Cursos Unicamp - Física Geral II - Oscilações - Parte 1

[Música] [Música] pessoal então E hoje nós vamos começar eh eu vou chamar assim do último grande tópico desse semestre que nós encerramos uma discussão sobre e termodinâmica concluindo com uma teoria cinética dos gases e agora nós vamos começar o último bloco de conteúdo que envolve oscilações que nós vamos ver hoje e depois eh que a gente poderia chamar de oscilações que se propagam no espaço que são ondas Ok todos nós conhecemos o movimento harmônico simples já visto em física 1 por exemplo de uma massa mola que descreve o movimento oscilatório agora se eu tiver um

movimento aqui oscilatório e tiver registrando isso ao longo de um papel que se desloca no tempo o que vai ser registrado é o que depois nós vamos ver ver é uma onda Ok e a primeira tarefa que nós temos que eh que eh ver aqui é relacionar esse movimento harmônico simples e o movimento eh oscilatório de uma vibração por exemplo Tá ok e quando nós observamos esse padrão desenhado sobre uma folha de papel que desliza Isso é uma curva que no caso aqui veremos é um cosseno um seno que tem algumas características importantes como por

exemplo a posição de equilíbrio desse bloco e a amplitude deste movimento e o ciclo né o período com que esse movimento se repete ou seja nesta curva tipo seno ou cosseno ele volta ao mesmo a um ponto equivalente no caso eu apontei aqui tá apontado aqui a crista mas poderiam também ser os ves ou esse ponto de equilíbrio aí é complicado cuidado não é a distância entre um ponto de equilíbrio e outro e sim pulando um do Meio H um ponto de equilíbrio que em que os o movimento tá baixando contra o movimento um ponto

de equilíbrio que passa por uma trajetória em que o movimento tá baixando também aqu ele tá subindo então não não é OK e lembrando aqui um baile da saudade da física do semestre passado nós temos ã analisamos o movimento harmônico simples de um sistema massa mola fizemos uma análise da energia mecânica Total envolvida e quando o meu minha massa está numa posição estendida em que eu estico a mola ele tá parado momentaneamente a energia cinética zero Toda energia mecânica tá armazenada energia potencial elástica onde esse deslocamento é amplitude do movimento Ou seja a energia mecânica

de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da amplitude do seu movimento quando tá passando pela posição de Equilíbrio h a mola tá na sua posição de equilíbrio não tem energia potencial elástica armazenada ali tudo se converte em energia eh cinética né Ou seja a energia no Ponto de Equilíbrio ela é cinética tá então nós temos um termo de energia cinética e um termo de energia potencial o diagrama simplesmente mostra Eh esses limites do movimento e nós vimos também que é uma Conservação da energia mecânica Ok então mas que como nós temos um termo

de energia cinética e um termo de energia potencial a soma eh eh se conserva mas nós vimos que em posições diferentes do Movimento Eu tenho mecânica ou cinética somente e composições entre elas né nós vimos que ela se conserva total é igual mas cinética e potencial se alternam agora este movimento de vai e vem do meu sistema massa mola eu posso associar ao movimento eh circular uniforme que eu chamo de movimento harmônico simples o que nós vemos desta ilustração é que este movimento de vai vem do oscilador harmônico simples nada mais é do que a

projeção que a projeção no eixo X da posição desta bolinha realizando um movimento circular uniforme com o mesmo período Ok E aí Associação matemática disso aí é aparentemente mais intrincada naade bastante simples o que eu fiz aqui é congelar um instante eh deste filminho aqui com a bolinha nesta posição aqui ela tem uma velocidade tangente à trajetória circular eu tenho aqui a componente x da velocidade o raio é a a aqui é a amplitude do meu movimento do oscilador harmônico simples Tá ok e aqui eu tô projetando esse deslocamento e esta velocidade aqui ao longo

deste eixo aqui o meu meu sistema massa mola vai tsc TS tsc tsc aqui ok ah neste caso aqui do movimento circular uniforme o ângulo teta é simplesmente esta projeção aqui no eixo X vezes a amplitude portanto esse deslocamento x aqui é simplesmente a a a amplitude vezes o cosseno desse ângulo correto ora este ângulo Veja só o movimento circular uniforme este ângulo nada mais é do que a frequência angular vezes o tempo Ah vamos lá flashback no final de física um movimento de rotação onde vocês fazem a tradução entre eh as variáveis em cinemática

linear para cinemática de rotação Eu tenho um deslocamento angular que é igual a quê é a velocidade angular vezes o tempo OK então eu posso escrever que este componente x aqui desse dessa posição nada mais é que a amplitude o raio dessa circunferência o cosseno de Ô T Ok e nós também já sabemos que essa frequência angular é 2 pi ou seja o perímetro e em radianos vezes a frequência portanto ainda posso escrever esse deslocamento desta forma aqui em função da frequência Ok ou relacionando a frequência com o período eu tenho isso aí se eu

dou uma volta num tempo T minúsculo igual ao T maiúsculo que é o período para dar uma volta eu chego exatamente ao mesmo ponto ok muito bem a velocidade é simplesmente a derivada disto aqui OK e eu encontro então este termo aqui que também varia com o mesmo período só que a amplitude evidentemente diferente a função é seno e aceleração também varia com o mesmo período só que evidentemente também a amplitude é diferente Ok então eu posso relacionar o movimento eh circular uniforme um movimento harmônico simples simplesmente da seguinte forma a projeção num dos eixos

que eu tomei como x da posição da partícula realizando movimento eh circular uniforme é igual ao movimento harmônico simples de uma partícula ao longo de um eixo executando esse movimento exatamente com a mesma frequência a mesma amplitude Ok ah eu posso mapear esse movimento circular uniforme aqui né Eh eh em que ele fica dando voltas ele fica dando voltas ele fica dando voltas neste gráfico aqui em que eu faço a posição Y por exemplo em função do ângulo teta percorrido então depois de um período Teta vai 2 pi depois de dois períodos 4 PI assim

por diante eu posso pegar esse movimento Sobre uma circunferência que se repete em vários ciclos e estender ao longo de um eixo e aqui simplesmente tá essa relação aqui que eu tô fazendo isso aqui vai ser útil pra gente descrever o nosso movimento harmônico simples como nós já vamos ver daqui a pouquinho agora qual que é a dinâmica desse movimento harmônico simples né Todos nós sabemos que a segunda lei de Newton também tá valendo aqui né E nesse caso a força que aparece sobre a massa né da força da mola é a nossa velha conhecida

F = - KX e nós sabemos também que ma é igual a m vezes essa definição aqui da aceleração que é a derivada segunda do eh da da posição ok portanto - KX é igual a essa massa vezes essa derivada Segunda ou eu posso escrever que essa derivada segunda é igual a - k so M A constante de mola perdão é a massa da atada a mola vezes o deslocamento x e essa é minha equação diferencial paraa posição da da massa em função do tempo OK Então qual que é a solução para isso aqui a

solução para isso aí é uma função que tem esta propriedade que quando eu a derivo duas vezes ela é igual a própria função com alguma constante na frente com o sinal trocado E aí nós já sabemos com o repertório que nós temos mesmo não sabendo resolver equações diferenciais do que que nós estamos falando nós estamos falando de funções seno cosseno né porque cosseno deriva uma vez dá menos seno derivando menos seno de novo dá menos cosseno Ahá cosseno cosseno depois derivar duas vezes com um sinal menos na frente ok então Eh olhando pra força fazendo

análise dinâmica nós chegamos exatamente ao resultado pro pra posição X em função do tempo que escreve o movimento eh harmônico simples e esta a equação que nós temos nós vamos definir então que este km aqui é a frequência angular ao quadrado deste movimento mas isso nós podemos checar facilmente Tá ok Porque aí então vamos tentar essa solução que nós já intuímos só olhando a cara da equação diferencial Ok a velocidade então é a derivada disso aqui é simplesmente menos a velocidade angular amplitude Ok só que agora é uma função seno então uma crce a outra

diminui e a aceleração que é derivada segunda vai ser - x x de novo ok Então beleza aí eu multiplico por m desse lado eu tenho ma e aqui eu vou ter é a força da mola E aí de fato nós já Vimos que a solução ou a equação que descreve esse movimento harmônico simples tem a frequência angular no argumento lá do Cosseno a função cosseno e seno e ela aparece naturalmente para fora com isso na equação dinâmica nós associamos esta frequência à características do Sistema Ou seja a propriedade da mola e a massa e

presa a mola aí OK agora eu posso generalizar essa expressão e pendurar aqui uma fase é que nem no movimento de translação eu simplesmente coloco um eh sei lá exemplo mais simples né x = x0 + v0 t + 1/2 de a t qu famosa equação essa que descreve o movimento com aceleração uniforme nós temos sempre esse x0 aí que é uma espécie uma origem do nosso sistema de coordenadas Eu posso também no caso aqui de um movimento eh circular ou harmônico simples ter o que a gente chama de fase que é simplesmente definir uma

origem diferente aí agora o que que significa esta fase essa fase significa o seguinte esse eixo aqui é o deslocamento máximo é em mdulo é amplitude em função do ângulo esse ângulo teta é o qu é a velocidade angular vezes o tempo OK então se eu tiver agora como é que eu desenho essa expressão aqui se eu tiver que omeg T é o teta eu vou dizer teta iG 0 este ponto aqui ó qual que vai ser o meu valor para Y B isso aqui é Z ele vai ser a cosseno de phi se phi

for diferente de 0 2 pi Então esse valor vai ser menor do que a de modo que se não se a fase fosse zero fosse só a cosseno de eg t o máximo estaria aqui nesse valor de Tet T iG 0 como eu tenho uma fase esta mesma curva que é seno bonitinho com o mesmo período aqui mesma frequência só que ela tá deslocada por essa fase neste diagrama de deslocamento angular teta e movimento deixa eu pegar aqui um outro exemplo Ah de novo eu sei que aqui este aqui é o deslocamento angular vou chamar

Tet iG 0 y = a não fique nem no slide anterior só que agora eu vou dizer que essa eu vou pegar um caso particular dessa dessa dessa fase essa diferença de fase é - pi - pi so 2 perdão Ah nesse caso Y vai ser igual a zer então para teta iG 0 com esta fase aqui Y = 0 muito bem agora se teta for igual a pi so 2 ou seja o Ô T um deslocamento angular pi sobre 2 ou seja vou est olhando para cá qual que vai ser o valor de y

ora pi so 2 - pi so 2 é 0 portanto a cosseno de 0 igual Ops eu chamei de um aqui perdão é a né o cosseno que é né então vai ser esse valor aqui então esse deslocamento de fase de - Pi so 2 empurrou essa curva de e teta = pi so 2 mas que curva que é essa aqui que vocês estão vendo aqui é lógico vocês já sabem que cosseno de phi - Pi so 2 igual seno de phi e se pi se esse phi em vez de - Pi so 2 for

+ pi so 2 a mesma coisa de novo se eu considerar um ponto teta = 0 a vai ser cosseno disso para F = pi so 2 Y vai ser igual 0 só que pro teta lá na frente pi sobre 2 voltando aqui slide eu vou ter que Y vai ser iG aen phi pi so 2 mais pi so 2 que é -1 Então em vez desta curva assim eu vou ter essa curva assado ok muito bem agora eu vou fazer ver essas uma outra análise de condições iniciais e um pequeno resumo do que nós

vimos aqui aí aqui muito bem eu tenho que x de t é igual a a cosseno de eg T mais PH Qual que é a velocidade é simplesmente a derivada desse da posição então a derivada vai ser cosseno vai ser menos cai o argumento para fora ô a seno de OM t mais f e a aceleração vai ser igual a deriva isso de novo dá - ô qu cai de novo para fora o a volta a ser cosseno de Ô t f agora e como Eu determino a fase nos exemplos aqui que nós vimos no

nos slides vocês viram que a mesma curva seno se a fase era pi sobre 2 ou - pi sobre 2 dava um deslocamento a a fase pi sobre 2 a fase pi sobre 2 significa que no instante em que a partícula tá na posição de Equilíbrio o deslocamento é positivo enquanto que na fase que quando a fase é é pi sobre 2 aqui é - pi so 2 pi so 2 Ela tá também pode est na posição de Equilíbrio Só que ela tá descendo certo então como é que Eu determino no movimento por exemplo que

eu tô olhando assim ó num determin instante a posição é tal a velocidade é é outra e a aceleração é não sei quanto como é que Eu determino Qual é a fase porque eu preciso da fase para saber daqui a x segundos onde essa prevê onde essa partícula vai est esse exercício que a gente tá vai fazer aqui determinar a fase e o enunciado ou a medida Experimental do movimento mostra que no instante x = 0 posição é zero e que o que acontece aqui é que a velocidade nesse instante Ela é maior do que

zero ela é positivo seja tá indo num determinado e sentido que eu chamei de positivo muito bem agora vamos ver qual que é a posição em x = 0 não x igual ou perdão t = 0 então X para t = 0 vai ser a cosseno de PH e se isso aqui é igual a 0 que a minha condição inicial do problema dá significa que PH ou é pi so 2 ou - pi so 2 correto bom a velocidade em t = 0 é maior que 0 b l igual nós derivamos o a função posição

ôa a seno de fi bom para isso ser positivo a função é menos uma constante uma uma coisa positiva vezes a função seno phi tem que ser menor que zero porque o seno tem que ser negativo para contrabalançar aquele sinal negativo e dá o que eu tô dizendo que é uma velocidade positiva portanto determinamos a fase phi = - pi so 2 algo bastante comum n com uma condição nós determinamos valores possíveis e com a outra condição a gente determina qual valores possíveis de fato corresponde a a essa a essa situação e o resumo aqui

do que nós vimos é isto aqui solução geral x = a cosseno de OM t + phi a é a amplitude do movimento Ô é a frequência angular e é a fase OK esta frequência angular pro sistema massa mola Depende das características do sistema que a constante de mola eh e a massa do objeto do bloco amarrado na mola por aí ah a frequência não depende da amplitude isso aqui olhando as expressões Ah é trivial mas talvez no senso comum se nós não matematizar a coisa talvez não parecia tão natural assim e esse movimento de

oscilação ocorre em torno do Ponto de Equilíbrio no qual se chama Ponto de Equilíbrio a resultante de forças é zero de fato no caso de uma massa mola a força F = - KX onde X é o deslocamento Ponto de Equilíbrio x = 0 não há força resultante nesse nesse sentido aí agora Quais são as soluções nós vimos que a equação você já viram equações diferenciais ou não Ah tudo bem mas então vocês vão aprender alguma coisinha Qual que é a nossa equação diferencial isso aqui e nós vimos que eh x = a cosseno de

OM T é uma solução correto agora se vocês testarem vocês vão ver que a seno de OM T também é solução pom derivada de seno cosseno derivada segunda de seno menos seno satisfaz a mesma expressão ou seja se isto é solução e isto aqui é solução a soma das duas também é solução tá isso aqui é um dos grandes resultados de eu vou colocar só evidentemente amplitudes diferentes só para não confundir isso aí também vai ser solução da nossa equação diferencials apagador agora vamos vamos trabalhar com isso aí e aí ó se nós fizemos a

derivada primeira disso aí nós vamos ter daquela geral vamos ter Ô B cosseno de Ô T Men Ô C seno de Ô t e a derivada segunda vai ser igual a men Ô Quad B de novo seno de Ô t - Ô qu C Ops cosseno de Ô T isto aqui meu é igual a - ô qu x b seno mais C cosseno vou escrever o argumento que é exatamente a solução Ok a solução mais geral é a soma de duas de e funções de duas outras soluções mas vejam que nós não temos aqui se

a gente pega uma massa mola Estica e temos amplitude desse movimento nós temos que determinar essas duas amplitudes B e C aqui correto e como é que a gente determina isso na solução mais Geral com um resultado importante deixa ir para essa luz aqui que esta solução geral soma de duas soluções mais particulares se reduzem a isso aqui ó quando eu pego uma solução cosseno ou seno e permito que exista uma fase eu reproduzo essa solução geral que uma solução tipo cosseno com uma amplitude uma tipo seno com outra amplitude ok muito bem Vamos demonstrar

isso então x = a cen de OM T + phi pode ser escrito da seguinte forma isto aqui é um cosseno de a + b cosseno de a + b é igual a vamos lá vamos ver quem lembra isso eu não sei Decor isso nunca soube foi sempre um trauma para mim porque aí eu tinha que deduzir o negócio perder maioro tempo é cosseno vezes cosseno menos seno x seno muito bem ok bom isto aqui simplesmente eu posso reescrever da seguinte forma C cosseno de Ô T nã mais B seno de ô T só que

aqui C ig a a cosseno da fase e B é igual a - a seno da fase então a expressão x igual a uma amplitude cosseno de omeg T mais e mais uma outra amplitude vez sendo omt significa Exatamente isso essa essa solução geral como uma fase porque estas duas soluções cuja soma também é uma solução as amplitudes relativas vão ser dadas pela fase por exemplo se a fase for zero a solução é a cosseno de Ô t e B vai ser zero também correto se a fase for pi sobre 2 bom então esse c

é diferente eu tenho lá B ig a a amplitude geral vezes seno de OM t e se eu tenho uma fase intermediária eu posso escrever isso como uma soma de seno cosseno com amplitudes diferentes tá maravilha então vamos aplicar isso a um problema Esse problema é bonitinho eu poderia ter trazido aqui mas que nós já fizemos na na aula de fluidos onde tinha aquela caixinha que colocava em equilíbrio dava uma um Peteleco nela ela ficava vibrando que é o oscilador de Arquimedes Então eu tenho aqui um objeto em equilíbrio dentro de um líquido ele flutua

um pouco n ele tem uma densidade um pouco menor que da água então ele tá mas ele é estável aí eu afundo quando eu afundo esse objeto ele vai deslocar mais água vai aumentar a força de empuxo a força peso continua a mesma então a força de empuxo para cima é maior do que a força peso tendendo a fazer com que ele suba ao subir ele vai chegar a uma posição depois que ele tem uma velocidade finida vai passar a posição de Equilíbrio ele vai ficar mais para fora do do da da água do que

na posição de Equilíbrio que que acontece daí a força peso é maior do que o ulo porque ele tá deslocando menos água então tem uma resultante de força para baixo sobe desce sobe e desce isso é um oscilador que nem nós vios aí resta calcular a frequência disso aí OK E aí então vamos pensar num paralelepípedo oscilador só por causa do fato que o volume de um paralelepípedo eu posso ver uma altura vezes a base A é mais fácil de descrever a força de empuxo no equilíbrio vai ser igual D D da água G vezes

o volume submerso como a área é constante ao longo do paralelepípedo é uma medida direta desse H aqui agora se eu afundo esse objeto ou se eu levant ess objeto o empuxo vai variar de que forma esta é a força do empuxo que pode variar com o tempo se ele fica oscilando no caso e que vai ser simplesmente isso aqui ó a da água G vezes a área e vezes essa diferença de profundidade aí por exemplo o meu zero aqui é é a superfície da água se eu afundar mais o objeto significa que eu tô

fazendo deslocamento no sentido do eixo Y negativo menos com menos dá mais e h mais uma grande quantidade o empuxo é maior se eu suspendê-lo vai ter um Y pos deslocamento Y positivo então H menos uma coisa a essa quantidade diminui o empuxo diminui correto e agora a solução do problema a força de impuro então é essa expressão que nós discutimos no slide passado a somatória das forças é a força peso para baixo oou empuxo para cima Isto é igual a ma porque a massa do objeto vezes a derivada segunda posição e eu posso escrever

isso né colocando que eh simplificando a notação com os dois pontinhos para derivada segunda é que que é essa expressão aqui veja só a força peso equilibra o empuxo na posição de Equilíbrio tá então isso aqui essa soma disso zero então só sobra isso aqui então a minha equação aqui é simplesmente isso aqui olha só que bonito de novo fica algo uma força proporcional ao deslocamento Y com sinal menos na frente é uma força restauradora que uma força de mola e eu posso agora dividir isso aqui por m n e isto aqui eu associo é

a mesma estrutura de equação eu associo isso com a frequência de oscilação ao quadrado e essa frequência então é a raiz quadrada dessa grandeza né então quanto maior for a massa do objeto menor vai ser essa frequência quanto maior for a densidade maior vai ser essa frequência e isso dava para ver numa época em que a vida não era tão politicamente correta Ou seja quando era adolescente nós tínhamos acesso facilmente a Mercúrio para brincar com Mercúrio né tinha kits assim em brinquedos que você ficava brincando com Mercúrio é um negócio muito bonito muito mas parece

que é meio perigoso hoje em dia proibindo e Mercúrio tem uma densidade enorme mais de três vezes a densidade da água então se tinha uma superfície de mercúrio você jogava lá uma bolinha uma baita de uma de uma frequência né enquanto que se você jogasse um objeto uma bola sobre a água bom tem toda a viscosidade que ele mencionou que Então essas Essas oscilações são amortecidas mas quando você observava alguma coisa a frequência era muito [Música] [Música] menor m