Operações com Números Reais

[Música] vamos lá matemática objetiva operações com os números reais gente aqui está o início do estudo da aritmética Ok a matemática era dividida na verdade três frentes a gente pensando aí em todo o ensino fundamental 2 em torno ensino médio e três frentes são essas aritmética aos geometria então para o nosso estudo da aritmética a primeira aula é essa operações com os números reais ok esse início do estudo ele tem tanta essa aula que são as operações com os números reais quanto a gente tem a aula também de sistemas de medida de capacidade ok que

inclusive as questões são muito parecidas tá você vai ter várias questões de sistemas de medidas em que você vai estar trabalhando com operações básicas da Matemática Ok as questões de conjuntos numéricos que é basicamente explicar passo a passo cada um destes conjuntos uma atenção especial para o conjunto dos números racionais porque Professor porque nesse nesse conjunto aqui estão as frações que são extremamente importantes na matemática Então as perigosas dízimas periódicas Ok então atenção lá no matemática objetivo tá a gente tem uma aula especial em que a gente trabalha todo passo a passo a formação e

a concepção e o conceito de cada um desses conjuntos isso é muito importante é uma parte e no desenrolar da aritmética aí você vai a gente tem as aulas de múltiplos divisores ou seja tudo isso que eu tô abordando aqui é o início do estudo da matemática na parte de aritmético Ok então se você está se preparando é bem do início é por aqui e outra coisa importante no nosso site no matemática objetivo o que acontece você vai encontrar questões de vários níveis de dificuldade Então você de repente fala assim ó eu tô começando de

tudo agora do início do beabá eu simplesmente vai encontrar lá no nosso site a matemática básica as questões iniciais as questões de Treinamento E aí depois com a evolução desses movimentos das questões aí você vai partir para as questões de vestibular aí você vai partir para as questões de concurso público com o nível mais alto Ok lembrando gente matemática objetivo é assim a gente trabalha vestibular e trabalha com concurso público Ok durante vários várias aulas na matemática você vai ter vai atender tanto concurso público quanto a parte de vestibular em geral ok Por exemplo essa

parte aqui ela é muito importante para quais vestimulares para quais concursos por exemplo o Enem né o Enem ele tem uma uma Logo no início das do conteúdo programático do Enem aparece claramente operações com os números reais e para a galera que tá acostumado com concurso público é muito comum nos editais você vê logo no início lá nas primeiras informações do conteúdo programático matemática operações com os números reais ok então essa aula aqui é muito importante vamos lá Primeira coisa eu destaquei aqui as quatro operações fundamentais da Matemática sendo que é claro eu vou dar

um destaque muito especial para soma então ele destaque aqui bem especial para sob porquê vamos lá sabe todas as outras operações vão ser o quê derivadas da adição da sua mão Então olha só Ah eu quero subtrair O que que você subtrair é você somar por um oposto né só chegar assim ó Qual é o oposto de 5 a menos 5 então se você pegar esse número somar com o oposto você na verdade fez o quê uma subtração Ok multiplicação multiplicação gente nada mais é do que você compactar somas o que que é na verdade

o 5 x 4 5 x 4 que que é 5 x 4 na verdade é o cinco mais cinco mais cinco e mais cinco aí chegou uma hora eu faço para ele para que ficar repetindo essa soma tantas vezes isso aqui é o cinco vezes quatro OK porque ele aparece a soma dele quatro vezes tudo a derivado da soma e o que que é divisão a divisão bem se esse derivado desse esse é derivado desse a divisão nada mais é do que que é dividir você multiplicar pelo inverso então se eu tenho aqui por exemplo

é oito com o inverso 2 oitavo quanto é que dessa multiplicação dá um lembrando você não precisa somar multiplicar necessariamente pelo seu inverso mas a multiplicação por valores inverso gera a divisão tranquilo mas é muito importante essas quatro são as quatro operações elementares da matemática e elas vão ser vamos dizer assim o carro o chefe das questões OK aí o nível de dificuldade da questão vai estar em relação a qual o número a questão vai apresentar quer complicar uma questão só com essas operações básicas coloca por exemplo o número decimal né você fazer multiplicação é

muito longe você fazer subtração de números decimais Às vezes pode ser um problema tá então porque a gente vai trabalhar isso aí agora vamos lá vamos trabalhar isso aqui vamos falar um pouquinho disso lembrando gente existe uma aula tá individual só para o conjunto dos conjuntos numéricos isso é muito importante mas vamos fazer uma abordagem aqui mais rápido o que que são o conjunto dos números naturais são os primeiros números que a gente aprende na matemática né são 0123 mais infinito todos os números inteiros positivos né do zero para frente é o conjunto dos números

naturais que que aí vamos lá que que é isso aqui conjunto dos números inteiros essa representação da letra Z maiúscula né os números inteiros vão ser os números naturais mais os números negativos só que a gente sabe que entre qualquer dois números inteiros existem finitos números quebrados números racionais aliás cuidados gente tem gente que acha que os números racionais São só esses números que estão aqui dentro tudo mais os números estão aqui dentro então acontece assim você começa a fazer um diagrama conjunto dos naturais conjunto dos inteiros conjunto dos Racionais tranquilo Cada vez que a

gente vai aumentando o conceito dos conjuntos a gente vai agregando mais números Ok então por exemplo Ah é esse 1,37 Ele está aqui ele tá entre um e o dois ele é o conjunto né ele faz parte do conjunto dos números racionais ele tá aqui por exemplo tranquilo o famoso 3,14 ele vai entrar onde ó aqui ó no meio aqui em algum lugar que entra o 3 e o quatro que é o famoso número PI número PI só que a desculpa agora cuidado o conceito para não falar conceito errado o pi ele cai no problema

que a gente fala em 3,14 só que o pi não é 3,14 o pião número 3,14 159265 Opa aí caíram um problema aí ele já não pode ser um conjunto de Racionais sabe porque para ser racional pode ser transformado em fração e o pi a gente não consegue Ok então já expliquei o conjunto dos números irracionais são todos os números que a gente não pode colocar que a gente não consegue colocar na forma de fração são as dízimas não periódicas ok Aliás o que é raiz quadrada de um número que não seja um quadrado perfeito

também cai nesse aqui tranquilo lembra que eu falei da aula de conjuntos numéricos que é muito importante também vem após essa aula aqui praticamente vai É uma aula muito importante porque lá eu vou ensinar para vocês como é que a gente transforma uma dízima periódica em fração lembra daquele termo fração geratriz né eu vou ensinar algébricamente como é que se faz isso muito importante essa aula tá bom mas vamos lá o que o foco dessa nossa aula vai ser a gente trabalhar com essas quatro operações tá fundamentais elementares da Matemática é de forma contextualizada então

se você pega um edital seja de qualquer concurso qualquer vestibular vem escrito operações com os números reais pensa nisso que tá questões que vão trabalhar com essas com essas operações fundamentais de forma contextualizada a questão vai criar alguma situação do cotidiano simplesmente fazendo essas operações aqui não vai ser mais do que isso ok o nível de dificuldade das questões vão estar exatamente em relação a qual tipo de número tá ou a quantidade de operações que a gente vai ter que fazer tem questão que ela se torna difícil só pela quantidade de operações que a gente

tem que fazer às vezes os números nem são tão complicados Ok mas quando você tem bota na forma contextualizada muita operação a questão já fica muito perigosa Ok beleza então vamos lá bem primeira coisa que eu vou fazer é se tá em uma operação importante tá interessante porque eu não falei né botou o número decimal já fica um pouco perigoso Então vamos pegar aqui uma situação do tipo é 3,53 - 1,721 tudo bem atenção porque número decimal é uma questão de organização Então a primeira coisa que você tem que fazer aqui é o seguinte gente

arma conta com vírgula embaixo de vírgula parte inteira do número decimal alinhados olha aqui aí você fala assim espera aí vai sobrar um número aqui não tem problema que que você faz com o número de cima você acrescenta o zero Ok então agora a gente armou essa operação a gente vai fazer a conta da subtração agora normal Ok então aqui a gente vai ter 10 menos um nove esse três virou dois subtraindo com dois vai dar zero tá agora gerou outro problema aqui tem que puxar um do três por 15 menos 7 8 e esse

3 vira 2 - 1 beleza Ou seja Esse é o resultado da conta então Existem várias questões em que o nível de acerto despenca só por causa de subtração de número decimal por exemplo é impressionante isso ok se a gente tiver que fazer por exemplo uma multiplicação você vai fazer a mesma coisa você vai pegar por exemplo o 2, 735 tá vamos multiplicar por exemplo por 3 que que a gente vai fazer a gente simplesmente vai ignorar essa vírgula a gente vai fazer operação normal e depois a gente faz esse ajuste lá no final Então

nesse caso aqui a gente vai ter é 3 vezes 5 15 Vai um 9 10 foi um 21 mais um 22 jogo 2 para cá 6 + 28 E aí a gente tem três números depois da Vivo a gente tem que continuar tendo com esses três números depois da vírgula ou seja terminamos essa multiplicação até aí tudo bem Tranquilo beleza quando você pensa Qual é a pior situação que a gente pode ter aqui uma divisão de número decimal divisão de número decimal é perigoso agora você pode ter certeza de uma coisa que que vai acontecer

na hora da questão a conta vai ser viável ela não vai ser uma conta inviável e provavelmente ela vai cair um valor racional tá embora isso não seja obrigatório você pode pegar por exemplo 10 dividido por três vai dar 3,33 não tem problema nenhum mas geralmente quando tem as opções muito frescura geralmente ele vai botar duas casas decimais Então vamos pensar aqui numa situação Ok vamos pegar por exemplo o número 3, tem nove e vamos dividir isso por 3 Ok então essa divisão que a gente quer fazer uma operação em que eu botei aqui de

propósito valores fáceis Por que fáceis porque esse número é divisível por 3 OK tá como é que a gente vai fazer essa conta aqui de forma bem tranquila bem basicamente você vai pensar no seguinte olha só é o 300 desculpa 3,36 é o 339 sobre 100 tudo bem e dividir por 13 é mesma coisa que multiplicar por um terço então o que que você vai perceber aqui esse aqui é uma forma bem segura você vai perceber que você pode dividir esses dois números aqui você tem uma multiplicação Isso aqui vai ser a mesma coisa que

339 sobre 300 só que é claro você vai simplificar Ó você vai dividir isso aqui por três vai dar um um três 113 ou seja gente ficou 113 sobre 100 que que a gente faz dividir por 100 ó mole número inteiro a vírgula tá aqui dividir por 100 andar com a vírgula duas vezes para esquerda um dois um vírgula 13 resposta dessa divisão aliás reforçando gente operações com os números reais é uma primeira aula uma introdução muito importante tá logo depois uma das aulas que que vão completar que elas são muito próximas que eu já

tinha citado são as questões de sistema de medida e as questões de sistema de medida você vai perceber muito a importância de você saber deslocar uma vírgula né então aqui a gente pode reforçar essa ideia que se a gente tem 5,75 tá se a gente quer multiplicar isso por 10 a gente multiplicar por 10 é a mesma coisa que andar com vírgula uma vez para esquerda Opa direita 57,5 Ok mandou uma vírgula para cá ah vamos pegar esse número aqui vamos multiplicar por mil gente multiplicar por mil a gente vai continuar andando para direita então

ó 57 andou uma vez andou outra vez botou um zero andou a terceira vez botou para o zero aqui ó 57.500 OK agora se a gente tiver que dividir aí agora a gente vai fazer o contrário Agora sim a gente vai para esquerda Tá então vamos lá ah eu quero pegar os 5,75 dividir por 10 pega essa vírgula anda uma vez para esquerda Então esse aqui vai ficar 0,575 em questões de sistema de medida é sistema de capacidade também é muito importante você saber andar com a vírgula multiplicar por 10 anda com a vírgula para

direita dividir por 10 anda com a vírgula para esquerda bem E aí a gente precisa fazer uma OBS importante que são para as questões de comparação ou melhor operações com um sistema de medida de tempo né Por exemplo se a gente chegar e falar assim ó tem aqui uma hora e 53 minutos e eu quero somar a um tempo de duas horas e 47 minutos ok bem que que a gente faz nesse caso você para faz a soma das Horas faz a soma dos minutos e aí provavelmente esse tempo do minuto ele vai ser D60

e depois você vai fazer os ajustes Então vamos lá primeira coisa que a gente vai fazer aqui é já somar a parte das Horas uma hora com mais duas horas nós temos três horas tranquilo agora a soma dos minutos olha aqui gente para cá 60 mais 40 100 agora a gente vai fazer o ajuste aqui ó a gente sabe que o nosso sistema de tempo ele é Sexagenário ou seja de 60 em 60 Então nesse caso aqui a gente sabe que 100 minutos é a mesma coisa que sessenta mais 40 Opa 60 minutos é uma

hora então ó joga para cá Isso aqui vai ficar então em quatro horas e esse virou hora e esse aqui Continua em minutos quatro horas e 40 minutos tranquilo a gente operações tá E os números que vão ser apresentados que vão determinar o nível de dificuldade da questão os números lógico e também a quantidade de operações que podem ter na questão isso que vai determinar o nível de dificuldade e o terceiro passo também importante é a contextualização contextualização sempre transforma a questão é uma questão mais difícil então tem que tomar muito cuidado com a leitura

e com a coleta dos dados Ok bem vamos fazer o seguinte vamos fazer agora algumas questões tá eu selecionei aqui umas questões para a gente trabalhar nessa nossa aula Ok e a primeira questão que eu vou trabalhar com vocês vai ser vamos ver aqui uma questão do Enem tá uma questão que diz o seguinte a capacidade mínima em btu de um aparelho de ar condicionado para ambientes sem exposição do Sol pode ser determinado da seguinte forma 600 BTUs para por metro quadrado considerando até duas pessoas nesse ambiente ok próximo próxima próxima determinação né É para

cada pessoa adicional nesse ambiente acrescentar 600 BTUs e a terceira acrescentar mais 600 btu hora né para cada equipamento Eletrônico em funcionamento no ambiente vamos lá será instalado um aparelho de ar condicionado em uma sala sem exposição do Sol de dimensão quatro metros por 5 metros gente o metro quadrado dessa sala é importante calcular Então essa metragem 4 metros vezes 5 Opa vezes 5 metros da 20 metros quadrados Então essa sala tem 20 metros quadrados lembrando gente lá na primeira determinação o problema diz que são 600 BTUs por metro quadrado então nessa primeira determinação a

gente já pode pegar os 600 BTUs e multiplicar por 20 vamos fazer logo a parcial desse resultado esses seis com esse dois dá 12 o resto é tudo zero 12 mil btus parciais ok a gente já sabe que vai ter que ter um pouco mais aí mas acho que o grosso da conta já tá aqui tranquilo só olhando para as múltipla escolha a gente já percebe que não vai ser a letra A porque a letra A exatamente os 12 mil mas tem mais BTUs para a gente acrescentar aí por quê Porque ela só a gente

nessa questão ele diz que além de ter 5 metros por 4 metros 4m por 5 metros em que permaneçam quatro pessoas pera aí esse 600 BTUs da primeira determinação era para duas pessoas nós temos mais duas pessoas adicionais ou seja gente nós temos que pegar 600 BTUs para cada pessoa adicionar então agora a gente tem que pegar esses 600 e multiplicar por 2 então agora nós vamos para 1.200 BTUs a mais Então nós já estamos com 13.200 ok e para fechar a terceira determinação diz acrescentar mais 600 btu para cada equipamento eletrônico no funcionamento e

no fechamento do enunciado o problema fala que vai ter um aparelho de televisão ou seja gente tem que acrescentar mais 600 btu nós estamos explicando por um que só vai ser a televisão Ok E aí a gente fecha em 13 e 800 13.800 BTUs resposta certa letra d de dado bem fazendo uma análise a gente percebe aqui em que a gente basicamente trabalhou com multiplicação Ok três vezes três vezes então fomos fomos coletamos perdão quatro vezes fomos coletando através de enunciado enunciado do Enem longo extenso em que a gente foi extraindo aos poucos dentro da

interpretação em que basicamente a gente só utilizou a multiplicação de valores naturais tranquilo beleza vamos lá vamos então agora para a próxima questão e a nossa próxima questão vamos ver aqui vai ser uma questão de concurso público uma questão de uma banca muito famosa que é a Fundação Getúlio Vargas Ok e essa prova que foi realizada esse ano inclusive 2019 para prefeitura de Salvador ok questão bem interessante uma questão de conceitos aritméticos importantes de operações com os números reais a questão de Gisele quer guardar para seus 101 Mangais e o problema diz que que significa

Mangá histórias em quadrinhos japonesas em um pequeno gaveteiro com sete gavetas em cada gaveta cabem no máximo 20 mangás é correto afirmar que a gente essa questão ela é interessante porque pela anunciado ela é muito simples só que as opções múltipla escolha tornam ela perigosa Então vou ler as opções de múltipla escolha letra A uma gaveta ficará vazia Lembrando que a gente tem sempre um mangás ok nós temos vamos escrever aqui a gente não se perder em um mangás 7 gavetas sete gavetas Ok sendo que no máximo em cada gaveta cabem 20 mangás informação do

problema a gente lembrando se a gente quisesse por exemplo pegar a primeira gaveta já encher totalmente ela a segunda também você perceber por exemplo que cinco gavetas cheias e acaba sobrando um mangá porque cinco vezes 20 dá 100 né então no primeiro momento a gente pensa exatamente nisso né Vamos mexendo no máximo as gavetas vai dar cinco gavetas cheias e uma gaveta em uma em um mangá sobrando para duas gavetas ainda vazias que tem disponíveis tá essa situação que a gente tem olha as opções de múltipla escolha letra diz numa gaveta ficará vazia A gente

é obrigado a fazer essa arrumação do jeito que eu falei pegar logo a primeira botar o máximo dela a segunda botar o máximo não a gente pode botar isso de várias maneiras então a gente não tem como garantir de maneira nenhuma que essa gaveta ficará vazia ou seja essa questão de concurso público a Fundação Getúlio Vargas ela tem um uma tradição muito grande em relação a questões de raciocínio lógico Ok e essa questão tem muito de raciocínio lógico letra B 5 gavetas ficarão com 20 mangás B é uma situação possível mas a gente tem como

garantir Exatamente isso a gente poderia por exemplo não botar o máximo em relação as suas gavetas quer ver um exemplo se a gente pegasse o 101 dividido por 7 vamos fazer essa conta sempre tem um dividido por 7 alô galera da calculadora aí começa a eliminar a calculadora na hora do estudo para poder fazer mais questões muitos alunos têm um hábito de ficar com a calculado a calculadora do lado quando chega na hora da prova você começa a perceber que você não está bom enquanto não está rápido acaba perdendo tempo fica inseguro começa a eliminar

um pouco a calculadora Então vamos lá fazer a conta aqui como é que a gente faz essa conta vamos lá 101 né dividido por 7 você vai pegar o 10 aqui né vai ficar consciente um resto 3 você vai baixar um E aí você fala assim opa não vai dar exato tudo bem a gente vai usar o quociente 4 4 x 7 28 resto 3 Opa Então olha a situação que pode acontecer que a gente pode simplesmente colocar [Música] sete gavetas com 14 elas não estão na sua capacidade máxima e ainda sobram três elementos aliás

aqui que eu fiz aqui é uma operação muito importante né na divisão dividendo divisor quociente e resto Ok Gente esse resto aqui é se dividendo esse divisor e esse quociente eles têm uma relação entre eles e que relação é essa consciente vezes o divisor mais o resto é igual dividendo você pode escrever isso consciente vezes o divisor mais o resto é igual ao dividendo porque eu fiz aqui ó 14 x 7 + 3 que dá exatamente o total de 101 mangás Você tem uma outra situação possível Então em vez de você começar a botar logo

o máximo na primeira o máximo na segunda você podia colocar e colocando uma duas três quatro você completando aos poucos você vai ficar com sete gavetas com 14 anos sobrar três mangás Então acho que a gente tem todas as situações possíveis a sua analisar Qual é a resposta que realmente vai ser verdadeira então repetindo a letra C cada gaveta terá não volta volta na letra B cinco gavetas ficarão com 20 mangás pode acontecer isso mas pode acontecer essa situação aqui né sete gavetas com 14 então não dá para garantir que cinco gavetas letra C cada

gaveta terá pelo menos um mangá não naquela primeira composição que eu falei botar é 20 20 vão chegar no final que a gente vai ter cinco gavetas né lembrando 20 vezes 5 então a gente pode ficar com cinco gavetas completamente cheios sobrar um mangá aqui só ainda vai ter outra vai ter duas gavetas vazias em um mangá sobrando ou seja tem como a gente dizer que a letra c é verdadeira cada gaveta terá pelo menos um mangá Não nessa composição de botar o máximo nelas nós vamos ter com certeza uma gaveta vazia Tá então não

pode ser letra a letra B na letra C vamos para letra D Opa Pelo menos é muito bom para esse tipo de respostas pelo menos uma gaveta ficará com mais de 14 mangás achamos o gabarito aqui por essa conta né 14 vezes 7 seria o caso da gente botar distribuir esses 101 mangás né de forma homogênea a gente pega com 14 gavetas com 14 ainda sobraram 3 então esses três que sobram garante que a gente vai ter pelo menos uma gaveta com mais de um mangá correto aí você fala assim ah mas se fosse aquela

situação inicial de você botar o máximo na primeira tu botou o máximo a gente já tem pelo menos uma gaveta com mais de 14 então Na pior das hipóteses seria essa esse caso aqui e sempre vai ter pelo menos uma gaveta com 14 logo a resposta certa é letra D de dados só para fechar gente a letra é diz nenhuma gaveta ficará vazia não naquela composição inicial a gente ficaria com certeza com uma gaveta vazia sim ok então essa questão tem um que de raciocínio lógico então lembra sempre disso quando você tem uma questão em

que ele começa de cara falando assim ó uma gaveta ficará vazia essa imposição você já tem que pensar Opa a gente não tem como garantir a gente tem que pensar nesse tipo de caso Na pior das hipóteses beleza