Cálculo I - Aula 19 (3/3) O retorno dos máximos e mínimos

[Música] deixou só fazer ele me perguntou um exercício que era um teste da lista que dá pra você resolveu acho que a gente pode até fazer pra todo mundo é um exercício bem legal você pode resolver ele só olhando para a primeira de levada mas a gente tem também um critério que te ajuda olhando a segunda derivada num ponto saber se esse ponto é máximo mínimo local então se eu tenho uma função definida no intervalo aberto uma função dele vável qual é a condição para que esse ponto se ele for um ponto de máximo que

eu tenho que concluir todo ponto de máximo admiro de uma função derivava eu a primeira derivado de zero então se eu tenho um ponto de máximo e mínimo a primeira derivada de zero como é que eu faço para distinguir se é ponto de máximo e mínimo que eu posso olhar para a segunda derivada nesse ponto e ver o que acontece a gente demonstra isso rapidinho eu posso fazer esse exercício que você falou máximos e mínimos pode dizer assim o retorno vai dar o resultado que a gente tenha um resultado bem bem simples só pra gente

lembrar o que a gente fazia no kit geral para estudar nossos inimigos quais eram os problemas que a gente tinha o nosso favor o tema de vastas dizer o que é que toda função contínua no intervalo fechado obrigatoriamente tem um ponto de máximo um ponto de mínimo globais e outro aliado nossa turma de firmar se dizer que se você tem uma função definida no intervalo aberto derivava eu todo ponto de máximo ou mínimo nesse intervalo a primeira derivada 0 tá bom então a gente tinha o reescreveu anunciado na teorema de vasteras e o teorema de

fermat 1 garante a existência de máximos e mínimos para funções contínuo center aos fechados e outro te diz quem são os possíveis candidatos a ponto de máximo e mínimo no intervalo aberto quando a função de vavá tá e se pede só continuidade e se pede de viabilidade e continuidade no intervalo fechado de viabilidade intervalo dela quando a gente junta os dois que você faz seu show no intervalo fechado que a função é derivado no interior o que eu posso fazer para descobrir máximos e mínimos os possíveis máximos e mínimos que estão no interior do intervalo

você detecta confirmar primeiro derivado igual a zero e compara com os valores nos extremos que eles poderiam ser valores maiores ou menores do que os do interior tá então o resultado que a gente tem que ajudar nessa direção a seguinte eu vou precisar que a função seja de classe c2 agora tá na teoria mas se aqui a gente pode chamar de testes da segunda derivada se você quiser hf uma função definida no intervalo aberto de classe c2 que quer dizer isso que você pode derivar duas vezes a segunda derivado ainda uma função contínua tá então

sejam efe uma função de classe c 2 x 0 ponto crítico df que quer dizer ponto crítico df primeiro ter levado a idosa tá então o que eu posso dizer se essas duas linhas de x 0 for positivo então x 0 é mínimo local e se f duas linhas x 0 for negativo então x 0 1 ponto de máximo local tá bom então como é que você pode usar isso sem que é uma alternativa pra você ficar olhando o sinal do derivado antes e depois também como é que a gente fazia pega um ponto é

derivada naquele ponto é 0 eu olhava o sinal do derivado um pouquinho antes um pouquinho depois será positiva antes negativa depois num ponto de máximo será negativa e positiva depois é um ponto de mim em vez disso eu posso pegar esse ponto de a primeira ter levado a 0 cálculo segundo derivada nesse ponto eu calculo a segunda de elevada nesse ponto é um número positivo então x 0 vai ser um ponto de mínimo local da positivo um ponto máximo desculpas da negativa mas no local faz sentido isso que quer dizer que a segunda derivada é

positiva a segunda derivada positiva nesse ponto é de classe c2 quer dizer que a segunda derivado é continuar então se ela é positiva num ponto ela continua positiva em volta desse ponto então eu tenho um pequeno intervalo em volta do pontos fizeram de segunda derivada positiva que isso quer dizer segundo a derivada positiva a concavidade é pra cima então eu vou ter um ponto onde a reta tangente horizontal é concavidade da função é pra cima esse ponto tem que ser um ponto de milho de maneira análoga segunda derivada negativa nesse ponto ea função é continuar

segunda derivada ela vai continuar tendo derivada segunda negativo e portanto vai ter boca para baixo é um ponto correta tangente horizontal segundo a delegada negativa tem que ser um ponto de máximo o que é bom então a idéia para demonstração é essa como é que a gente faz é tentar expressar isso direitinho diga se a segunda derivada for zero o que eu posso dizer o teorema não cobre a pode ter pontos onde a primeira derivada 0 a segunda derivado de 0 1 ponto de mínimo local a gente podia querer olhar pra terceira para a quarta

derivada tem essa coisa mas se a gente não vai se preocupar com isso tá como é que a gente pode demonstrar isso vamos fazer um só dos casos o outro como sempre vou deixar pra você treinar escrever essas coisas quer fazer o primeiro vamos supor que a segunda derivada no ponto x área positiva tá f de classe c2 garante pra gente o que é que existe um intervalo aberto chamado leading e contendo ponto x 0 de modo tal que efe duas linhas de she's a maior do que zero em todos os intervalos nesse ponto também

que quer dizer que efe duas linhas é positiva por exemplo que a concavidade é pra cima nesse intervalo que mais que ela quer dizer isso implica pra gente o que é que a filhinha de x é crescente a pf duas linhas é derivada nesse caso é derivado desse cara é positiva porque esse cara crescente é crescente e ótimo quanto vale a filhinha de x 0 a primeira derivada no ponto balizar tá então isso quer dizer o quê se eu tiver um x menor do que fizeram qualquer brilhante conclusão se a função é crescente ea avalizaram

nesse ponto porque antes ela tinha que ser ela tem que crescer até 10 então isso implica pra mim é filhinha de x é negativo dentro do intervalo e x menor do que x 0 tá bom pra todo ponto de a esquerda de x 0 é fininha negativa que quer dizer que a filhinha negativa se eu tenho uma função que a primeira derivada negativa ela é decrescente então antes do x 0 é decrescente que eu posso dizer quando x é maior do x a x for maior do que x 0 como f linha vale zero ea

função é crescente a direita do x ela tem que assumir vá à direita de israel tem que assumir valores maiores do que x 0 portanto é fininha positiva em todos os pontos desse intervalo à direita de x 0 tatu enfatizando que a direita se a primeira derivada positiva nesse intervalo que eu posso dizer respeito da função ela é crescente crescente nesse mesmo intervalo então qual que é a situação mas se você for fazer um desenho que tem o ponto x 0 você tem um ponto aqui não sei como é o gráfico da função mas eu

sei que a reta tangente horizontal porque eu sei que a tangente horizontal por que por hipótese eu tô com a infinity 0 a 0 têm um ponto onde a reta tangente horizontal e antes do x 0 a função é decrescente e depois do x érea função crescente portanto esse ponto é o que é um ponto de mínimo local não é porque eu só sei dizer que ela é decrescente e depois crescente dentro desse intervalo e que com o tempo de 10 não sei o que acontece lá pra frente na europa traz dentro desse intervalo e

intervalo em aberto e não consigo dizer que antes a função é decrescente e depois acrescente mínimo local tá bom a gente tem um critério que ajuda a decidir se um ponto a ponto de máximo ou mínimo usando a segunda derivado da corda coisas que você tem que tomar cuidado para usar um termo tem que sempre verificar as hipóteses quais são elas nesse caso a função precisa ser de classe c2 e o x10 tem que ser um ponto crítico então não vale aplicar o teste da segunda derivada por um ponto que não é um ponto crítico

você pega um ponto ela calcula segundo derivada positiva então ele é um ponto de mínimo local não é pega parábola fx guaches ao quadrado pega um ponto qualquer loja chegou a 3 enquanto que vale a segunda derivada da função desse ponto x quadrado quando se deriva duas vezes a 2 a segunda derivada no ponto 3 é positivo então x igual a 3 é um ponto de mínimo local da parábola claro que não né o resultado só vale nos pontos críticos então pra parar o x quadrado eu só poderia aplicar do ponche 00 de novo se

você pegar fx guaches da quarta fase um pouco as contas de cabeça x a quarta quais são os pontos críticos dela onde a primeira derivada avalizar o primeiro derivado 4 x 3 saída 0 só 10 quando o derivado de novo 4 x ao cubo vai dar 12 x ao quadrado 10 vale zero eu tenho um ponto crítico primeiro derivado igual a zero segundo derivado igual a zero e obviamente um ponto de mínimo até global passar o teorema não diz nada a respeito dele porque segundo ele valoriza a terceira também a 0 mas a quarta é

positiva você tem todas as derivadas até a quarta dando positivo ele vai ter que ser um mínimo 1ª 2ª e 3ª derivada 0 na quarta derivado deixou de ser diferente de zero para tentar aplicar um programa desse tipo quando conseguia o teste da enésima derivada mas é chato demais prescrevê-los tá bom ótimo a gente tem critérios para máximos e mínimos eu acho que vamos fazer alguns exercícios de máximos e mínimos a gente treinar isso e se der tempo a gente começa o hospital o hospital já fizemos o nome de terror da última coisa que está

faltando tá então terminando o nome de ter a gente fecha a matéria para a segunda prova e deve acontecer no final da próxima aula comecinho da aula seguinte na segunda feira então uma aula uma hora e meia a gente mata a matéria e aquela coisa de sempre dali pra frente um discutir os exercícios então vamos pegar o exercício que ele tinha me perguntado ele acabou de sair mas tudo bem né convenceu lembro é aqui a pergunta lhe o exercício 32 da lista a um exame de transferência da fuvest 2017 acontece assim ele te dá um

gráfico de duas funções você tem a função efe tá aqui o gráfico da função efe e depois tem um gráfico da função g está alguma coisa desse tipo a gente não precisa de muitos detalhes coisas importantes são retratados aí então você tem duas funções fg eo exercício pede pra você considerar a função composta h que é composta df com jeito tá bom exercício pergunta seguinte coisa considerando essa função e sabendo que o ponto 1 é esse aqui é um ponto de mínimo local da função g e qg de um vale on me faria escala o

que a gente pode dizer ele te dá cinco afirmações a respeito da função h todas elas tratam de estudar de algum jeito sinal da derivada de hagar quero saber sabendo que um é um ponto de mínimo da função g mínimo local que eu posso dizer a respeito do ponto 1 a função será que é um ponto de mínimo também será que é um ponto de máximo que quer o exercício que tinha perguntado tá bom então vamos lá se você quer estudar os pontos de máxima e mínima da função h eu estou pensando no intervalo aberto

que é interessante olhar a primeira derivado então vamos lá quem que é a primeira derivada da função a gata como uma composta regra da cadeia linha x vezes glx tá que a gente sabe que o ponto x igual a um ponto de mínimo da função g se eu tô no intervalo aberto e tem um ponto de mínimo firmar meu briga concluir que julinha nesse ponto vale zero então g linha de um é zero com certeza isso implica que a galinha de um também é zero posso dizer que esse ponto a ponto de máximo ou mínimo

ou qualquer coisa assim não é porque porque se a primeira derivado de zero nada posso afirmar então como é que eu faço para distinguir bom isso aqui já mata duas das alternativas que era positiva negativa de certo o que a gente faz eu quero estudar se esse ponto 1 é um ponto de máximo e mínimo vamos olhar o que acontece do ponto de vista de intervalinho na então tem que olhar para o sinal da função da elevada de hagai concluir se é crescente ou decrescente anos então pega um ponto um pouquinho menor do que um

simples é um pouquinho menor do que o que eu posso dizer a respeito do gelo linha g o valor da g é maior do que 1 mas o valor da geely linha valor da linha negativo com escala mínima local decresceu então praxes menor do que 1 não sempre está um pouquinho menor do que um dia assim entre aspas perto de 1 eu posso dizer que já a linha de um é negativo o que eu posso dizer a respeito da função h nesse ponto quem é hd 1 eu vou pegar a a gente precisa da escala

aqui né no ponto 1 a função está aqui tá então quanto vale h calculado em 1 fdg dilma quanto vale g1 não gdm um ali um gelinho de um realizador também então quanto vale efe de um é um valor positivo mas que eu posso dizer nesse ponto a derivada negativa reta tangente é decrescente então x menor do que 1 perto de um que eu posso dizer que esse número aqui é negativo e esse número aqui é f linha perto do 1 eu vou ter valores negativos em tão negativo também portanto tem um produto de dois

caras negativos da linha x é negativo e pé filhinha de x negativo e portanto a derivada nesse ponto é positiva então aqui é positiva função é crescente também praxes um pouquinho maior do que um nevão economizar ac x um pouquinho maior do que 1 e perto de 1 que dá para dizer se estou com um xis aqui eu vou te g linha positiva sarto iof linha valores à direita do um f linha também vai continuar negativo porque a função é decrescente no intervalo em volta de um tá então esse cara negativo o que eu voltei

então é filhinha vg linha negativo e um gelinho é positiva então o produto é negativo portanto a função é decrescente que eu concluo que a função h nesse ponto atingir um valor máximo local ela cresce e depois de casa também então é dá pra pensar sim se você pega um mínimo local da g com põe com uma função de crescente esse cara passa a ser o máximo foi isso que a gente concluiu fg são desenhos específicos mas se você tem um ponto de mínimo local de uma função e compõe com uma outra função que no

intervalo é decrescente então esse ponto de mínimo virá máximo da composta por quê - com menos dá mais da classe c2 eu tenho que olhar pra segunda derivada não tá dito nesse exercício da função tem segunda derivada contínuo mas a gente poderia tentar olhar aqui a gente concluiu que h a primeira derivada 0 quem é h duas linhas de x ele vai ficar aqui com a regra da cadeia vai ficar efe duas linhas de gt x vezes a derivado de dentro concluiu segundo geninho de xisto do quadrado mas copia o primeiro perigo segundo tudo bem

o interessado em fazer isso no ponto x igual a 1 que dá para dizer no final de cada coisa bom gedo as linhas no ponto uma positiva porque nesse intervalo em uma localidade próxima efe linha negativa então toda essa parcela que é negativa esse cara que é um número positivo com certeza que eu posso dizer a respeito do f duas linhas ali olhando né visualmente o mesmo que aqui o gráfico tem com qualidade para baixo então essa quantidade é negativa seria de 10 neste caso concreto elevada ao quadrado a 0 então não precisava nem olhar

para esse pedaço por sorte porque isso aqui é zero então que eu concluir em um número que é zero somado com o negativo resultado negativo então a segunda derivada nesse ponta negativa que teria a dizer um ponto onde a primeira dele vai de zero e segundo a elevada negativa o ponto de máximo local bom poderia fazer assim também não tem a ver mais um exemplo é que nós estamos de horário 8 dá pra fazer os dois exercícios talvez a então pegar esses aqui ó a vamos ter esse é um exemplo que ele era 32 da

lista dois esse aqui determine dois números positivos está nos números positivos tais que x mais y seja igual a 4 dos números que já soma seja 4 e que o cúmulo do primeiro mais o quadrado do 2º seja mínimo tá então é um problema de máximos e mínimos quero dois números cujas me dá dois números reais positivos coisa que já soma quatro de modo que o cubo do primeiro mais quadrado segundo seja o menor valor possível mas você pode fazer isso tem duas variáveis eu tô com dois números mas tem uma margem entre elas que

essa que é a soma das duas sem três e quatro então eu posso expressar uma variável em termos da outra e deixar tudo isso em termos só de x por exemplo e tentar procurar máximos e mínimos da função x uma função que dependa só de x pergunta por que esse máximo existe a gente vai só o tema de vastas então vou escrever uma função de uma variável colocar um domínio certo e que a garantia de que o máximo eo mínimo existem fiel tema de vastas tá então o que a gente sabe se x mais y

é igual a quatro e ambos são positivos né primeiro de tudo eu posso escrever que o y europa - x passado e aí o que eu quero maximizar é a função x álcool mais impessoal quadrado né então x ao cubo mais y ao quadrado eu quero achar os pontos de março me mudar essa função porque tem de nada tem máximo essa função não é seu mando x para infinito esporte para o infinito tem mínimo essa função não porque é humano chipre - infinito explode pelo menos o infinito então não é só isso tem algum domínio

quais são os possíveis valores que x pode assumir lembra que são dois números positivos e a soma deles tem que ser igual a quatro eu tenho dois números positivos que a soma igual a 4 você concorda que nenhum deles pode ser maior do que os dois não podem ser maiores do que dois ao mesmo tempo então cada um deles tem que ser menor ou igual ao q2 e positivo tá então eu posso pensar aqui que o chile está variando entre 0 e 2 x por 3 1 igual não se podia trocar de lugar que é

por quatro põe não preciso pode por exemplo se podia pensar a assu x foi 4 y a 0 mas se você tem dois números positivos cuja soma é quem não tá igual né então teria que tomar cuidado de deixar em 304 mas se fosse simétrica forma não precisaria pegar os dois porque se um deles é maior do que 2 o outro automaticamente tem que ser menor do que dois então nenhum deles pode ser maior do que dois ao mesmo tempo então olha só agora eu tenho uma coisa né eu tenho uma função contínuo definida no

intervalo fechado que vai trazer disse pra mim que com certeza tem máximo e com certeza tem mínimo e como é que eu acho esses máximos e mínimos têm duas possibilidades ou eles estão intervalo aperto e eu vou detectar eles com o firmar ou eles estão os extremos o cálculo o valor da função tá bom então vamos lá então um interior não é que o interior ao intervalo aberto de 0 a 4 tá quanto vale a derivada 3 x quadrado mais duas vezes 4 - xv seu derivado de dentro que é menos um tá então isso

vai dar quanto 3 x 2 mais x + 2 x 18 quando se vai realizar resolve né vai dar quanto quatro vezes 8 32 16 64 12 e 2 - quatro vezes três 12 e 18 96 mais 96 / 6 então isso aqui vai dar menos dois mais ou menos 10 sobre seis e portanto quais são as possibilidades que a gente tem menos 2 ou a desculpa é 8 / 6 na 4 terço esse cara tá fora porque eu queria o x positivo então o único possível ponto crítico de interesse é quatro terços posso querer

saber se é um ponto de máximo mínimo local posso como é que eu faço isso deriva olha pra segunda derivados substitui-se valor se der positivo é mínimo local se der negativo é máximo local tá não precisa então já sei no interior quanto vale a função nesse ponto não tem calcular f4 terços vai dar quanto quatro terços ao cubo 4 - quatro terços vai dar 88 terços ao quadrado dá um número ao quadrado acha que vai dar uma certa quantidade e depois você olha o bordo quem é o bordo do intervalo só tem 2.044 que essa

função vale 10 16 tá né o zero ao cubo mais 4 ao quadrado 16 e no ponto x igual a 4 ela vale 4 ao cubo que é 64 então no borda ela vale 16 no outro 64 e nesse ponto intermediário algum número enquanto 64 vão fazer compras 64 sobre 27 mas 24 sobre 27 né tá certo há quanto a 64 vezes 3 64 vezes 3 vai dar a 192 então vai dar 6 256 sobre 27 na qual desses três números ao menor certamente esse aqui então esse ponto a ponto de mesmo global então quais

são dois números cuja soma quatro e okubo do primeiro mas o quadrado segunda mínimo 1 x 1 um deles é 256 sobre 27 e um outro é 4 - isso tá bom assim que se resolve esse problema de março em mim monta função estabelece o domínio para ter certeza que o problema tem solução e depois confirmado vai atrás a gente busca isso tá na hora que vem a gente faz mais 12 exercícios desse de março mínimo e vamos fazer o pornô me de taylor depois a gente discute os exercícios que precisarão bom então até sexta

[Música]