Función compuesta | Introducción

[Música] qué tal Amigas y amigos Espero que estén muy bien Este es un vídeo súper importante si vas a ver o si ya estás viendo la composición de funciones O sea la función compuesta No aquí muy probablemente esto que te voy a decir esto que está aquí parece como en japonés como en algo que uno no entiende Pero pues La idea es que vamos a ver algunos ejemplos para que veas lo sencillo que es esto que al comienzo para ese difícil y lo otro que vamos a hacer en este vídeo es ver un repaso de

un tema muy necesario para que ya cuando vayamos a hacer una función compuesta entre dos funciones pues te parezca supremamente fácil listos Entonces primero Qué es la función compuesta Porque la idea es saber qué es una función compuesta para que ya comprendamos lo que estamos haciendo Y no hagamos las cosas por memoria Sí dice aquí que dadas dos funciones F y G que mejor con marcador sí f&g Recuerda que las funciones generalmente se le ponen nombres la función f o la función g o la función h o la función w Lo importante es que si

tenemos dos funciones la función compuesta que se escribe así G compuesto F simplemente pues debes recordar que es un circulito el que nos dice que eso es una composición de funciones sí se define como algunas veces uno por pereza escribe simplemente G compuesto F Así nada más Pero ya se sabe que es la función compuesta entre la función G y la función F pero para escribirlo completo se escribe así G compuesto F de x o sea entre un paréntesis y aquí escribimos la x así como cuando escribimos fdx se escribe F de X Sí el

nombre de la función es F y la variable es la X La que encontramos en la función Generalmente es la x pero la variable pues puede cambiar no en este caso es la función compuesta F el compuesto G y la variable es la variable x se define como que es la función G de F de X como te decía pues esto de pronto no lo vas a entender pero ya vamos a ver que esto es sencillo no y otra cosa que seguro no vas a entender cuando te lo lea pero que ahorita lo vamos a

ver con un ejemplo para que veas que es sencillo no algo que no vamos a hablar en los siguientes videos porque en los siguientes videos ya vamos a hacer es Cómo se halla la función compuesta y ya pero algo que tenemos que saber es cuál es el dominio de una función compuesta y dice aquí que El dominio de la función G compuesto f o sea la función G compuesto F está formado por todas las X en El dominio de FX tales que su imagen fdx esté en El dominio de la función G Estoy seguro que

esto no lo entendiste pero ya vamos a ver con un ejemplo listos vamos a ver el ejemplo de Qué es la función compuesta aquí tenemos dos funciones sí la función F de X que yo me inventé cualquier cosa en este caso es x al cuadrado más uno y la función gdx que es x + 2 y esas dos funciones me las inventé puede ser cualquier función sí Qué es la función compuesta cuando nosotros queremos a unos números que por ejemplo pues aquí yo también puse los números que yo quería esto vamos a aplicarle queremos nosotros

en algún caso aplicarle a esos números dos funciones primero una función y luego a ese resultado le vamos a aplicar otra función Sí entonces aquí está el ejemplo supongamos que la función es estos numeritos nada más 0 1 2 3 y vamos a este es el dominio Perdón este sería El dominio Y qué le vamos a aplicar la función F primero O sea este sería El dominio de la función F Aquí estos números que yo voy a poner que serían serían las imágenes de de qué pues de la función F sí o lo que resulta

de al meter estos numeritos en la máquina de la función FX que nos va a dar sí esto es como digámoslo así Este es el alimento que le vamos a dar a la función FX para que ella nos los cambie y nos dé otra cosa sí es como cuando tenemos por ejemplo en una empresa están fabricando bolsos alguien pasa y fabrica la parte de abajo y eso se lo pasa a otra persona y esa otra persona le fabrica la correa Por ejemplo si Entonces le estamos haciendo Dos procesos diferentes entonces a estos números le vamos

a hacer este proceso x al cuadrado más uno entonces qué es lo que haríamos acá Este es el dominio O sea a estos números es a los que les vamos a hacer esta transformación empezando con el número cero cero son las x no que son El dominio cero si nosotros aquí en lugar de la x ponemos el número cero esto lo voy a hacer mentalmente porque espero que tú ya lo sepas hacer bien si ponemos en lugar de la x el número cero sería al cuadrado que eso es 0 Y si a eso le sumamos

uno nos da 1 o sea al meterle a esta maquinita el número cero nos lleva como resultado al número 1 Sí esta es la imagen de el cero ahora si hacemos lo mismo con nosotros números te invito a que si quieres pauses el video y busques los números que van aquí si a esta maquinita ahora le metemos el número uno en lugar de la x el número uno uno al cuadrado sería uno y ese uno más uno sería dos o sea esta es la imagen de El número uno Sí el resultado de hacerle ese proceso

más rápido ahora con el número dos aquí sería 2 al cuadrado que eso es 4 y ese 4 + 1 daría 5 Esta es la imagen del dos ahora el 3 hagámosle el proceso 3 al cuadrado es 9 y ese 9 + 1 es 10 ya a esto que había digámoslo Así que era la tela del bolso o la tela de la maleta le hicimos una transformación y quedó así Ahora esto que ya está transformado Le queremos hacer ahora otra transformación a ver que nos da en este caso mira que estos numeritos o sea todo

este conjunto se llama El dominio de F cada numerito de esto se llama la imagen DF ahora como a estos numeritos los vamos a meter ahora en este otro proceso también los podemos llamar ahora como vamos a empezar otro proceso diferente Ahora estos números También se llaman El dominio de la función G Sí por qué Porque estos numeritos son los que los vamos a meter aquí en esta función para ver cuáles son las imágenes en este caso de G entonces metemos los números que están aquí ya estos no estos los que me dio después del

proceso 1 rápidamente Aquí está la función no x + 2 si metemos el número uno a esta maquinita que nos votaría 1 + 2 sería 3 te invito a que hagas los otros como una práctica ahora con el número 2 2 + 2 sería 4 ahora otro proceso con el 5 5 + 2 es 7 Y por último le metemos este otro numerito que está aquí que es el 10 Entonces sería 10 + 2 que es 12 digámoslo Así que esto ya sería el producto terminado después de hacerle una transformación y dos transformaciones Pero qué

pasa si nosotros no quisiéramos ponernos a hacer ay no es que hacer un proceso y después otro para encontrar estos números Entonces ahí es donde hacemos la función compuesta Qué es la función compuesta es una función G compuesto F que mira que se hace al revés aquí primero se aplicó la F y luego la g Cuando hacemos la compuesta se escribe al revés G compuesto F que lo primero que se hace aquí es la F y luego la g Sí entonces la función compuesta me permitiría que si yo la esa maquinita le meto estos números

me va a votar como resultado de una vez los números finales Sí mira todo el trabajo que nos ahorraríamos lo que vamos a ver en este curso es Cómo encontrar esa función compuesta pero en este caso aquí ya tengo la función compuesta sí la función compuesta es la función x al cuadrado + 3 qué es lo que hace esta función compuesta G compuesto F lo que hace esta función es como te digo que si nosotros metemos estos numeritos me bota como resultado los que están de una vez aquí comprobemoslo mira que aquí dice X al

cuadrado más 3 que lo voy a morder arriba para no tener que estar bajando y subiendo no la función compuesta es x al cuadrado + 3 o sea si nosotros le aplicamos al cero esta función nos tiene que llevar de una vez a su resultado final entonces miremos a ver si aquí a esta función le damos de comer el número cero que nos da de resultado aquí sería 0 al cuadrado eso es 0 Y si a eso le sumamos 3 cuánto nos da 0 + 3 es tres Sí mira que nos votó el resultado final

sin necesidad de hacer esos dos procesos ahora con el número uno y te invito a que lo pruebes con los otros dos números con el número uno uno al cuadrado es uno y si a eso le sumo 3 1 + 3 daría 4 Sí el resultado final más rápido ahora con el número dos dos al cuadrado 4 y si a ese cuatro le sumamos 3 nos da 7 y lo mismo con el 3 3 al cuadrado 9 y si a Ese nueve le sumamos 3 nos da 12 eso es la función compuesta y espero que

lo comprendas ahora como al comienzo leí El dominio que como te decía eso parece que estuviera en japonés Ahora sí lo vamos a comprender El dominio la de la función compuesta es está formado por todas las X en El dominio de F de x o sea por todas estas x que mira que estas x Porque mira que esto fue lo que yo reemplacé con x esto también esto también en El dominio de F Sí estas son las x que están en el dominio de fdx o sea El dominio de la función compuesta es o son

todas estas x pero en El dominio dfx tales que o sea deben cumplir una condición tal Es que su imagen esté en El dominio de la función g o sea El dominio son estos números pero tienen que cumplir la condición de que sus imágenes que son estos están en El dominio de g o sea Además de que son imágenes de F También tienen que ser dominio de G Sí o sea este numerito al transformarlo aquí debe servirme para meterlo en esta máquina o sea si llegara a ver aquí un número que me vota supongamos al

número 10 y ese 10 yo no se lo puedo meter a esta máquina Entonces no sería dominio de la función compuesta así Eso lo veríamos más claro con un ejemplo por ejemplo de raíz cuadrada que es a las que no se le pueden meter sino unos números y otros no Pero bueno sí espero que ya te quede claro que es la función compuesta es una función que me permite llegar al resultado final sin necesidad de hacer tanto proceso listos Y por último vamos a ver estos ejemplos que esto es súper necesario comprenderlo para que ya

te parezca fácil es más aquí tenemos una función compuesta que es la que vamos a hacer al final vamos a hacer este ejercicio yo me inventé estas dos funciones con las que vamos a trabajar y vamos a encontrar Esto sí empezando con lo sencillo y vamos subiendo un poquito el nivel de dificultad si tú por ejemplo ya sabes hacer este te invito a que lo hagas como una práctica encuentre el resultado Y así vamos practicando listos empezamos con f de cinco Qué quiere decir F de 5 F de 5 quiere decir que en la función

F vamos a reemplazar la x con el número 5 Qué quiere decir G de -2 que en la función G vamos a reemplazar la x con el número menos 2 Qué quiere decir F de 3x + 1 que en la función F vamos a reemplazar la x con 3x + 1 pero ya lo vamos a ver despacio No empecemos con el primero en la función F vamos a reemplazar la x con 5 Cuál es la función F Mira la aquí la función FX es 3x menos 1 Ahí vamos a reemplazar la x Entonces el consejo

que yo siempre te voy a dar es como vamos a reemplazar la x por 5 en lugar de la x vamos a poner un paréntesis Y eso nos va a ser más fácil resolver cualquier ejercicio de estos entonces empezamos vamos a la función F y vamos a reemplazar la X por el número 5 entonces reemplazamos la x con un paréntesis aquí dice 3x - 1 o sea 3x menos uno Y en lugar de la x vamos a escribir lo que dice aquí el número 5 entonces así como aquí hay un paréntesis con el 5 Aquí

también queda un paréntesis con el 5 y ya esto es F de 5 Sí o sea la función f evaluada en el número 5 pero algo importante es que pues siempre al final hay que hacer las operaciones no por ejemplo aquí Aquí vemos que hay una multiplicación y una resta siempre primero se hace la multiplicación no entonces aquí nos quedaría 3 por 5 15 menos 1 eso es 15 menos uno es 14 y listos Ya encontramos F de 5 vamos ahora con el segundo ejercicio si de pronto tú no sabías antes ahora ya sabes Espero

que lo tomes como una práctica Entonces vamos a hacerlo no ahora en la función G vamos a reemplazar la X por el número menos dos Entonces qué es lo que vamos a hacer el proceso sencillo es escribimos la la función G pero en lugar de la x escribimos un paréntesis miramos la función G la función G es 2x + 3 escribimos eso 2x + 3 Y en lugar del paréntesis o dentro del paréntesis vamos a escribir el número menos dos y así de sencillo se hace ahora qué hacemos pues las operaciones en este caso mira

que también hay una multiplicación y una suma primero se hace la multiplicación multiplicamos signos más por menos da menos y 2 * 2 4 aquí dice más 3 Y por último hacemos esa operación menos cuatro más tres es menos 1 Vamos con el tercero aquí dice en la función F tenemos que cambiar la x por todo esto que está aquí no importa que diga dentro de ese paréntesis en la función F cambiamos la x por lo que diga ahí entonces cómo nos queda miramos la función F cuál es esta 3x menos 1 entonces escribimos 3x

menos 1 en este caso el paréntesis lo hice más grande por qué Pues porque sé que dentro del paréntesis voy a tener que poner muchas cosas qué es lo que tengo que poner dentro del paréntesis 3x + 1 y ya qué es lo que hacemos ahora pues resolver las operaciones entonces pues aquí solamente hay una multiplicación y una resta primero se hace la multiplicación Acuérdate que aquí en este caso se aplica la propiedad distributiva o sea el 3 lo multiplicamos por el primer término y también lo multiplicamos por el segundo término Entonces cómo nos queda

3 por 3x 3 por 3 da 9 y nos queda la letra X ahora 3 por 1 más por más da más y tres por uno tres este menos uno lo escribimos ahí abajo en este caso hay más operaciones para hacer esta resta se puede hacer entonces aquí nos queda 9x y 3 - 1 eso es 2 ya esto no se puede sumar porque no son términos semejantes listos vamos ahora con el siguiente Pero bueno para no estar bajando tanto voy a copiar las funciones para copiarlas por aquí abajo o más bien para pegarlas aquí

abajo listos entonces aquí dice en la función G cambie la x por lo que dice aquí por dos a más B entonces miramos la función G que es esta y la copiamos en lugar de la x escribimos un paréntesis siempre lo mismo entonces en lugar de la x un paréntesis 2x + 3 o sea 2x + 3 dentro del paréntesis metemos lo que dice aquí que es 2a + B Espero que estés practicando No aquí siempre hay que hacer las operaciones aquí este 2 se multiplica por el primer término y por el segundo Entonces como

nos queda 2 por 2a 2 por 2 4 a y 2 por B Sería más 2 b y aquí dice más 3 en este caso no hay ningún término semejante que se pueda sumar o restar Entonces ya terminamos y vamos con el último ejemplo que sería el más difícil en el que ya vamos a hacer una composición de funciones porque acuérdate que la composición es devolvámonos aquí para que lo veas para que lo recuerdes Sí acuérdate que la función compuesta se puede escribir de esta forma si por ejemplo gd F de X eso es lo

que vamos a hacer no aquí dice F de gdx si es otra compuesta Sí entonces aquí Cómo se hace cuidado con lo siguiente pilas con esto mira que aquí dentro del paréntesis dice G de X Qué es lo primero O sea aquí se puede hacer de dos formas Sí pero lo primero que yo te recomiendo es cambiar esto que diga aquí en este caso ahí dentro del paréntesis siempre va a decir FX o gdx o hdx o w de xy o algo en este caso nosotros ya sabemos que G de X es esto que está

aquí entonces lo primero que yo te recomiendo es cambiar gdx por su equivalencia entonces aquí yo escribo F d Y en lugar de escribir gdx escribo 2x + 3 si solamente estamos haciendo un cambio Si por algo que es igual ahora Aquí ya está como lo que habíamos hecho anteriormente aquí dice en la función F cambie la x por lo que dice acá entonces hacemos eso copiamos la función F pero en lugar de la x hacemos un paréntesis 3x - 1 y dentro del paréntesis escribimos lo que dice aquí 2x + 3 simplemente lo mismo

de siempre aquí se multiplica aplicando la distributiva entonces aquí nos quedaría 3 por 2x daría 3 por 2 6x y 3 por 3 da más por más da más y tres por tres nueve y aquí dice menos uno nuevamente aquí nos quedaron dos términos semejantes entonces operamos aquí dice 6x y 9 menos 1 que eso es 8 y Listo ya practicamos Ya quedaste muy bien para empezar el tema pero como siempre por último ahora te invito que tú practiques si ya si ya practicaste muy bien pero te invito a que practiques más y verás que

ya cuando hagamos la composición de funciones que es más mira aquí hay una composición y otra composición de funciones sí funciones compuestas te va a parecer más fácil No aquí ya son otras dos funciones Pero bueno te invito a que te lo tomes con calma que pauses el video ya sabes que puedes descansar si quieres y la respuesta te la muestro en tres dos uno bueno no es que haya aparecido la que respuesta pero está aquí abajo empezamos con f de -2 primero miramos que la función F y cambiamos la x por un paréntesis 2x

+ 1 entonces 2x + 1 dentro del paréntesis ponemos el número menos dos Aquí hay una multiplicación y una suma primero se hace la multiplicación más por menos da menos y dos por dos da cuatro más uno menos cuatro más uno que es menos 3 segundo gd4 que quiere decir en la función G en lugar de la x cambiala No aquí dice menos 3x + 5 - 3x + 5 dentro del paréntesis ponemos lo que dice aquí que es el número 4 otra vez aquí hay una multiplicación menos por más da menos tres por cuatro

doce que al sumarlo con 5 nos da menos 7 tercero F de 2 m menos 3 n entonces en la función F la cambiamos de likes no 2x + 1 2x + 1 dentro del paréntesis ponemos 12 m - 3n hacemos la operación Aquí hay una multiplicación dos por dos cuatro m dos por menos tres es menos 6 n y aquí sumamos este uno aquí no hay términos semejantes Entonces ya terminamos seguimos con la función gdf de X en este caso como ya conocemos FX pues lo primero que hacemos Es cambiarlo entonces escribo gd y

cambio fdx por 2x + 1 Ahora sí aquí dice en la función G cambie la x por esto entonces copiamos la función G pero en lugar de la x hacemos un paréntesis menos 3x + 5 - 3x + 5 dentro del paréntesis ponemos lo que dice aquí 2x + 1 aquí multiplicamos menos 3 por 2 da menos seis x menos 3 por 1 da -3 y este 5 queda sumando aquí se puede hacer esta suma tres Perdón menos tres más cinco es dos Y por último gdf de X aquí pues primero cambiamos esto por la

función G sí la función GX que es menos tres x más cinco entonces copiamos fd y cambiamos esto por menos 3x + 5 otra vez aquí dice en la función F le vamos a cambiar la x entonces copiamos la función F pero en lugar de la x un paréntesis 2x + 1 2x + 1 dentro del paréntesis ponemos menos 3x + 5 aquí nuevamente multiplicamos 2 por -3 da -6x y 2 por 5 da 10 y este uno queda sumando aquí al sumar 10 + 1 nos da 11 Espero que te haya gustado mi forma

de explicar y si es así te invito a que veas los demás vídeos del curso para que profundices mucho más aquí también te dejo algunos vídeos que estoy seguro que te van a servir No olvides comentar lo que desees comparte este vídeo con tus compañeros y compañeras y seguro te lo van a agradecer te invito a que te suscribas al Canal a que le des un buen like a este vídeo y no siendo más bye bye