Conjuntos: Subconjuntos e Conjunto das Partes (Aula 2 de 4)

[Aplausos] Olá pessoal vamos continuar o nosso curso de matemática do ensino médio fazendo agora a segunda aula sobre conjuntos Ok olha lá primeiro item conjuntos iguais quando é que dois conjuntos eles são conjuntos iguais dois conjuntos são iguais quando os mesmos elementos Ok vamos ver exemplos ali ó olha só por exemplo o conjunto A formado pelos elementos A B e C agora um conjunto B reparem assim ó formado pelos elementos c b e a olha aqui ó apenas a ordem foi trocada mas isso pouco importa se os elementos de a são elementos de b e

os elementos de B são elementos de a esses dois conjuntos eles são conjuntos iguais ou seja o conjunto A é igual ao conjunto B Ferreto mais um exemplo vamos lá meu amigo olha só conjunto C Conjunto C formado pelos elementos 1 e do e um conjunto D por exemplo formado pelos elementos 1 2 2 2 Ferreto aqui não são iguais meu amigo claro que são iguais Olha a definição aqui em cima dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos então aqui ó 1 e do que são elementos de c são elementos de D são

um e do e os elementos de D 1 e 2 São elementos de c são também então com esse exemplo aqui gente eu quero falar o seguinte pouco importa se está sendo repetido os elementos Aqui nós temos certamente também dois conjuntos iguais ou seja o conjunto A é igual ao conjunto B Ok vamos agora ao item dois falar sobre subconjuntos Olha o que diz ali ó um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de a é também elemento de b então assim ó pessoal um subconjunto ele é caracterizado pelo seguinte um

conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de a pertence ao conjunto B Ok vamos fazer exemplos Olha só um conjunto A por exemplo formado pelos elementos A e B e um conjunto B formado pelos elementos A B e C repara o seguinte o a e o B que são elementos do conjunto A eles são também elementos do conjunto B Então significa que o conjunto A ele é um subconjunto do conjunto B Ok em forma de diagrama a gente poderia fazer assim ó nós temos uma bolinha aqui ó e a outra por fora olha

só essa por fora seria o conjunto B E essa por dentro seria o conjunto A o conjunto A é formado pelos elementos A e B Vamos colocar aqui o a e aqui o b e o conjunto B ele é formado pelos elementos A e B e nós temos ainda o elemento C então nós temos aqui o elemento C que pertence ao conjunto B porém não pertence é o conjunto A então em forma de diagrama seria essa maneira de explicar que o conjunto a ele subconjunto do conjunto B dessa forma a gente escreve assim ó o

conjunto A a gente coloca um símbolo assim ó é um C mais comprido assim o a esse símbolo em relação ao B Ferreto o que que quer dizer esse símbolo aqui ó esse símbolo aqui meu amigo quer dizer está contido está contido esse símbolo aqui está contido Então ele pode ser entendido ou interpretado de três maneiras tá olha só a primeira a primeira está contido ou seja o a está contido em b a segunda maneira o a é subconjunto de B se o a está contido Então o a é subconjunto de b e por último

se o a é subconjunto a gente pode dizer então que o a é parte parte de B essas três interpretações são a mesma coisa em relação a esse símbolo aqui ok Vamos descer um pouquinho vamos a mais um exemplo olha só por exemplo conjunto A formado pelos elementos 2 3 e 4 e um conjunto B formado pelos elementos 4 e 5 Ok olha só gente aqui não tá acontecendo nem do conjunto A estar contido no conjunto B E nem do conjunto B estar contido no conjunto A aqui o que nós temos repare o seguinte ó

nós temos apenas um único elemento em comum que é o elemento de número quatro então a gente pode expressar esses dois conjuntos em forma de diagrama da seguinte maneira Olha só vamos colocar um diagrama aqui e o outro aqui ó nessa parte central Aqui nós temos a parte onde nós colocamos el que pertence aos dois conjuntos Aqui nós temos o número qu como pertencendo aos dois conjuntos então o 4 está nessa parte que na próxima aula a gente vai ver que fala da intersecção de conjuntos OK agora fazendo parte do conjunto A nós temos o

2 e o 3 e o 4 também porém o 4 faz parte do conjunto B e o c faz parte apenas do conjunto B então em forma de diagrama esses dois conjuntos são representados dessa maneira aqui ok e dessa forma a gente não pode dizer que o a está contido e b e nem que o b está contido em A então a gente diz assim ó o a não está contido em b e da mesma forma o b não está contido em a Vamos colocar mais uma observação aqui ó mais um exemplo vem comigo por

exemplo um conjunto A formado pelos elementos 1 e 2 e um conjunto B formado pelo elemento TRS um conjunto unitário aqui ok notem reparem ó nemhum dos dois possuem elementos em comum então a gente pode dizer o seguinte em forma de diagrama os diagramas são bem separados não possuem elementos em comum então aqui o conjunto A aqui o conjunto B O conjunto A é formado pelos elementos 1 e 2 e o conjunto B é formado pelo elemento 3 pessoal falar aqui para você agora bem importante ó esses dois conjuntos por não possuirem elementos em comum

a gente diz que esses dois conjuntos presta atenção são conjuntos disjuntos Ok vamos escrever aqui ó A e B são conjuntos disjuntos beleza vamos descer um pouquinho aqui olha para mim aqui ó e agora por exemplo Ferreto se dois conjuntos forem iguais pessoal se dois conjuntos são iguais o que acontece todo elemento de um pertence ao outro e vice-versa então se os dois conjuntos são iguais a gente a gente pode dizer que o conjunto por exemplo o a está contido no conjunto B e da mesma forma o conjunto B está contido no conjunto A Ok

vamos escrever isso daí ó olha só um conjunto A que possui os elementos 1 e 2 e um conjunto B que possua os mesmos elementos 1 e 2 repare que o 1 e o 2 do conjunto A eles pertencem ao conjunto B da mesma forma o um e o dois que pertencem ao conjunto B também pertence ao conjunto a esses dois conjuntos eles são iguais então a gente diz que o conjunto A está contido no conjunto B e que o conjunto B está contido no conjunto A Inclusive essa é uma condição para que dois conjuntos

sejam iguais um deles esteja contido no outro e vi Vera Ok vamos escrever isso daí então se a é igual a B então o conjunto A está contio no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A Ok vamos ao item3 falaram o seguinte propriedades da inclusão são duas propriedades olha só a primeira propriedade fala a respeito do conjunto vazio preste atenção ó o conjunto vazio ele é subconjunto de qualquer conjunto inclusive dele mesmo em outras palavras o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto Ok vamos escrever isso daí propriedade um vamos

escrever assim ó P1 diz o seguinte que o conjunto vazio com esse símbolo aqui ele está contido em qualquer conjunto A mesmo que esse conjunto A seja o conjunto vazio então ele pode ser subconjunto dele mesmo ok a propriedade dois olha para mim aqui ó um certo conjunto A ele é sempre subconjunto dele mesmo em outras palavras um certo conjunto A sempre estará contido nele mesmo ok vamos escrever isso daí um conjunto a ele está contido sempre nele mesmo ou seja o a é subconjunto dele mesmo ou seja também o a é parte de A

vamos fazer agora aqui ó umas questõe inhas bem jogo rápido pra gente fazer no fechamento até esse momento Aqui nós temos dois conjuntos o conjunto A formado pelos elementos 1 2 e 3 e o conjunto B formado pelos elementos 2 e 3 vamos assinalar verdadeiro ou falso do item a ao item F vamos começar pelo primeiro Olha lá item a a 3 pertence ao conjunto A Olha lá lá em cima ó o número TR ele é um elemento pertencente ao conjunto A então três pertence a a item verdadeiro item B 1 não pertence ao conjunto

B Olha o conjunto B só tem os elementos 2is e TR então o 1 não está aqui então um não pertence ao conjunto B é uma afirmação verdadeira também c b está contido em a olha lá o b realmente está contido em a repara o seguinte o b é formado pelos elementos 2 e 3 esses dois elementos 2 e 3 pertencem ao conjunto A pertence então o b está contido no conjunto A ou seja o b é um subconjunto do conjunto A vamos fazer isso aqui em diagrama Olha só nós temos aqui ó duas bolinhas

círculos fechados ou linhas fechadas não entrelaçadas né E aqui nós temos o conjunto A e aqui dentro nós temos o conjunto B O conjunto B é formado pelos elementos 2 e 3 e o conjunto A é formado pelos elementos 2 e 3 que pertencem ao conjunto B e também pelo elemento um ok então Olha só o item c o b está contido no conjunto A pelo próprio diagrama dá para ver isso daí então esse item é um item verdadeiro letra D B é igual ao conjunto A não né gente até porque o conjunto A tem

um elemento um que não pertence ao conjunto B ou seja não são então conjuntos iguais então b = a é um item falso letra e o 4 pertence ao b o quro elemento 4ro não pertence nem ao conjunto A nem ao o conjunto B Então esse item é o item falso letra F olha aqui ó a Olha esse c virado aqui ó gente C virado vamos escrever aqui ó significa con tem contém isso daí é a mesma coisa tá é a mesma coisa que a gente ler dessa maneira aqui ó o contrário b inverte o

b troca o b pelo a e inverte aqui esse c ou seja deixa o b está contido em A então a contém B é a mesma coisa que B está contido em a e é verdade que B está contido em a sim a gente até já viu no item C Então esse item aqui acaba sendo um item verdadeiro vamos ao item quatro Conjunto das partes diz o seguinte seja um conjunto A o conjunto das partes de a representado por P entre parênteses a é o conjunto formado por todos os subconjuntos de a olha para mim

aqui ó então o conjunto das partes gente é um conjunto formado por elementos e esses elementos são outros conjuntos lembra na primeira aula que eu falei o seguinte que os elementos de um conjunto podem ser números podem ser letras inclusive podem ser outros conjuntos Esse é o caso do conjunto das partes Conjunto das partes é um conjunto onde os elementos São subconjuntos desse determinado conjunto Ok Ferreto fiquei um pouco confuso meu amigo olha um exemplo para tirar essa confusão na sua cabeça vem aqui ó conjunto A formado pelos elementos 1 e 2 e agora eu

quero saber o seguinte Quais são os subconjuntos vamos escrever aqui ó subconjuntos que podem ser formados através do conjunto A ou seja com os elementos que pertencem ao conjunto A vamos fazer aqui ó quais são subconjuntos eu posso formar um conjunto com elemento um eu posso formar um conjunto com o elemento dois posso formar um conjunto com o próprio conjunto a 1 e 2 e posso formar um conjunto vazio esses dois últimos aí ó o conjunto um e dois e o conjunto vazio foram as propriedades que a gente acabou de ver que que a gente

acabou de ver ali as propriedades diz o seguinte que um conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto então por isso que ele está ali e um conjunto A é sempre subconjunto dele mesmo ou seja formamos o próprio conjunto A com os elementos um e dois Então olha só gente através do conjunto A nós conseguimos formar quatro subconjuntos dele Ok então as partes de a Conjunto das partes do conjunto A são esses aqui ó são esses elementos é o elemento formado pelo conjunto unitário 1 pelo conjunto unitário 2 pelo próprio conjunto a 1 e 2 e

pelo conjunto vazio Ok Esse é o conjunto das partes onde os elementos são subconjuntos do próprio conjunto A Vamos descer um pouquinho e vou falar uma coisa muito importante aqui ó número de subconjuntos anote lá número de subconjuntos olha aqui ó quando um conjunto possuir n elementos se um conjunto A possui n elementos então o número de subconjuntos de a ou seja do conjunto A é igual devo trocar a cor aqui ó do elev na n n então é o número de elementos desse conjunto A então o total de subconjuntos é 2 na n repara

aqui em cima vamos subir um pouquinho de novo Olha só o conjunto A ele possui dois elementos então Aqui nós temos aqui ó que o n é igual a 2 Então o que a gente pode afirmar aqui ó que o número de subconjuntos é igual 2 elev n ou seja 2 qu Isso aqui vai dar 4 ou seja o total de subconjuntos é 4 é o que a gente encontrou aqui ó 1 2 3 4 quatro subconjuntos olha para mim aqui ó por exemplo um conjunto que tenha três elementos 1 2 e 3 Ok quantos

subconjuntos a gente pode formar 2 elevado a cubo 2 ao cu é ig a 8 Então esse conjunto que tem os elementos 1 2 e 3 ele possui oito subconjuntos vamos ver quais são o conjunto apenas com um o conjunto apenas com o dois apenas com o TR com o um e o do com o um e o TR com o dois e o TR agora as propriedades o próprio Conjunto 1 2 e TR e o outro é o conjunto vazio está aqui ó os oito subconjuntos formados e esses oito subconjuntos são os elementos do

conjunto das partes desse conjunto A ok pessoal se você gostou da aula Clica ali em gostei vai direto pra terceira aula que vai começar agora agora mesmo tá automaticamente fica aí até mais Um abraço fui