RAZÃO E PROPORÇÃO | Matemática ENEM e Vestibulares - CFPONLINE

E aí pessoal bem-vindos e bem-vindas a essa aula O tema é razão e proporção que é um assunto que eu acho que você deve imaginar a importância né muitas questões em vários vestibulares e eu costumo dizer que razão e proporção Talvez seja um dos conteúdos de matemática que estejam mais inseridos no nosso dia a dia não existe ninguém falando sério isso aí deixa eu tô falando sério não existe ninguém que não use ideias de razão e proporção no dia a dia ninguém se você está nesse planeta na sua cidade todo dia você usa alguma ideia

de razão e proporção parece mentira mas não é não é verdade bom se você pensou na velocidade de alguma coisa nem que seja a velocidade do carro para atravessar a rua se você percebeu Por exemplo quando você coloca um gelo dentro do suco ele fica uma parte submersa a outra parte tem a ver com densidade se você olhou para um mapa e viu que tem um númerozinho da escala e viu a redução se você precisa tirar uma cópia ampliado reduzida tudo isso que eu falei tem a ver com razão e proporção Se você vai comprar

um objeto e aí precisa por exemplo imagina que você vai comprar um quilo de feijão e você tem um valor e você precisa comprar 5 kg você usou a ideia de razão e proporção ou seja isso tá misturado no nosso dia a dia dizer que algo tá no dia a dia não significa que você tem que pegar uma caneta e fazer uma equação resolver um cálculo complicado não quer dizer apenas que o raciocínio matemático está inserido Nesse contexto Tá bom então vamos começar com as ideias aqui O que vem a ser conceito de razão e

proporção né algo que tá muito presente nessa estrutura Tem coisas na natureza muitas coisas na arte também a ideia de proporcionalidade existem proporções são chamadas proporções áureas algo alguma coisa mais harmônica tudo isso está inserido tanto na arte quanto na matemática na geometria de modo geral Mas vamos começar devagarzinho O que vem a ser a razão conceito mais simples o conceito básico razão todo mundo tem que saber razão significa divisão a razão entre a e b nada mais é do que a dividido por B Esse é o conceito básico razão é a divisão é só

isso só razão e divisão não tem muita conversa isso é razão agora você pode montar um problema que envolva isso problema pode ser mais intermediário mais simples mas complicado obviamente mas a ideia da razão é essa Quando você pensa por exemplo a razão entre o número a razão entre o número de pessoas imagina que numa sala tem 15 homens e tem 25 mulheres Qual é a razão entre o número de homens e mulheres quando eu falo da razão é apenas a divisão Como eu disse razão é divisão por enquanto a ideia é bem básica por

exemplo homens dividido por mulheres 15 sobre 25 e aí você pode simplificar quando a gente simplifica pode simplificar por 5 dividido por 5 vai ficar três quintos então o número de homens está para o número de mulheres assim como três está para 5 é assim que a gente escreve isso aí tá bom vamos lá matemática é isso né a gente já começa fazendo um problema colocando um exercício então como eu disse vamos fazer uma questão de vestibular mas a gente passeia pelos vestibulares do país né então já com um conceito básico básico de razão eu

já vou mostrar uma questão tá bom se liga o corpo humano necessita de pelo menos 7 horas de sono por dia é quase o sono da beleza né dormir às vezes 7 horas é um luxo às vezes não consigo também não se uma pessoa dormir aos 22 horas e acordou depois de 345 minutos então ela dormiu vamos lá dois terços do necessário um sétimo uma coisa bem importante é a gente lembrar que a parte das horas né o sistema de micos de média de tempo é o sistema sexo animal uma hora 60 minutos um minuto

60 segundos para não ter aperreio Qual é o tempo que a pessoa precisa para dormir bem né o sono da Beleza quase 7 horas 7 horas cada hora tem 60 minutos então 7 vezes uma tabuada aí 420 420 minutos mas a pessoa dormiu 345 bora ver qual é a fração que ela dormiu do sono vamos ver é só dividir razão 345 / 420 dá para simplificar tá vai dar 23 sobre 28 fazendo a continha a gente tem 082 bom e aí o que acontece é só comprar o 082 com todas as frações que tem aqui

detalhe já vou direto mostrar para vocês quatro quintos quatro quintos é 0,8 portanto a pessoa dormir o 082 mais do que quatro quintos e a resposta é letra e quer dizer a pessoa dormiu 82% do valor mínimo para ficar bem tá valendo na vida moderna nessa correria da gente muitas vezes dormir 80% do tempo tá tudo bem bom a próxima aplicação Essa é muito importante a parte da escala como é que funciona essa parte de escala escala é muito importante porque tem a ver com a razão que é uma forma de você representar muitas vezes

uma coisa grande de maneira proporcional bem harmônica de uma maneira Menorzinha talvez a maior aplicação mais famosa parte de mapa mesmo quando você vai representar uma cidade à distância entre cidade uma imagem no mapa e você tem que usar uma escala então a ideia de escala é justamente essa então vou escrever aqui às vezes a pessoa pensa que é uma forma não não é uma fórmula é uma representação a escala ela vai ser a razão entre a medida do desenho sobre a medida real e essa razão ela não tem unidade Tá bom vamos olhar aqui

deixa sair da frente Já guarda isso aqui ó desenho sobre o real como eu tô falando de um exemplo aqui né tô colocando uma situação nessa parte de mapa é muito comum que a gente coloque o desenho real as medidas em centímetros porque quando eu olho o mapa e eu quero medir quando eu meço qualquer coisa tá lá a medida em centímetros então fica mais fácil de trabalhar mas você pode colocar as medidas aqui em outras unidades desde que estejam na mesma a unidade aqui em cima tem que ser a mesma unidade aqui embaixo tá

geralmente em centímetros tô falando na prática mas pode ser em outra unidade também não tem problema algum certo então esse essa é o conceito Então quando você tem por exemplo uma escala assim um para 400 significa que Cada centímetro vou estar escrevendo isso aqui Cada centímetro cada um centímetro no desenho corresponde a 400 cm no real Então essa relação deixa eu sair aqui a relação entre o desenho e o Real quando aparece uma informação envolvendo escala de um modo geral os problemas são simples quando eu falo assim de um modo geral não são problemas que

dão muita dor de cabeça não de verdade tô falando sério e aí se liga porque muitas vezes você pode resolver a questão de um jeito mais fácil até economiza a conta vamos se ligar nessa questão aqui um parque temático brasileiro construir uma réplica em miniatura do Castelo de lichtenstein não sei nem se pronúncia certa alemão não é meu forte quem sabe eu vou aprender o castelo original representado na imagem está situado na Alemanha e foi construído entre os anos de 1840 e 1842 após duas destruições causadas por guerras o castelo possui uma ponte de 38,4

metros de comprimento e 1,68 metros de largura o artesão que trabalhou para o parque produzir uma réplica do castelo em escala se liga aí em escala nessa obra as medidas do comprimento e da largura da ponte eram respectivamente 160 cm e 7 cm a escala utilizada para fazer a réplica é olha só lembra do que eu acabei de dizer escala vai ser presta atenção é o desenho sobre o real mas tem que estar na mesma medida tá Não esquece olha só então o desenho tá aqui sobre o real vou pegar as Duas Medidas sugestão pega

as menores ninguém tá aqui para ter dor de cabeça né 7 a largura no desenho e 1,68 não esquece desenho 7 cm e aqui 1,68 metros bota na mesma unidade tá a gente precisa estar atenta isso aqui ó centímetro e metro Então vou colocar na mesma unidade muda parte do metro para centímetro porque você se livra das vírgulas Então 7 e aqui 168 Aqui tá tudo agora na pasta centímetro E aí simplifica bom para não precisa nem fazer essa conta direito mas só se liga 168 dividido por 7 bom 20 vezes 7 é 140 então

178 168 é um pouco mais de 20 vezes 7 só tem uma resposta que é 24 eu nem precisei fazer a conta direito né eu fui já nas alternativas e conseguir matar a questão se liga que isso ajuda também para caramba é inclusive muitas vezes é uma forma que eu uso de encontrar respostas de forma mais rápida outra aplicação por exemplo de razão também é velocidade né que é a rapidez com Que você realiza o movimento o conceito de velocidade a gente chama na variação do espaço pelo tempo quando eu falo assim uma velocidade vou

colocar grandeza vetorial escalar também não vou entrar nesse mérito aí não vou deixar isso para o nosso amigo de física Tá bom eu vou botar aqui 6 metros por segundo então não vou ficar falando de Vetor velocidade sinalizar que vai brigar comigo 350 km por hora em um carro de Fórmula 1 chega a essa velocidade por exemplo Então esse conceito pode ser também velocidade da luz né 300 mil quilômetros por segundo então é um conceito da razão entre distância e tempo eu tomei variação da distância como eu falei tô entrando mais na ideia matemática mas

por aqui certo bom olha essa situação aqui questão da Fuvest 2022 um vídeo tem três minutos de duração se o vídeo foi reproduzido desde seu início com velocidade 1,5 vezes a velocidade original o tempo Olha só o tempo de reprodução do vídeo inteiro será de que que acontece nesse caso se liga o tempo é três minutos Vamos pensar que a velocidade é uma velocidade inicial um só que se você aumentar a velocidade da reprodução o vídeo vai durar mais ou menos pensa às vezes falam que eu falo é que na minha aula eu falo devagar

eu sou bem calmo né aí o pessoal diz assim a gente acelera o vídeo e bota na velocidade um e-mail É verdade na velocidade dois porque eu falo mais pausadamente se aumentar a velocidade de reprodução aula acaba mais rápido ou demora mais tá mais rápido então se você aumenta a velocidade do tempo vai diminuir Isso precisa ser algum engenheiro matemática para entender não Isso faz parte da vida se você for andando até a padaria gasta um tempo se pegar uma bicicleta o tempo é menor se for de carro o tempo é menor ainda ou seja

nesse caso qual vai ser o tempo bom como a velocidade é uma vez e meia só dividir aqui por um e-mail E aí você teria dois minutos já que eu tô na velocidade de uma vez e meia original divide por e-mail eu já tenho o tempo Beleza então a ideiazinha tranquila outra coisinha que aparece é essa parte eu hoje eu tô só me metendo na área do Povo falei de velocidade a densidade parece que eu tô na aula de química agora tava na de física agora de química e comecei com slide de uma parte de

proporção na arte né tá uma salada uma salada de fruta sabia longe de cidade também é um conceito que existe dentro linear superficial volumétrica mas a densidade de um modo geral é mais famosa digamos assim né que tem talvez a maior aplicação no dia a dia é o conceito de massa por volume também é uma razão é algo também bem comum e a gente sabe que coisas mais densas ficam mais embaixo e as menos densas mais em cima né aqui Você Tem Mel leite água e óleo tá vendo a densidade densidade alta densidade mais baixa

e aí parece aula de química de repente experiência aqui né bom olha só mostrar aqui um probleminha a massa de um tanque de combustível depende Olha só primeiro da quantidade de combustível nesse tanque do tipo de combustível que se utiliza no momento e da massa do tanque quando está vazio Faltou um assento aí né aí não aguento ficar Deixa eu botar aqui pronto bom sabe-se que um tanque tem massa igual a 33 kg quando está cheio de gasolina 37 kg quando tá cheio de etanol Vamos pensar assim primeira situação a massa do tanque eu vou

chamar de T de tanque mas gasolina mais a massa da gasolina é 33 e quando tá com etanol é a massa do tanque mas a massa dietanol É igual a 37 e a questão diz aqui ó rapaz na verdade esse assento do está Sumiu em tudo Acho que foi alguma coisa gráfica mesmo não foi nem o erro quando está cheio dessa noite que a densidade agora a densidade da gasolina é 7/8 da densidade do etanol a densidade da gasolina é igual a sete oitavos da densidade do etanol como é que eu vou e o que

eu coloquei aqui é a parte da massa bom que a gente vai fazer aqui massa da gasolina eu até chamei desse jeito maiúsculo Vou colocar aqui assim massa da gasolina sobre o volume e aqui em massa do etanol sobre o volume 7/8 Posso cancelar porque o volume vai ser igual né E aí eu tenho que a massa da gasolina é sete oitavos da massa do etanol peguei isso aqui e vou substituir é um sistema é um sistema Ele quer saber qual é a massa do tanque bom aqui eu acho que até mais fácil a gente

achar logo um dos dois porque fica mais rápido eu vou pegar esse sistema acompanha meu raciocínio vou pegar esse sistema aqui e eu vou subtrair as equações subtraindo subtraindo ou escreve errado subtraindo as equações temos vou fazer assim a de baixo menos a de cima vai ficar é menos g igual a 37 - 33 que é 4 fiz isso de propósito porque vai cortar já o trailer de baixo menos a de cima você vai cortar agora eu vou substituir no lugar de G eu vou colocar sete oitavos de e igual aqui a quatro bom coisinhas

com fração eu acho que vale sempre a pena se ligar aqui é e sete oitavos de é bom se você tem um inteiro que são oito oitavos e você tira sete oitavos sobra um oitavo então é -7/8 de e vai dar um oitavo Então essa aqui vai ficar um oitavo de é igual já é botar a resposta A4 então a massa do etanol 32 kg perfeito se a massa do etanol é 32 kg e o tanque tem 37 37 quando tá cheio de etanol qual é a massa do tanque se não sabe faz a equação

não tem vergonha não aqui ó 307 e aqui a gente achou 32 Então vai dar 5 a massa do tanque 5 kg beleza Tá feito aí usei um sistema letra D usei um sistema mas usei o conceito aqui da densidade Lembrando que os volumes são iguais tá na parte de proporção certo aqui eu coloquei uma estrutura isso aqui na proporção a gente sabe que é uma igualdade de frações esse desenho eu peguei que muitas vezes ela é baseado na nas aulas de desenho inclusive Quando você vai fazer um desenho de rosto você divide em três

frações iguais na divisa nessa proporção de um terço um terço e um terço para fazer as proporções do rosto e aí dependendo das variações das pessoas Isso aqui vai mudando bom O que vem a ser uma proporção falando de uma forma bem simples proporção nada mais é do que uma igualdade de frações a gente fala aqui asta para B assim como sexta para D é uma igualdade de frações Isso é uma proporção talvez a propriedade mais famosa que a gente tem aqui é aquela de meios por extremos o produto dos meios é igual o produto

dos extremos a gente vai usar muito isso aqui às vezes D igual a b x c de um modo geral a gente estuda essa parte de proporção para entrar em grandezas proporcionais grandezas diretamente proporcionais inversamente proporcionais a gente vê esse tipo de coisa mas por enquanto ainda não vou falar sobre isso eu de um modo geral é na proporção entender algumas coisinhas aqui antes de fazer esse problema daqui da Unicamp deixa eu mostrar aqui então quando a gente fala que eu vou fazer uma divisão para mostrar para vocês uma coisinha bem legal aqui vou dividir

algo em Cinco partes e vou pintar aqui a parte Rosa e essa parte verde dá uma olhada aqui eu poderia dizer que tem três partes rosas para duas partes verdes certo então quer dizer que a parte Rosa eu escrevendo Rosa de verde verde e rosa se eu botar aqui De preto a parte Rosa dividido pela parte verde a gente diz que tá aqui na razão 3 para dois [Música] Cada três partes do que tem Rosa tem duas partes Verde Lembrando que o total são cinco partes Como assim Cinco partes olha aqui ó um dois três

quatro cinco O que é ocupado pela parte rosa três quintos O que é ocupado pela parte verde 2/5 Beleza então se algo tá na razão de três para dois a gente tem uma proporção Inclusive a gente escreve assim né é muito comum a parte Rosa está para parte verde assim como três está para dois assim que funciona na maioria das vezes agora eu vou fazer essa questãozinha para vocês tá bom Um recipiente tem 30 litros e contém uma solução de 14 partes de álcool e uma parte de água Olha só São 30 litros na proporção

de 14 para um vou dar uma dica 14 mais um são 15 partes ó 15 partes vê que coisa simples nessas 15 partes se você tem 30 litros é só dividir 30 por 15 Vai dar 2 quer dizer que cada parte tem dois litros portanto antes Olha que legal antes eu tenho 14 partes de álcool ou seja como cada parte tem dois litros aqui eu tenho 28 litros de álcool e tenho dois litros de água agora vamos lá ver a parte do depois agora vai depois depois olha o que ele diz quantos litros de água

devem ser adicionados para que se tenha uma solução com 70% de álcool então aqui eu continuo tendo algo o álcool e a água agora eu quero 70% de álcool e 30% de água Presta atenção que eu vou dar uma dica muito legal para resolver essa questão aqui eu acredito que tá tudo ok né vou só dar uma recapitulada tá na proporção de 14 para um show então são 15 partes é só lembrar 14 de um do álcool um de água 14 + 1 dá 15 então são 15 Partes como são 30 litros se você dividir

30 por 15 dá dois cada parte tem dois litros Ok então as 14 partes 14 x 28 litros e uma parte 2 litros Ok fiz uma divisão bonitinha Ele tá dizendo que vai acrescentar quantos litros de água devem ser adicionados para que se tenha 70% de álcool quantos litros vou até deixar isso aqui bem marcado quantos litros de água não vai não vai colocar álcool o álcool não vai variar vou dar uma dica Vou escrever uma frase aqui vai ficar para sempre guardada na sua memória tá bom foca em quem não varia não esquece disso

foca em que não varia isso é muito importante repita foca em quem não varia Não esquece ele vai acrescentar água então quem é que não vai variar o álcool em quem não varia não esquece vou fazer se vai acrescentar somente água a quantidade de álcool antes vai ser igual a quantidade de álcool depois Olha que bacana 28 litros de álcool antes é igual a 70% de álcool depois desse T vai ser de total a quantidade de álcool antes é igual a quantidade de álcool depois por quê Porque ele acrescentou só água e o que é

que eu faço eu foco em quem não varia Não esquece foca em que não varia tá bom só fazer uma conta agora 28 = 0,7 do total o total vai ser 28 dividido por 0,7 28 / 07 vai dar 40 né 28 x 7 / 7 é 4 por 07 é 40 Então quer dizer que são quantos litros são 40 litros no total Lembrando que a mistura Inicial tinha 30 e agora tem 40 Foram acrescentados quantos 10 tinha 30 tem 40 dá 10 E aí terminou a questão beleza essa aula de razão é proporção Inicial

termina aqui espero que você tenha gostado e bons estudos