Matriz coluna e colocamos aqui e fazemos isso com os outros dois elementos e somamos o resultado O

resultado é 10 exatamente 15 então a matriz resultante vai ser a matriz que tem um único número = 15 e como nós fazemos então a multiplicação de duas matrizes Gerais nós temos uma atriz que ela é m por l e x uma matriz que BKN porque o resultado como vimos na nosso primeiro algoritmo é vai ser uma matriz m por p e como nós encontramos cada elemento da Matriz CMP nós pegamos aqui um elemento qualquer RJ da linha aí e coluna J da Matriz da matriz e como nós encontramos esse Exatamente esse elemento primeiro nós

pegamos a linha e da primeira Matriz que essa Matriz que essa linha aqui e Dori multiplicamos pelo elemento pela coluna J da segunda Matriz nós fazemos exatamente o que nós fizemos para multiplicar uma tripinha para uma atriz coluna então nós encontramos essa esse número CJ dessa dessa Matriz ser resultante do produto nós vamos fazer isso com cada elemento da Matriz Vamos mostrar um exemplo pegamos uma matriz é dois com duas linhas e 3 colunas e muito frio uma matriz que tem três três linhas e 2 colunas então Primeiro ela é possível como nós vemos aqui

ela pelo e pelo critério de que a primeira tem o mesmo número teu número de linhas igual ao número de colunas tem o mesmo número de colunas igual ao mesmo número de linhas que a b e o resultante é uma atriz 2 por 2 e como por quê que é exatamente o número de linhas de ar pelo número e o número de linha de dor de coluna de bebê e como nós encontramos cada resultado cada elemento da Matriz é da matriz e é o primeiro elemento vai multiplicamos o primeiro alimentos e um lá e multiplicamos

a primeira linha de a pela primeira coluna de bebê Então como nós fazemos essa essa modificação Nós pegamos o primeiro elemento 2 e multiplicamos pelo primeiro da dessa linha de hoje e multiplicando pelo primeiro elemento da coluna o que é igual e fazemos isso com os outros elementos também e o resultado vai ter 19 e fazemos como nós encontramos elemento c22 nós multiplicamos a linha 1 da coluna da Matriz da Matriz a pela linha 2 pela coluna 2 da matriz b nós fazemos isso com todos os elementos como nós podemos ver aqui então encontramos todos

os elementos da Matriz C e é bastante é bastante fácil como é meio contra-intuitivo como nós falamos no início Mas ela é bastante mais o algoritmo é fácil e por que que nós o algoritmo para multiplicar matrizes ele é tão complicado ele não é uma coisa muito fácil de mandar coisa muito intuitiva nós vamos ver um aplicação da multiplicação de matrizes para entender um pouco melhor isso é Suponha que vocês que você tem três usinas geradoras de energia o1 O2 e O3 isso pode que você tem duas cidades A e B e para cada cada

linha dessa entre a e b entre as usinas e as colunas representa uma linha de transmissão da Usina da até a cidade lá bom então e Aqui nós temos uma tabela e depois vai ser apresentado fumar que como vai vimos tabelas podem ser representadas por matrizes que dá o número de linha de transmissões da Usina e para para a cidade J então nós temos da use não para Cidade ar nós temos uma linha de transmissão da Usina dois para Cidade a nós temos duas linhas de transmissão essa FIES e da Usina três para para Cidade

a nós temos 10 linhas de transmissão então nós temos aqui zero nós fazemos o mesmo para Cidade ver verificamos cada o número de número o número de linhas de transmissão em transmissões de cada Usina para cá dá para Cidade B nós completamos a matriz agora só como supomos que nós temos é mais que idade das cidades A e B vão mais e eles transmissões para ou para outras cidades cidades e de E então nós fazemos a nossa Matriz que representa o número de linha de transmissões das cidades A e B para estudar de sereia e

ela é representada exatamente pela Matriz ela é feita Exatamente é a condição nessa Matriz exatamente feita com o anterior nós contamos da cidade e distensões da cidade a para para cidades e são duas essa daqui e essa daqui então já colocamos dois aqui e da cidade ar traz para a cidade de nós temos uma linha de transmissão que essa daqui então nós fazemos isso com todas as com todas as é a cidade e de instruções 1 bom então nós podemos e Aqui nós temos a nossa matas do interior e agora Suponha que você é operador

de da energético e você quer saber quantos linha de transmissão e você consegue ter da Usina um para a cidade de como você vai fazer isso é claro você olhando por esse desenho é muito simples você olha o número de linha de trem pessoa que tem de ir à da Usina um para e depois da Usina da cidade a para a cidade dele então você tem apenas 1 e no mundo real isso é muito mais difícil porque você não tá trabalhando com três usinas está trabalhando com com dezenas de usinas e você não tá trabalhando

com apenas cinco cidades trabalhando com centenas de cidade talvez até milhares Então como é que você você vai fazer uma forma automática de fazer isso mas utilizamos a forma de fazer isso é utilizando multiplicação de matriz sobre essas sobre essas tabelas Primeiro vai fazer uma representação daquela duas tabelas em matrizes essa daqui é a primeira tabela é essa daqui a segunda tabela representação e fazer uma explicação Ah tá multiplicação da como resultado essa natureza que essa Matriz vai dar exatamente número de linha de transmissores das usinas até a cidade de sereia que tá é apresentada

agora transformado essa essa essa Matriz aqui em tabela novamente nós temos aqui o resultado que da Usina um para te dar de ser nós sabemos que temos duas as minhas doações da o senão para Cidade ver mas também nós temos uma uma uma linha de transmissão e assim por diante é claro que você pode continuar isso é verificar quantas agora continuar com mais cidade e verificadas quantas linhas de transmissão você tem na cidade de ser para a cidade para outras cidades a mais que você queira adicionar por quê que isso funciona se parece um pouco

mágico de certa maneira mas isso se dá por causa da multiplicação de matrizes na verdade é uma Como chamamos de composição de transformações lineares Porque como nós vamos ver nas aulas nas aulas 50 subsequente as matrizes podem ser consideradas como transformações lineares transformações da disfunção tipos especiais de funções e a composição dessas dessas dessas funções as transformações mede exatamente dada pela multiplicação de matrizes Aqui nós temos o o a bateria final e com desenho das das usinas para matrizes bota aqui aqui já pai ficando muito complicado e se você tiver no mundo real coisa fica

muito bem mais complicado que isso né então exatamente o que usar a as matrizes para fazer esse cálculo de forma mais simples vai direto na verdade mal tomar automatizado é a forma mais vai ficar de trabalhar com e o que vem por aí e na próxima aula mais que nós vamos falar de sistemas lineares e da e também de inversão de matrizes então ficamos por aqui nos vemos na próxima ao e [Música] [Música]