Ciao in questo video parliamo del teorema di Pitagora e di una sua dimostrazione che nella sua semplicità è veramente geniale ed è stata attribuita proprio a lui ad Albert Einstein il teorema di Pitagora è un po' rappresentativo di tutta la geometria ed è il teorema che vanta più dimostrazioni Tra l'altro tempo dietro ho pubblicato un video con nove dimostrazioni del teorema di Pitagora nove dimostrazioni che mi erano piaciute particolarmente ma mi mancava ancora questa che effettivamente su supera tutte le altre e quindi merita un video dedicato questa dimostrazione la lessi moltissimi anni fa ma me
l'ha riportata alla memoria un libro che ho letto la scorsa settimana che vi consiglio scritto da Alberto Saracco che conosco insegna geometria all'Università di Parma ed è un libro veramente chiaro e piacevole che ripercorre la geometria dall'antichità fino al XO secolo preciso che questo non è un messaggio pubblicitario Ma è una mia spontanea recensione di un libro che ho apprezzato e penso possa interessare molti ma ora veniamo all'oggetto del nostro video il teorema di Pitagora Penso che tutti lo conosciate afferma che dato un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è
uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa In realtà però questo è solo uno dei tanti modi in cui si può presentare il teorema di Pitagora perché se andiamo in profondità in realtà il teorema di Pitagora non parla propriamente di quadrati perché se noi anziché costruire dei quadrati costru dei pentagoni simili tra loro Avremo sempre la stessa relazione tra le aree se non vi piacciono i pentagoni potete rappresentare qualunque altra forma L'importante è che si mantenga questo rapporto di similitudine quindi possiamo fornire una definizione più generale del teorema di Pitagora che vale per tutte le figure simili
di cui quadrati sono solo un esempio e in effetti tutti i quadrati sono simili tra loro Quindi in generale possiamo affermare che l'area di una figura Piana costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree delle due figure piane simili ad essa costruite sui cateti In altre parole il teorema di Pitagora formulato in modo standard con i quadrati è equivalente al teorema di Pitagora formulato con una generica figura piana ed è da questa osservazione che parte la dimostrazione di Einstein perché Einstein ha dimostrato il teorema di Pitagora anziché con i quadrati con
un'altra figura il che può sembrare strano perché il quadrato è la figura geometrica per la quale è più semplice calcolare l'area basta elevare il lato alla seconda quindi stupisce che Einstein abbia trovato una figura per cui la dimostrazione sia ancora più semplice Eppure l'ha fatto ma lo vedremo tra poco per ora non spoilero perché prima vogliamo dimostrare che questa equivalenza è corretta perché in matematica le affermazioni vanno dimostrate la dimostrazione è estremamente semplice e richiama un altro concetto della geometria molto importante che spesso viene trascurato cioè il fatto che figure simili che hanno le lunghezze
con rapporto di similitudine K avranno le aree con rapporto di similitudine K ^ second questo fatto è importantissimo vediamo che cosa vuol dire concretamente con degli esempi prendiamo una figura qualsiasi Io ho preso un cuore perché sono romantico consideriamo una certa lunghezza ad esempio il segmento che divide a metà il cuore in due parti uguali Supponiamo che la lunghezza sia L dove l è un generico numero reale positivo e l'area sia uguale ad a se io prendo una figura simile quindi con la stessa forma ma il cui segmento di riferimento è lungo il doppio 2L
in questo caso allora l'area è quattro volte Cioè è 2 ^ seconda volte se fosse 3L l'area sarebbe 9 volte in generale Se il segmento fosse lungo K * L Allora l'area sarebbe K ^ 2 * a questo fatto è molto importante e spesso molti problemi di geometria o anche di fisica si possono risolvere in modo molto semplice applicando queste considerazioni che poi possono anche essere estese ai volumi che sono in rapporto di similitudine K ^ 3 questo fatto Emerge anche quando si fanno le equivalenze sapete che 1 m = 100 cm ma 1 m
qu = a 10.000 cm qu cioè C 100 ^ second cm qu e 1 m cu è = a 100 ^ ter cm C ora da queste considerazioni la dimostrazione che il teorema di Pitagora vale per tutte le figure simili è immediata Infatti consideriamo due triangoli rettangoli identici di ipotenusa a e cateti B e C sul primo triangolo Costruiamo dei quadrati e sull'altro triangolo Costruiamo delle altre figure ad esempio delle stelle noi sappiamo che i quadrati hanno area a all seconda B ^ 2 C ^ 2 perché l'area del quadrato è lato alla seconda ora
se at un opportuno numero reale tale che l'area della stella costruita sull'ipotenusa valga t * a ^ 2 questa cosa è lecita perché se io divido l'area della Stella Rossa per l'area del quadrato rosso otterrò un certo numero che chiamo t e quindi come formula inversa quest'area Vale t * a ^ 2 e quindi di conseguenza per quanto detto prima le aree delle stelle simili costruite sui cateti valgono T * B ^ 2 e t * c ^ 2 perché se le lunghezze sonoo in rapporto di similitudine Come A B e C Allora le aree
sono in rapporto di similitudine Come a ^ 2 b ^ 2 e C ^ 2 e quindi se è vero il teorema di Pitagora per i quadrati è vero anche per le stelle perché dall'uguaglianza Vera a ^ 2 = b ^ 2 + C ^ 2 segue eh moltiplicando ambo i membri di questa equazione per T che è anche vero che t * a ^ 2 è uguale a t per B ^ second + T * C ^ 2 viceversa se è vero per le stelle è vero anche per i quadrati Basta dividere tutto per
t e si ottiene questa formula fatte queste premesse veniamo finalmente alla dimostrazione di Einstein del teorema di Pitagora consideriamo quindi un triangolo rettangolo ABC l'ipotenusa è AB mentre CH è l'altezza relativa all'ipotenusa spesso si sceglie di rappresentare i triangoli rett angoli con l'ipotenusa orizzontale l'angolo retto in alto perché in questo modo è facile dimostrare che tracciando L'altezza rispetto all'ipotenusa si ottengono tre triangoli simili cioè il triangolo iniziale ABC il triangolo ahc e il triangolo hbc sono simili tra loro lo si dimostra facilmente osservando che Alfa + beta dà 90° da cui segue che questi tre
triangoli hanno gli stessi angoli cioè Alfa Bet e l'angolo retto e ora veniamo alla dimostrazione vera e propria Quale figura ha scelto Einstein per dimostrare il teorema di Pitagora Einstein ha scelto proprio dei triangoli rettangoli Cioè ha costruito su questo triangolo rettangolo degli altri triangoli rettangoli non dei triangoli qualunque ma dei triangoli rettangoli simili a quello iniziale che hanno l'ipotenusa che giace su ciascun lato di quello iniziale e quindi ha preso un primo triangolo rettangolo con l'ipotenusa che giace sul cateto AC un altro triangolo rettangolo simile a quello iniziale con l'ipotenusa che giace sull'altro cateto
e un terzo triangolo rettangolo con l'ipotenusa che giace sull'ipotenusa osserviamo il Triangolo Verde è facile dimostrare che il Triangolo Verde è uguale al triangolo ahc il motivo è semplice i triangoli hanno gli stessi angoli hanno un lato in comune e quindi per il secondo principio di congruenza sono congruenti tra loro per cui io questo triangolo rettangolo lo posso anche disegnare dall'altra parte e va a ricoprire perfettamente il triangolo ahc un discorso analogo si può fare per il triangolo in azzurro che andrà a ricoprire il triangolo hbc e infine il triangolo in rosso costruito sull'ipotenusa lo
posso sovrapporre al triangolo iniziale In conclusione l'area del triangolo in rosso è uguale alla somma delle altre due aree perché il triangolo rosso è stato diviso in due parti e ha formato i due triangoli quello azzurro e quello verde e quindi la somma delle aree dei triangoli rettangoli costruiti sui cateti è uguale all'area del triangolo rettangolo costruito sull'ipotenusa e se vale per i triangoli rettangoli vale per tutte le figure simili se il video Ti è piaciuto come sempre ti invito a mettere un like e se questa dimostrazione non ti basta Ti lascio un altro video
con altre nuove dimostrazioni Ciao e grazie
