VOLUME DA PIRÂMIDE | PIRÂMIDE BASE QUADRADA | PIRÂMIDE QUÉOPS EGITO

e nessa aula você vai aprender sobre pirâmides calcular a área da Base a área lateral a área total e o volume e nada melhor né Gente do que estar aqui de frente para a pirâmide de quéopsis aqui na cidade do Cairo umas pirâmide que sempre eu cito nas minhas aulas de poliedros sempre eu falo das pirâmides como exemplo de uma vida real em que existem os poliedros e aqui estão a gente tá toda feliz se ele tava até fazendo a dancinha já né de tão feliz que eu fiquei estar aqui e ter o prazer de gravar essa aula aí para você e a pirâmide que óbvia ela tem a base quadrada e cada lado dessa base desse quadrado tem 230 metros Você já pensou 230 metros o tamanho tá aqui tá parecendo pequena né mas chegando perto gente ela é imensa não tem como a câmera registrar o tamanho dela aí o vento aqui tá atrapalhando o rabo de cavalo lateral Olha isso ai quando vento altura da pirâmide é de 138 metros mas quando ela foi construída constam nos dados que ela tinha 146 oito metros a mais que se desgastou com o passar do tempo para construir a pirâmide queopsis foram utilizados né em média né gente consta na história dois milhões e 300 mil blocos e os blocos têm em média de 5 a 20 toneladas cada um ai mais uma informação Você sabe quantas pessoas foram necessárias para construir essa pirâmide 100 mil eles falavam obreiro 100 mil homens gente é muito as informações os valores os números são grandes demais né e o cabelo não para mas então vamos lá vamos fazer o cálculo primeiro da área da base da pirâmide vamos lá e antes de calcular a área da base vamos conhecer os elementos da pirâmide né gente então toda pirâmide tem um vértice Olha o meu desenho maravilhoso gente eu sou muito boa em desenho né nota 10 nota 1000 para mim em desenho né sofri para fazer esse daqui então como vocês podem observar eu fiz a representação da pirâmide de base quadrada Aqui nós temos então o vértice que une as arestas ali em cima a base sempre vai ser um polígono tá bom gente aqui nesse caso é um quadrado mas também poderia ser um triângulo um hexágono Pentágono aí vai depender do polígono que está na base as faces laterais as faces laterais são todas triangulares são essas Faces que você pode ver aqui ó que nesse caso essa pirâmide tem quatro faces laterais talvez olhar aqui na minha miniatura da pirâmide que Ops fica mais fácil né então base quadrada ok Aqui está o vértice certo aqui nós temos as faces laterais Olha que forma um triângulo ó uma face lateral duas mais uma aqui três quatro faces laterais nesse caso se fosse uma pirâmide de base pentagonal teriam cinco faces laterais tá bom as arestas da base as arestas da base seria essas daqui ó que forma o quadrado uma duas três quatro que são as arestas que estão aqui embaixo que nem ABC CD e ad são arestas da base as arestas laterais são essas daqui ó que sobem que unem lá em cima no vértice ó aqui ó essa essa e essa são as arestas laterais por exemplo Av BV CV e DV são as arestas laterais e a nossa altura da pirâmide né que é o quanto ela tem relação ao chão até o topo dela aqui ó vem aqui bem do meinho até o topo dela para nós determinarmos então a altura Lembrando que aqui nós temos a identificação de um ângulo reto na altura aqui embaixo quando ela toca o lado da pirâmide ao lado não a base da pirâmide certo e já anota aí uma pirâmide é classificada como pirâmide regular quando a base for um polígono regular nesse caso aqui eu tenho um quadrado então é um polígono regular e quando essa nossa altura que essa projeção aqui em relação a nossa base ela vem bem aqui no centro o da nossa base Então temos uma pirâmide regular um outro exemplo de pirâmide regular que você pode anotar aí é o nosso tetraedro que é um dos poliedros de Platão que ele tem todas as Faces triangulares iguais é um exemplo de pirâmide regular então para calcular a área da base vocês sabem que a base é um quadrado né então nós vamos calcular a área de um quadrado Então vamos lá a área da base que é um quadrado todo mundo se lembra vai ser calculado por lado vezes lado ao quadrado então é 230 a medida de cada lado pirâmide que é 230 M vocês têm ideia de 230 metros numa base gente é muito grande nossa área da base igual Então vai ser 230 x 230 bom já dá para fazer aqui ó eu vou fazer direto 23 vezes 23 dá 529 23 x 23 aí acrescento os dois zeros aqui ó vai ser 52. 900 metros quadrados na base Olha bem agora que você já sabe calcular a área da base vamos calcular a área da superfície lateral se você observar na pirâmide a superfície lateral tem a forma de um triângulo Então nós vamos calcular agora a área da superfície lateral presta bem atenção aqui e já Anota tudo no seu caderno Ok então a área lateral olha aqui ó vou escrever área lateral vou calcular mãe depois nós fazemos vezes quatro que são quatro né triângulos ali que formam a superfície lateral você vai observar que a área lateral ela é um triângulo Okay esse triângulo ele tem 230 M aqui na base ó peguei uma face lateral Cadê minha pirâmide de miniatura aquela aqui ó então Ó a face lateral tá aqui então ela é um triângulo aqui mede 230 m e aqui eu não sei quanto mede que vai ser o apótema da pirâmide não é a mesma que altura não é 138 metros tá bom Aqui eu vou ter que determinar agora o apótema da pirâmide para eu descobrir esse valor porque para fazer a área lateral eu tenho que calcular a área do triângulo e para calcular a área de um triângulo eu tenho que fazer a base que seria 230 vezes a altura aqui dele que no caso estou trabalhando com a minha face dividido por 2 mas veja que eu não tenho a altura aqui que seria o apótema da pirâmide que seria um desenho que sai daqui ó que seria isso daqui ó Então veja que eu transportei isso para cá eu tenho que descobrir esse valor e para descobrir esse valor esse apótema da pirâmide eu vou aplicar Pitágoras porque Pitágoras porque veja que ali forma um triângulo retângulo olha aqui ó fazendo as projeções aqui ó forma um triângulo retângulo aqui ó Então vou calcular agora o apótema marca bem aí a pode mandar pirâmide aplicando Pitágoras porque fez um triângulo retângulo ali dentro após tem lá então como que vai ficar olha o triângulo retângulo que eu estou retirando de dentro aqui ó esse desenho vermelho aqui então a altura da pirâmide nós temos que é de 138 metros aqui a nossa base é de 230 né como eu peguei só metade vai ser de 115 e esse daqui que vai ser o meu x que vai ser o apótema da pirâmide Descobrindo a pótema da pirâmide eu descubro aqui esse valor para poder calcular a área Olha aí a função de fazer Hein gente então Pitágoras aqui como que vai ficar 138 ao quadrado + 115 ao quadrado igual a x ao quadrado Então vamos lá 138 ao quadrado 138 x 138 8 x 8 64 vai 6 8 x 3 24 30 vai 3 8 x 1 8 11 3 X 8 24 vai dois três vezes três nove Onze Vai um três vezes um três com aquele um que subiu quatro agora uma vezes 8 8 1 x 3 uma vezes um vamos fazer a adição aqui vai ficar quatro quatro oito nove dez Vai um dois seis seis com três nove e um então deu 19. 044 Aqui ó 19.

044 mas agora 115 ao quadrado 115 x 115 5 x 5 25 vai 2 5 x 15 com aquele dois sete cinco vezes um 5 aí vai ser uma x 55 uma vezes um uma vezes um agora vai ser uma x 55 uma vezes um uma vezes um adiciono vai ser 5 7 + 5 12 que vai um 5 6 7 7 com 5 12 que vai um aqui três e um 13. 225 13. 225 igual a x ao quadrado Ah para você que tá reclamando Nossa gente quanto calma gente olha o tamanho né olha referente a quem que eu estou fazendo o cálculo né pirâmide que é de que Óbvio só simplesmente ela né É lógico que nos exercícios que você tem aí nas suas atividades a sua apostila os valores são bem menores então agora adicionando aqui ó esses dois valores 19.

04 quatro com 13. 225 nós vamos encontrar aqui quatro com cinco nove seis dois 12 3 32 mil Então quer dizer que eu vou encontrar 32 mil 269 que é igual a x ao quadrado e para encontrar só o valor de x que é o valor do apótema eu tiro a raiz quadrada de 32. 269 que vai ser um valor aproximado produção faz aí para mim agora então quanto que dá a raiz quadrada de 32.

269 179,6 metros Lembrando que isso aqui estou trabalhando com aproximação tá gente a raiz aproximada OK aí então descobriu o valor do X que é o apótema da minha pirâmide aqui dessa o valor dessa face lateral Então eu tenho agora a altura para calcular a área desse triângulo Então vamos lá para a área do triângulo agora então vai ser a base 230 vezes essa altura aqui que eu acabei de descobrir que essa autoria que é correspondente a uma ótima é de 179,6 m Então vai ser vezes 179,6 tudo isso aqui dividido por 2 ó aqui podemos já fazer uma simplificação de 230 por 2 né gente fica mais fácil vai ser 115 x 179,6 e com isso eu vou encontrar qual é a área eu vou ver onde que eu vou fazer esse cálculo vou fazer aqui ó 179,6 vezes 115 faço a conta a multiplicação como se não tivesse a vírgula tá cinco vezes seis 30 vai três cinco vezes nove 45 48 vai quatro mil vezes 7 35 39 vai três cinco vezes um 58 agora 1 x 6 uma vezes 9 9 uma x 7 7 1 x 1 agora vai emendar aqui uma vezes 6 6 uma X 99 uma vezes sete e uma vezes um ano após que ser daquele 1 a gente na hora do cálculo ó emendou aqui vai ser 0 produção a gente vai conferindo aí 8 + 6 14 Vai um seis sete sete com nove 16 16 com 9 25 vai 2 8 10 17 17 com 9 26 vai 2 2 3 10 Vai um e dois aqui ó uma casa desse uma casa decimal Então nós vamos encontrar uma área de 20. 654 m². a face lateral E aí produção confere o cálculo apertadíssima aqui confere Ok apago aqui né gente porque tá bem pela primeira vez eu fiz um quadro meio bagunçadinho aqui né não gosto muito mas é o que Coube aqui então a área lateral isso gente é de uma Cadê minha pirâmide de novo que eu perdi ela aquele valor que nós encontramos é referente a uma face lateral Eu tenho quatro então eu vou pegar e multiplicar esse resultado por 4 [Música] 20.

654 x 4 quatro vezes quatro 16 vai 1 4 x 5 20 21 vai 2 4 x 6 24 26 vai 2 4 x 0 com 2 4 x 2 8 Então nós vamos encontrar uma superfície lateral agora de 82. 616 metros quadrados Então olha aqui superfície lateral seria essas quatro Faces triangulares da nossa pirâmide as quatro juntas então resulta em 82. 616 já anotou tudo aí de como calcular a superfície lateral da pirâmide né agora você vai aprender a calcular a área total de todas as superfícies com a base junto marca bem gente para você aprender bem essa aula com esse vento aqui no rabo de cavalo agora na área total veja gente cara total é bem simples de calcular Por que que é bem simples porque a área total vai ser a soma da área da base minha pirâmide que eu perco ela toda hora e não dá para ficar na mão que vai ser a soma da área da base com as quatro faces laterais com a superfície lateral Então já tem os valores aqui ó então a área total se você quiser marcar a Iara Total nós vamos representar por at Tá bom até então vai ser igual a área da base mas a superfície lateral Então essa nossa área total vai ser 52.

900 que é a área da nossa base mais a superfície lateral 82. 616 Então nós vamos encontrar uma área total de vamos fazer os cálculos né gente não se preocupe que na apostila aí vai estar mais fácil né os valores são menores aqui são valores altos Mas vai dar tudo certo o jeito de fazer o procedimento é sempre o mesmo aqui ó 61 15 5 e 13 Então vai ser de 135 mil 135. 516 metros quadrados a nossa área total e aí até agora foi fácil né E como calcular o volume de uma pirâmide dessa ágeis mas vai calcular o volume da pirâmide desse tamanho Mas gente estou utilizando um exemplo da vida real aí para você depois a gente faz exercícios utilizando de centímetros Ou a gente pode pegar uma pirâmide menor e calcular a partir da pirâmide Menor da miniatura Que tal então vamos calcular o volume gente agora o volume é tranquilo de fazer então o volume vai ser assim volume igual a área da base multiplicado pela altura e toda vez que você tem é fosse um bico assim eu falo para os alunos assim o bico assim que sobe vai ser dividido por 3 não é todos que são dividido por 3 todos os volumes que nem por exemplo Ah o prisma não é dividido por 3 A pirâmide é porque tem esse esse bico assim que sobe outro exemplo também é do Cone o cone também é a área da base vezes a altura dividido por 3 então marca bem aí então o volume vai ser igual a área da base eu já tenho que é de 52.

900 vezes altura agora é a altura da pirâmide 138 altura atual dela né divididos isso daqui tudo por três Então vamos lá fazer uma simplificação 9 10 11 não dá para nós dividirmos por três aqui vamos ver 8 9 12 138 dá para simplificar por três aqui gente 138 dividido por 3 ou cálculo que eu tô fazendo para ver se dá para dividir por três eu sou meio os algarismos aqui ó 5 dois sete sete mais nove 16 não tem 16 na tabuada do 3 logo não dá uma divisão exata no 138 um mais três quatro quatro mais oito 12 12 tá na tabuada do 13 Então vai dar uma divisão exata Vai ser 4 4 x 3 12 sobra 1 aí 18 vai ser 6 Então vai ser aqui 52. 00900 vezes então simplifiquei aqui 46 e vamos fazer o cálculo agora para encontrar esse volume vou fazer aqui em cima 52. 00900 por 46 6 x 0,6 x 06 x 9 54 que vai cinco seis vezes dois 12 17 Vai um seis vezes cinco 30 31 Hoje você sai bem entendido na aula de multiplicação Porque quanto a multiplicação aqui em 4 x 0 0 4 x 0 0 4 x 9 36 vai 3 4 x 2 8 11 vai 1 4 x 5 20 21 somando todo mundo vai ser 0047 com 6 13 Vai um três quatro e dois então aqui nós teremos um volume de vai caber aqui produção se eu escrever o volume aqui ou não embaixo não então vamos escrever aqui em cima o valor do nosso volume ó vou colocar vou colocar aqui acho que cabe o volume Então vai ser de 2 milhões 433.