MQ1 - Spettro del corpo nero e costante di Planck (1900)

care amiche e cari amici Bentornati vi annuncio un'importante novità del canale ho deciso di iniziare in modo sistematico una serie di video sulla meccanica quantistica la playlist dedicata alla meccanica quantistica è la F6 trovate già un paio di video Ma la novità è che ho deciso di procedere in modo sistematico dando un taglio storico in modo da ricostruire passo dopo passo tutti i ragionamenti tutto il cammino che è stato fatto per arrivare a comprendere la meccanica quantistica come la conosciamo oggi ovviamente per quanto è possibile comprendere un mondo così strano come quello della meccanica quantistica

Allora la nostra storia comincia osservando la luce messa dei corpi Ovvero lo spettro dei corpi cioè la luce che viene emessa alle varie frequenze e qui c'è una sostanziale differenza tra i gas e invece i liquidi e i solidi Infatti i gas rarefatti hanno spettri a righe cioè emettono solo ad alcune frequenze ad esempio l'idrogeno atomico emette solo questi colori che hanno delle specifiche frequenze e nessuna onda elettromagnetica alle altre frequenze stesso discorso per il ferro che però essendo un atomo molto più complesso e Avendo molti più elettroni ha uno spettro righe più fitto invece

i liquidi e solidi hanno degli spettri continui cioè emettono a tutte le frequenze indipendentemente dalla loro composizione chimica Gli spettri a righe ci hanno aiutato a comprendere come sono fatti gli atomi e in particolare lo spettro dell'atomo di idrogeno e su questo aspetto ho dedicato un video abbastanza approfondito vi lascio il link in alto invece lo spettro continuo dei corpi solidi ha portato alla quantizzazione delle onde elettromagnetiche in particolare di grande utilità è stato lo studio dello spettro del corpo nero anzitutto che cos'è questo corpo nero contrariamente al nome non vuol dire che sia nero

Ad esempio il sole è un ottimo corpo nero e quindi Che cosa significa nero nel senso che non riflette la luce perché gli oggetti che vediamo normalmente come neri non riflettono la luce visibile Ecco corpo nero è un corpo che non riflette nemmeno la luce che non può essere vista dall'occhio umano non riflette la radiazione ultravioletta la radiazione infrarossa eccetera Però potrebbe emettere luce ad esempio il sole non riflette la luce se voi sparate della luce contro il sole questa non viene flessa però il sole è sorgente di luce in realtà tutti gli oggetti emettono

onde elettromagnetiche Eh la l'arredamento della vostra casa gli alberi le foglie emettono tipicamente raggi infrarossi che non possono essere visti dall'occhio umano anche voi emettete raggi infrarossi i corpi più caldi emettono oltre raggi infrarossi anche luce visibile e se sono ancora più caldi emettono luce ultravioletta questo grafico che vedete illustra la radiazione emessa alle varie temperature ad esempio la linea tratteggiata in grigio è una sorgente a 5800 Kelvin Kelvin è un'unità di misura della temperatura per passare da Celsius a Kelvin dovete aggiungere 273 quindi 5800 Kin sono circa 5500 GRC 5800 Kin è all'incirca la

temperatura della superficie del sole e questo dire che il sole emette tutte le frequenze della luce visibile vedete lo lo lo spettro del visibile cade proprio bene sul Picco di emissione del sole ma emette anche onde ultraviolette che sono qui quindi a frequenza Maggiore rispetto al Violetto perché qui sulla sinistra abbiamo le Alte frequenze perché l'asse x è ordinato per lunghezza d'onda Quindi qua abbiamo le Alte frequenze qua in fondo abbiamo le basse Fre frequenze quindi il sole mette luce visibile mette raggi ultravioletti e anche dell'infrarosso sotto in grigio abbiamo una sorgente a 5000 Kelvin

vedete il massimo si è spostato un pochino più a destra quindi vuol dire che emette meno ultravioletto a 3000 Kin vedete emette prevalentemente nell'infrarosso ma anche un pochino divisibile minore è la temperatura più è schiacciata questa curva vuol dire che complessivamente emette meno energia un corpo umano che ha tre 37° celus che sono 310 Kin avrà una curva che emette tutto nell'infrarosso e nel visibile va praticamente a zero infatti una persona non emette luce visibile Casomai riflette quella che arriva dall'esterno ora Questo grafico che vi ho presentato in modo così semplice in realtà ha richiesto

enormi sforzi per essere compreso perché immaginate Nella seconda metà del 1800 insomma la gente andava a cavallo non non c'erano grandi tecnologie e capire come era fatto questo spettro di emissione non è stato uno scherzo bisognava misurare la luce alle varie frequenze ma si era da poco capito che la luce è un'onda Quindi anche dividerla per frequenza non è semplice E poi misurare l'energia a ogni frequenza e quindi era un compito estremamente Arduo e tantissimi fisici tantissimi scienziati hanno lavorato duramente su questo progetto per capire lo spettro del corpo nero il primo passo è stato

comprendere quant'era l'energia totale emessa da un corpo Perché chiaramente è più facile capire Quanta energia viene emessa complessivamente piuttosto che capire quante ne viene emessa ogni frequenza e questo Questo obiettivo è stato raggiunto nel 1879 dal fisico matematico e poeta sloveno Joseph Stefan che formulò la famosa legge che dice che la potenza emessa Essa da un corpo nero quindi la potenza dellenergia emessa ogni secondo è uguale a una costante Sigma che vale 5,67 * 10 ^ - 8 j su Met qu per second per Kelvin all quar Quindi questa costante Sigma per l'area considerata per

la temperatura alla quarta Stefan trovò questa formula sperimentalmente ma in fisica una formula deve essere dedotta sia per via sperimentale sia per via teorica cioè collegata alle conoscenze pregresse fortuna vuole che Joseph Stefan aveva un discepolo Io credo che la la soddisfazione più grande per un maestro sia che il proprio discepolo superi il maestro e in questo Stefan è stato molto fortunato perché il suo discepolo era uno dei più geniali fisici che hanno mai calpestato questo mondo ovvero Ludwig boltzman e boltzman ricavò la stessa legge da un punto di vista teorico eh basandosi su considerazioni

di tipo termodinamico per darvi un esempio su come applicare questa formula se abbiamo una superficie che si può considerare un corpo nero che Ha un'area di 1 m qu e una temperatura di 5800 Kin Allora in questa formula al posto di Sigma mettete 5,67 * 10 ^ 8 al posto di a mettete 1 e al posto di T mettete 5000 800 che verrà elevato alla quarta e ottenete questo risultato circa 6 * 10 ^ 7 w e notate che l'energia dipende molto dalla temperatura perché viene elevata alla quarta la temperatura quindi vuol dire che la

temperatura influisce molto sul risultato Se mettete 4.000 Kin avete un risultato sensibilmente più basso Quindi siamo arrivati al 1884 un altro passo avanti è stato fatto 9 anni dopo nel 1893 quando il tedesco willam Win ricavò dalle leggi della termodinamica e dall'elettrone ismo di Maxwell la lunghezza d'onda del picco della curva cioè capi che questa curva ha un Massimo e questo massimo si trova Dove si trova applicando questa semplice formula una costante che vale 0,0029 M per Kin fratto la temperatura questa formula come quella di Stephan boltzman era in buon accordo con i dati sperimentali

ad esempio se la temperatura è 5800 Kin facendo il calcolo Si vede che il massimo è a 500 nanom e infatti è così il nanometro è un miliardesimo di metro quindi lunghezza d'onda 500 miliardesimi di metro a 5000 Kin abbiamo un massimo un po' più avanti perché la temperatura denominatore quindi il risultato è più grande 580 nanom e a 3000 Kelvin abbiamo 967 nanm Quindi ricapitolando abbiamo trovato la potenza totale messa per unità di superficie la posizione del massimo mancava l'obiettivo principale cioè mancava la formula che desse tutta la curva quindi un'equazione dove in funzione

della temperatura e delle varie lunghezze d'onda si avesse la la potenza emessa per unità di metro quadro a quella frequenza e qui entra in gioco il nostro protagonista ovvero Max Plan che ehm raccogliendo anche degli sforzi Fratti da wn tra il 1895 e il 1899 basandosi sia su dati sperimentali che su deduzioni teoriche basate sulla termodinamica ricavò la seguente equazione Questa che vedete qui sotto l'intensità di irraggiamento è uguale una costante a fratto la lunghezza d'onda alla quinta per 1 Fratto il numero e di Nepero elevato a b fratto la lunghezza d'onda per la temperatura

dove A e B sono due costanti da determinare piccolo problema questa formula non soddisfava nuovi dati sperimentali che sono stati raccolti alla fine del 1899 quindi riassumendo nel 1899 abbiamo la formula dell'energia totale messa la formula per i massimi ma l'equazione della curva trovata da Plan non funziona però Planck non era un tipo da rendersi facilmente e quindi per un anno intero il 1900 ha lavorato duramente a questo progetto ci voleva capire com'era fatta questa equazione per lunghi mesi non riuscì ad arrivare a nessun risultato apprezzabile Diciamo che era disperato e per far quadrare i

conti fece un'ipotesi cioè assunse che la radiazione potesse essere solo suddivise in pacchetti discreti di energia e questi P li chiamiamo Quanti quanti di energia più precisamente la radiazione poteva solo avere un'energia e che era uguale alla frequenza moltiplicata per un multiplo di una costante h detta costante di planc Cioè per fare un esempio se la radiazione aveva una frequenza di 1 Hz 1 Hz È pochissimo ma solo per rendere il discorso semplice Allora quella radiazione poteva avere un'energia di H oppure 2H oppure 3h ma non 1,5h cioè dovevano essere multipli interi della frequenza moltiplicati

per H Ecco faccendo questa ipotesi che non aveva nessun fondamento nella fisica conosciuta Allora facendo questa ipotesi ricavò questa formula un po' complicata che vedete qua sotto Ma questa formula calzava perfettamente con i risultati sperimentali infatti all'inizio non l'ho detto ma un corpo nero può essere costruito di solito sono fatti come dei Forni con una piccola apertura perché in quel modo se della luce entra nell'apertura non viene riflessa ma rimane intrappolata nel forno e quindi tutta la luce che esce è luce emessa e non riflessa Ecco studiando la luce proveniente da questi oggetti dei corpi

neri appunto si poteva vedere se la formula calzava con i dati sperimentali ora va detto che partire da un comportamento discreto Cioè quantizzato per poi passare al limite continuo era uno stratagemma abbastanza utilizzato in matematica e in effetti Plank l'ha fatto Proprio in quest'ottica Cioè lui non era convinto che la radiazione fosse veramente quantizzata E infatti poi lo scopo successivo di Plan fu quello di eliminare questa quantizzazione che lui riteneva solo un escamotage diciamo qualcosa che in qualche modo sporcava la dimostrazione per arrivare in modo un po' forzato al risultato commentiamo un attimino questa formula

molto complicata che contiene diverse costanti a numeratore abbiamo 2 pco per la costante h di Plank che è un numero molto piccolo 6,63 * 10 ^ - 34 m qu per kg FR second C è la velocità della luce sono 300 milioni di Met al secondo lambda è la lunghezza d'onda che varia il variare della curva e ci dà tutti i valori dell'energia emessa poi abbiamo 1 FR e che il numero di Nepero per H FR C FR lambda KT questa K è la costante di boltzman 1,38 * 10 ^ - 23 giol fratto Kelvin

T è la temperatura in gradi Kelvin questa equazione è nota come legge di Plank ed è tutt'ora valida ora la legge di Plank non ebbe però tantissimo clamore perché comunque questa roba della quantizzazione non piaceva a nessuno e si cercava di trovare una formula che poteva essere di nuovo questa oppure una formula migliorata che evitasse questa quantizzazione Ma che si rifacesse solamente alla termodinamica alla meccanica statistica E all'elettrone perché ricordiamo che la luce è un'onda elettromagnetica quindi gli studi sull'emissione del corpo nero continuarono e nel 1905 in Inghilterra James Jean ottenne un importante risultato ottenuto

anche grazie Un precedente lavoro di lord rilate Infatti questi due fisici per via teorica quindi partendo dal' equazione di Maxwell dalle leggi della termodinamica trovarono questa legge detta equazione di ryet jeans la forma è abbastanza più semplice 2 pco per la velocità della luce per la costante di boltzman per la temperatura fratto la lunghezza d'onda all quarta Peccato che questa legge funzionava bene solo per le basse frequenze che sono queste qua sulla destra o le grandi lunghezze d'onda se preferite vedete la curva rossa è quella trovata sperimentalmente Oppure quella della formula di Plank quella tratteggiata

in bianco e quella di Riley jeans vedete che qui le due curve si sovrappongono ma all'aumentare della frequenza divergono e la curva di rally jeans portava un risultato assurdo perché al crescere eh della frequenza l'energia Tendeva a infinito questo chiaramente non ha senso vuol dire che un corpo nero emette un'enorme quantità di energia Alle alte frequenze quindi vorrebbe dire che qualunque oggetto ci ucciderebbe all'istante perché verremmo inondati di raggi ultravioletti ad altissima energia Eppure questa formula non conteneva errori basandosi sulla fisica conosciuta fino a quel momento e infatti questo questo aspetto venne chiamato catastrofe Ultra

Violetta cioè che arrivati all'ultravioletto succedevano delle cose strane Ovviamente oggi noi sappiamo che questa formula non funziona perché l'ipotesi di Planck della quantizzazione della radiazione in realtà era corretta ma ci vuole ancora parecchio tempo per comprenderlo e lo scopo di questa playlist è appunto di costruire il percorso che è stato fatto per intero prima di concludere vorrei ancora fare due riflessioni sulla legge di rally jeans una di carattere storico e una di carattere matematico quella storica consiste nel fatto che su tantissimi libri di fisica c'è scritto che il lavoro di Plan è stato ispirato per

correggere la legge di Riley jeans che non soddisfava i risultati sperimentali Cioè per correggere questa catastrofe ultravioletta Ma questo fatto non può essere corretto e per capirlo basta osservare che la legge di Plank è stata pubblicata nel dicembre del 1900 invece quella di Riley jeans è del 1905 Per la precisione Riley iniziò già a pubblicare qualcosa nel 1900 Ma erano solo risultati sperimentali invece l'elaborazione completa arrivò solo 5 anni dopo Quindi dopo la legge di Planck che infatti abbiamo detto che non convinceva del tutto e quindi si è continuato a lavorare quindi PL non lavorò

per correggere la legge di Riley jeans ma lavorò per correggere la prima versione della sua legge quella che aveva pubblicato nel 199 Inoltre fatto curioso jeans negli anni successivi divenne un convinto sostenitore dell'ipotesi dei quanti mentre Planck no Planck era una persona di vastissima cultura dall'animo reazionario dall'animo conservatore ha fondato la meccanica quantistica ma senza crederci fino in fondo ad esempio vi leggo uno stralcio di una lettera che Planck scrisse al fisico Robert Wood molti anni dopo nel nel 1931 Quindi quando la meccanica quantistica era già fermata e disse dovete introdurre la strana ipotesi dei

quanti in un atto di disperazione atto di disperazione rimasta celebre questa espressione ve L'ho riportata letteralmente in tedesco quello che ha scritto lui non Fatemela leggere per carità che è un disastro Se leggo in tedesco comunque un atto di disperazione perché era necessario trovare ad ogni costo una interpretazione teorica del problema però lui era VTO che questa era solo un'ipotesi matematica e non sospettava che la meccanica classica e l'elettrodinamica classica potessero fallire però comunque bisogna dargli atto che però è stato lui per primo a proporre l'ipotesi dei quanti E comunque la la legge di Planck

fornisce Lo spettro del corpo nero quindi giustamente gli assegnarono il premio nobel nel 1918 e in generale l'idea della quantizzazione della radiazione fu graduale questo è abbastanza ovvio Perché stravolgera completamente la visione che si aveva e avvenne Grazie al contributo di molti fisici un contributo molto importante provenne da Albert Einstein che all'epoca aveva solo 26 anni stesso anno in cui pubblicò la teoria della relatività ristretta che dimostrò che la radiazione si propaga come pacchetti d'onda Non solo nello spettro di emissione del corpo nero e questi pacchetti donna vennero chiamati fotoni e per questa scoperta vinse

il Premio Nobel Ma questo è l'argomento del prossimo video Questa è L'osservazione storica che volevo fare sulla legge di Riley veniamo a quella matematica se confrontiamo la legge di Plank e la legge di Riley jeans appaiono molto diverse ma si può facilmente dimostrare che per lunghezze d'onda che tendono a infinito le due formule sono equivalenti e in effetti anche la legge di rile jeans per altre lunghezze d'onda se ricordate la curva tratteggiata corrispondeva bene A risultati sperimentali la dimostrazione abbastanza semplice se si conosce un po' di teoria dei limiti Infatti è basata sul limite fondamentale

che afferma che il limite per x che tende a 0 di ^ x - 1 FR x = 1 un limite che si studia in tutte le scuole superiori Cosa vuol dire che questo limite vale 1 vuol dire che numeratore e denominatore tendono a essere equivalenti perché una frazione Vale 1 se numeratore e denominatore sono uguali quindi questo limite si può anche esprimere dicendo che per x che tende a 0 e alla x - 1 equivalente a X ora se partiamo dalla legge di Plan Notiamo che a denominatore c'è elevato ad HC FR lambda KT

Quindi se lambda tende a più infinito essendo a denominatore tutto questo esponente tende a 0 e quindi dato che e all x - 1 equivalente a X allora tutto questo denominatore vedete che c'è e elevato a qualcosa - 1 sarà equivalente a questo esponente e quindi per lambda che tende a più infinito al posto di questo denominatore sostituiamo HC FR lambda KT Ora facciamo il reciproco del denominatore perché c'è Uno fratto qualcosa quindi portiamo lambda KT a numeratore HC a denominatore semplifichiamo eh a croce e otteniamo questa formula Che coincide con la legge di rally

jeans quindi la legge di rally jeans può essere considerata una formula che approssima la legge di Plank per grandi lunghezze d'onde per piccole frequenze e in effetti i quanti di Plank hanno un'energia che è uguale ad H * F Ma se la lunghezza d'onda è grande allora la frequenza è piccola e h * F diventa così piccolo che la quantizzazione diventa praticamente trasc cioè questi Quanti sono talmente minuscoli che la luce può considerarsi continua bene questo primo video è terminato col tempo produrrò altri video per continuare questa storia non usciranno in rapida successione perché li

voglio fare bene quindi con calma e dedicarci il giusto tempo se il discorso ti interessa e non l'ai ancora fatto iscriviti al canale e Salva questa playlist Ciao e grazie